Wstęp do programowania INP001213Wcl rok akademicki 2018/19 semestr zimowy. Wykład 5. Karol Tarnowski A-1 p.

Transkrypt

1 Wstęp do programowania INP001213Wcl rok akademicki 2018/19 semestr zimowy Wykład 5 Karol Tarnowski karol.tarnowski@pwr.edu.pl A-1 p. 411B

2 Plan prezentacji Algorytm Euklidesa Liczby pierwsze i złożone Metody numeryczne wyznaczanie pierwiastka kwadratowego Na podstawie: M. M. Sysło, Algorytmy G. Perry, D. Miller, Język C Programowanie dla początkujących

3 Algorytm Euklidesa Dane: dwie nieujemne liczby całkowite m i n, m n. Wynik: liczba k będąca największym wspólnym dzielnikiem obu liczb, k = NWD(m, n)

4 Algorytm Euklidesa Załóżmy, że n m n = qm + r, gdzie 0 r < m Jeśli r = 0, to NWD(m, n) = m. r = n qm Jeśli r 0, to NWD(n, m) = NWD(m, r), bo każdy dzielnik n oraz m dzieli też r.

5 Algorytm Euklidesa Jeśli r 0, to NWD(n, m) = NWD(m, r), bo każdy dzielnik n oraz m dzieli też r. Jednocześnie r < m, zatem drugi argument maleje. Generowany ciąg musi być zatem skończony, ponieważ obliczenia prowadzone są na liczbach naturalnych.

6 12 Algorytm Euklidesa

7 Algorytm Euklidesa Dane: dwie nieujemne liczby całkowite m i n, m n. Wynik: liczba k będąca największym wspólnym dzielnikiem obu liczb, k = NWD(m, n) 1. Jeśli m = 0, to n jest szukanym dzielnikiem. Zakończ algorytm. 2. r := n mod m, n := m, m := r. Wróć do kroku 1.

8 Algorytm Euklidesa Istnieje również wersja algorytmu z odejmowaniem

9 Algorytm Euklidesa Najmniejszą wspólna wielokrotność liczb naturalnych m i n nazywamy najmniejszą liczbę naturalną, która dzieli się przez m oraz n. NWW m, n mn n m NWD, NWD, m n m n

10 Liczby pierwsze i złożone Liczba pierwsza liczba naturalna większa od 1, która ma dokładnie dwa dzielniki naturalne: jedynkę i samą siebie. Liczba złożona liczba naturalna większa od 1, która nie jest pierwsza.

11 Liczby pierwsze i złożone Czy dana liczba n jest liczbą pierwszą? Podać jej rozkład na czynniki pierwsze. Znaleźć wszystkie liczby pierwsze w wybranym przedziale.

12 Liczby pierwsze i złożone Sito Eratostenesa

13 Liczby pierwsze i złożone Sito Eratostenesa

14 Liczby pierwsze i złożone Sito Eratostenesa

15 Liczby pierwsze i złożone Sito Eratostenesa

16 Liczby pierwsze i złożone Sito Eratostenesa

17 Liczby pierwsze i złożone Sito Eratostenesa

18 Liczby pierwsze i złożone Sito Eratostenesa

19 Liczby pierwsze i złożone Sito Eratostenesa

20 Liczby pierwsze i złożone Sito Eratostenesa

21 Liczby pierwsze i złożone Sito Eratostenesa

22 Liczby pierwsze i złożone Sito Eratostenesa

23 Liczby pierwsze i złożone Sito Eratostenesa

24 Liczby pierwsze i złożone Sito Eratostenesa

25 Metody numeryczne wyznaczanie pierwiastka kwadratowego Rozwiązywanie numeryczne znajdowanie numeryczne przybliżonego rozwiązania Przykładowy problem: wyznaczanie pierwiastka kwadratowego liczby

26 Metody numeryczne wyznaczanie pierwiastka kwadratowego x i1 1 2 x i a x i 4 = 4 1 ½(4 + 1) = 2,5

27 Metody numeryczne wyznaczanie pierwiastka kwadratowego x i1 1 2 x i a x i 4 = 2,5 1,6 4 ½(2,5 = ,6) = 2,05 ½(4 + 1) = 2,5

28 Metody numeryczne wyznaczanie pierwiastka kwadratowego x i1 1 2 x i a x i 4 = 2,52 2 1,6 4 ½(2,5 = ,6) = 2,05 ½(4 + 1) = 2,5

29 Metody numeryczne wyznaczanie pierwiastka kwadratowego Warunki stopu: wykonano maksymalną liczbę iteracji dwa kolejne przybliżenia leżą dostatecznie blisko siebie x i x 1 i uzyskane przybliżenie jest dostatecznie dobre a x x i i

30 Podsumowanie Algorytmy iteracyjne działające aż do spełnienia wskazanego warunku W przypadku obliczeń numerycznych zwiększenie dokładności przybliżenia wymaga zwiększenia liczby iteracji