PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE

Transkrypt

1 Nazwa przedmiotu: Równania różniczkowe Differential equations Kierunek: Rodzaj przedmiotu: obowiązkowy dla wszystkich specjalności Rodzaj zajęć: wykład, ćwiczenia Matematyka Poziom kwalifikacji: I stopnia Liczba godzin/tydzień: W E, C Semestr: III Liczba punktów: 6 ECTS PRZEWODNIK PO PRZEDMIOCIE I KARTA PRZEDMIOTU CEL PRZEDMIOTU C1. Zapoznanie studentów z metodami rozwiązywania równań i układów równań różniczkowych zwyczajnych. C2. Zapoznanie studentów z twierdzeniami o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań równań różniczkowych wraz z dowodami. C. Zapoznanie studentów z przykładami zastosowań równań różniczkowych. WYMAGANIA WSTĘPNE W ZAKRESIE WIEDZY, UMIEJĘTNOŚCI I INNYCH KOMPETENCJI 1. Wiedza z zakresu analizy matematycznej I, II. 2. Wiedza z zakresu algebry liniowej i geometrii analitycznej. EFEKTY KSZTAŁCENIA EK 1 student potrafi rozwiązać równania różniczkowe liniowe oraz równania różniczkowe nieliniowe wybranych typów, EK 2 student potrafił sformułować i naszkicować dowody wybranych twierdzeń o istnieniu i jednoznaczności rozwiązań równań różniczkowych, EK student potrafi rozwiązać układ równań różniczkowych liniowych I rzędu,

2 EK 4 student potrafi zbadać i zinterpretować stabilność rozwiązania równania różniczkowego. TREŚCI PROGRAMOWE Forma zajęć WYKŁADY Liczba godzin W 1 Wprowadzenie. Podstawowe definicje. Równania różniczkowe w modelach matematycznych procesów fizycznych, biologicznych i ekonomicznych. W 2 Równania różniczkowe I rzędu. Interpretacja geometryczna. Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych. Równania różniczkowe jednorodne. W Równania różniczkowe liniowe I rzędu. Równania różniczkowe zupełne, czynnik całkujący. Twierdzenie o istnieniu i jednoznaczności rozwiązania równania różniczkowego w postaci różniczek. W 4 Trajektorie ortogonalne i izogonalne. Równanie różniczkowe Bernoulliego. Równania różniczkowe Riccatiego. W 5 Modelowanie matematyczne procesów fizycznych zastosowania równań różniczkowych I rzędu. W 6 Wyznaczanie rozwiązań równań różniczkowych w postaci szeregów potęgowych. W 7 Istnienie rozwiązań lokalnych równania różniczkowego. Warunek Lipschitza. Twierdzenie Picarda-Lindelōfa. Twierdzenie Peano. Przedłużalność rozwiązań. W 8 Zagadnienie Sturma-Liouville a. Równania różniczkowe II rzędu sprowadzalne do równań I rzędu. Wyznaczenie krzywej pościgu. W 9 Równania różniczkowe liniowe II rzędu, metoda uzmienniania stałych. Model matematyczny drgań układu masa-sprężyna. W 10 Równania różniczkowe liniowe n-tego rzędu. Układy równań różniczkowych I rzędu. W 11 Układy równań różniczkowych liniowych. W 12 Stabilność rozwiązań równań różniczkowych. Funkcja Lapunowa. Całki pierwsze. W 1 Punkty krytyczne układów autonomicznych. Portrety fazowe układów liniowych na płaszczyźnie. W 14 Punkty krytyczne układów nieliniowych. W 15 Modele różniczkowe mechaniki. Forma zajęć ĆWICZENIA Liczba godzin C 1 Równania różniczkowe I rzędu. Zagadnienia prowadzące do równań różniczkowych. C 2 Równania różniczkowe I rzędu. Pole kierunków. Równania różniczkowe o zmiennych rozdzielonych, jednorodne i sprowadzalne do równań jednorodnych.

3 C Równania różniczkowe liniowe I rzędu. Równania w postaci różniczek, równania różniczkowe zupełne i sprowadzalne do równań zupełnych. C 4 Trajektorie ortogonalne i izogonalne. Równania różniczkowe Bernoulliego. C 5 Zagadnienie kształtu zwierciadła. Równania różniczkowe Ricatiego. C 6 Rozwiązywanie równań różniczkowych Cauchy ego-eulera. Metoda szeregów potęgowych. C 7 Kolokwium I. Równania różniczkowe n-tego rzędu sprowadzalne do równań rzędu (n-1)-szego. C 8 Zagadnienie Sturma-Liouville a. Równania różniczkowe II rzędu sprowadzalne do równań I rzędu. C 9 Rozwiązywanie równań różniczkowych liniowych II rzędu. Równanie oscylatora harmonicznego. C 10 Rozwiązywanie równań różniczkowych liniowych n-tego rzędu, metoda uzmienniania stałych i metoda przewidywań. C 11 Układy równań liniowych I rzędu. C 12 Autonomiczne układy równań na płaszczyźnie. C 1 Badanie stabilności rozwiązań równań różniczkowych. Całki pierwsze. C 14 Kolokwium II. C 15 - Zaliczenie ćwiczeń w zakresie metod rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych. NARZĘDZIA DYDAKTYCZNE 1. wykład z wykorzystaniem prezentacji multimedialnych 2. ćwiczenia tablicowe z wykorzystaniem rzutnika pisma SPOSOBY OCENY ( F FORMUJĄCA, P PODSUMOWUJĄCA) F1. ocena samodzielnego przygotowania do ćwiczeń. ocena aktywności podczas zajęć

