KRZYSZTOF WÓJTOWICZ Instytut Filozofii Uniwersytetu Warszawskiego

Transkrypt

1 KRZYSZTOF WÓJTOWICZ Instytut Filozofii Uniwersytetu Warszawskiego 1

2 2 1. SFORMUŁOWANIE PROBLEMU Czy są empiryczne aspekty dowodów matematycznych? Jeśli tak to jakie stanowisko filozoficzne najlepiej je wyjaśnia? 2. PRZYKŁAD problem czterech barw (połowa XIX wieku) czy każda mapa da się pokolorować czterema kolorami zasadnicza strategia rozwiązywania problemu: (1) sprowadzić problem ogólny do jednego z przypadków szczegółowych (2) pokazać, że dla każdego z tych przypadków szczegółowych hipoteza jest prawdziwa cząstkowe wyniki uzyskiwano dla map o ograniczonej ilości państw rozwiązanie ogólne: lata 70. Appel, Haken, Koch użyto komputera (1200 godzin obliczeń )

3 3 3. NATURALNE PYTANIA czy 4CT zostało faktycznie udowodnione? 4CT skrót od four-color theorem czy dowód 4CT jest nowym typem dowodu? czy 4CT jest nowym typem twierdzenia matematycznego? czy wiedza o 4-barwności grafów planarnych stanowi nowy typ wiedzy matematycznej? Skrajne opinie: OCZYWIŚCIE NIE: * komputer to czarna skrzynka; * w dowodzeniu twierdzeń matematycznych nie można odwoływać się do orzeczeń tajemniczej wyroczni. OCZYWIŚCIE TAK: * komputer w zasadzie nie różni się od kartki i ołówka.

4 4 4. TRADYCYJNY POGLĄD NA WIEDZĘ MATEMATYCZNĄ często spotykane określenia: aprioryczna, uzyskana na drodze czysto rozumowej, pozbawiona komponenty empirycznej, analityczna, konieczna, dotyczy prawd wiecznych, dotyczy bytów idealnych, niezależna od doświadczenia, prawdziwa we wszystkich możliwych światach etc. czy akceptacja czynnika empirycznego (np. dowodów komputerowych) jest do pogodzenia z takim poglądem na status wiedzy matematycznej? 5. CO TO JEST DOWÓD - TEORIA A PRAKTYKA Kiedy hipoteza matematyczna staje się twierdzeniem? TEORIA DOWODU: dowód to ciąg formuł α 1,...,α n, spełniający określone warunki techniczne PRAKTYKA MATEMATYCZNA: dowód to przekonujące rozumowanie w praktyce nie spotykamy dowodów w pełni sformalizowanych dowody są formułowane w naturalnym języku matematycznym

5 5 TEORIA A PRAKTYKA jesteśmy przekonani, że dowody z praktyki są (w zasadzie) formalizowalne akceptacja danego dowodu praktycznego jest dopuszczalna = odpowiada mu pewien idealny dowód dowody z praktyki to skróty dowodów idealnych 6. 4CT: DOWÓD IDEALNY A PRAKTYCZNY ASPEKT TEORETYCZNY z obliczeniem komputera można związać odpowiedni ciąg formuł (w języku formalnym) związać wypisać (ten dowód nie da się fizycznie reprezentować) z punktu widzenia teorii dowodu, status tego ciągu formuł jest ustalony jeśli jest poprawny, to jest to zwykły dowód jeśli nie jest poprawny, to nie jest to dowód Nie ma nowych aksjomatów, reguł dowodzenia. my tego nie jesteśmy w stanie sprawdzić ASPEKT PRAKTYCZNY: czy racjonalnie jest sądzić, że dowód komputera jest poprawny nie da się sprawdzić tego ręcznie

6 6 7. DWA ASPEKTY PROBLEMU DOWODU KOMPUTEROWEGO problem logicznej poprawności algorytmu odpowiednik problemu poprawności dowodu poprawności algorytmu można dowodzić, choć ten dowód może być poza zasięgiem praktycznym problem działania fizycznego urządzenia problem empiryczny - nie ma oczywistego odpowiednika w wypadku problemu akceptacji zwykłego dowodu akceptacja 4CT opiera się na eksperymencie fizycznym komputer liczy i odpowiada TAK nasz stopień zaufania do 4CT stopień zaufania do teorii, opisującej komputer jako układ fizyczny sprzeczne z tradycyjnym poglądem na naturę wiedzy matematycznej

7 7 WYŻSZY STOPIEŃ EMPIRYCZNOŚCI OBLICZENIE KWANTOWE (gdyby istniało...) 8. ALGORYTMICZNE ROZWIĄZYWANIE PROBLEMÓW algorytmiczne za pomocą komputera PROBLEM ROZSTRZYGALNY = ma rozwiązanie komputerowe PRZYKŁADY: sumowanie, mnożenie liczb szukanie najkrótszej drogi na mapie tautologie rachunku zdań GRANICE ROZSTRZYGALNOŚCI Teoretyczne pewne problemy nie są rozstrzygalne Ograniczenia praktyczne problemy rozstrzygalne hierarchia trudności miara trudności = czas działania programu PRZYKŁAD: tautologie KRZ 300 zmiennych kroków

