Dydaktyka matematyki III-IV etap edukacyjny (wykłady)

Transkrypt

1 Dydaktyka matematyki III-IV etap edukacyjny (wykłady) Wykład nr 2: Szukanie zer funkcji. Operacje umysłowe w uczeniu się matematyki Semestr zimowy 2018/2019

2 PPM szkoła średnia zakres podstawowy. Uczeń: stosuje wzory skróconego mnożenia: (a + b) 2, (a b) 2, (a + b) 3, (a b) 3, a 2 b 2, a 3 b 3, a 3 + b 3, a n b n ; dodaje, odejmuje i mnoży wielomiany jednej i wielu zmiennych; wyłącza poza nawias jednomian z sumy algebraicznej; rozkłada wielomiany na czynniki metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias oraz metodą grupowania wyrazów, w przypadkach nie trudniejszych niż rozkład wielomianu 2x 3 3x 2 + 4x 2 3; znajduje pierwiastki całkowite wielomianu o współczynnikach całkowitych; dzieli wielomian jednej zmiennej przez dwumian postaci x a;

3 cd. dodaje, odejmuje, mnoży i dzieli wyrażenia wymierne, w przypadkach nie trudniejszych niż: 1 1, , x+1 + x 1 ; x+1 x x x 2 x 3 x+2 x+1 rozwiązuje równania wielomianowe, które dają się doprowadzić do równania kwadratowego, w szczególności równania dwukwadratowe; rozwiązuje równania wielomianowe postaci W x = 0 dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej lub takich, które dają się doprowadzić do postaci iloczynowej metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias i metodą grupowania; rozwiązuje równania wymierne postaci V(x) = 0, gdzie W(x) wielomiany V x, W(x) i są zapisane w postaci iloczynowej.

4 Zakres rozszerzony. Uczeń: znajduje pierwiastki całkowite i wymierne wielomianu o współczynnikach całkowitych; korzysta ze wzorów na (a + b) n, (a b) n ; rozwiązuje nierówności wielomianowe typu: W x > 0, W x 0, W x < 0, W x 0 dla wielomianów doprowadzonych do postaci iloczynowej lub takich, które dają się doprowadzić do postaci iloczynowej metodą wyłączania wspólnego czynnika przed nawias i metodą grupowania; rozwiązuje równania i nierówności wymierne nie trudniejsze niż x x x 1 x+1 2x x 1 x+1 ; stosuje wzory Viète a dla równań kwadratowych; analizuje równania i nierówności liniowe z parametrami oraz równania i nierówności kwadratowe z parametrami.

5 Szukanie zer (miejsc zerowych) funkcji: wzory dla wielomianów Stosowanie tylko dla wielomianów stopnia pierwszego, drugiego, trzeciego i czwartego. ax + b = 0 x = b a ax 2 + bx + c = 0 x = b± 2a wzory Cardano dla równania ax 3 + bx 2 + cx + d = 0 algebraiczne sztuczki dla równania stopnia czwartego I co dalej?

6 Rozkład na czynniki pierwsze Twierdzenie Każdy wielomian o współczynnikach rzeczywistych można rozłożyć na iloczyn wielomianów stopnia pierwszego i wielomianów stopnia drugiego o ujemnej delcie.

7 Pierwiastki wymierne wielomianów o współczynnikach całkowitych Twierdzenie Jeśli liczba wymierna l (ułamek nieskracalny, l, m liczby m całkowite) jest pierwiastkiem wielomianu a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 o współczynnikach całkowitych, to m a n oraz l a 0.

8 Z własności Darboux Własność Darboux Jeśli f: [a, b] R jest funkcją ciągłą oraz f a f b istnieje x 0 (a, b) takie, że f x 0 = 0. < 0, to Założenie ciągłości jest istotne. Szkic dowodu. Zastosowanie do zadania z Anglii. Zastosowanie do różnych zadań, np. z geometrii.

9 Metoda łapania miejsca zerowego w sieć Niektóre programy, kalkulatory mają wbudowane programy do łapania miejsca zerowego w sieć (w kalkulatorze TI jest to opcja Web). Ta metoda to przykład metody iteracyjnej.

