Zmienna losowa i jej rozkład Dystrybuanta zmiennej losowej Wartość oczekiwana zmiennej losowej
|
|
- Bronisław Chmielewski
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Zmienna losowa i jej rozkład Dystrybuanta zmiennej losowej Wartość oczekiwana zmiennej losowej c Copyright by Ireneusz Krech ikrech@ap.krakow.pl Instytut Matematyki Uniwersytet Pedagogiczny im. KEN w Krakowie
2 Zmienna losowa Niech (Ω, p) będzie ziarnista przestrzenia probabilistyczna. Każda funkcję X : Ω R nazywamy zmienna losowa w tej przestrzeni.
3 Zmienna losowa Niech (Ω, p) będzie ziarnista przestrzenia probabilistyczna. Każda funkcję X : Ω R nazywamy zmienna losowa w tej przestrzeni. Jeżeli przestrzeń probabilistyczna (Ω, p) jest modelem doświadczenia δ, to zmienna losowa X w tej przestrzeni jest funkcja, która każdemu wynikowi doświadczenia δ przypisuje liczbę rzeczywista.
4 Przykłady zmiennych losowych Zmienna losowa jest:
5 Przykłady zmiennych losowych Zmienna losowa jest: liczba reszek w n-krotnym rzucie moneta,
6 Przykłady zmiennych losowych Zmienna losowa jest: liczba reszek w n-krotnym rzucie moneta, suma liczb oczek wyrzuconych w dwukrotnym rzucie kostka,
7 Przykłady zmiennych losowych Zmienna losowa jest: liczba reszek w n-krotnym rzucie moneta, suma liczb oczek wyrzuconych w dwukrotnym rzucie kostka, liczba rzutów monet a wykonanych aż do uzyskania po raz pierwszy reszki,
8 Przykłady zmiennych losowych Zmienna losowa jest: liczba reszek w n-krotnym rzucie moneta, suma liczb oczek wyrzuconych w dwukrotnym rzucie kostka, liczba rzutów moneta wykonanych aż do uzyskania po raz pierwszy reszki, pod warunkiem, że o tych liczbach mówimy zanim rozpocznie się doświadczenie.
9 Rozkład zmiennej losowej Niech Ω X oznacza zbiór wartości zmiennej losowej X w przestrzeni probabilistycznej (Ω, p).
10 Rozkład zmiennej losowej Niech Ω X oznacza zbiór wartości zmiennej losowej X w przestrzeni probabilistycznej (Ω, p). Ten zbiór jest co najwyżej przeliczalny. Załóżmy, że Ω X = {x 1, x 2, x 3,..., x t } lub Ω X = {x 1, x 2, x 3,...}.
11 Rozkład zmiennej losowej Jeżeli x j Ω X, to symbolem {X =x j } oznaczamy zbiór {ω Ω : X(ω)=x j }.
12 Rozkład zmiennej losowej Jeżeli x j Ω X, to symbolem {X =x j } oznaczamy zbiór {ω Ω : X(ω)=x j }. Ten zbiór jest zdarzeniem w przestrzeni probabilistycznej (Ω, p).
13 Rozkład zmiennej losowej Jeżeli x j Ω X, to symbolem {X =x j } oznaczamy zbiór {ω Ω : X(ω)=x j }. Ten zbiór jest zdarzeniem w przestrzeni probabilistycznej (Ω, p). Niech P (X =x j ) oznacza jego prawdopodobieństwo.
14 Rozkład zmiennej losowej Jeżeli x j Ω X, to symbolem {X =x j } oznaczamy zbiór {ω Ω : X(ω)=x j }. Ten zbiór jest zdarzeniem w przestrzeni probabilistycznej (Ω, p). Niech P (X =x j ) oznacza jego prawdopodobieństwo. Nazywamy je prawdopodobieństwem, z jakim zmienna losowa X przyjmuje wartość x j.