4 P1. ocena umiejętności samodzielnego rozwiązywania równań różniczkowych omawianych typów zaliczenie na ocenę P2. ocena opanowania materiału nauczania będącego przedmiotem wykładu egzamin pisemny z zadań i teorii OBCIĄŻENIE PRACĄ STUDENTA Forma aktywności Godziny kontaktowe z prowadzącym Zapoznanie się ze wskazaną literaturą Przygotowanie do ćwiczeń Przygotowanie do kolokwiów Przygotowanie do egzaminu Obecność na konsultacjach Obecność na egzaminie Suma SUMARYCZNA LICZBA PUNKTÓW ECTS DLA PRZEDMIOTU Liczba punktów ECTS, którą student uzyskuje na zajęciach wymagających bezpośredniego udziału prowadzącego Liczba punktów ECTS, którą student uzyskuje w ramach zajęć o charakterze praktycznym Średnia liczba godzin na zrealizowanie aktywności 45W 45C 90h 10 h 15 h 10 h 16 h 5 h 4 h 150 h 6 ECTS 4 ECTS ECTS LITERATURA PODSTAWOWA I UZUPEŁNIAJĄCA A. Palczewski, Równania różniczkowe zwyczajne. WNT, Warszawa 1999 W. W. Stiepanow, Równania różniczkowe. PWN, Warszawa 1956 M. Gewert, Z. Skoczylas, Równania różniczkowe zwyczajne. Oficyna Wydawnicza Gis, Wrocław 2006 R. Leitner, J. Zacharski, Zarys matematyki wyższej dla studentów. Część III. WNT, Warszawa 2005 D.G. Zill, M.R. Cullen, Differential equations with boundary-value problems. Thomson Brooks/Cole

5 2005 PROWADZĄCY PRZEDMIOT ( IMIĘ, NAZWISKO, ADRES ) 1. prof. dr hab. Stanisław Kukla stanislaw.kukla@im.pcz.pl MATRYCA REALIZACJI I WERYFIKACJI EFEKTÓW KSZTAŁCENIA Efekt kształcenia Odniesienie danego efektu do efektów zdefiniowanych dla kierunku Matematyka Cele przedmiotu Treści programowe Narzędzia dydaktyczne Sposób oceny EK1 K_W05 K_U01 C1 W1-15 C1-15 F1 P1 EK2 K_W02 K_W04 K_U01 C1 W2-4, 9-14 C1-1 F1 P2 EK K_U19 K_U22 K_U14 C2 W10-11 C11-1 P1 EK4 K_W04 K_U01 C W12-15 C1-15 F1 P2 II. FORMY OCENY - SZCZEGÓŁY Na ocenę 2 Na ocenę Na ocenę 4 Na ocenę 5 EK 1 ocenę zastosować większość poznanych metod rozwiązywania równań różniczkowych. zastosować wszystkie poznane metody rozwiązywania równań różniczkowych. rozwiązywać równania różniczkowe poznanych typów, potrafi uzasadnić celowość stosowania metod ich rozwiązywania oraz potrafi wskazać modyfikacje tych

6 metod. EK 2 ocenę. sformułować poznane twierdzenia z zakresu równań różniczkowych oraz potrafi naszkicować dowody niektórych z poznanych twierdzeń. sformułować poznane twierdzenia z zakresu równań różniczkowych oraz podać szkic dowodu większości z tych twierdzeń. sformułować poznane twierdzenia z zakresu równań różniczkowych, podać szkic dowodu każdego z nich oraz potrafi analizować i dyskutować dowody tych twierdzeń. EK ocenę. rozwiązać liniowy układ równań różniczkowych. rozwiązać liniowy układ równań różniczkowych oraz naszkicować portrety fazowe układów na płaszczyźnie. rozwiązywać liniowe układy równań różniczkowych, naszkicować portrety fazowe układów na płaszczyźnie i je uzasadnić i interpretować. EK 4 ocenę. zdefiniować stabilność rozwiązania równania różniczkowego i interpretuje rozwiązanie stabilne. zdefiniować i zbadać stabilność rozwiązania równania różniczkowego, interpretuje rozwiązanie stabilne. zdefiniować i zbadać stabilność lub brak stabilności rozwiązania równania różniczkowego, interpretuje rozwiązanie stabilne. Dopuszcza się wystawienie oceny połówkowej o ile student spełniający wszystkie efekty kształcenia wymagane do oceny pełnej spełnia niektóre efekty kształcenia odpowiadające ocenie wyższej. III. INNE PRZYDATNE INFORMACJE O PRZEDMIOCIE 1. Wszelkie informacje dla studentów na temat planu zajęć dostępne są na stronie internetowej:

7 2. Informacja na temat konsultacji przekazywana jest studentom podczas pierwszych zajęć z danego przedmiotu oraz umieszczona jest na stronie internetowej Instytutu Matematyki: