LINIOWA FUNKCJA PRAWDOPODOBIEŃSTWA

Transkrypt

1 Studa Ekonomczne. Zeszt Naukowe Unwerstetu Ekonomcznego w Katowcach ISSN Nr Jerz W. Wśnewsk Unwerstet Mkołaja Kopernka Wdzał Nauk Ekonomcznch Zarządzana Katedra Ekonometr Statstk jerz.wsnewsk@umk.pl LINIOWA FUNKCJA PRAWDOPODOBIEŃSTWA Streszczene: Ważnm narzędzem analtcznm w ekonometr, służącm m.n. do badana asocjacj zmennch zerojednkowch, jest lnowa funkcja prawdopodobeństwa, zwana też modelem Goldbergera. Jego specfką jest zerojednkowa zmenna objaśnana, powodująca, że teoretczne wartośc modelu emprcznego są szacunkam prawdopodobeństwa wstąpena warantu sgnowanego lczbą. Zmenne objaśnające w modelu mogą bć zarówno cągłe, jak dskretne. Model Goldbergera jest ważnm nstrumentem pomaru uwarunkowań przcznowch, główne zmennch jakoścowch, ale równeż tzw. zmennch loścowch. Wmaga on jednak specfcznego podejśca, przede wszstkm do estmacj jego parametrów. Słowa kluczowe: zmenna zerojednkowa, asocjacja, prawdopodobeństwo, model ekonometrczn. JEL Classfcaton: C, C25, C5. Wprowadzene Model ekonometrczn, nosząc nazwę lnowej funkcj prawdopodobeństwa, ne znalazł należtej akceptacj w środowsku ekonomstów. Charakterzuje sę tm, że zmenna objaśnana równana regresj jest zerojednkową. Może bć zatem bardzo dobrm narzędzem analz asocjacj cech jakoścowch 2, lepszm w sense walorów nformacjnch od rozmatch współcznnków asocjacj. 2 Por. [Goldberger 972, s ; Wśnewsk, 99; Wśnewsk, 22]. O pomarze cech jakoścowch traktują prace: [Churgn, 985; Stevens, 946; Wśnewsk, 23b].

2 62 Jerz W. Wśnewsk Celem nnejszej prac jest wskazane walorów deczjnch lnowej funkcj prawdopodobeństwa, zwanej tez modelem Goldbergera. Ważnm zadanem badawczm jest też prezentacja konecznośc stosowana wspecjalzowanch narzędz w procese estmacj jego parametrów. Owe szczególne procedur będą koneczne dla uzskana odpowedno preczjnch wnków w postac emprcznego modelu Goldbergera.. Istota modelu Goldbergera Zmenna objaśnana modelu ekonometrcznego wnna charakterzować sę relatwne dużm obszarem zmennośc. Ne pownna też bć ogranczona. Oznacza to, że ne pownna posadać an dolnej, an górnej granc. Tmczasem neked pojawają sę zmenne, pełnące w modelu rolę objaśnanch, o obserwacjach ( o), które posadają nawet dwustronne ogranczena. Ich specfką jest posadane dolnej górnej granc, czl: (o), () mn gdze mn oznacza najnższą możlwą wartość obserwacj na rozważanej zmennej, natomast ma jest najwższą możlwą wartoścą obserwacj na tej zmennej objaśnanej. Załóżm, że mechanzm zmennośc zmennej ogranczonej (o) będze opsan za pomocą modelu lnowego: (o) ma = α + η. (2) Rsunek prezentuje lnow model ekonometrczn dla ogranczonej zmennej objaśnanej. Zauważa sę konsekwencje ewentualnej ekstrapolacj poza obszar obserwacj statstcznch. Próba takej ekstrapolacj może prowadzć do tego, że wartośc ekstrapolant będą meścł sę poza obszarem zmennośc zmennej ogranczonej, co jest sprzeczne z logką. Na przkład, zmenną ogranczoną może bć wskaźnk struktur, spełnając nerówność. Próba ekstrapolacj zmennej w postac wskaźnka struktur może doprowadzć (o) do tego, że ekstrapolant osągną wartośc mnejsze od % albo wększe od %, co jest sprzeczne z stotą tego wskaźnka.

