CIAŁO CZŁOWIEKA LĄDUJĄCEGO PO ZESKOKU JAKO PRZYKŁAD UKŁADU MECHANICZNEGO ZE STABILIZUJĄCYM SPRZĘŻENIEM ZWROTNYM

Transkrypt

1 MAREK A. KSIĄŻEK, DANIEL ZIEMIAŃSKI CIAŁO CZŁOWIEKA LĄDUJĄCEGO PO ZESKOKU JAKO PRZYKŁAD UKŁADU MECHANICZNEGO ZE STABILIZUJĄCYM SPRZĘŻENIEM ZWROTNYM HUMAN BODY LANDING AFTER JUMP DOWN AS AN EXAMPLE OF A MECHANICAL SYSTEM WITH STABILIZING FEEDBACK Streszczenie Abstract W niniejszy artykule poddano analizie jednoasowy układ liniowy, za poocą którego zaodelowano zachowanie człowieka zeskakującego z wysokości na twarde podłoże. Model ten rozszerzono następnie przez wprowadzenie siły sterującej, której cele była odyfikacja zachowania układu w celu osiągnięcia optyalnego zachowania. Jako kryteriu pozwalające wyznaczyć siłę sterującą użyto warunku wyuszającego podobieństwo uzyskiwanych obciążeń na podłoże do obciążeń zarejestrowanych eksperyentalnie. Tak uzyskane wyniki porównano z zachowanie się układu poddanego sterowaniu optyalneu ze sprzężenie zwrotny dla układów liniowych. Słowa kluczowe: LQR, odelowanie skaczącego człowieka, optyalizacja The paper discusses a one-ass linear odel of a an juping on hard surface. The odel has been then extended by introducing two concepts of control force with an ai to odify the properties of the syste in order to achieve the behaviour as close as possible to the one easured experientally. A control force with a prescribed structure as well as that obtained by solving LQR proble has been considered. The results of nuerical calculations have been given in plots showing the behaviour of the syste. Keywords: LQR, vibration isolation, bioechanical odels Prof. dr hab. inż. Marek A. Książek, gr inż. Daniel Zieiański, Instytut Mechaniki Stosowanej, Wydział Mechaniczny, Politechnika Krakowska.

2 6. Wstęp W niniejszy artykule poddano analizie jednoasowy układ liniowy, za poocą którego zaodelowano zachowanie człowieka zeskakującego z wysokości na twarde podłoże. Model ten rozszerzono następnie przez wprowadzenie siły korygującej (rys. b)), której cele była odyfikacja zachowania układu dla osiągnięcia optyalnego zachowania. Jako kryteriu pozwalające wyznaczyć siłę korygującą użyto warunku wyuszającego podobieństwo teoretycznych reakcji na podłoże do reakcji zarejestrowanych eksperyentalnie. W artykule wykorzystano wartości sił zarejestrowane na podłożu, występujące podczas aortyzacji zeskoku i pochodzące z rzeczywistych poiarów eksperyentalnych. Wprowadzone kryteriu zgodności uożliwiło wyznaczenie siły korygującej w sposób przybliżony przez zastosowanie etody Newtona Cotesa do obliczania wartości podlegających całkowaniu. Następny krokie było użycie teorii regulatora optyalnego do zaprojektowania dla układu wyjściowego stabilizującego sprzężenia zwrotnego. Uzyskane w ten sposób sterowanie optyalne porównano graficznie ze sterowanie za poocą siły korygującej.. Analiza.. Aproksyacja wyników z poiarów Poiary dyskretnych wartości siły reakcji ciała człowieka skaczącego na podłoże uzyskane z pracy [] zostały pokazane na rys., na który zebrano wartości sił reakcji, zdyskretyzowane dla dwunastu punktów odpowiadających przedziałowi czasu od zera do jednej sekundy. Czas ierzony był od chwili zetknięcia się stóp człowieka z podłoże. Aby poddać analizie siłę reakcji, dane dyskretne zastąpiono ciągłą funkcją interpolującą. Interpolację przeprowadzono za poocą funkcji sklejanej trzeciego rzędu. Funkcję tę pokazano na rys. za poocą linii ciągłej. Rys.. Unorowana siła reakcji podłoża na człowieka skaczącego Fig.. Noralized base reaction force on a juping an