15 Rozkład zmiennej losowej Określmy na zbiorze Ω X funkcję p X następujaco: p X (x j ) = P (X =x j ) dla x j Ω X.
16 Rozkład zmiennej losowej Określmy na zbiorze Ω X funkcję p X następujaco: p X (x j ) = P (X =x j ) dla x j Ω X. Zbiór {{X =x j } : x j Ω X } jest układem zupełnym zdarzeń w przestrzeni probabilistycznej (Ω, p).
17 Rozkład zmiennej losowej Określmy na zbiorze Ω X funkcję p X następujaco: p X (x j ) = P (X =x j ) dla x j Ω X. Zbiór {{X =x j } : x j Ω X } jest układem zupełnym zdarzeń w przestrzeni probabilistycznej (Ω, p). Funkcja p X jest zatem rozkładem prawdopodobieństwa na zbiorze Ω X, a więc para (Ω X, p X ) jest nowa przestrzenia probabilistyczna.
18 Rozkład zmiennej losowej Definicja. Jeśli X jest zmienna losowa w przestrzeni probabilistycznej (Ω, p), Ω X jest zbiorem jej wartości, a p X jest funkcja określona wzorem p X (x j ) = P (X =x j ) dla x j Ω X, to parę (Ω X, p X ) nazywamy przestrzenia probabilistyczna generowana na prostej przez zmienna losowa X, a funkcję p X rozkładem zmiennej losowej X.
19 Uwagi Rozkład zmiennej losowej X jest więc funkcja, która każdej wartości zmiennej losowej X przypisuje prawdopodobieństwo, z jakim zmienna losowa X przyjmuje (może przyjać) tę wartość.
20 Uwagi Rozkład zmiennej losowej X jest więc funkcja, która każdej wartości zmiennej losowej X przypisuje prawdopodobieństwo, z jakim zmienna losowa X przyjmuje (może przyjać) tę wartość. Każda zmienna losowa X w przestrzeni probabilistycznej (Ω, p) przeprowadza ja w nowa przestrzeń probabilistyczna (Ω X, p X ).
21 Przykład. Rozważmy doświadczenie δ: rzut dwiema monetami. Niech X będzie liczba wyrzuconych orłów.
22 Przykład. Rozważmy doświadczenie δ: rzut dwiema monetami. Niech X będzie liczba wyrzuconych orłów. Przyjmijmy oznaczenie: ω k doświadczenie δ zakończy się wyrzuceniem k orłów.
23 Przykład. Rozważmy doświadczenie δ: rzut dwiema monetami. Niech X będzie liczba wyrzuconych orłów. Przyjmijmy oznaczenie: ω k doświadczenie δ zakończy się wyrzuceniem k orłów. Wówczas Ω = {ω 0, ω 1, ω 2 } oraz p(ω 0 ) = p(ω 2 ) = 1 4 oraz p(ω 1 ) = 1 2.
24 Mamy tutaj Ω X = {0, 1, 2}
25 Mamy tutaj Ω X = {0, 1, 2} oraz {X = 0} = {ω 0 }, {X = 1} = {ω 1 }, {X = 2} = {ω 2 },
26 Mamy tutaj Ω X = {0, 1, 2} oraz {X = 0} = {ω 0 }, {X = 1} = {ω 1 }, {X = 2} = {ω 2 }, skad p X (0) = P (X = 0) = p(ω 0 ) = 1 4, p X (1) = P (X = 1) = p(ω 1 ) = 1 2, p X (2) = P (X = 2) = p(ω 2 ) = 1 4.
27 Dystrybuanta zmiennej losowej Niech X będzie zmienna losowa w ziarnistej przestrzeni probabilistycznej (Ω, p), Ω X zbiorem jej wartości, p X zaś jej rozkładem. Niech {X < x} = {ω Ω : X(ω) < x}, gdzie x R. Zbiór {X < x} jest zdarzeniem w przestrzeni probabilistycznej (Ω, p). Niech P (X < x) oznacza jego prawdopodobieństwo.
