{1} È RootOf(X X X X1 + 5, X1) {[1, 2]} È RootOf(X X X X2 + 5, X2) (x x x x + 5) (x - 1)2
|
|
- Sylwia Dobrowolska
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 # KL 2viii, 1718,2vii2008 mathpad 2008, UMK, Toruń Przkład rozwiązwania zadań z użciem MuPADa Krzsztof Leśniak Zadanie 1. Rozwiązać nierówność x x + 5 > 0. (Źródło: Powszechn Internetow Konkurs dla Uczniów Szkół Średnich Matematka, WMiNI Politechnika Warszawska 2007) Od równania do nierówności i z powrotem Rozważm wielomian ego stopnia (Tu i dalej wielomian traktujem jako funkcje, a nie wrażenia algebraiczne) W := x > x^*x + 5 x x x + 5 Szukam miejsc zerowch W(x)=0 x x + 5 = 0 {1} È RootOf(X X1 + X X1 + 5, X1) solve(w(x)=0, x) solve(w(x)=0, x, Multiple) {[1, 2]} È RootOf(X X2 + X X2 + 5, X2) Kłopotliw jest wielomian 4ego stopnia V wstępując w rozkładzie W factor(w(x)) (x x + x x + 5) (x 1)2 Wkonujem teraz dzielenie wielomianów, ab zająć się mniejszm problemem V := x > divide(w(x),(x1)^2, Exact) x divide(w(x),(x 1)2, Exact) V(x) x x + x x + 5 Zbadajm zatem pierwiastki V czli "RootOf( V(X), X )" (Opcja MaxDegree=4 nakazuje sstemowi wznaczać bezpośrednio pierwiastki wielomianów do 4ego stopnia włącznie) solve(v(x)=0, x, MaxDegree=4) 8>< +( >: pååååååå pååååååå på sååååååååååååååååååååååååååååååååååååååååååååå ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ i)2 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ pååååååå +( pååååååå ( 5 + i i i)2 5 + i 9 1 påå i Wglada na to, że kłopotliw wielomian V w ogóle nie posiada pierwiastków rzeczwistch
2 Wglada na to, że kłopotliw wielomian V w ogóle nie posiada pierwiastków rzeczwistch solve(v(x)=0, x, MaxDegree=4, Real) Æ Widać to też z wkresu V plotfunc2d(v(x), x = 2..2) plotfunc2d(v(x), x = 0..0) 1e+8 9e+7 8e+7 7e+7 e+7 5e+7 4e+7 e+7 2e+7 1e+7 x Mogliśm więc od razu rozwiązać nasze równanie W(x)=0 solve(w(x)=0, x, MaxDegree=, Real) {1} załączając dodatkowo wkres wielomianu W(x) plotfunc2d(w(x), x = 2..2) x
3 Wobec tego spróbujm rozwiązać nierówność W(x)>0 solve(w(x)>0, x, MaxDegree=, Real) ((1, ) È(, 1)) Ç solve( 5 < x x + x x, x, MaxDegree =, Real = TRUE) Jak widać problem wielomianu V powrócił. Oczwiście,,wkazan" wcześniej brak rzeczwistch pierwiastków V w połączeniu z informacją, że V(x)>0 dla jakiegoś x mówi, że rozwiązaniem nierówności W(x)>0 jest istotnie suma przedziałów (inft,1) i (1,inft). Widać to też z wkresu W(x). Tlko co to znacz,,wkazan"? Poprawność wkonanego przez komputer dzielenia wielomianów łatwo sprawdzić (mnożąc wielomian). Cz konkretna liczba jest pierwiastkiem wielomianu też łatwo sprawdzić (obliczając wartość wielomianu). Ale jak zwerfikować dodatniość (a w zasadzie brak pierwiastków) wielomianu V? Przecież,,rsunek to nie rachunek" (przwołując rgorzm K.Weierstrassa). Wnik solvera z opcją poszukiwania rozwiązań rzeczwistch nie może bć w pełni zadowalając, gdż w pewnch stuacjach solver udziela tlko częściowch odpowiedzi, a algortm wg którego działa może bć zbt trudn do prześledzenia dla tpowego użtkownika sstemu. W dalszej części postaram się zaatakować zaistniał problem standardowmi środkami oferowanmi przez sstem tak, ab nasza argumentacja bła nie tlko wiargodna, ale i kompletna. x Rozkład na wielomian nierozkładalne Z zasadniczego twierdzenia algebr wiem, że wielomian V musi się rozkładać na wielomian kwadratowe. (Dotchczas rozkładaliśm wielomian nad,,ładnm" pierścieniem współcznników całkowitch opcja ustawiona domślnie. Pora dopuścić współcznniki rzeczwiste R_) U := factor(v(x), R_) (x x ) ( x + x ) U[1]; U[2] x x
4 x x x + x Obliczam wróżniki uzskanch wielomianów kwadratowch (Funkcję discrim obliczającą wróżnik wdobwam z biblioteki pollib) pollib::discrim(u[1], x); pollib::discrim(u[2], x); W ten sposób widzim, że unormowane wielomian U[1], U[2] są nierozkładalne, a więc są cał czas dodatnie, skąd ich iloczn V = U[1] * U[2] również jest cał czas dodatni, o co zresztą walczliśm. Hmm... Tlko cz te obliczenia bł w pełni smboliczne? Sądząc po wglądzie współcznników zaczęliśm w locie użwać wartości numercznch. I nic w tm dziwnego, jeśli wziąć pod uwagę,,koszmarn" wgląd wrażeń smbolicznch dla pierwiastków wielomianu V. 8>< +( >: pååååååå pååååååå på sååååååååååååååååååååååååååååååååååååååååååååå ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ i)2 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ pååååååå +( pååååååå 5 + i i i)2 5 + i 9 påå ( i Spróbujm wdobć z rozwiązań smbolicznch więcej informacji. PierwV := solve(v(x)=0, x, MaxDegree=4) float(pierwv) { i, i, i, Widać, że pierwiastki grupują się w par pierwiastków sprzężonch V1 := x > (xpierwv[1])*(xpierwv[2]); 1) 2) x (x PierwV (x PierwV +( pååååååå ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ ÅÅÅÅÅ +( i)2 pååååååå 5 + i x + ( pååååååå ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ pååååååå i)2 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ 5 + pååååååå på i + + x i i i) i 0 B@ +( pååååååå 1 0 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ pååååååå x i)2 C A 5 + i B x +( pååååååå pååååååå på sååååååååå ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ i)2 ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ pååå 5 + i i i pååååååå +( pååååååå ( i i)2 ÅÅ +( 5 + i i)2 pååååååå ÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅÅ i)2 5 + i + 4 pååååååå ( pååå i)2 9 expand(v1(x)) collect(v1(x),x) delta1 := pollib::discrim(v1(x), x) delta1 := simplif(delta1, sqrt) pååååååå på på påååååååååå 5 + i i 5 + i +( pååååååå i)2 5 + i ³ ÅÅ ÅÅ i 1 +på på ( 2 5
5 pååååååå på på påååååååååå 5 + i i combine(delta1, sqrt) pååååååå 5 + i Ciężko. Chba nie tęd droga + på 2 på påååååååååå i Spróbujm znaleźć współcznniki rozkładu na pieszo. V1 := x > x^2+a*x+b; V2 := x > x^2+c*x+d x x 2 + a x + b x x 2 + c x + d V1(x)*V2(x) (x 2 + a x + b) (x 2 + c x + d) expand(v1(x)*v2(x)) +( pååååååå i)2 5 + i +( pååååååå i)2 a x + b x 2 + c x + d x 2 + x 4 + b d + a d x + b c x + a c x 2 collect(v1(x)*v2(x),x) c) c) c) x 4 +(a + x +(b + d + a x 2 +(a d + b x + b d x collect(v1(x) x) V2(x), Ve := x > collect(v1(x)*v2(x),x) Ve(x) x 4 +(a + c) x +(b + d + a c) x 2 +(a d + b c) x + b d 5 + i ÅÅ ÅÅ i 1 +på på ( 2 5 ³ 2 ³ 2 Iloczn wielomianów V1*V2 z hipotetcznego rozkładu musi bć zgodn z wielomianem V Ve(x)V(x)=0 b d x 2 2 x 4 x + x (a + c) + x (a d + b c) + x 2 (b + d + a c) 5 = 0 collect(ve(x)v(x),x)=0 2) ) 4) (a + c x +(b + d + a c x 2 +(a d + b c x + b d 5 = 0 0B@ 1CA 8 :0 > < ÅÅ ÅÅ 5ÅÅ 2ÅÅ ÅÅÅ a ÅÅÅ ÅÅ z 5 ÅÅÅ z + z 2 ÅÅÅ ÅÅ + 7 b c Î > ÅÅ z ÅÅ 5 5ÅÅ z + 2ÅÅ z 2 ÅÅÅ z + d z 4 + z z 2 5 Rozw := solve({a+c2=0,b+d+a*c=0,a*d+b*c4=0,b*d5=0},{a,b,c,d}) B@ z4 z 4 25 z z 1 z z ÅÅ ÅÅ i 1 +på på ( CA z Î RootOf(z1 z1 5 + z1 4 z z z1 + 12,,Zamienił strjek siekierkę na kijek" chcieliśm rozłożć wielomian 4ego stopnia, a dostaliśm równanie ego stopnia. Układ zerując współcznniki co prawda,,rozwiązuje się sam", ale wnik jest zbt skomplikowan, ab go użć. Rachunek nieróżniczkow Jak wiadomo do badania przebiegu funkcji można użć rachunku różniczkowego. Spróbujm to ucznić z wielomianem V(x). 5 Sprawdzam znak pierwszej pochodnej V Vp := x >diff(v(x), x); Vp(x); x x ÅÅÅ V(x)
6 ÅÅÅ V(x) x x 4 x + x 2 + x + 4 ½ 14ÅÅ ÅÅÅÅÅÅ påå 15 ÅÅ ÅÅÅÅÅÅ påå ¾ i 1, 4, 1 15 i { 1} ( ) 1, ( 1), solve(vp(x)=0,x); solve(vp(x)=0,x,real); solve(vp(x)>0,x,real); solve(vp(x)<0,x,real); Zatem V(x) osiąga minimum lokalne (i globalne!) w punkcie x=1, które wnosi V(1); co też i zgadza się z wkresem V(x). Wniosek: V(x)>0. Niestet rachunek różniczkow należ do "środków zakazanch" w początkowej nauce algebr. Komentarz [B.K.D.]: Jeśli możem użwać pochodnch, to należało od razu zróżniczkować W i po zadaniu. Nie strzelajm do meszek z armat ;) Użjm ostatecznego argumentu na dodatniość wielomianu: rachunek różnicow. Nie będziem rozważać ilorazów różnicowch wstarcz nam różnica wartości wielomianu. Z wkresu V(x) wiem, że coś się dzieje wokół x=1, a poza tm ramiona V są skierowane w górę. Badam więc przrost wartości prz zmianie argumentu z x = 1 na x= 1+h. DV := h > V(1+h)V(1); DV(h) h V(h 1) V( 1) h 4 2 h + h 2 plotfunc2d(dv(h), h = 1..1) h Jak widać z wkresu różnice wartości DV(h) są dodatnie, czli V(1+h) > V(1)= dla h > 0.