3 63 W pracy [] przedstawiono statystyczną analizę poiarów, której wynikie były paraetry odelu układu jednoasowego (rys. a)) o wartościach paraetrów: α = 67,3 kg/ /s, k = 66, kg/s... Model jednoasowy Równanie opisujące odel wraz z warunkai początkowyi opisano zależnością & z = αz& kz + g z ( ) = () z& ( ) = gh gdzie występująca wielkość h jest wysokością, z jakiej następował zeskok. Do obliczeń nuerycznych wybrano przypadek, gdy h =,5. Siłę reakcji podłoża na układ (rys. a)) wyznaczono ze wzoru F = αz& + kz () F S a) b) z k α z k α Rys.. Model układu człowieka skaczącego na podłoże: a) bez siły korygującej, b) z siłą korygującą Fig.. Model of a juping an: a) without a correction force, b) with a correction force Siłę tę pokazano na rys. za poocą linii przerywanej. Można zauważyć, że uzyskane wartości dość dobrze odwzorowują funkcję otrzyaną z poiarów. Po dokładnej analizie wyników widać jednak, że funkcja odelująca a inny charakter niż funkcja uzyskana z poiarów. Szczególnie widoczny jest brak ich zgodności w chwili początkowej, czyli w chwili zetknięcia się stóp skaczącego z podłoże. Dla pokazania różnic poiędzy funkcją uzyskaną z poiarów a funkcją odelującą wprowadzono funkcję ich różnicy F R = F P F, a jej unorowany oduł został przedstawiony na rys. 3. Jak widać, funkcja ta, którą ożna traktować jako funkcję błędu poiędzy odele a obiekte rzeczywisty, przyjuje duże wartości na początku, by następnie ulec zniejszeniu, zachowując jednak swój nieadekwatny do oczekiwań charakter.

4 64 (Fp F)/g Rys. 3. Moduł różnicy poiędzy siłai reakcji podłoża na układ zierzoną a zaodelowaną Fig. 3. Absolute value of a difference between the easured and odelled reaction forces.3. Model jednoasowy z siłą korygującą Dla lepszego zaodelowania człowieka skaczącego wprowadzono nowy odel układu przez dodanie do pierwotnego odelu (rys. a)) siły korygującej oznaczonej jako F S i wprowadzonej tak jak to pokazano na rys. b). Pozostałe paraetry układu nie uległy zianie. W celu wyznaczenia siły F S utworzono funkcję błędu (3) stanowiącą różnicę poiędzy siłą F S a pokazaną na rys. 3 siłą F R ε = FR F S (3) Ponadto przyjęto postać siły F S w postaci (4), co uożliwiło późniejsze użycie jej paraetrów (k, k ) jako poprawek odyfikujących pierwotne wielkości k i α występujące we wzorze () = k z& k z (4) F S + Aby wyznaczyć siłę F S, zbudowano funkcjonał błędu (5), w który w oznacza wagę, a t p czas końca dokonywania poiaru równy s t p J = w εdt = dt (5) ( F F ) R S Wyznaczenie całki (5) jest bardzo kłopotliwie, zdecydowano się więc dokonać tego na drodze nuerycznej aproksyacji. Wykorzystano do tego celu bardzo prostą, ale skuteczną etodę kwadratury Newtona Cotesa (6). Polega ona na zastąpieniu poszukiwanej całki szeregie składający się z wartości funkcji (8) w równo odległych węzłach, ponożonych przez odpowiednie współczynniki wagowe. Występującą w funkcjonale wagę przyjęto jako równą funkcji błędu w = ε, co doprowadziło do uzyskania zależności (6).

5 65 b n f i a i= ( x ) dx a f ( x ) i (6) Błąd tak wykonanych obliczeń ożna oszacować za poocą wzoru (8) ( 4 R ( ) < Δ 5 ) T f x ax f ( ξ) (7) 9 ξ [,] Zastosowana zaknięta kwadratura trzeciego rzędu Newtona Cotesa pozwoliła wyznaczyć wartość poszukiwanej całki (6) jako liniową kobinację funkcji (8) dla trzech węzłów całkowania (9) f t) = FP α + k z& ( t) k + k z( (8) ( ) ( ) ) ( t 3 i= * J = f ( t) dt J = a f ( t ) = f () + f (,5) f () i i + (9) Uzyskany w ten sposób przybliżony funkcjonał błędu wykorzystano do zbudowania układu nieliniowych równań algebraicznych () o niewiadoych paraetrach k i k dj dk dj dk * * = = ( k k ) () Po dokonaniu nuerycznej aproksyacji pierwiastków tego silnie nieliniowego układu otrzyano wyniki stanowiące paraetry poszukiwanej siły korygującej (4) wynoszące, odpowiednio, k = 66,98 [Ns/], k = 358,7 [N/]..4. Model jednoasowy ze stabilizujący sprzężenie zwrotny W punkcie ty zastosowano teorię regulacji optyalnej do wyjściowego odelu jednoasowego (rys. a)). Wykorzystano teorię regulatora optyalnego ze sprzężenie zwrotny dla układów liniowych i wyznaczono dla układu opisanego równanie () sterowanie optyalne & z = αz& kz + g + () W ty celu przez podstawienie (3) obniżono rząd równania wyjściowego o jeden koszte dwukrotnego zwiększenia liczby równań () F st x& α k = x x + u x& = x ()

