OPTYMALIZACJA KOSZTÓW MATERIAŁOWYCH W PROJEKTOWANIU STRUKTUR KOMPOZYTOWYCH

Transkrypt

1 Zeszyty Naukoe WSInf Vol 1, Nr, 11 Jacek Wiśnieski Katedra Mechaniki i Inforatyki Technicznej Politechnika Łódzka OPTYMALIZACJA KOSZTÓW MATERIAŁOWYCH W PROJEKTOWANIU STRUKTUR KOMPOZYTOWYCH Streszczenie W pracy przedstaiono yniki badań nad problee inializacji kosztó ateriałoych projektoaniu struktur kopozytoych obciążonych echanicznie. Rozpatrzono płaskie, duyiaroe i linioo-sprężyste eleenty konstrukcyjne ykonane z ateriału atrycy zocnionej długii i prostolinioyi łóknai. Sforułoano zadanie projektoania takich struktur oraz zaprezentoano etodę optyalizacyjną do roziązyania takich zadań opartą o algoryt eolucyjny rozszerzony o etodę eleentó skończonych do analizy pracy konstrukcji kopozytoej. Wyniki badań zilustroano prosty przykłade nueryczny. 1 Wproadzenie Dynaiczny rozój noych technologii pooduje, że spółczesny inżynier-konstruktor dostaje do dyspozycji noe ateriały o łasnościach znacznie odbiegających od łasności tradycyjnych ateriałó konstrukcyjnych. Do grupy takich ateriałó należą iędzy innyi kopozyty łókniste zbudoane z lekkiej atrycy zocnionej długii łóknai. Taka budoa spraia, że kopozyty łókniste charakteryzują się bardzo dobryi łasnościai echanicznyi i ytrzyałościoyi przy niskiej asie. Dlatego też ateriały te są coraz częściej stosoane różnego rodzaju konstrukcjach dla pracy których łasności te ają ogrone znaczenie. Proces projektoania takich struktur jest procese złożony który trudno bazoać yłącznie na dośiadczeniu i intuicji konstruktora. Proces ten usi być rozszerzony o ateatyczne etody optyalizacyjne yniku czego staje się synonie zadania optyalizacji polegającego na znalezieniu najlepszego zestau paraetró strukturalnych kopozytu, takich jak: łasności echaniczne atrycy i łókien, udział objętościoy i orientacja zocnienia itp., tak aby funkcjonał opisujący sposób ateatyczny 74

2 J. Wiśnieski lokalne lub globalne łasności konstrukcji ykonanej z tego ateriału osiągał artość ekstrealną przy jednoczesny spełnieniu penej liczby nałożonych yagań zanych ograniczeniai. Niniejszy artykuł przedstaia yniki badań nuerycznych nad inializacją kosztó ateriałoych projektoaniu struktur kopozytoych i stanoi kontynuację cześniejszych prac [1,4] zakresie analizy i optyalnego projektoania kopozytó łóknistych. Sforułoanie probleu Obiekte badań są płaskie, du-yiaroe i linioo-sprężyste eleenty konstrukcyjne obciążone statycznie siłai asoyi f obszarze A i obciążenie T na brzegu S T, działającyi ich płaszczyźnie, oraz podparte na brzegu S U (rys.1). Eleenty te ykonane są ateriału kopozytoego będącego ieszaniną atrycy i rodziny długich, prostolinioych łókien o yższych niż atryca łasnościach echanicznych. Matryca i łókna zacniające są ateriałai jednorodnyi, izotropoyi i linioo-sprężystyi o odule Younga i spółczynniku Poissona ynoszącyi odpoiednio E, oraz E,. Ponadto, łókna są rónoiernie i jednokierunkoo rozłożone atrycy pod kąte θ odniesieniu do osi x globalnego układu spółrzędnych, a ich udział objętościoy kopozycie ynosi. Rys. 1. Kopozytoy eleent konstrukcyjny poddany obciążeniu i arunko brzegoy W zastosoaniach praktycznych proces projektoania eleentó konstrukcyjnych sproadza się bardzo często do poszukiania inialnych kosztó ykonania danej konstrukcji spełniającej staiane 75