3 Lnowa funkcja prawdopodobeństwa 63 Szczególnm przpadkem modelu z ogranczoną zmenną objaśnaną jest lnowa funkcja prawdopodobeństwa, zwana też modelem Goldbergera 3. Model ten można zapsać następująco: = α η, (3) gdze: zmenna zerojednkowa, zdefnowana następująco:, prz warunkach V, =, w przpadku przecwnm,,, j,, k obserwacje na zmennch objaśnającch, η składnk losow równana, α, α,, α j,, α k parametr strukturalne modelu, numer obserwacj statstcznej ( =,, n). (o) ma j j k k mn Rs.. Lnow model ogranczonej zmennej objaśnanej Zmenne objaśnające w modelu (3) mogą bć zarówno cągłe, jak dskretne. W tm zborze zmennch mogą pojawać sę równeż zmenne zerojednkowe, będące szczególnm przpadkem zmennch skokowch. Skonstruowane emprcznej lnowej funkcj prawdopodobeństwa pozwala na ustalene częstośc pojawana sę warunków V, prz określonch konfguracjach wartośc zmennch objaśnającch. W emprcznm modelu Goldbergera możlwe jest też wskazane statstczne stotnch zmennch objaśnającch, które mają wpłw na zastnene warunków V. 3 Jedną z perwszch monograf w Polsce traktującą o modelu Goldbergera jest: [Wśnewsk, 986]. Emprczne rezultat zastosowań tego modelu znaleźć można w pracach: [Wśnewsk, 29, 23a].

4 64 Jerz W. Wśnewsk 2. Charakterstka procedur estmacjnej Estmacja parametrów modelu (2) za pomocą klascznej metod najmnejszch kwadratów (KMNK) skutkuje ogranczoną preczją szacunków parametrów 4. Rezultatem zastosowana KMNK jest przpadek nejednorodnośc warancj składnka losowego. Koneczna jest w tm przpadku procedura dwustopnowa. W perwszm kroku należ zastosować KMNK do oszacowana parametrów modelu z zerojednkową zmenną endogenczną. Po oblczenu teoretcznch wartośc z równana emprcznego tpu (3) można wznaczć wag dla każdej obserwacj, oblczane następująco: w = = ( ), (,, n) (4) W rezultace można skonstruować emprczną macerz Ω o postac: w Ω = w. (5) w n W praktce mogą pojawć sę ujemne wartośc wag w. Dlatego też lepszm warantem będze wkorzstane modułów wag oblczonch według wzoru (4). Macerz Ω przjme węc następującą postać: w Ω = w. (6) w n 4 W nnejszej prac zastosowano termn preczja szacunków, zamast stosowanego w lteraturze pojęca efektwnośc szacunków. Wnka to z stnena w statstce pojęca preczj τ, oblczanej jako: τ =, gdze σ jest odchlenem standardowm. Spadek wartośc odchlena σ standardowego oznacza poprawę efektwnośc estmacj. Ze spadkem welkośc σ następuje wzrost preczj τ, wskazując na poprawę preczj estmatora.

5 Lnowa funkcja prawdopodobeństwa 65 Estmator Atkena dla przpadku objaśnanej zmennej zerojednkowej będze mał zatem następującą postać: albo Macerz * T T α = ( X Ω X ) X Ω Y (7) Ω będze mała następującą strukturę: Ω Ω ( ) = w = w ( ) w n n ( n ) Estmator (7) daje bardzej efektwne (preczjne) szacunk parametrów modelu z zerojednkową zmenną objaśnaną, w porównanu z estmatorem KMNK. (8) 3. Emprczn model Goldbergera Ponżej zaprezentowano przkład konstrukcj emprcznego modelu Goldbergera. Zagadnene deczjne polega na ustalenu cech osobstch handlowców w przedsęborstwe ZET, które mają stotn statstczne wpłw na gene-

6 66 Jerz W. Wśnewsk rowane przez nch werztelnośc przetermnowanch 5. Informacje statstczne o efektwnośc prac handlowców oraz ch cechach osobstch zawera tab.. Lnowa funkcja prawdopodobeństwa opswała będze skuteczność wndkacj werztelnośc, w zależnośc od rozmatch cech osobstch handlowców. Tabela. Efektwność prac handlowców ch cech osobste w przedsęborstwe ZET Nr Źródło: dane przedsęborstwa ZET analogczne do rzeczwstch. Pomaru skutecznośc wndkacj werztelnośc dokonano za pomocą zmennej zerojednkowej, zdefnowanej następująco 6 : 5 6 Przkład jest analogczn do zameszczonego w monograf: [Wśnewsk, 26, podrozdzał 6.4]. Handlowec wnen uzskwać wsoke przchod ze sprzedaż oraz zabegać o skuteczną wndkację werztelnośc w obsługwanej przez nego sec sprzedaż.

7 Lnowa funkcja prawdopodobeństwa 67 zmenna zerojednkowa przjmująca wartość, gd w sec sprzedaż -tego handlowca powstał werztelnośc przetermnowane 7 oraz zero w przpadku przecwnm, 2 przchód ze sprzedaż netto uzskan roczne przez -tego handlowca (ts. zł), zmenna zerojednkowa, reprezentująca płeć handlowca, przjmująca wartość dla kobet dla mężczzn, 2 zmenna zerojednkowa, nformująca o fakce uprawana sportu wcznowego przez handlowca, przjmująca wartość, gd uprawał on sport wcznowo oraz w przpadku przecwnm, 3 staż prac w zawodze handlowca, wrażon lczbą przepracowanch lat, 4 zmenna zerojednkowa, nformująca o posadanu wkształcena ekonomcznego, przjmująca wartość, gd handlowec posada wkształcene ekonomczne oraz, gd takego wkształcena ne posada, 5 lczba osób na utrzmanu handlowca, 6 wek handlowca, wrażon lczbą ukończonch lat żca, 7 zmenna zerojednkowa, nformująca o posadanu wkształcena wższego, przjmująca wartość, gd handlowec posada wkształcene wższe oraz, gd takego wkształcena ne posada. Rozważono hpotetczn model rekurencjn 8, któr zawera lnową funkcję prawdopodobeństwa, opsującą : 2 = α 4 4 = α β η 3 7 3, η + 2, (9) () gdze 9 : α, α 2 parametr strukturalne prz zmennch z gór ustalonch modelu (=,,,7), β 2 parametr strukturaln prz zmennej łączne współzależnej modelu, η, η 2 składnk losowe równań modelu Chodz o należnośc przetermnowane ponad ustaloną w przedsęborstwe normę. Pojawene sę w równanu (9) zmennej objaśnającej, wrażającej wartość przchodów ze sprzedaż, uzskwanch przez handlowca, wnka z wątplwośc, cz sstem motwowana jest poprawne skonstruowan. Poprawn sstem motwacjn ne pownen zachęcać do tworzena werztelnośc przetermnowanch w częśc sec, którą obsługuje handlowec. W dalszej częśc nnejszej prac zajęto sę estmacją parametrów lnowej funkcj prawdopodobeństwa, czl równana (9), rezgnując z rozważań nad równanem (). Por. [Wśnewsk, 26, s. 87].

8 68 Jerz W. Wśnewsk Parametr równana (8) oszacowano za pomocą klascznej metod najmnejszch kwadratów (KMNK), z wkorzstanem paketu GRETL. Po elmnacj zmennch objaśnającch, które okazał sę statstczne nestotne, powstał model emprczn, którego charakterstk zawera tab. 2. Reszt równana emprcznego: =,389,338 +,35,4494 +,98 () wkorzstane został do konstrukcj wag tpu (4). Tabela 2. Estmacja KMNK, wkorzstane obserwacje -35 Zmenna zależna (Y): Wszczególnene Współcznnk t-studenta Wartość p Ważność const -, ,955,3672 -, ,957,68 *** 2, ,3646,247 ** 4 -, ,2852,26 ***,97945,879,79 * 6 Średn. art. zm. zależnej,2 Odch. stand. zm. zależnej,4584 Suma kwadratów reszt 3,6498 Błąd standardow reszt,39588 Wsp. determ. R-kwadrat,45284 Skorgowan R-kwadrat, F(4, 3) 6,2734 Wartość p dla testu F,99 Logartm wargodnośc -7,39938 Krt. nform. Akake a 24,7988 Krt. baes. Schwarza 3,85662 Krt. Hannana-Qunna 26, Tabela 3. Estmacja WLS, wkorzstane obserwacje -35 Zmenna zależna (Y): 4 Zmenna jako waga: wag Wszczególnene Współcznnk Błąd stand. t-studenta Wartość p Ważność const -,5859, ,245,88 -,349, ,4678, *** 2,2957,7644 3,868,6 *** 4 -,44966, ,6773 <, *** 6,7954,746274,586,245 6 Trz gwazdk w kolumne ważność oznaczają statstczną stotność na pozome stotnośc ponżej p =,; dwe gwazdk oznaczają stotność zmennej na pozome stotnośc ponżej p =,5, natomast jedna gwazdka oznacza stotność na pozome stotnośc ponżej p =,. Brak gwazdk oznacza brak statstcznej stotnośc danej zmennej objaśnającej.

9 Lnowa funkcja prawdopodobeństwa 69 cd. tabel 3 Podstawowe statstk dla ważonch danch: Suma kwadratów reszt 5,6292 Błąd standardow reszt,72785 Wsp. determ. R-kwadrat,52496 Skorgowan R-kwadrat,46623 F(4, 3) 8,28893 Wartość p dla testu F,26 Logartm wargodnośc -35,55423 Krt. nform. Akake a 8,845 Krt. baes. Schwarza 88,8859 Krt. Hannana-Qunna 83,79298 Podstawowe statstk dla orgnalnch danch: Średn. art. zm. zależnej,2 Odch. stand. zm. zależnej,4584 Suma kwadratów reszt 3,478 Błąd standardow reszt,32353 Porównane wnków z tab. 3 2 wskazuje na wzrost wartośc współcznnka R 2 w rezultace zastosowana uogólnonej metod najmnejszch kwadratów (do pozomu,525) w porównanu z KMNK (,4528). Ponadto wzrosł wartośc statstk t-studenta, zwązane ze zmennm, 2 oraz 4. Po elmnacj słabej zmennej objaśnającej 6 otrzmujem wnk, zameszczon w tab. 4. Tabela 4. Estmacja WLS, wkorzstane obserwacje -35 Zmenna zależna (Y):. Zmenna jako waga: wag Wszczególnene Współcznnk Błąd stand. t-studenta Wartość p Ważność const,3457,6659 5,27 <, *** -,322538, ,6996 <, *** 2,3322, ,463 <, *** 4 -,32774, ,7742 <, *** Podstawowe statstk dla ważonch danch: Suma kwadratów reszt 6,937 Błąd standardow reszt,7392 Wsp. determ. R-kwadrat,48543 Skorgowan R-kwadrat,43564 F(3, 3) 9,7479 Wartość p dla testu F, Logartm wargodnośc -36,954 Krt. nform. Akake a 8,98 Krt. baes. Schwarza 88,294 Krt. Hannana-Qunna 84,5564 Podstawowe statstk dla orgnalnch danch: Średn. art. zm. zależnej,2 Odch. stand. zm. zależnej,4584 Suma kwadratów reszt 3, Błąd standardow reszt,33242

10 7 Jerz W. Wśnewsk 4. Rozwązane uzupełnające dla modelu Goldbergera Posadane szacunków prawdopodobeństwa (częstośc) tworzena werztelnośc przetermnowanch ( ) pozwala na zastosowane nnego rozwązana modelowego dla przgotowana narzędza deczjnego. Owe częstośc wkorzstane zostaną do konstrukcj równana emprcznego, w którm zmenną objaśnaną będze logtowa transformacja zmennej ogranczonej, jaką jest. Przekształcene tej zmennej ogranczonej odbędze sę w dwóch krokach. Najperw wkonana zostane transformacja podstawowa: (p) mn ma = (2) która powoduje, że zmenna dwustronne ogranczona staje sę ogranczoną jednostronne, z mnmum wnoszącm zero. Kolejna transformacja logtowa: (l) (p) mn ma = ln = ln (3) przekształca częstośc w zmenną neogranczoną. Rozważono zatem równane: ( l) = α + β η (4) którego parametr oszacowane zostaną za pomocą KMNK. Rezultat estmacj zameszczone został w tab. 5. Dostrzega sę kolejną poprawę wartośc współcznnka R 2, którego wartość wzrosła do pozomu,585. Ponadto poprawła sę preczja szacunków parametrów strukturalnch równana. Tabela 5. Estmacja KMNK, wkorzstane obserwacje -35 (l) Zmenna zależna (Y): Wszczególnene Współcznnk Błąd stand. t-studenta Wartość p Ważność const -,2934, ,895,682 * -,657637, ,6866,9 *** 2,73486,2462 3,6476, *** 4 -,87824, ,757,3 ***,3252,784,94,655 * 6

11 Lnowa funkcja prawdopodobeństwa 7 cd. tabel 5 Średn. art. zm. zależnej -,82939 Odch. stand. zm. zależnej, Suma kwadratów reszt 7,47664 Błąd standardow reszt,4992 Wsp. determ. R-kwadrat, Skorgowan R-kwadrat, F(4, 3),5778 Wartość p dla testu F,8 Logartm wargodnośc -22,6492 Krt. nform. Akake a 55,29824 Krt. baes. Schwarza 63,7498 Krt. Hannana-Qunna 57,98277 Emprczna funkcja prawdopodobeństwa wnna dostarczć nformacj, które będą przdatne w podejmowanu deczj. W rozpatrwanm przpadku kolejne rozwązana modelowe udzelł odpowedz na ptane o stotne statstczne zmenne, wpłwające na skuteczność wndkacj handlowca. Czter cech osobste okazał sę znaczące w dzałanach wndkacjnch handlowca, z którch trz można uznać za decdujące. Rozwązane zawarte w tab. 5 pozwolło uzskać ważną nformację na temat stotne statstcznm oddzałwanu zmennej 6 na prawdopodobeństwo generowana przez handlowca werztelnośc przetermnowanch. Poprawła sę zatem wartość poznawcza wnków emprcznch. Wkorzstane tch nformacj w konkretnm przedsęborstwe, gd pojaw sę potrzeba zatrudnena kolejnego handlowca, pozwol na ogranczene rzka błędnej deczj kadrowej. Podsumowane Nnejsz artkuł pozwala na wsunęce następującch wnosków:. Lnowa funkcja prawdopodobeństwa jest przdatnm narzędzem analtcznm ekonomst. 2. Umożlwa wskazane stotnch statstczne zmennch wpłwającch na pojawene sę warunków zdefnowanch za pomocą zmennej zerojednkowej w warance przjmującm wartość jeden. 3. Może bć wkorzstana w analze tzw. cech jakoścowch, jak też we wskazwanu uwarunkowań pojawana sę tzw. obserwacj netpowch w szeregach statstcznch. 4. Umejętne wkorzstane emprcznego modelu Goldbergera pozwol na podejmowane deczj, charakterzującch sę zmnejszenem rzka ch negatwnch następstw.

12 72 Jerz W. Wśnewsk Lteratura Churgn J. (985), Jak polczć nepolczalne, Wedza Powszechna, sera OMEGA, Warszawa. Goldberger A.S. (972), Teora ekonometr, PWE, Warszawa. Stevens S.S. (946), On the Theor of Scales Measurement, Scence, Vol. 3, No Wśnewsk J.W. (986), Ekonometrczne badane zjawsk jakoścowch. Studum metodologczne, UMK, Toruń. Wśnewsk J.W. (99), Dnamczne modelowane ekonometrczne ogranczonej zmennej zależnej, Przegląd Statstczn, z. 4, s Wśnewsk J.W. (29), Mkroekonometra, Wdawnctwo Naukowe Unwerstetu Mkołaja Kopernka, Toruń. Wśnewsk J.W. (22), Dlemmas of Economc Measurements n Weak Scales, Fola Oeconomca Stetnensa, No. (8), s Wśnewsk J.W. (23a), Forecastng Staffng Decsons, EKONOMETRIA. ECONO- METRICS (39), Publshng House of Wrocław, Unverst of Economcs Wrocław, s Wśnewsk J.W. (23b), Correlaton and Regresson of Economc Qualtatve Features, LAP LAMBERT Academc Publshng, Saarbrücken. Wśnewsk J.W. (26), Mcroeconometrcs n Busness Management, John Wle&Sons, Chchester. LINEAR FUNCTION OF PROBABILITY Summar: An mportant analtcal tool n econometrcs, servng, nter ala, to nvestgate the assocaton of dumm varables, s a lnear functon of probablt. The functon s also known as Goldberger model. Its specfct s the dumm dependent varable whch causes, that theoretcal values of the emprcal model are emprcal estmates of probablt of a varant, sgned as. The eplanator varables n the model can be both contnuous or dscrete. The Goldberger model s an mportant nstrument for the measurement of the casual condtons, manl qualtatve varables, but also the quanttatve varables. However, t requres a specfc approach, prmarl n estmatng of ts parameters. Kewords: dumm varable, assocaton, probablt, econometrc model.