10 Metoda Newtona (-Raphsona) Szukamy rozwiązania równania f x = 0, przy czym zakładamy, że: f: [a, b] R jest ciągła wraz z pochodną i drugą pochodną (klasy C 2 ) f a f b < 0 f x, f (x) są stałego znaku w przedziale [a, b] o Niech γ będzie rozwiązaniem równania f x = 0 (takie rozwiązanie jest dokładnie jedno, bo funkcja f jest ściśle monotoniczna). Ze wzoru Taylora z resztą w postaci Lagrange a otrzymujemy: o 0 = f γ = f b + f b γ b f (c)(γ b)2, o gdzie c (γ, b). Stąd, odrzucając resztę, mamy przybliżoną wartość f b γ: γ b f b o Możemy w ten sposób zdefiniować ciąg rekurencyjny: x 0 = b, x n+1 = x n f(x n) f (x n ) o x n γ

11 Metoda Newtona (-Raphsona) x 0 = 3 x 1 = ,5333 x 2 2,3773 x 3 2,3595 x 4 2,3593

12 Operacje umysłowe w uczeniu się matematyki Myślenie to mniej lub bardziej uporządkowana sekwencja operacji poznawczych, dokonywana na przedmiotach, zdarzeniach, procesach bezpośrednio postrzeganych lub na ich reprezentacjach wyobrażeniowo-pojęciowych. Treścią tych operacji jest ujmowanie różnego rodzaju stosunków (związków, zależności) o charakterze strukturalnym i funkcjonalnym" [W. Szewczuk, Słownik psychologiczny, Wiedza Powszechna, 1985, s s ]

13 Operacje umysłowe w uczeniu się matematyki Czynność myślenia jest łańcuchem operacji umysłowych, za pomocą których przetwarzamy informacje zakodowane w spostrzeżeniach, wyobrażeniach i pojęciach. Dzięki myśleniu człowiek lepiej poznaje rzeczywistość, tworzy plany i projekty, dokonuje odkryć, formułuje oceny i wnioski." [J. Kozielecki, Myślenie i rozwiązywanie problemów, w: Psychologia ogólna, red. T. Tomaszewski, Wydawnictwo Naukowe PWN, 1992, s. 92] Myślenie to złożony proces umysłowy, polegający na tworzeniu nowych reprezentacji za pomocą transformacji dostępnych informacji. Transformacja ta obejmuje interakcję wielu operacji umysłowych: wnioskowanie, abstrahowanie, rozumowanie, wyobrażanie sobie, sądzenie, rozwiązywanie problemów, twórczość." [P. G. Zimbardo, Psychologia i życie, red. naukowa: I. Kurcz, B. Wojciszke, tłum. zbiorowe, PWN, 1999, s. 403]

14 Operacje umysłowe Analiza wyodrębnienie z całości jej komponentów. Synteza łączenie komponentów w całość. Uogólnianie łączenie cech wspólnych dla klasy obiektów. Abstrahowanie wyodrębnianie pewnych cech obiektu z pominięciem innych. Porównywanie szukanie podobieństw i różnic pomiędzy obiektami.

15 Pamięć Zapamiętywanie wytworzenie w wyższych ośrodkach nerwowych śladu pamięciowego i kojarzeniu nowych informacji z wytworzonymi wcześniej śladami pamięciowymi. Przechowywanie utrzymywanie się w układzie nerwowym zapamiętanego materiału. Odpamiętywanie, które polega na aktywizowaniu śladów pamięciowych i przybierać może formę przypomnienia, rozpoznania lub reprodukcji.

16 Przykład 1 (Analiza Synteza) pole_pick.fig cm 2 Dowód (szkic): prostokąty poziomo-pionowe, trójkąty w prostokącie (różnie położone), dowód indukcyjny cm 2

17 Przykład 2 (abstrahowanie i porównywanie)

18 Przykład 3 Problem Ile tu widzisz trójkątów? Zajmijmy się tym problemem w następujących aspektach: porównywanie analiza synteza

19 Literatura [GMF] Fichtenholz, Rachunek różniczkowy i całkowy, t.i, PWN, 1994, str