3 Optyalizacja kosztó ateriałoych... yagania zakresie określonych łasności echanicznych. W odniesieniu do rozpatryanej niniejszej pracy struktury kopozytoej, proble ten ogólnie ożna sforułoać postaci następującego zadania optyalizacyjnego: Minializacja całkoitego kosztu ateriału kopozytu [ c + c (1 )] in. C( b ) = V (1) przy spełnieniu globalnych lub lokalnych ograniczeń echanicznych Γ( σ, e, u, b) da + Φ( T, u) ds T () ST G A gdzie b oznacza ektor ziennych projektoych będących paraetrai definiującyi strukturę ateriału kopozytoego, c i c są kosztai odpoiednio łókien i atrycy, zaś Γ i Φ ciągłyi i różniczkoalnyi funkcjai zależnyi od pól stanu postałych konstrukcji dla danego ektora ziennych projektoych. 3 Eolucyjna etoda optyalizacji Do roziązania zadania inializacji kosztó ateriałoych projektoaniu struktur kopozytoych została zaproponoana stochastyczna etoda optyalizacyjna oparta na algorytie eolucyjny. Nieątplią zaletą tego algorytu jest fakt, że poszukianiu najlepszych roziązań ykorzystyane są tylko inforacje uzyskiane na podstaie artości funkcji celu bez dodatkoej konieczności forułoania penych restrykcyjnych ograniczeń ystępujących przy stosoaniu tradycyjnych technik optyalizacyjnych. Poza ty etoda ta zasze znajduje optiu globalne przeciieństie do klasycznych etod, które często eoluują kierunku optió lokalnych. Algoryt eolucyjny poszukuje boie roziązania optyalnego ychodząc nie z pojedynczego punktu, lecz z penej populacji i eksploruje całą przestrzeń przeszukiań. Warto też podkreślić, że etody eolucyjne żaden sposób nie ykorzystują iedzy o roziązyany probleie. To, że znajdują roziązanie ynika z faktu, że do następnego pokolenia przedostają się lepsze jednostki z pokolenia poprzedniego, a operatory eolucyjne yieniają inforacje zaarte tych jednostkach torząc noe, potencjalnie doskonalsze roziązania. To szystko spraia, że algoryty eolucyjne są obecnie coraz częściej stosoane ielu dziedzinach, gdzie konieczne jest proadzenie procesu optyalizacji, ty także projektoaniu konstrukcji. 76

4 J. Wiśnieski Rys.. Scheat blokoy algorytu eolucyjnego Sieć działań algorytu eolucyjnego zaproponoanego do roziązania zadania (1-) przedstaiono na rys., a dokładny opis jego poszczególnych etapó ożna znaleźć pracach [3,4]. Ponieaż algoryt ten przeznaczony jest yłącznie do roziązyania zadań prograoania bez ograniczeń, odule została zastosoana zenętrzna funkcja kary. W etodzie tej pierotne zadanie (1-) zastępoane jest ciągie zadań zastępczych będących zadaniai inializacji bez ograniczeń postaci [3].: 1 in Z ( b, α ) = in C( b) + α i[ax.(; G i ( b))] (3) b b i= 1 gdzie α jest ektore dodatnich spółczynnikó funkcji kary. W etapie oceny populacji przeproadzana jest analiza pracy konstrukcji kopozytoej, której to analizie zostają yznaczone pola stanu konstrukcji z uagi na ygeneroane aktualnej populacji artości ziennych projektoych. Dla struktury przedstaionej na rys.1, jej zachoanie ożna opisać poprzez układ następujących rónań []: n g 77

5 Optyalizacja kosztó ateriałoych... divσ + f e = B u σ = D e σ n = T u = u = na S na S T U (4) gdzie u jest pole przeieszczeń, e pole odkształceń, zaś σ pole naprężeń postałyi obciążonej echanicznie konstrukcji kopozytoej. Występująca układzie (4) acierz D jest acierzą sztyności tarczoej dla jednorodnego, ortotropoego odelu kopozytu globalny układzie spółrzędnych x-y i oże być yrażona następującą zależnością []: D 1 T = T C T (5) Macierz C jest tu acierzą sztyności kopozytu układzie osi ortotropii yznaczony przez kierunek łókien i kierunek prostopadły do łókien. Macierz ta yrażona jest tz. stałych inżynierskich kopozytu i a postać: E 1 E C = E 1 E (6) G1 gdzie E 1 i E są odpoiednio podłużny i poprzeczny odułe Younga, 1 i 1 oznaczają iększy i niejszy spółczynnik Poissona, zaś G 1 jest odułe ścinania. Wykorzystując odel kopozytu, przedstaiony [], stałe te ynoszą: 78

6 J. Wiśnieski E = E 1 + E (1 ) E E 1+ 1 E E = E + E (1 ) 1+ E 1 E E E 1 = + (1 ) oraz 1 = 1 E1 E E (1 + )(1 + ) + (1 + )(1 ) E G1 = (1 + ) E (1 + )(1 ) + (1 + )(1 + ) E E (1 ) Macierz T, ystępująca zależności (5), jest acierzą transforacji ziązaną z obrote układu odniesienia o kąt θ zaarty iędzy kierunkie łókien, a osią x globalnego układu spółrzędnych: cos θ T = sin θ sinθ cosθ sin cos θ θ sinθ cosθ sinθ cosθ sinθ cosθ cos θ sin θ Roziązanie zadania analizy jest przeproadzane na drodze nuerycznej oparciu o etodę eleentó skończonych (MES), której koncepcja polega na podziale rozażanego obszaru konstrukcji na zbiór, poiązanych ze sobą ęzłach, podobszaró o prostych kształtach geoetrycznych [5]. (7) Rys. 3. Dyskretyzacja obszaru konstrukcji kopozytoej W zaproponoany algorytie do dyskretyzacji obszaru kopozytoego eleentu konstrukcyjnego ykorzystano czorokątne, czteroęzłoe eleenty skończone z rodziny serendiposkiej (rys.3). 79