6 66 gdzie x = z x = z & (3) Przez sterowanie optyalne rozuiey u = F st + g, a otrzyany układ równań () zapisano w postaci acierzowej x& α = x & k x& + x & [] u (4) Jako funkcje wskaźnika jakości przyjęto funkcjonał (5), który utworzono jako suę kwadratów ziennych układu (3) i ważonego kwadratu sterowania J t + dt (5) ( u) = ( x + x w u ) Funkcjonał ten w postaci acierzowej ożey zapisać w postaci J x x ( u) = [ x x ] + [][ u w ][] u dt (6) Zastosowano teorię regulatora optyalnego ze sprzężenie zwrotny dla układów liniowych (7), przy wskaźniku jakości w postaci fory kwadratowej (8) x & = Ax + Bu (7) J ( ) = T T u ( x Qx + u Ru) dt (8) Zadanie takie dla czasu optyalizacji T sprowadza się do wyznaczenia acierzy S algebraicznego równania Riccatiego () T K = R B S (9) T A S + SA SBR T B S + Q = () gdzie poszukiwane wartości K wyznaczay z zależności (9). Wartości acierzy w równaniu () pokazano, odpowiednio, wzorai ()

7 67 α A = k B = T () Q = I, R = w Wyznaczone nuerycznie współczynniki sterowania wyniosły: K = [ 636,96 97,53] i zostały wyznaczone dla współczynnika wagowego w =,85. Układ (7) ożna zapisać w postaci zakniętej ( A + BK ) x Bg x & = + () Sforułowania (7) i () charakteryzują się ty, że ają takie sae podprzestrzenie sterowania. 3. Porównanie wyników Przedstawiona w rozdziale drugi analiza przeprowadzona została na dwa sposoby:. Poprzez zastosowanie autorskiej procedury uzyskano wartości siły korygującej, którą następnie wprowadzono do układu jako poprawki do paraetrów pierwotnych. Sposób ich wyznaczenia opierał się na założeniu, że człowiek, potraktowany jako układ idealny, jest najlepszy obraze optyalnego zachowania się układu podczas zeskoku z pewnej wysokości, a jego zachowanie jest wzore do naśladowania przez inne układy. Dzięki takieu założeniu proces stabilizacji ciała człowieka po zeskoku stał się wzorcowy procese, do zachowania którego odel powinien dążyć przez odpowiednie dobranie siły korekcyjnej.. Poprzez wyznaczenie sterowania optyalnego dla rozpatrywanego układu za poocą teorii regulatora optyalnego ze sprzężenie zwrotny dla układów liniowych. Na rysunku 4 zebrano wszystkie uzyskane przebiegi siły reakcji podłoża na układ. Jak się okazało, przebiegi te na drodze statystycznego opracowania wyników poiarów są wizualnie podobne do przebiegów uzyskanych z poiarów, ale ich charakter i, co najważniejsze, niezgodność w chwili zetknięcia stóp z podłoże sprawiają, że należy wątpić w ich dobrą jakość. Przebiegi otrzyane przez zastosowanie siły korekcyjnej i teorii regulatora optyalnego okazały się natoiast zadziwiająco zbieżne. Charaktery uzyskanych krzywych znacznie lepiej oddają zienność krzywej poiarowej i są zgodne w chwili początkowej. Zgodność, o której owa, została także powtórzona na drodze analizy przeieszczeń środków asy układów, co ożna zaobserwować na rys. 5.

8 68 Rys. 4. Porównanie wartości sił reakcji podłoża podczas skoku człowieka Fig. 4. A coparison of the base reaction force during a jup Rys. 5. Porównanie przeieszczeń środka ciężkości układów Fig. 5. A coparison of the center of gravity displaceent for different odels 4. Wnioski i podsuowanie W artykule przeprowadzono optyalizację układu odelującego zachowanie się człowieka podczas zeskoku. Zastosowano teorię regulatora optyalnego ze sprzężenie zwrotny. Następnie porównano tak otrzyaną siłę sterującą z siłą uzyskaną przy założeniu, że ciało człowieka jest układe optyalny, a jego zachowanie jest wzorcowe. W wyniku przeprowadzonej analizy okazało się, że istnieje duże podobieństwo poiędzy wynikai otrzyanyi z obydwu analizowanych przypadków, co pozwala wysnuć wniosek o słuszności poglądu, że ciało człowieka, traktowane jako idealny układ echaniczny, jest również optyalne w swy zachowaniu w sensie teorii regulatora optyalnego ze sprzężenie zwrotny.

9 Literatura 69 [] Nosiadek L., Synteza odeli bioechanicznych ciała człowieka opisujących zeskoki na podstawie badań doświadczalnych, praca doktorska, Politechnika Krakowska, Kraków 6. [] K s i ążek M.A., Modelowanie i optyalizacja układu człowiek wibroizolator aszyna, Wydawnictwo Politechniki Krakowskiej, Kraków 999. [3] K s i ąże k M.A., J a n i k A., Dynaics of active bioechanical odels of seated huan body and their vibration syste, Mechanics, Vol. 4, No., 5. [4] Mitkowski W., Stabilizacja systeów dynaicznych, WNT, Warszawa 99. [5] Mitkowski W., Równania acierzowe i ich zastosowania, Uczelniane Wydawnictwo Naukowo-Dydaktyczne AGH, Kraków 6.