8 8 10. KWANTOWE ROZWIĄZYWANIE PROBLEMÓW mechanika kwantowa opis mikroświata teoria przestrzeni Hilberta wymiar przestrzeni Hilberta WYMIAR = ile liczb potrzeba do opisania układu? nieco złożony układ bardzo duży wymiar * 1 foton wymiar = 2 * 10 fotonów nie 20, ale 1024 (=2 10 )... ewolucja układu równanie komputerowy opis ewolucji bardzo trudny! bardzo dużo parametrów: * 10 fotonów 1024 parametry * 30 fotonów ponad miliard parametrów * 300 fotonów parametrów

9 9 PODSTAWOWA IDEA: układ kwantowy równanie (fotony + lustra równanie) rozwiązanie komputerowe praktycznie niemożliwe ODPOWIEDNIOŚĆ: PROCES KWANTOWY ZŁOŻONE OBLICZENIE wynik obliczenia = wynik ewolucji układu POMYSŁ: mamy problem matematyczny (1) zakoduj informacje w układzie kwantowym (2) przetwarzanie informacji ewolucja układu zamiast liczyć obserwować! WAŻNY FAKT: ta metoda (czasem) działa! Algorytm Grovera szybko znajduje dane Algorytm Shora szybko rozkłada liczby na czynniki pierwsze

10 CO TO JEST ALGORYTM KWANTOWY? stan układu = kombinacja dwóch stanów podstawowych mieszanka 0 i 1 (α 0 +β 1 ; α,β C, 0, 1 - wektory bazowe) qubit = kwantowy bit (np. foton) qubity kodują informacje ( kompresja danych!) ewolucja układu = ciąg przejść między stanami fotony+ lustra koniec ewolucji pomiar układu gdzie są fotony? ( wyciągamy informację z układu) proces kwantowy rozwiązanie problemu kroków komputera krótka ewolucja

11 KWANTOWE DOWODY TWIERDZEŃ MATEMATYCZNYCH? Kwantowy dowód twierdzenia α: 1. Przygotowanie układu kwantowy. 2. Uruchomienie procesu (algorytmu) kwantowego. 3. Pomiar stanu końcowego. wynik pomiaru = 0 lub 1 wynik = 1 uznajemy α za prawdziwe twierdzenie dowód = eksperyment kwantowy OGÓLNA IDEA: problem matematyczny P kodowanie informacji w układzie kwantowym ( kwantowa kompresja ) przetwarzanie informacji (fizyczne - na skróty ) wydobycie informacji (pomiar) rozstrzygnięcie problemu P

12 DOWÓD KWANTOWY ŹRÓDŁO WIEDZY MATEMATYCZNEJ? komputer klasyczny działa jak urządzenie mechaniczne komputer kwantowy wykorzystuje zjawiska kwantowe możemy (teoretycznie) obserwować obliczenie klasyczne nie możemy obserwować procesu kwantowego stan układu kwantowego nie jest bezpośrednio obserwowalny; wiemy o nim tylko na podstawie mechaniki kwantowej dowód kwantowy = eksperyment kwantowy wiedza tylko poprzez mechanikę kwantową dowód możliwy specyfika świata kwantowego! kwantowa kompresja informacji dostęp tylko przez pomiar brak pełnej informacji o stanie układu przyroda rozwiązuje problem, nie licząc (ruch fotonów dowodzi twierdzeń) uznanie prawdziwości zdania matematycznego zaufanie do: mechaniki kwantowej wyników pomiaru nie do pogodzenia z tradycyjnym poglądem na wiedzę matematyczną

13 NOWY TYP WIEDZY MATEMATYCZNEJ? 3 typy twierdzeń (?) matematycznych: (i) udowodnione tradycyjnie (ii) udowodnione z użyciem zwykłego komputera (iii) udowodnione z użyciem komputera kwantowego (na razie nie ma) czy ich status jest taki sam, czy różny? nowa kategoria wiedzy? quasi-matematyczna? quasi-empiryczna? na styku matematyki i empirii? UWAGA: oczywiście naukowcy z tej wiedzy skorzystają. Problem jest raczej teoretyczny, dotyczący statusu tej wiedzy. 15. PODSUMOWANIE (1) dowody komputerowe obecny czynnik empiryczny (2) dowody kwantowe empiryczne kryteria prawdy matematycznej (3) akceptacja sprzeczny z poglądem tradycyjnym elementy empiryczne ważne dla uzasadniania prawd matematycznych eksperyment kwantowy nie dowód tradycyjny, ale wiarygodny argument

14 PROBLEMY DO DALSZEJ DYSKUSJI OGÓLNY PROBLEM: empiryczne (1) kryteria prawdy matematycznej (2) źródła wiedzy matematycznej Nowe źródła wiedzy? Status kategorii wiarygodności w matematyce Wiarygodność aksjomatów - argumenty empiryczne? MOTYWACJE: komputery dowodzące twierdzeń metody probablistyczne twierdzenia tylko prawdopodobne? uczące się sieci neuronowe sieć jako wyrocznia? modele obliczeń kwantowych