7 Jak widać z wkresu różnice wartości DV(h) są dodatnie, czli V(1+h) > V(1)= dla h > 0. Potwierdźm wnik rachunkiem, rozwiązując nierówność gotową komendą solve(dv(h)>0,h,real) (0, ) È(, 0) i dla porównania poprzez rozkład na cznniki DVr := factor(dv(h)); DVr[1]; DVr[2] h 2 (h 2 2 h + ) h 2 h 2 2 h + DVf := pol(dvr[2],[h]): DVf(h); h (h 2) + pollib::discrim(dvf(h), h) 8 Drugi z cznników jest nierozkładaln (i cał czas dodatni). Zatem rzeczwiście V(x) osiąga wartość najmniejszą w x=1. delete W,V,U,V1,V2,Ve,Vp,DV,DVr,DVf,Rozw: Komentarz [M.M.]: Nie podoba mi się logika pocznionego wwodu. Tak się po prostu nie programuje. Appendix, czli Krótkie rozwiązanie teraz proszę! Do tego wiargodne i kompletne Zróżniczkujm i... Ale zaraz:,,nam różniczkować nie kazano". No to bez różniczkowania. Oznaczam wielomian W := x > x^*x + 5 x x x + 5 Szkicujem wkres plotfunc2d(w(x),x= ); 7 250
8 Znajdujem pierwiastki rzeczwiste wielomianu (wraz z ich krotnościami) solve(w(x), x, Real, MaxDegree=, Multiple) {[1, 2]} Znam dokładną wartość (jednego choć podwójnego) pierwiastka W. Z wkresu spodziewam się, że każda wartość W(1+h) > W(1)=0 ( h >0 ). Sprawdzam to //Przrost na wartościach DW := h > W(1+h)W(1): factor(dw(h)) h 2 (h 4 + h + 15 h h + 15) //Nierówność // DW(h) = W(1+h) W(1) >0 //jest za trudna, //więc rozwiązujem równanie //w dziedzinie rzeczwistej solve(dw(h)=0, h, Real, MaxDegree=4) {0} //Ponieważ wielomian są ciągłe, //na moc własności Darboux sprawdzając np., że is(dw(2)>0); is(dw(1)>0); //możem potwierdzić dodatniość //wszstkich przrostów DW(h), h >0. TRUE TRUE Tm samm W(x) = W(1+h) > 0 dla h<>0, czli x=1+h <> 1. W konsekwencji W(x) > 0 <=> x in (inft,1) u (1,inft). x Niestet przeprowadzone rozumowanie nadal jest długie, a ponadto korzsta z wiedz zewnętrznej wobec sstemu wiedz matematcznej użtkownika (ciągłość wielomianu i własność Darboux). Cz można jeszcze krócej i łatwiej? Popatrzm niżej W := x > x^*x x x x + 5
9 x x x + 5 solve(w(x), 2]} x, Real, MaxDegree=, Multiple) {[1, degree(w(x),x) is(w(8)>0); TRUE Dla wielomianu W(x) stopnia parzstego deg W= z podwójnm pierwiastkiem rzeczwistm x=1 rozwiązanie nierówności W(x)>0 stanowi zbiór (inft,1) u (1,inft). Niestet przeprowadzone rozumowanie nadal korzsta z wiedz zewnętrznej wobec sstemu wiedz matematcznej użtkownika (przebieg zmienności wielomianu w zależności od pierwiastków, opart już tlko o znak ilocznu liczb, a nie ciągłość). Musim się zadowolić nieco karkołomnm acz kompletnm i wiargodnm rozumowaniem wkorzstującm solver do badania przrostów DW. Możem ewentualnie poprawić solver dla nierówności tak b na podstawie rozmieszczenia pierwiastków i wartości funkcji w przedziałach wdzielonch pierwiastkami podawał gdzie funkcja jest dodatnia, a gdzie ujemna. Taki solver dla nierówności jest (dzięki ciągłości) równie wiargodn jak solver równań w dziedzinie rzeczwistej. delete W, DW: Problem: Zaproponować zgrabniejsze rozwiązanie na poziomie szkolnm (tzn. bez użwania liczb zespolonch i pochodnch). Rozwiązanie ma bć kompletne (bez luk), wiargodne (z użciem w pełni sprawnch komend w całm zakresie argumentów, np. solver dla równań wielomianowch jest wiargodn, ale z nierównościami sobie już nie radzi) i nie powinno podpierać się dodatkową wiedzą matematczną użtkownika. Kewords: computer aided proof, reliable computing, smbolic computation, automatic reasoning. 9
Pierwiastki kwadratowe z liczby zespolonej
Pierwiastki kwadratowe z liczb zespolonej Pierwiastkiem kwadratowm z liczb w C nazwam każdą liczbę zespoloną z C, dla której z = w. Zbiór wszstkich pierwiastków oznaczam smbolem w. Innmi słow w = {z C
Bardziej szczegółowoProgramowanie nieliniowe optymalizacja funkcji wielu zmiennych
Ekonomia matematczna II Ekonomia matematczna II Prowadząc ćwiczenia Programowanie nieliniowe optmalizacja unkcji wielu zmiennch Modele programowania liniowego często okazują się niewstarczające w modelowaniu
Bardziej szczegółowoEkstrema funkcji dwóch zmiennych
Wkład z matematki inżnierskiej Ekstrema funkcji dwóch zmiennch JJ, IMiF UTP 18 JJ (JJ, IMiF UTP) EKSTREMA 18 1 / 47 Ekstrema lokalne DEFINICJA. Załóżm, że funkcja f (, ) jest określona w pewnm otoczeniu
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe
Równania różniczkowe I rzędu Andrzej Musielak Równania różniczkowe Równania różniczkowe I rzędu Równanie różniczkowe pierwszego rzędu to równanie w którm pojawia się zmienna x, funkcja tej zmiennej oraz
Bardziej szczegółowo12. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH. z = x + y jest R 2, natomiast jej
1. FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH 1.1. FUNKCJE DWÓCH ZMIENNYCH Funkcją dwóch zmiennch określoną w zbiorze D R nazwam przporządkowanie każdej parze liczb () D dokładnie jednej liczb rzeczwistej z. Piszem prz tm
Bardziej szczegółowoElementy algebry i analizy matematycznej II
Element algebr i analiz matematcznej II Wkład 1. Ekstrema unkcji dwóch zmiennch Deinicja 1 Funkcja dwóch zmiennch, z = (, ), ma w punkcie z = (, ), maksimum lokalne, jeżeli istnieje takie otoczenie punktu
Bardziej szczegółowoROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI
Zastosowania matematki w analitce medcznej zestaw do kol. semestr. - rozwiązania i odpowiedzi (część I). ROZWIĄZANIA I ODPOWIEDZI Zadanie A1. a) Rozważając dwa przpadki ze względu na moduł mam: skąd ostatecznie,3>.
Bardziej szczegółowo25. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU. y +y tgx=sinx
5. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE PIERWSZEGO RZĘDU 5.1. Pojęcia wstępne. Klasfikacja równań i rozwiązań Rozróżniam dwa zasadnicze tp równań różniczkowch: równania różniczkowe zwczajne i równania różniczkowe cząstkowe.
Bardziej szczegółowoWektory. P. F. Góra. rok akademicki
Wektor P. F. Góra rok akademicki 009-0 Wektor zwiazan. Wektorem zwiazanm nazwam parę punktów. Jeżeli parę tę stanowią punkt,, wektor przez nie utworzon oznaczm. Graficznie koniec wektora oznaczam strzałką.