28 Dystrybuanta zmiennej losowej Definicja. Jeżeli X jest zmienna losowa w przestrzeni probabilistycznej (Ω, p), to funkcję F X : R R określona wzorem F X (x) = P (X < x), dla x R, nazywamy dystrybuanta zmiennej losowej X.
29 Fizyczna interpretacja rozkładu zmiennej losowej Załóżmy, że X jest zmienna losowa w przestrzeni probabilistycznej (Ω, p), że Ω X jest zbiorem jej wartości, a funkcja p X jest jej rozkładem. Niech x j Ω X.
30 Fizyczna interpretacja rozkładu zmiennej losowej Załóżmy, że X jest zmienna losowa w przestrzeni probabilistycznej (Ω, p), że Ω X jest zbiorem jej wartości, a funkcja p X jest jej rozkładem. Niech x j Ω X. Interpretujmy liczbę p X (x j ), tj. prawdopodobieństwo P (X =x j ), jako masę skupiona na osi liczbowej w punkcie x j.
31 Fizyczna interpretacja rozkładu zmiennej losowej Załóżmy, że X jest zmienna losowa w przestrzeni probabilistycznej (Ω, p), że Ω X jest zbiorem jej wartości, a funkcja p X jest jej rozkładem. Niech x j Ω X. Interpretujmy liczbę p X (x j ), tj. prawdopodobieństwo P (X =x j ), jako masę skupiona na osi liczbowej w punkcie x j. Funkcja p X staje się w tej fizycznej interpretacji rozkładem jednostkowej masy w izolowanych punktach na prostej.
32 Fizyczna interpretacja rozkładu zmiennej losowej Załóżmy, że X jest zmienna losowa w przestrzeni probabilistycznej (Ω, p), że Ω X jest zbiorem jej wartości, a funkcja p X jest jej rozkładem. Niech x j Ω X. Interpretujmy liczbę p X (x j ), tj. prawdopodobieństwo P (X =x j ), jako masę skupiona na osi liczbowej w punkcie x j. Funkcja p X staje się w tej fizycznej interpretacji rozkładem jednostkowej masy w izolowanych punktach na prostej. Ta interpretacja rozkładu zmiennej losowej tłumaczy jego nazwę ROZKŁAD ZIARNISTY.
33
34 F X (x) = 0 dla x (, 0], 1 4 dla x (0, 1], 3 4 dla x (1, 2], 1 dla x (2, ).
35 F X (x) = 0 dla x (, 0], 1 4 dla x (0, 1], 3 4 dla x (1, 2], 1 dla x (2, ).
36 F X (x) = 0 dla x (, 0], 1 4 dla x (0, 1], 3 4 dla x (1, 2], 1 dla x (2, ).
37 F X (x) = 0 dla x (, 0], 1 4 dla x (0, 1], 3 4 dla x (1, 2], 1 dla x (2, ).
38 . F X X
39 Własności dystrybuanty Twierdzenie. Jeżeli X jest zmienna losowa w ziarnistej przestrzeni probabilistycznej (Ω, p), a funkcja F X jest jej dystrybuanta, to: 1) x R : [0 F X (x) 1];
40 Własności dystrybuanty Twierdzenie. Jeżeli X jest zmienna losowa w ziarnistej przestrzeni probabilistycznej (Ω, p), a funkcja F X jest jej dystrybuanta, to: 1) x R : [0 F X (x) 1]; 2) a, b R : [a < b = F X (a) F X (b)];
41 Własności dystrybuanty Twierdzenie. Jeżeli X jest zmienna losowa w ziarnistej przestrzeni probabilistycznej (Ω, p), a funkcja F X jest jej dystrybuanta, to: 1) x R : [0 F X (x) 1]; 2) a, b R : [a < b = F X (a) F X (b)]; 3) a R : [ lim F X(x) = F X (a) x a ] ;
42 Własności dystrybuanty Twierdzenie. Jeżeli X jest zmienna losowa w ziarnistej przestrzeni probabilistycznej (Ω, p), a funkcja F X jest jej dystrybuanta, to: 1) x R : [0 F X (x) 1]; 2) a, b R : [a < b = F X (a) F X (b)]; 3) a R : [ lim F X(x) = F X (a) x a ] ; 4) lim x F X(x) = 0 oraz lim x F X (x) = 1.