7 Optyalizacja kosztó ateriałoych... 4 Przykład nueryczny W przykładzie rozpatrzono płaski, duyiaroy eleent konstrukcyjny poddany obciążeniu i arunko brzegoy jak pokazano na rys.4. Eleent ten ykonano z ateriału kopozytoego składającego się z poliestroej atrycy zocnionej rodziną długich i prostolinioych łókien szklanych. Własności echaniczne oraz cenę poszczególnych składnikó kopozytu zestaiono Tabeli 1. Rys. 4. Kopozytoy eleent konstrukcyjny poddany obciążeniu i arunko brzegoy Tabela Własności echaniczne i koszt składnikó kopozytu E [GPa] cena [zł/kg] łókna (szklane E) atryca (poliester) Rozpatryany proble dotyczył takiego zaprojektoania struktury ateriału kopozytoego z uagi na udział objętościoy łókien oraz ich kąt orientacji θ, aby zinializoać koszty ateriałoe ykonania tej konstrukcji. Z uagi na charakter pracy konstrukcji założono jednocześnie, że jej sztyność nie oże przekraczać artości 17. [J]. Dla tak sforułoanego probleu, ogólne kryteriu optyalizacji (1-) przyjuje następującą postać: Minializacja całkoitego kosztu ateriału kopozytu [ c + c (1 )] in. C(, θ ) = V (9)

8 J. Wiśnieski przy spełnieniu globalnego ograniczenia echanicznego S T oraz ograniczeń geoetrycznych u T T ds T 17 (1) 1 (11) θ 18 Do roziązania zadania (9-11) ykorzystano, przedstaiony rozdziale 3, algoryt eolucyjny, przy czy na etapie analizy zastosoano podział obszaru konstrukcji na 1 czorokątnych, czteroęzłoych eleentó skończonych. Uzyskane yniki optyalizacji eolucyjnej zestaiono Tabeli oraz przedstaiono na rys.5a. W celu oceny jakości zaprojektoanej struktury, uzyskane roziązanie porónano ze strukturą identycznej konstrukcji zocnionej rodziną prostolinioych łókien ułożonych rónolegle do osi y globalnego układu spółrzędnych (rys.5b). Rys. 5. Kopozytoy eleent konstrukcyjny: a) po optyalizacji, b) porónaczy Tabela.. Wyniki optyalizacji i porónacze θ koszt SZT konstrukcja optyalna ,4 zł 17, [J] konstrukcja porónacza.7 9 1,48 zł 17, [J] Rezultaty przedstaione Tabeli, pokazują, że yniku przeproadzonej optyalizacji otrzyano strukturę kopozytoą o 81

9 Optyalizacja kosztó ateriałoych... yaganej sztyności, ale ponoszone koszty ateriałoe przy jej ytarzaniu obniżyły się o 17%. Warto też zrócić uagę, że uzyskane yniki z przedstaionych niniejszej pracy rozażań ogą stanoić punkt yjścia do inializoania kosztó ateriałoych trakcie projektoaniu konkretnych konstrukcji kopozytoych pracujących pod zadany obciążenie, pozalając ty say uniknąć kosztonych i pracochłonnych badań dośiadczalnych, które ożna ograniczyć do końcoych badań eksperyentalnych gotoej konstrukcji. Literatura [1] Des K., Wiśnieski J., Optial design of fiber-reinforced coposite disks, Journal of Theoretical and Applied Mechanics Vol.47, 9. [] Geran J., Wstęp do echaniki ateriałó kopozytoych, Wydanicta Politechniki Krakoskiej, Krakó, [3] Michaleicz Z., Algoryty genetyczne + struktury danych = prograoanie eolucyjne, Wydanicta Naukoo-Techniczne, Warszaa, [4] Wiśnieski J., Des K., Hybrid syste for optial design of echanical properties of coposites, Coputational Methods in Applied Sciences, Vol.4, 11. [5] Zienkieicz O.C., Metoda eleentó skończonych, Arkady, Warszaa, 197. OPTIMIZATION OF MATERIAL COSTS IN THE DESIGN OF COMPOSITE STRUCTURES Suary The results of investigation in the area of designing of the thin, to-diensional and linearly elastic disk ade of atrix reinforced ith a faily of long and unidirectional fibers are presented. The proble of the aterial cost iniization for this structure subjected to service loading is discussed. The optiization task for this type of design proble is derived. To solve of the task, the optiization procedure based on the evolutionary algorith is proposed. The design proble is illustrated by siple nuerical exaple. 8