Bardziej szczegółowoRozwiązywanie układu równań metodą przeciwnych współczynników
Rozwiązwanie układu równań metodą przeciwnch współcznników Sposob postępowania krok po kroku: I. przgotowanie równań. pozbwam się ułamków mnoŝąc kaŝd jednomian równania równań przez najmniejszą wspólną
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 3
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 3 Równania różniczkowe liniowe Metoda przewidwań Metoda przewidwań całkowania równania niejednorodnego ' p( x) opiera się na następującm twierdzeniu. Twierdzenie f ( x) Suma
Bardziej szczegółowoKURS FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH
KURS FUNKCJE WIELU ZMIENNYCH Lekcja 1 Pochodne cząstkowe ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tlko jedna jest prawdziwa). Ptanie 1 Funkcja dwóch zmiennch a)
Bardziej szczegółowoZADANIE 1 Poniżej znajduje się fragment wykresu funkcji y = f (x). ZADANIE 2 Na podstawie podanego wykresu funkcji f
IMIE I NAZWISKO ZADANIE Poniżej znajduje się fragment wkresu funkcji = f (). -7 -- - - 6 7 Dorsuj brakujac a część wkresu wiedzac, że dziedzina funkcji f jest przedział,, a wkres jest smetrczn względem
Bardziej szczegółowoInterpolacja. Układ. x exp. = y 1. = y 2. = y n
MES 07 lokaln Interpolacja. Układ Interpolacja, wprowadzenie Interpolacja: po co nam to? Ptania MES polega na wznaczaniu interesującch nas parametrów w skończonej ilości punktów. A co leż pomiędz tmi punktami?
Bardziej szczegółowoLiczby zespolone. Niech C = R 2. Zdefiniujmy dwa działania w C. Dodawanie + : C 2 C zdefiniowane jest przez
Liczb zespolone Ciało liczb zespolonch Niech C = R. Zdefiniujm dwa działania w C. Dodawanie + : C C zdefiniowane jest przez (, ) + (, ) = ( +, + ). Ćwiczenie. Obliczm (, ) + (, 0) =.................................................
Bardziej szczegółowof (x)=mx 2 +(2m 2)x+m+1 ma co najmniej jedno
Zadanie 1 x 2 2mx+4m 3=0 ma dwa różne pierwiastki? Odp: m ( ; 1) (3 ; ) Zadanie 2 mx 2 +(2m 2) x+m+1=0 ma dwa różne pierwiastki? Odp: m ( ;0) (0; 1 3 ) Zadanie 3 ma jeden pierwiastek? Odp: m = -2, m =
Bardziej szczegółowoCałkowanie przez podstawianie i dwa zadania
Całkowanie przez podstawianie i dwa zadania Antoni Kościelski Funkcje dwóch zmiennch i podstawianie Dla funkcji dwóch zmiennch zachodzi następując wzór na całkowanie przez podstawianie: f(x(a, b), (a,
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżynieria Środowiska w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe cząstkowe
Równania różniczkowe cząstkowe Definicja Równaniem różniczkowm cząstkowm nazwam takie równanie różniczkowe w którm wstępuje co najmniej jedna pochodna cząstkowa niewiadomej funkcji dwóch lub więcej zmiennch
Bardziej szczegółowoIII. Wstęp: Elementarne równania i nierówności
III. Wstęp: Elementarne równania i nierówności Fryderyk Falniowski, Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie ryderyk Falniowski, Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet III. Wstęp: Ekonomiczny
Bardziej szczegółowoDefinicja wartości bezwzględnej. x < x y. x =
1.9. WARTOŚĆ BEZWZGLĘDNA Definicja wartości bezwzględnej... gd... 0 =... gd... < 0 Własności wartości bezwzględnej 0 = = = n a n = a, gd n jest liczbą parzstą Przkład 1.9.1. Oblicz: a) b) c) 1 d) 0 e)
Bardziej szczegółowoRównania różniczkowe cząstkowe
Równania różniczkowe cząstkowe Definicja: Równaniem różniczkowm cząstkowm nazwam takie równanie różniczkowe w którm wstępuje co najmniej jedna pochodna cząstkowa niewiadomej funkcji dwóch lub więcej zmiennch
Bardziej szczegółowoWykład 10. Funkcje wielu zmiennych
Wkład 1. Funkcje wielu zmiennch dr Mariusz Grządziel 6 maja 1 (ostatnie poprawki: 1 maja 1) Funkcje wielu zmiennch Przestrzeń dwuwmiarowa, oznaczana w literaturze matematcznej smbolem R, może bć utożsamiona
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Jerzy Rutkowski. Działania dodawania i mnożenia funkcji wymiernych określa się wzorami: g h + k l g h k.
Funkcje wymierne Jerzy Rutkowski Teoria Przypomnijmy, że przez R[x] oznaczamy zbiór wszystkich wielomianów zmiennej x i o współczynnikach rzeczywistych Definicja Funkcją wymierną jednej zmiennej nazywamy
Bardziej szczegółowoRozwiązania prac domowych - Kurs Pochodnej. x 2 4. (x 2 4) 2. + kπ, gdzie k Z
1 Wideo 5 1.1 Zadanie 1 1.1.1 a) f(x) = x + x f (x) = x + f (x) = 0 x + = 0 x = 1 [SZKIC] zatem w x = 1 występuje minimum 1.1. b) f(x) = x x 4 f (x) = x(x 4) x (x) (x 4) f (x) = 0 x(x 4) x (x) (x 4) =
Bardziej szczegółowoRÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 5
RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE WYKŁAD 5 Równania różniczkowe rzędu drugiego Równania rzędu drugiego sprowadzalne do równań rzędu pierwszego Równanie różniczkowe rzędu drugiego postaci F ( x, ', ") 0 ( nie wstępuje
Bardziej szczegółowoDane są wielomiany, i. Znajdź wielomian. Iloczyn dwóch wielomianów jest wielomianem, suma dwóch wielomianów jest wielomianem.