43 Własności dystrybuanty Twierdzenie. Jeżeli X jest zmienna losowa w ziarnistej przestrzeni probabilistycznej (Ω, p), a funkcja F X jest jej dystrybuanta, to: 1) x R : [0 F X (x) 1]; 2) a, b R : [a < b = F X (a) F X (b)]; 3) a R : [ lim F X(x) = F X (a) x a ] ; 4) lim x F X(x) = 0 oraz lim x F X (x) = 1.
44 Wartość oczekiwana zmiennej losowej Niech X będzie zmienna losowa w ziarnistej przestrzeni probabilistycznej (Ω, p), Ω X zbiorem jej wartości, p X zaś jej rozkładem. Wartościa oczekiwana, albo wartościa średnia zmiennej losowej X, nazywamy liczbę E(X), gdzie: 1 o E(X) = c, gdy Ω X = {c};
45 Wartość oczekiwana zmiennej losowej Niech X będzie zmienna losowa w ziarnistej przestrzeni probabilistycznej (Ω, p), Ω X zbiorem jej wartości, p X zaś jej rozkładem. Wartościa oczekiwana, albo wartościa średnia zmiennej losowej X, nazywamy liczbę E(X), gdzie: 1 o E(X) = c, gdy Ω X = {c}; 2 o E(X) = x 1 p X (x 1 ) + x 2 p X (x 2 ) x t p X (x t ), gdy Ω X = {x 1, x 2,..., x t };
46 Wartość oczekiwana zmiennej losowej Niech X będzie zmienna losowa w ziarnistej przestrzeni probabilistycznej (Ω, p), Ω X zbiorem jej wartości, p X zaś jej rozkładem. Wartościa oczekiwana, albo wartościa średnia zmiennej losowej X, nazywamy liczbę E(X), gdzie: 1 o E(X) = c, gdy Ω X = {c}; 2 o E(X) = x 1 p X (x 1 ) + x 2 p X (x 2 ) x t p X (x t ), 3 o E(X) = j=1 gdy Ω X = {x 1, x 2,..., x t }; x j p X (x j ), gdy Ω X = {x 1, x 2, x 3,...}, pod warunkiem, że ten szereg jest zbieżny i to bezwzględnie.
47 Wartość oczekiwana zmiennej losowej W interpretacji fizycznej rozkładu p X liczba E(X) jest środkiem ciężkości tego układu mas. Z tego faktu wynikaja pewne własności wartości oczekiwanej.
48 Własności wartości oczekiwanej Twierdzenie. Jeśli zmienna losowa X posiada wartość oczekiwana E(X), b zaś jest dowolna ustalona liczba rzeczywista, to zmienna losowa Y =X +b także posiada wartość oczekiwana i E(Y ) = E(X +b) = E(X) + b.
49 Własności wartości oczekiwanej Twierdzenie. Jeśli zmienna losowa X posiada wartość oczekiwana E(X), b zaś jest dowolna ustalona liczba rzeczywista, to zmienna losowa Y =X +b także posiada wartość oczekiwana i E(Y ) = E(X +b) = E(X) + b. Twierdzenie. Jeżeli zmienna losowa X posiada wartość oczekiwana E(X) i a jest dowolna ustalona liczba rzeczywista różna od 0, to zmienna losowa Y = a X także posiada wartość oczekiwana i E(Y ) = E(a X) = a E(X).
50 Własności wartości oczekiwanej Twierdzenie. Jeśli zmienne losowe X 1, X 2,..., X s sa określone w tej samej przestrzeni probabilistycznej i każda posiada wartość oczekiwana, to posiada ja również ich suma i E(X 1 + X X s ) = E(X 1 ) + E(X 2 ) + + E(X s ).
