1. Znajdowanie miejsca zerowego funkcji metodą bisekcji.

Transkrypt

1 1. Znajdowanie miejsca zerowego funkcji metodą bisekcji. Matematyczna funkcja f ma być określona w programie w oddzielnej funkcji języka C (tak, aby moŝna było łatwo ją zmieniać). Przykładowa funkcja to: f() = 2 * sin( ln ). Uwaga! Dla =0 funkcja jest nieokreślona. ( * * f ) = 0, to szukane miejsce zerowe. f C[ a, b] - funkcja f() jest ciągła na przedziale [a,b], ( a) * f ( b) < 0 f - Na krańcach przedziału wartości funkcji mają róŝne znaki (funkcja jest monotoniczna) a+ b Kolejne przybliŝenia: = 2 f ( ) = 0 > STOP f ( ) f ( a) < 0 > b = f ( ) f ( a) > 0 > a = Warunek stopu: * ( k 1) b a ξ k 2 ξ, gdzie ξ - to określona dokładność obliczeń b a k log 2 ( ) ξ

2 2. Znajdowanie miejsca zerowego funkcji metodą stycznych (Newtona). Matematyczna funkcja f (ciągła i róŝniczkowalna) oraz jej pochodna ma być określona w programie w oddzielnej funkcji języka C (tak, aby moŝna było łatwo ją zmieniać). Przykładowa funkcja to: f() = 2 * sin( ln ). Uwaga! Dla =0 funkcja jest nieokreślona. f ( * ) = 0, Warunek stopu: * to szukane miejsce zerowe. ( k 1) (0) - przybliŝenie początkowe ( k + 1) f ( ) = f ( ) ξ, gdzie ξ - to określona dokładność obliczeń f ( ) = tg( α), gdzie α - nachylenie stycznej do wykresu funkcji w punkcie (k )

3 3. Znajdowanie miejsca zerowego funkcji metodą regula-falsi. Matematyczna funkcja f ma być określona w programie w oddzielnej funkcji języka C (tak, aby moŝna było łatwo ją zmieniać). Przykładowa funkcja to: f() = 2 * sin( ln ). Uwaga! Dla =0 funkcja jest nieokreślona. ( * * f ) = 0, to szukane miejsce zerowe. f C[ a, b] - funkcja f() jest ciągła na przedziale [a,b], ( a) * f ( b) < 0 f - Na krańcach przedziału wartości funkcji mają róŝne znaki (funkcja jest monotoniczna) Kolejne przybliŝenia: f ( ) = 0 > ( ) k STOP f ( ) f ( a) < 0 > b = f ( ) f ( a) > 0 > a = af ( b) bf ( a) = f ( b) f ( a) Warunek stopu: ( k 1) ξ, gdzie ξ - to określona dokładność obliczeń Warto stosować tę metodę, gdy wartości na krańcach przedziału znacznie się róŝnią.

4 4. Obliczanie całki oznaczonej na przedziale [a, b] z funkcji f() metodą Newtona. Matematyczna funkcja f ma być określona w programie w oddzielnej funkcji języka C (tak, aby moŝna było łatwo ją zmieniać). f C[ a, b] - funkcja f() jest ciągła na przedziale [a,b], Przedział [a,b] dzielimy na m podprzedziałów o długości h=(b-a)/m. Od liczby m zaleŝy dokładność wyniku. m 1 m 1 h h 2h S ( f ) = 8 f ( a) + f ( b) + 2 f ( a + ih) + 3 [ f ( a + ih + 3) + f ( a + ih + 3 )] i= 1 i= 0 5. Obliczanie całki oznaczonej na przedziale [a, b] z funkcji f() metodą Simpsona. Matematyczna funkcja f ma być określona w programie w oddzielnej funkcji języka C (tak, aby moŝna było łatwo ją zmieniać). f C[ a, b] - funkcja f() jest ciągła na przedziale [a,b], Przedział [a,b] dzielimy na m podprzedziałów o długości h=(b-a)/m. Od liczby m zaleŝy dokładność wyniku. m 1 m h f ( a) + f ( b) S( f ) = + f ( a + ih) + 2 f ( a + ih 2 i= 1 i= 1 h 3 2)

5 6. Obliczanie pierwiastka z liczby całkowitej z zadaną dokładnością (n-liczb po przecinku. Porównanie wyniku z wynikiem funkcji SQRT. Przykład dla 29 Porównania: 1*1=1 2*2=4 3*3=9 4*4=16 5*5= (5.1)^2 6*6=36 > 29 (5.2)^2... (5.9)^2 itd. 7. Sortowanie przez wybór (selection sort). Mamy tablicę o długości n, więc indeks tablicy i=0,...,n-1. 1) Szukamy minimum z tablicy od indeksu i do końca. 2) Zamiana miejscami znalezionego min z elementem i-tym w tablicy. 3) Zwiększamy indeks i o jeden. Powrót do punktu 1).

6 8. Sortowanie przez wstawianie (insertion sort). Literatura, np. Algorytmy + struktury danych = programy Banachowski, Ryter 9. Sortowanie bąbelkowe (bubble sort). Porównania po dwa elementy i zamiana, jeśli nie stoją w kolejności sortowania. Tak po pierwszym przejściu tablicy na końcu (element n-1 ) znajdzie się element największy (lub najmniejszy). Później sortujemy juŝ bez ostatniego elementu. Itd. 10. Obliczenie wartości funkcji jako sumy częściowej szeregu McLaurina Wartości funkcji takich jak: sin, ep, cos, ln. Porównać z wynikiem standardowych funkcji z biblioteki matematycznej.

7 11. Przeliczanie liczb dziesiętnych na rzymskie (do 9999). 12. Rozkład liczby na czynniki pierwsze. 13. Rozwiązywanie układu równań liniowych z macierzą trójkątną dolną, Układ równań A=B, z macierzą trójkątną dolną. Elementy macierzy podawane są przez uŝytkownika na standardowym wejściu.

8 14. Histogram wylosowanych liczb. Sprawdzanie poprawności wbudowanego generatora liczb losowych (rand, randn). Stworzenie histogramu krotności pojawiania się poszczególnych liczb w wygenerowanym przy pomocy generatora zbiorze liczb całkowitych (wartości całkowite, np. z przedziału 0-10). Liczbę losowań, jak równieŝ przedział liczb całkowitych zadaje uŝytkownik programu. Istnieje równieŝ moŝliwość wyboru domyślnych wartości tych parametrów. Histogram moŝe być reprezentowany tekstowo np. jako tabelka.