Zadanie 1 Dane są wielomiany, i Znajdź wielomian To łatwe Iloczyn dwóch wielomianów jest wielomianem, suma dwóch wielomianów jest wielomianem Zadanie 2 Podziel (z resztą) wielomian przez wielomian Przykro
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiał ddaktczne na zajęcia wrównawcze z matematki dla studentów pierwszeo roku kierunku zamawianeo Biotecnoloia w ramac projektu Era inżniera pewna lokata na przszłość Projekt Era inżniera pewna lokata
Bardziej szczegółowoPRÓBNA MATURA. ZADANIE 1 (1 PKT) Wskaż liczbę, której 4% jest równe 8. A) 200 B) 100 C) 3,2 D) 32
PRÓBNA MATURA ZADANIE ( PKT) Wskaż liczbę, której % jest równe 8. A) B) C), D) ZADANIE ( PKT) Odległość liczb od liczb -8 na osi liczbowej jest równa A) 8 B) + 8 C) + 8 D) 8 ZADANIE ( PKT) Wskaż rsunek,
Bardziej szczegółowoMacierze normalne. D : Dowolną macierz kwadratową można zapisać w postaci A = B + ic gdzie ( ) B = A + A B = A + A = ( A + A)
Macierze normalne Twierdzenie: Macierz można zdiagonalizować za pomocą unitarnej transformacji podobieństwa wted i tlko wted gd jest normalna (AA A A). ( ) D : Dowolną macierz kwadratową można zapisać
Bardziej szczegółowoFUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE. Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str
FUNKCJE I RÓWNANIA KWADRATOWE Lekcja 78. Pojęcie i wykres funkcji kwadratowej str. 178-180. Funkcja kwadratowa to taka, której wykresem jest parabola. Definicja Funkcją kwadratową nazywamy funkcje postaci
Bardziej szczegółowoPróbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum. w roku szkolnym 2012/2013
Próbny egzamin z matematyki dla uczniów klas II LO i III Technikum w roku szkolnym 2012/2013 I. Zakres materiału do próbnego egzaminu maturalnego z matematyki: 1) liczby rzeczywiste 2) wyrażenia algebraiczne
Bardziej szczegółowoWarsztat pracy matematyka
Warsztat prac matematka Izabela Bondecka-Krzkowska Marcin Borkowski Jęzk matematki Teoria Jednm z podstawowch pojęc matematki jest pojęcie zbioru. Teorię opisującą zbior nazwa sie teorią mnogości. Definicja
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera
Bardziej szczegółowoStan naprężenia. Przykład 1: Tarcza (płaski stan naprężenia) Określić siły masowe oraz obciążenie brzegu tarczy jeśli stan naprężenia wynosi:
Stan naprężenia Przkład 1: Tarcza (płaski stan naprężenia) Określić sił masowe oraz obciążenie brzegu tarcz jeśli stan naprężenia wnosi: 5 T σ. 8 Składowe sił masowch obliczam wkonując różniczkowanie zapisane
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiał ddaktczne na zajęcia wrównawcze z matematki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżnieria Środowiska w ramach projektu Era inżniera pewna lokata na przszłość Projekt Era inżniera
Bardziej szczegółowo3a. Wstęp: Elementarne równania i nierówności
3a. Wstęp: Elementarne równania i nierówności Grzegorz Kosiorowski Uniwersytet Ekonomiczny w Krakowie zima 2017/2018 Grzegorz Kosiorowski (Uniwersytet Ekonomiczny 3a. Wstęp: w Krakowie) Elementarne równania
Bardziej szczegółowof x f y f, jest 4, mianowicie f = f xx f xy f yx
Zestaw 14 Pochodne wŝszch rzędów Niech będzie dana funkcja x f określona w pewnm obszarze D Przpuśćm Ŝe f x istnieją pochodne cząstkowe tej funkcji x x Pochodne cząstkowe tch pochodnch jeŝeli istnieją
Bardziej szczegółowoWIELOMIANY. Poziom podstawowy
WIELOMIANY Poziom podstawowy Zadanie (5 pkt) Liczba 7 jest miejscem zerowym W(x) Wyznacz resztę z dzielenia tego wielomianu przez wielomian P ( x) = x + 54, jeśli wiadomo, że w wyniku dzielenia wielomianu
Bardziej szczegółowoBADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI
Wkład z matematki inżnierskiej BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI IMiF UTP 06 przed wkonaniem wkresu... BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI Wkonujem wkres funkcji wznaczaja c wcześniej: 1 dziedzinȩ
Bardziej szczegółowoProjekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Materiał ddaktczne na zajęcia wrównawcze z matematki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Inżnieria i Gospodarka Wodna w ramach projektu Era inżniera pewna lokata na przszłość Projekt Era
Bardziej szczegółowoO KREŚLENIU WYKRESÓW FUNKCJI WYMIERNYCH Z UŻYCIEM PROGRAMU MATLAB
D I D A C T I C S O F M A T H E M A T I C S No. 5-6(9-10) 009 (Wrocław) O KREŚLENIU WYKRESÓW FUNKCJI WYMIERNYCH Z UŻYCIEM PROGRAMU MATLAB Abstract. The programme Matlab is a magnificent instrument with
Bardziej szczegółowoTematyka do egzaminu ustnego z matematyki. 3 semestr LO dla dorosłych
Tematyka do egzaminu ustnego z matematyki 3 semestr LO dla dorosłych I. Sumy algebraiczne 1. Dodawanie i odejmowanie sum algebraicznych 2. Mnożenie sum algebraicznych 3. Wzory skróconego mnożenia - zastosowanie
Bardziej szczegółowoSKRYPT Z MATEMATYKI. Wstęp do matematyki. Rafał Filipów Piotr Szuca
Publikacja współfinansowana przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego SKRYPT Z MATEMATYKI Wstęp do matematki Rafał Filipów Piotr Szuca Publikacja współfinansowana przez Unię Europejską
Bardziej szczegółowoOtrzymaliśmy w ten sposób ograniczenie na wartości parametru m.
Dla jakich wartości parametru m dziedziną funkcji f ( x) = x + mx + m 1 jest zbiór liczb rzeczywistych? We wzorze funkcji f(x) pojawia się funkcja kwadratowa, jednak znajduje się ona pod pierwiastkiem.
Bardziej szczegółowoZnaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie:
Ciągi rekurencyjne Zadanie 1 Znaleźć wzór ogólny i zbadać istnienie granicy ciągu określonego rekurencyjnie: w dwóch przypadkach: dla i, oraz dla i. Wskazówka Należy poszukiwać rozwiązania w postaci, gdzie
Bardziej szczegółowo3.3. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH. Równanie liniowe z dwiema niewiadomymi. Równaniem liniowym z dwiema niewiadomymi x i y nazywamy równanie postaci
.. UKŁADY RÓWNAŃ LINIOWYCH Równanie liniowe z dwiema niewiadommi Równaniem liniowm z dwiema niewiadommi i nazwam równanie postaci A B C 0, gdzie A, B, C R i A B 0 m równania z dwiema niewiadommi nazwam
Bardziej szczegółowo1 Pochodne wyższych rzędów
Pochodne wyższych rzędów Pochodną rzędu drugiego lub drugą pochodną funkcji y = f(x) nazywamy pochodną pierwszej pochodnej tej funkcji. Analogicznie definiujemy pochodne wyższych rzędów, jako pochodne
Bardziej szczegółowoWięcej arkuszy znajdziesz na stronie: arkusze.pl
KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM Matematka Poziom rozszerzon Listopad W niniejszm schemacie oceniania zadań otwartch są prezentowane przkładowe poprawne odpowiedzi. W tego tpu ch
Bardziej szczegółowoVIII. ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ MATURALNYCH
VIII. ZBIÓR PRZYKŁADOWYCH ZADAŃ MATURALNYCH ZADANIA ZAMKNIĘTE Zadanie. ( pkt) 0 90 Liczba 9 jest równa 0 B. 00 C. 0 9 D. 700 7 Zadanie. 8 ( pkt) Liczba 9 jest równa B. 9 C. D. 5 Zadanie. ( pkt) Liczba
Bardziej szczegółowoPochodna funkcji wykład 5
Pochodna funkcji wkład 5 dr Mariusz Grządziel 8 listopada 2010 Funkcja logistczna 40 Rozważm funkcję logistczną = f 0 (t) = 1+5e 0,5t Funkcja f może bć wkorzstana np. do modelowania wzrostu mas ziaren
Bardziej szczegółowoWIELOMIANY I FUNKCJE WYMIERNE
WIELOMIANY I FUNKCJE WYMIERNE. RozwiąŜ nierówność.. Dla jakiej wartości parametru a R wielomian W() = ++ a dzieli się bez reszty przez +?. Rozwiązać nierówność: a) 5 b) + 4. Wyznaczyć wartości parametru
Bardziej szczegółowoPRÓBNA NOWA MATURA z WSiP. Matematyka dla klasy 2 Poziom podstawowy. Zasady oceniania zadań
PRÓBNA NOWA MATURA z WSiP Matematyka dla klasy Poziom podstawowy Zasady oceniania zadań Copyright by Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne sp. z o.o., Warszawa 0 Matematyka dla klasy Poziom podstawowy Kartoteka
Bardziej szczegółowoMetody Eulera i Eulera-Cauchy'ego rozwiązywania równań różniczkowych zwyczajnych. y 3 := x 2 (1) ( ) Rozwiązanie dokładne równania (1) (2)
euler-przkl_.xmcd Metod Eulera i Eulera-Cauch'ego rozwiązwania równań różniczkowch zwczajnch ' ( x, ) : x () + Rozwiązanie dokładne równania () ( x, C) : + C exp( atan( x) ) () Sprawdzenie: d dx ( x, C)
Bardziej szczegółowoTwierdzenia Rolle'a i Lagrange'a
Twierdzenia Rolle'a i Lagrange'a Zadanie 1 Wykazać, że dla dowolnych zachodzi. W przypadku nierówność (a właściwie równość) w treści zadania spełniona jest w sposób oczywisty, więc tego przypadku nie musimy
Bardziej szczegółowoUkłady równań i równania wyższych rzędów
Rozdział Układy równań i równania wyższych rzędów Układy równań różniczkowych zwyczajnych Wprowadzenie W poprzednich paragrafach zajmowaliśmy się równaniami różniczkowymi y = f(x, y), których rozwiązaniem
Bardziej szczegółowoPojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze
Pojęcia, wymagania i przykładowe zadania na egzamin poprawkowy dla klas II w roku szkolnym 2016/2017 w Zespole Szkół Ekonomicznych w Zielonej Górze I. Funkcja i jej własności POZIOM PODSTAWOWY Pojęcie
Bardziej szczegółowo12.Rozwiązywanie równań i nierówności liniowych oraz ich układów.
matematyka /.Rozwiązywanie równań i nierówności liniowych oraz ich układów. I. Przypomnij sobie:. Co to jest równanie /nierówność? Rodzaje nierówności. Ogólnie: Równaniem nazywamy dwa wyrażenia algebraiczne
Bardziej szczegółowoWartości i wektory własne
Rozdział 7 Wartości i wektor własne Niech X będzie skończenie wmiarową przestrzenią liniową nad ciałem F = R lub F = C. Niech f : X X będzie endomorfizmem, tj. odwzorowaniem liniowm przekształającm przestrzeń
Bardziej szczegółowoRuch po równi pochyłej
Sławomir Jemielit Ruch po równi pochłej Z równi pochłej o kącie nachlenia do poziomu α zsuwa się ciało o masie m. Jakie jest przspieszenie ciała, jeśli współcznnik tarcia ciała o równię wnosi f? W jakich
Bardziej szczegółowoZadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, , tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Rozwiązanie:
Zadanie 3 Oblicz jeżeli wiadomo, że liczby 8 2,, 1, 6 11 6 11, tworzą ciąg arytmetyczny. Wyznacz różnicę ciągu. Uprośćmy najpierw liczby dane w treści zadania: 8 2, 2 2 2 2 2 2 6 11 6 11 6 11 26 11 6 11
Bardziej szczegółowoEgzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności
Egzamin ustny z matematyki semestr II Zakres wymaganych wiadomości i umiejętności I. Pojęcie funkcji definicja różne sposoby opisu funkcji określenie dziedziny, zbioru wartości, miejsc zerowych. Należy
Bardziej szczegółowo9. BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI
BADANIE PRZEBIEGU ZMIENNOŚCI FUNKCJI Ekstrema i monotoniczność funkcji Oznaczmy przez D f dziedzinę funkcji f Mówimy, że funkcja f ma w punkcie 0 D f maksimum lokalne (minimum lokalne), gdy dla każdego
Bardziej szczegółowoFunkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne.
Funkcje wymierne. Funkcja homograficzna. Równania i nierówności wymierne. Funkcja homograficzna. Definicja. Funkcja homograficzna jest to funkcja określona wzorem f() = a + b c + d, () gdzie współczynniki
Bardziej szczegółowoWykorzystanie programów komputerowych do obliczeń matematycznych, cz. 2/2
Temat wykładu: Wykorzystanie programów komputerowych do obliczeń matematycznych, cz. 2/2 Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga kursywa komentarz * materiał nadobowiązkowy 1 Przykłady: Programy
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax, a R \ {0}.
Bardziej szczegółowoKLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI
Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie. a) Wiadomości i rozumienie Matematyka poziom rozszerzony Wykorzystanie pojęcia wartości argumentu i wartości
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 6 KWIETNIA 0 CZAS PRACY: 70 MINUT Zadania zamknięte ZADANIE ( PKT.) Liczbę 5 7 zaokr aglam do liczb,6.
Bardziej szczegółowoFINAŁ 10 marca 2007 r. KLASA PIERWSZA - POZIOM PODSTAWOWY Czas pisania 90 minut. x +
FINAŁ 0 marca 007 r. KLASA PIERWSZA - POZIOM PODSTAWOWY Czas pisania 90 minut ZADANIE Największ wspóln dzielnik dwóch liczb naturalnch wnosi 6, a ich najmniejsza wspólna wielokrotność tch liczb równa jest
Bardziej szczegółowoRachunek różniczkowy funkcji jednej zmiennej
Rachunek różniczkow funkcji jednej zmiennej wkład z MATEMATYKI Budownictwo, studia niestacjonarne sem. I, rok ak. 2008/2009 Katedra Matematki Wdział Informatki Politechnika Białostocka 1 Iloraz różnicow
Bardziej szczegółowoMetody rozwiązywania równań nieliniowych
Metody rozwiązywania równań nieliniowych Rozwiązywanie równań nieliniowych Ogólnie równanie o jednej niewiadomej x można przedstawić w postaci f ( x)=0, x R, (1) gdzie f jest wystarczająco regularną funkcją.
Bardziej szczegółowoUzasadnienie tezy. AB + CD = BC + AD 2
LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ MARZEC 06 ODPOWIEDZI I PROPOZYCJA OCENIANIA ZAMKNIĘTE ODPOWIEDZI Nr zadania 5 Odpowiedź C D C B B ZADANIE Z KODOWANĄ ODPOWIEDZIĄ Zadanie 6 cyfra dziesiątek jedności OTWARTE
Bardziej szczegółowo1. Znajdowanie miejsca zerowego funkcji metodą bisekcji.
1. Znajdowanie miejsca zerowego funkcji metodą bisekcji. Matematyczna funkcja f ma być określona w programie w oddzielnej funkcji języka C (tak, aby moŝna było łatwo ją zmieniać). Przykładowa funkcja to:
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 9 MARCA 019 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Cena nart po obniżce o
Bardziej szczegółowoKRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM. Matematyka Poziom rozszerzony
KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Próbna Matura z OPERONEM Matematka Poziom rozszerzon Listopad W niniejszm schemacie oceniania zadań otwartch są prezentowane przkładowe poprawne odpowiedzi. W tego tpu ch
Bardziej szczegółowoROZKŁAD MATERIAŁU DLA KLASY I LICEUM I TECHNIKUM (ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ
ROZKŁAD MATERIAŁU DLA KLASY I LICEUM I TECHNIKUM (ZAKRES PODSTAWOWY I ROZSZERZONY) A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ ZBIORY TEMAT LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ Z
Bardziej szczegółowo3.2. Podstawowe własności funkcji. Funkcje cyklometryczne, hiperboliczne. Definicję funkcji f o dziedzinie X i przeciwdziedzinie Y mamy w 3A5.
WYKŁAD 7 3 Podstawowe własności unkcji Funkcje cklometrczne, hiperboliczne Deinicję unkcji o dziedzinie X i przeciwdziedzinie Y mam w 3A5 3A37 (Uwaga: dziedzina naturalna) Często się zdarza, że unkcja
Bardziej szczegółowoZajęcia nr 1 (1h) Dwumian Newtona. Indukcja. Zajęcia nr 2 i 3 (4h) Trygonometria
Technologia Chemiczna 008/09 Zajęcia wyrównawcze. Pokazać, że: ( )( ) n k k l = ( n l )( n l k l Zajęcia nr (h) Dwumian Newtona. Indukcja. ). Rozwiązać ( ) ( równanie: ) n n a) = 0 b) 3 ( ) n 3. Znaleźć
Bardziej szczegółowo1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia
1. Wielomiany Podstawowe definicje i twierdzenia Definicja wielomianu. Wielomianem stopnia n zmiennej rzeczywistej x nazywamy funkcję w określoną wzorem w(x) = a n x n + a n 1 x n 1 + + a 1 x + a 0, przy
Bardziej szczegółowoEGZAMIN GIMNAZJALNY W ROKU SZKOLNYM 2011/2012
Centralna Komisja Egzaminacjna EGZAMIN GIMNAZJALNY W ROKU SZKOLNYM 2011/2012 CZĘŚĆ MATEMATYCZNO-PRZYRODNICZA MATEMATYKA ODPOWIEDZI I PROPOZYCJE OCENIANIA PRZYKŁADOWEGO ZESTAWU ZADAŃ PAŹDZIERNIK 2011 Zadania
Bardziej szczegółowo6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.).
6. Liczby wymierne i niewymierne. Niewymierność pierwiastków i logarytmów (c.d.). 0 grudnia 008 r. 88. Obliczyć podając wynik w postaci ułamka zwykłego a) 0,(4)+ 3 3,374(9) b) (0,(9)+1,(09)) 1,() c) (0,(037))
Bardziej szczegółowoMetody matematyczne w technologii materiałów Krzysztof Szyszkiewicz
Kinetka formalna jest działem kinetki chemicznej zajmującm się opisem przebiegu reakcji chemicznch za pomocą równao różniczkowch. W przpadku reakcji homogenicznch (w objętości), g skład jest jednorodn
Bardziej szczegółowoDydaktyka matematyki III-IV etap edukacyjny (wykłady)
Dydaktyka matematyki III-IV etap edukacyjny (wykłady) Wykład nr 2: Szukanie zer funkcji. Operacje umysłowe w uczeniu się matematyki Semestr zimowy 2018/2019 PPM szkoła średnia zakres podstawowy. Uczeń:
Bardziej szczegółowoMatematyka. Poziom rozszerzony Próbna Matura z OPERONEM
KRYTERIA OCENIANIA ODPOWIEDZI Matematyka Poziom rozszerzony Listopad 8 Zadania zamknięte Za każdą poprawną odpowiedź zdający otrzymuje punkt. Poprawna odpowiedź. B Wskazówki do rozwiązania q =, więc q
Bardziej szczegółowoI) Reszta z dzielenia
Michał Kremzer tekst zawiera 9 stron na moim komputerze Tajemnice liczb I) Reszta z dzielenia 1) Liczby naturalne dodatnie a, b, c dają tę samą resztę przy dzieleniu przez 3. Czy liczba A) a + b + c B)
Bardziej szczegółowoWstęp do analizy matematycznej
Wstęp do analizy matematycznej Andrzej Marciniak Zajęcia finansowane z projektu "Rozwój i doskonalenie kształcenia na Politechnice Poznańskiej w zakresie technologii informatycznych i ich zastosowań w
Bardziej szczegółowoLekcja 2. Pojęcie równania kwadratowego. Str Teoria 1. Równaniem wielomianowym nazywamy równanie postaci: n
Lekcja 1. Lekcja organizacyjna kontrakt. Podręcznik: A. Ceve, M. Krawczyk, M. Kruk, A. Magryś-Walczak, H. Nahorska Matematyka w zasadniczej szkole zawodowej. Wydawnictwo Podkowa. Zakres materiału: Równania
Bardziej szczegółowoTydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja), Równania różniczkowe, wartości własne, funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L
Tydzień nr 9-10 (16 maja - 29 maja) Równania różniczkowe wartości własne funkcja wykładnicza od operatora - Matematyka II 2010/2011L Wszelkie pytania oraz uwagi o błędach proszę kierować na przemek.majewski@gmail.com
Bardziej szczegółowoFUNKCJA KWADRATOWA. 1. Definicje i przydatne wzory. lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax 2 + bx + c
FUNKCJA KWADRATOWA 1. Definicje i przydatne wzory DEFINICJA 1. Funkcja kwadratowa lub trójmianem kwadratowym nazywamy funkcję postaci: f(x) = ax + bx + c taką, że a, b, c R oraz a 0. Powyższe wyrażenie
Bardziej szczegółowoProjekt Informatyka przepustką do kariery współfinansowany ze środków Unii Europejskiej w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego
Zajęcia 1 Pewne funkcje - funkcja liniowa dla gdzie -funkcja kwadratowa dla gdzie postać kanoniczna postać iloczynowa gdzie równanie kwadratowe pierwiastki równania kwadratowego: dla dla wzory Viete a
Bardziej szczegółowoPrzedziały ufności i testy parametrów. Przedziały ufności dla średniej odpowiedzi. Interwały prognoz (dla przyszłych obserwacji)
Wkład 1: Prosta regresja liniowa Statstczn model regresji liniowej Dane dla prostej regresji liniowej Przedział ufności i test parametrów Przedział ufności dla średniej odpowiedzi Interwał prognoz (dla
Bardziej szczegółowoPRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY W ROKU SZKOLNYM 018-019 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY ZASADY OCENIANIA ZADAŃ KIELCE MARZEC 019 Str. KLUCZ ODPOWIEDZI DO ZADAŃ ZAMKNIĘTYCH Nr zadania 1 3 4 Liczba punktów D B A
Bardziej szczegółowo1. Równania i nierówności liniowe
Równania i nierówności liniowe Wykonać działanie: Rozwiązać równanie: ( +x + ) x a) 5x 5x+ 5 = 50 x 0 b) 6(x + x + ) = (x + ) (x ) c) x 0x (0 x) 56 = 6x 5 5 ( x) Rozwiązać równanie: a) x + x = 4 b) x x
Bardziej szczegółowoDział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI
MATEMATYKA ZAKRES PODSTAWOWY Rok szkolny 01/013 Klasa: II Nauczyciel: Mirosław Kołomyjski Dział I FUNKCJE I ICH WŁASNOŚCI Lp. Zagadnienie Osiągnięcia ucznia. 1. Podstawowe własności funkcji.. Podaje określenie
Bardziej szczegółowo2. LICZBY RZECZYWISTE Własności liczb całkowitych Liczby rzeczywiste Procenty... 24
SPIS TREŚCI WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE RÓWNANIA I NIERÓWNOŚCI ALGEBRAICZNE 7 Wyrażenia algebraiczne 0 Równania i nierówności algebraiczne LICZBY RZECZYWISTE 4 Własności liczb całkowitych 8 Liczby rzeczywiste
Bardziej szczegółowoRozkład materiału a wymagania podstawy programowej dla I klasy czteroletniego liceum i pięcioletniego technikum. Zakres rozszerzony
Rozkład materiału a wymagania podstawy programowej dla I klasy czteroletniego liceum i pięcioletniego technikum. Zakres rozszerzony ZBIORY TEMAT LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY
Bardziej szczegółowoKLASA II LO Poziom rozszerzony (wrzesień styczeń)
KLASA II LO Poziom rozszerzony (wrzesień styczeń) Treści nauczania wymagania szczegółowe: ZAKRES PODSTAWOWY: 1) na podstawie wykresu funkcji y = f(x) szkicuje wykresy funkcji y = f(x), y = c f(x), y =
Bardziej szczegółowo5. Logarytmy: definicja oraz podstawowe własności algebraiczne.
5. Logarytmy: definicja oraz podstawowe własności algebraiczne. 78. Uprościć wyrażenia a) 4 2+log 27 b) log 3 2 log 59 c) log 6 2+log 36 9 a) 4 2+log 27 = (2 2 ) log 27 4 = 28 2 = 784 29 listopada 2008
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,
Funkcja kwadratowa. Funkcją kwadratową nazywamy funkcję f : R R określoną wzorem gdzie a, b, c R, a 0. f(x) = ax 2 + bx + c, Szczególnym przypadkiem funkcji kwadratowej jest funkcja f(x) = ax 2, a R \
Bardziej szczegółowo