51 Wariancja zmiennej losowej Definicja. Jeżeli zmienna losowa X w przestrzeni probabilistycznej (Ω, p) posiada wartość oczekiwana E(X), to wariancja zmiennej losowej X nazywamy liczbę D 2 (X) = E[X E(X)] 2.
52 Wariancja zmiennej losowej Jeżeli X jest zmienna losowa posiadajac a wartość oczekiwana, to Y = [X E(X)] 2 jest nowa zmienna losowa w tej przestrzeni.
53 Wariancja zmiennej losowej Jeżeli X jest zmienna losowa posiadajac a wartość oczekiwana, to Y = [X E(X)] 2 jest nowa zmienna losowa w tej przestrzeni. Zmienna losowa Y jest kwadratem odchylenia wartości zmiennej losowej X od liczby E(X).
54 Wariancja zmiennej losowej Jeżeli X jest zmienna losowa posiadajac a wartość oczekiwana, to Y = [X E(X)] 2 jest nowa zmienna losowa w tej przestrzeni. Zmienna losowa Y jest kwadratem odchylenia wartości zmiennej losowej X od liczby E(X). Wariancja zmiennej losowej X jest więc wartościa oczekiwana kwadratu odchyleń wartości tej zmiennej losowej od liczby E(X).
55 Wariancja zmiennej losowej Z definicji wynika, że wariancja zmiennej losowej wyraża się wzorem: D 2 (X) = x j Ω X [x j E(X)] 2 p X (x j ).
56 Wariancja zmiennej losowej Z definicji wynika, że wariancja zmiennej losowej wyraża się wzorem: D 2 (X) = x j Ω X [x j E(X)] 2 p X (x j ). Z własności wartości oczekiwanej wynika następujace Twierdzenie. Jeżeli zmienna losowa X posiada wartość oczekiwana i posiada wariancję, to D 2 (X) = E(X 2 ) [E(X)] 2.
57 Własności wariancji Jeżeli zmienna losowa X ma wariancję, c zaś jest ustalona liczba rzeczywista, to: 1 o D 2 (c X) = c 2 D 2 (X);
58 Własności wariancji Jeżeli zmienna losowa X ma wariancję, c zaś jest ustalona liczba rzeczywista, to: 1 o D 2 (c X) = c 2 D 2 (X); 2 o D 2 (X + c) = D 2 (X);
59 Odchylenie standardowe Definicja. Pierwiastek kwadratowy z wariancji D 2 (X) nazywamy odchyleniem standardowym zmiennej losowej X i oznaczamy σ X.
60 Co wynika z faktu, że wariancja D 2 (X) = x j Ω X [x j E(X)] 2 p X (x j ). jest mała?
Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu.
Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu. A Teoria Definicja A.1. Niech (Ω, F, P) będzie przestrzenią probabilistyczną. Zmienną losową określoną na przestrzeni Ω nazywamy dowolną
Bardziej szczegółowo4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03)
4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03) Definicja 1 Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x 1, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która przyjmuje wszystkie
Bardziej szczegółowoDyskretne zmienne losowe
Dyskretne zmienne losowe dr Mariusz Grządziel 16 marca 2009 Definicja 1. Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x 1, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki. 1.1 Definicja zmiennej losowej
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Zbiór możliwych wyników eksperymentu będziemy nazywać przestrzenią zdarzeń elementarnych i oznaczać Ω, natomiast
Bardziej szczegółowoJeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Wykład 4 Rozkłady i ich dystrybuanty Dwa typy zmiennych losowych Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Bardziej szczegółowoJednowymiarowa zmienna losowa
1 Jednowymiarowa zmienna losowa Przykład Doświadczenie losowe - rzut kostką do gry. Obserwujemy ilość wyrzuconych oczek. Teoretyczny model eksperymentu losowego - przestrzeń probabilistyczna (Ω, S, P ),
Bardziej szczegółowoStatystyka i eksploracja danych
Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,
Bardziej szczegółowoW2 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie)
W2 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie) Henryk Maciejewski Jacek Jarnicki Marek Woda www.zsk.iiar.pwr.edu.pl Rachunek prawdopodobieństwa - przypomnienie 1. Zdarzenia 2. Prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoPrzykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru
Bardziej szczegółowoStatystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka. Zmienne losowe. Aleksander Denisiuk. denisjuk@euh-e.edu.pl
Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka Zmienne losowe Aleksander Denisiuk denisjuk@euh-e.edu.pl Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza 2 82-300 Elblag oraz Biostatystyka p.
Bardziej szczegółowoIII. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE
III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta
Bardziej szczegółowoWykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe
Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną Definicja 1 Jednowymiarowa zmienna losowa (o wartościach rzeczywistych), określoną na przestrzeni probabilistycznej
Bardziej szczegółowoElementy Rachunek prawdopodobieństwa
Elementy rachunku prawdopodobieństwa Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się analizą praw rządzących zdarzeniami losowymi Pojęciami pierwotnymi są: zdarzenie elementarne ω oraz zbiór zdarzeń elementarnych
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej
Bardziej szczegółowoZmienne losowe skokowe
Zmienne losowe skokowe 1.1 Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta Zad.1 Niech zmienna losowa X przyjmuje wartości równe liczbie wyrzuconych oczek przy pojedynczym rzucie kostką do gry, czyli =1,2,3,,6.
Bardziej szczegółowoZmienne losowe. Powtórzenie. Dariusz Uciński. Wykład 1. Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski
Powtórzenie Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski Wykład 1 Podręcznik podstawowy Jacek Koronacki, Jan Mielniczuk: Statystyka dla studentów kierunków technicznych i przyrodnicznych,
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Przestrzeń probabilistyczna Niech Ω będzie dowolnym zbiorem, zwanym przestrzenią zdarzeń elementarnych. Elementy ω tej przestrzeni nazywamy zdarzeniami elementarnymi.
Bardziej szczegółowoZmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014
Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014 Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe
Bardziej szczegółowoPrawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne
, centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 5 Magdalena Alama-Bućko 1 kwietnia 2019 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 1 kwietnia 2019 1 / 19 Rozkład Poissona Po(λ), λ > 0 - parametr tzw. rozkład zdarzeń
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa- wykład 6
Rachunek prawdopodobieństwa- wykład 6 Zmienne losowe dyskretne. Charakterystyki liczbowe zmiennych losowych dyskretnych dr Marcin Ziółkowski Instytut Matematyki i Informatyki Uniwersytet Humanistyczno-Przyrodniczy
Bardziej szczegółowoZmienna losowa. Rozkład skokowy
Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga * - materiał nadobowiązkowy Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 1 Zagadnienia
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń probabilistyczna
Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty zbiór Σ rodzina podzbiorów tego zbioru P funkcja określona na Σ, zwana prawdopodobieństwem. Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty
Bardziej szczegółowoII WYKŁAD STATYSTYKA. 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15
II WYKŁAD STATYSTYKA 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 2 Rachunek prawdopodobieństwa zdarzenia elementarne zdarzenia losowe zmienna losowa skokowa i ciągła prawdopodobieństwo i gęstość prawdopodobieństwa
Bardziej szczegółowoPEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA
PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Trójkę (Ω, F, P ), gdzie Ω, F jest σ-ciałem podzbiorów Ω, a P jest prawdopodobieństwem określonym na F, nazywamy przestrzenią probabilistyczną. 2. Rodzinę F
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.0. Rozkłady zmiennych losowych, dystrybuanta. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Wprowadzenie Rozważmy eksperymenty 1 gra Bolka w ruletkę w kasynie;
Bardziej szczegółowoWykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady
Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady Magdalena Frąszczak Wrocław, 11.10.2017r Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe Doświadczenie
Bardziej szczegółowoRozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych
Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych