STUDIA I PRACE WYDZIAŁU NAUK EKONOMICZNYCH I ZARZĄDZANIA NR 25

Transkrypt

1 STUDIA I PRACE WYDZIAŁU NAUK EKONOMICZNYCH I ZARZĄDZANIA NR 5 Marusz Doszyń Unwersytet Szczecńsk ZASTOSOWANIE FUNKCJI O STAŁEJ ELASTYCZNOŚCI SUBSTYTUCJI (CES) ORAZ FUNKCJI COBBA-DOUGLASA DO OCENY KONKURENCYJNOŚCI SPÓŁEK NOTOWANYCH NA GIEŁDZIE PAPIERÓW WARTOŚCIOWYCH W WARSZAWIE STRESZCZENIE W artykule omówone zostały dwa rodzaje model umożlwające analzowane wybranych aspektów składających sę na konkurencyjność przedsęborstw. Przedstawono funkcję o stałej elastycznośc substytucj (CES) funkcję Cooba-Douglasa oraz scharakteryzowano występujące mędzy nm różnce. Oszacowano każdą z tych funkcj, a następne je porównano. Konkurencyjność została zbadana w oparcu o reszty funkcj Cobba-Douglasa, która została oszacowana na podstawe danych dotyczących wybranych spółek notowanych na GPW w Warszawe w 004 r. Słowa kluczowe: funkcja o stałej elastycznośc substytucj (funkcja CES), funkcja produkcj Cobba-Douglasa, krańcowa stopa techncznej substytucj, elastyczność substytucj, ekonometryczna analza wpływu czynnków subektywnych, konkurencyjność przedsęborstw Wprowadzene Konkurencyjność przedsęborstw wąże sę ścśle z efektywnoścą wykorzystana posadanych zasobów (czynnków produkcj). Sposób transformacj nakładów (zasobów) w efekty zależy ne tylko od czynnków, które można określć manem

2 304 UWARUNKOWANIA KONKURENCYJNOŚCI PRZEDSIĘBIORSTW I GOSPODARKI W XXI WIEKU obektywnych, takch jak zasoby majątku, nakłady pracy, stosowane technologe, lecz równeż od aspektów subektywnych, zwązanych z zasobam ludzkm. Można postawć hpotezę, że w bardzej konkurencyjnym przedsęborstwe osągane są stotne lepsze wynk, przy takch samych nakładach (dentycznych zasobach majątkowych, takej samej lczbe roboczogodzn w danym okrese td.). Do określana tak rozumanej konkurencyjnośc przedsęborstw można stosować odpowedno skonstruowane modele ekonometryczne, w tym m.n. funkcję o stałej elastycznośc substytucj (CES) oraz funkcję Cobba-Douglasa 1. Wartośc teoretyczne otrzymane na podstawe tego typu model ekonometrycznych pozwalają ustalć, jak pownen być pozom produkcj (przychodów) w typowym przedsęborstwe. Przez typowe rozume sę przedsęborstwo osągające wynk (przychody) na pozome wartośc oczekwanej, przy danych wartoścach zmennych objaśnających. Jeżel reszta uzyskana dla danego przedsęborstwa jest dodatna (oraz statystyczne stotna), śwadczy to o lepszym wykorzystywanu zasobów na tle nnych, wzętych pod uwagę przedsęborstw, co może wynkać z lepszego gospodarowana. Z kole sama gospodarność zależy od jakośc pracownków przedsęborstwa, na każdym jego szczeblu. Czynnk ntrapersonalne oraz nterpersonalne składają sę na klmat panujący w przedsęborstwe, który zależy od czynnków subektywnych (w podanym wyżej znaczenu). Celem artykułu jest pokazane, w jak sposób, za pomocą narzędz ekonometrycznych, można analzować wpływ czynnków subektywnych. 1. Metodologa badań Co to jest elastyczność substytucj? W zaprezentowanych ponżej modelach elastyczność substytucj to względna zmana krańcowej stopy substytucj zatrudnena () l przez aktywa trwałe ( m ) podzelona przez względną zmanę relacj aktywów trwałych do zatrudnena: E ml ( m/ l) /( m/ l) = (1) ( m/ l) /( m/ l) 1 Jest to podejśce analogczne do tego, które zaproponował prof. J. Hozer, badając gospodarność przedsęborstw na podstawe reszt odpowedno skonstruowanego modelu ekonometrycznego, por. J. Hozer, Mkroekonometra. Analz, dagnozy, prognozy, PWE, Warszawa 1993, s. 98 n.

3 MARIUSZ DOSZYŃ ZASTOSOWANIE FUNKCJI O STAŁEJ ELASTYCZNOŚCI SUBSTYTUCJI Oznaczymy krańcową stopę techncznej substytucj przez MRTS = m / l. Krańcowa stopa substytucj mów, o le należy zwększyć aktywa trwałe, gdy zatrudnene maleje o jednostkę, aby przychody ne uległy zmane. W tym mejscu koneczny jest komentarz. Krańcowa stopa substytucj techncznej oraz elastyczność substytucj dotyczą welkośc produkcj, a welkość produkcj to zmenna będąca welkoścą fzyczną. Przychody są wyrażane wartoścowo zależą od pozomu cen. Jeżel ceny sę zmenają, to w przypadku (1) ne jest dodatkowo spełnone założene ceters parbus. Przyjęce przychodów za zmenną objaśnaną było podyktowane po częśc dostępnoścą danych statystycznych oraz zróżncowanem asortymentu produkcj analzowanych spółek. Jeżel aktywa trwałe przypadające na zatrudnonego oznaczymy przez k = m/ l, to elastyczność substytucj można równeż zapsać jako: E ml MRTS / MRTS = k / k () W przypadku funkcj CES elastyczność substytucj jest stała, natomast w przypadku funkcj Cobba-Douglasa elastyczność substytucj jest równa jeden, co łatwo wykazać. Dwuczynnkową funkcję CES można zapsać w następującej postac: ρ ρ v ( α ) / 1 α ρ ξ = + (3) p m l e gdze: p przychody netto ze sprzedaży produktów, towarów materałów w -tym przedsęborstwe (w danym okrese), m aktywa trwałe w -tym przedsęborstwe (w danym okrese), l zatrudnene w -tym przedsęborstwe (w danym okrese), α1, α, ρ,v parametry, α1, α, v > 0, ρ (,0) ( 0,1), ξ składnk losowy. Jak wdać model (3) będze szacowany dla danych przekrojowych. W lteraturze funkcję CES najczęścej zapsuje sę jako: p = γδ m ( 1 δ) l ρ ρ v/ ρ ξ + e, gdze γ, v > 0, δ ( 0,1) oraz ρ ( 1, 0) ( 0, +. ) W zapse tym przyjmuje sę jednak

4 306 UWARUNKOWANIA KONKURENCYJNOŚCI PRZEDSIĘBIORSTW I GOSPODARKI W XXI WIEKU pewne dowolne, aproryczne założena o parametrze dystrybucj δ oraz występują problemy z nterpretacją parametru γ. Model (3) jest modelem nelnowym, zarówno względem zmennych, jak parametrów. Ne stneje równeż transformacja przekształcająca model (3) w model lnowy względem parametrów, w zwązku z czym do jego estymacj ne można zastosować metody najmnejszych kwadratów (MNK). Jednym ze sposobów estymacj tego typu model, często opsywanym w lteraturze, jest metoda pochodząca od Jana Kmenty. Polega ona na zlogarytmowanu modelu (3) stronam: v ρ ρ ln p = ln( α1m + αl ) + ξ (4) ρ ρ ρ a następne na rozwnęcu wyrażena φρ () ln( α1m αl ) = + w szereg Taylora wokół ρ = 0 do drugej pochodnej włączne: Można sprawdzć, że 3 : ' '' φρ () φ() 0 + ρφ() 0 + 1/ ρφ() 0 (5) φ() 0 = ln( α + α ) 1 ' α1 α φ () 0 = lnm + lnl α + α α + α 1 1 (6) '' αα 1 φ () 0 = ( ) ( lnm ln l α + α ) 1 Por. A. Goryl, Z. Jędrzejczyk, K. Kukuła, J. Osewalsk, A. Walkosz, Wprowadzene do ekonometr w przykładach zadanach, PWN, Warszawa Ibdem, s. 165.

5 MARIUSZ DOSZYŃ ZASTOSOWANIE FUNKCJI O STAŁEJ ELASTYCZNOŚCI SUBSTYTUCJI Podstawając (6) do (5), a następne (5) do (4) otrzymujemy: czyl v α1v αv ln p = ln( α1+ α) + ln m + ln l + ρ α1+ α α1+ α y x 1 x β 0 β1 β αα 1 vρ ( ) ( ) + ln m ln, l + ξ α1+ α x3 β 3 y = β + β x + β x + β x + ξ. (8) (7) Model (8) szacuje sę MNK. Parametry modelu (3) wyznacza sę na podstawe następujących zależnośc 4 : v = β1+ β β3( β1+ β) ρ = ββ α α β = exp β1+ β ββ 1 β ββ ββ 0 3 = exp. β1+ β ββ 1 (9) Drugm z szacowanych model będze funkcja Cobba-Douglasa: p m l e ξ 1 = α α α 0 (10) Jest to funkcja potęgowa, którą po obustronnym zlogarytmowanu można oszacować MNK. Nasuwa sę następujące pytane: kedy należy szacować funkcję CES, a kedy funkcję Cobba-Douglasa? Tego typu dylematy pownno sę rozstrzygać metodam statystyczno-ekonometrycznym. W przypadku funkcj Cobba-Douglasa elastyczność 4 Ibdem, s. 166.

6 308 UWARUNKOWANIA KONKURENCYJNOŚCI PRZEDSIĘBIORSTW I GOSPODARKI W XXI WIEKU substytucj jest równa 1, w przypadku funkcj CES ne mus koneczne tak być. Funkcja Cobba-Douglasa jest zatem szczególnym przypadkem funkcj typu CES.. Przykład empryczny W przykładze emprycznym oszacowano każdą z omawanych funkcj. Dane dotyczą spółek przemysłu elektromaszynowego notowanych na GPW w Warszawe w 004 r. Za zmenną objaśnaną przyjęto przychody netto ze sprzedaży produktów, towarów materałów (p ). Zmenne objaśnające to aktywa trwałe (m ) oraz lczba zatrudnonych (l ). Przychody netto oraz aktywa trwałe zostały wyrażone w tys. zł, w cenach z 008 r. Funkcja CES (8) w postac po zlogarytmowanu kształtuje sę następująco 5 : y 9,63,660 x1 3,73 x 0,370 x3 (,41) ( 1,337) ( 1,873) ( 1,543) = + + (11) Model (11) jest dość dobrze dopasowany do wartośc emprycznych. Skorygowany współczynnk determnacj R = 0,88 6. Wartość krytyczna testu t studenta odczytana dla pozomu stotnośc α = 0,1 jest równa t 0,05;14 = 1,761. Zatem aż dwe oceny parametrów okazały sę nestotne statystyczne. Z kole na podstawe testu F można stwerdzć, że przy tym samym co poprzedno pozome stotnośc łączny wpływ uwzględnonych zmennych objaśnających jest stotny statystyczne. Wartość statystyk F 3;14 = 4, 38 jest bowem wększa od wartośc krytycznej F 0,05;3;14 = 3,344. Błąd standardowy reszt S e = 0,417. Na podstawe zależnośc (9) otrzymujemy funkcję CES w następującej postac : 0,08 0,08 p ( 1,44m 1,745l ) 1,07/0,08 = + (1) 5 W tym następnych przypadkach w nawasach pod ocenam parametrów podane są wartośc statystyk t-studenta. 6 W przypadku skorygowanego współczynnka determnacj, poza udzałem zmennośc wyjaśnanej przez model w ogólnej zmennośc zjawska uwzględna sę równeż lczbę stopn swobody. Ops stosowanych mar ekonometrycznych zawerają na przykład prace: Ekonometra, red. J. Hozer, Katedra Ekonometr Statystyk Wydzału Nauk Ekonomcznych Zarządzana Unwersytetu Szczecńskego, Szczecn 1997; G.S. Maddala, Ekonometra, PWN, Warszawa 006.

7 MARIUSZ DOSZYŃ ZASTOSOWANIE FUNKCJI O STAŁEJ ELASTYCZNOŚCI SUBSTYTUCJI Ocena parametru ρ = 0, 08 charakteryzuje elastyczność substytucj zatrudnena () l przez aktywa trwałe (m ). Elastyczność ta wyrażona jest wzorem εml = 1/ ( 1 ρ) = 0,96. Jeżel zatem spadek relacj aktywów trwałych do zatrudnena o 1% jest rekompensowany wzrostem krańcowej stopy techncznej substytucj o 0,96%, to przychody netto pozostaną na dotychczasowym pozome. Ocena parametru v = 1, 07 wskazuje na to, że wzrost czynnków produkcj o 1% spowoduje wzrost przychodów netto o ok. 1,07%. Z kole ocena parametru α 1 = 1, 44 jest traktowana jako mernk ntensywnośc kaptałowej ( majątkowej ) stosowanej technolog 7. Zgodne z przyjmowanym założenam parametr ten ne pownen być ujemny, a ma to mejsce w omawanym przypadku. Może to śwadczyć o neefektywnym w pełn wykorzystywanu nakładów majątkowych. Dla porównana oszacowano równeż funkcję Cobba-Douglasa (10), która w postac po zlogarytmowanu wygląda następująco: ln p = 3, 03+ 0, 395ln m + 0, 684l (13) ( 3,388) ( 1,919) (,474) Model (13) jest równeż dobrze dopasowany do wartośc emprycznych (skorygowany współczynnk determnacj R = 0,88 ). Inaczej nż w przypadku funkcj CES, przy pozome stotnośc α = 0,1 wszystke oceny parametrów są stotne statystyczne. Wartość krytyczna testu t-studenta odczytana dla pozomu stotnośc α = 0,1 jest równa t 0,05;15 = 1,753. Test F także wskazuje na to, że przy tym samym jak poprzednm pozome stotnośc łączny wpływ zmennych objaśnających jest stotny statystyczne ( F ;15 = 57,1 jest wększe od wartośc krytycznej F 0,05;3;14 = 3, 68 ). Błąd standardowy reszt wynósł S e = 0,436. Po odlogarytmowanu funkcja Cobba-Douglasa wygląda następująco: 0,395 0,684 p m l = 0,553 (14) Jak powszechne wadomo, wykładnk funkcj potęgowej są jednocześne elastycznoścam zmennych objaśnających względem zmennej objaśnanej. Można zatem stwerdzć, że wzrost aktywów trwałych o 1% powoduje wzrost przycho- 7 Podane nterpretacje podaje sę odnośne do postac model CES z wyrazem wolnym oraz przy spełnenu założena, że α1+ α = 1. W oszacowanym modelu (1) wyraz wolny ne występuje ne jest spełnone założene o sumowanu sę wspomnanych parametrów do jednośc.

8 310 UWARUNKOWANIA KONKURENCYJNOŚCI PRZEDSIĘBIORSTW I GOSPODARKI W XXI WIEKU dów netto średno o 0,395%, ceters parbus. W przypadku zatrudnena jego 1% wzrost przyczynał sę do wzrostu przychodów netto przecętne o 0,684%, ceters parbus. W zwązku z tym, że w modelu CES (11) zmenne były nestotne statystyczne, do oceny konkurencyjnośc spółek zastosowano reszty uzyskane na podstawe funkcj Cobba-Douglasa (13). Warto równeż zauważyć, że elastyczność substytucj wyznaczona na podstawe funkcj CES wynosła 0,96. Jest to wartość blska jednośc, a jak wadomo, funkcja Cobba-Douglasa szacowana jest przy założenu, że elastyczność substytucj jest równa 1. Odlogarytmowane reszty dla analzowanych spółek przedstawone zostały w tabel 1 oraz na wykrese 1 8. Tabela 1. Reszty wyznaczone na podstawe funkcj Cobba-Douglasa dla spółek przemysłu elektromaszynowego notowanych na GPW w Warszawe w 004 r. Spółk Reszty Spółk Reszty Kopex 1,93 Relpol 0,587 Amca Wronk 1,09 Makrum 0,578 Lena Lghtng 1,06 Rafako 0,565 Moj 0,986 Apator 0,564 Remak 0,971 Ponar Wadowce 0,476 ZPUE 0,841 Zelmer 0,435 Sonel 0,736 Rafamet 0,385 Zremb Chojnce 0,638 Polna 0,368 ZEG 0,608 Hydrotor 0,335 Źródło: oblczena własne na podstawe danych z serwsu Notora. 8 Są to reszty nakładające sę multplkatywne, co pokazuje wzór (10).

9 MARIUSZ DOSZYŃ ZASTOSOWANIE FUNKCJI O STAŁEJ ELASTYCZNOŚCI SUBSTYTUCJI Wykres 1. Reszty wyznaczone na podstawe funkcj Cobba-Douglasa dla spółek przemysłu elektromaszynowego notowanych na GPW w Warszawe w 004 r. 1,400 1,00 1,000 Reszty 0,800 0,600 0,400 0,00 0,000 Kopex Amca Lena Moj Remak ZPUE Sonel Zremb ZEG Relpol Makrum Rafako Apator Ponar Zelmer Rafamet Polna Hydrotor Spó k Źródło: opracowane własne na podstawe tabel 1. Zgodne z postawoną hpotezą bardzej konkurencyjne są te spółk, które osągają wększe przychody (dla danych aktywów trwałych danej lczby zatrudnonych). W rankngu konkurencyjnośc na najkorzystnejszych pozycjach uplasowały sę trzy spółk: Kopex, Amca Wronk oraz Lena Lghtng. W przypadku tych spółek reszty były wększe od jednośc. Spółka Kopex osągała przychody wększe o 9,3% od wynkających z oszacowanego modelu, Amca Wronk o 0,9%, natomast Lena Lghtng o,6%. Pozostałe spółk osągały przychody mnejsze od spodzewanych (wynkających z modelu). Najmnej konkurencyjne spółk to Hydrotor, Polna oraz Rafamet. W spółkach tych przychody netto były mnejsze od oczekwanych odpowedno o 66,5%, 63,% oraz 61,5%. Podsumowane Reasumując, można przyjąć, że bardzej konkurencyjne spółk to te, które osągają lepsze rezultaty w dentycznych okolcznoścach (przy takch samych nakładach majątkowych takm samym zatrudnenu). W zwązku z tym do badana konkurencyjnośc spółek można stosować resztę odpowedno zbudowanych model ekonometrycznych.

10 31 UWARUNKOWANIA KONKURENCYJNOŚCI PRZEDSIĘBIORSTW I GOSPODARKI W XXI WIEKU W artykule porównane zostały dwa rodzaje model: funkcja o stałej elastycznośc substytucj (CES) oraz funkcja Cobba-Douglasa. Stosowane każdego z tych model wąże sę z szeregem zalet wad. Funkcja CES jest uogólnenem funkcj Cobba-Douglasa, a węc bez wątpena odnos sę do szerszej klasy przypadków. Z kole funkcja Cobba-Douglasa ma bardzej prostą uzasadnoną teoretyczne nterpretację. To, który model pownen być stosowany, należy rozstrzygać metodam statystyczno-ekonometrycznym. Taka też procedura została przyjęta w nnejszym zadanu. Funkcja CES oraz funkcja Cobba-Douglasa w zblżonym stopnu opsywały kształtowane sę przychodów netto w analzowanych spółkach. W zwązku z tym, że w przypadku funkcj CES oceny parametrów ne były (poza wyrazem wolnym) stotne statystyczne do oceny konkurencyjnośc na podstawe reszt zastosowano funkcję Cobba-Douglasa. W ostatnm etape spółk zostały uporządkowane według stopna konkurencyjnośc. Trzy najbardzej konkurencyjne w analzowanym sektorze w 004 r. spółk to: Kopex, Amca Wronk oraz Lena Lghtng. Lteratura Czerwńsk Z., Matematyka na usługach ekonom, Wydawnctwo Unwersytetu Ekonomcznego w Poznanu, Poznań 011. Ekonometra, red. J. Hozer, Katedra Ekonometr Statystyk Wydzału Nauk Ekonomcznych Zarządzana Unwersytetu Szczecńskego, Szczecn Goryl A., Jędrzejczyk Z., Kukuła K., Osewalsk J., Walkosz A., Wprowadzene do ekonometr w przykładach zadanach, PWN, Warszawa Greene W., Econometrc analyss, Ffth Edton, Prentce Hall 003. Hozer J., Mkroekonometra. Analzy dagnozy, prognozy, PWE, Warszawa Maddala G.S., Ekonometra, PWN, Warszawa 006. Thel H., Zasady ekonometr, PWN, Warszawa 1979.

11 MARIUSZ DOSZYŃ ZASTOSOWANIE FUNKCJI O STAŁEJ ELASTYCZNOŚCI SUBSTYTUCJI APPLICATION OF CONSTANT ELASTICITY OF SUBSTITUTION AND COBB-DOUGLAS FUNCTIONS IN ANALYZING COMPETITIVENESS OF COMPANIES REGISTERED ON WARSAW STOCK MARKET Summary In the artcle two types of econometrc models n context of analyss of compettveness of stock companes were dscussed. Constant Elastcty of Substtuton and Cobb-Douglas functons were presented and dfferences between them were also emphaszed. Two types of functons were estmated and compared. Compettveness was evaluated on the bass of resduals of Cobb-Douglas functon for chosen stock companes n 004. Translated by Marusz Doszyń Keywords: CES producton functon, Cobb-Douglas producton functon, margnal rate of techncal substtuton, elastcty of substtuton, econometrc analyss of mpact of subjectve factors, compettveness

12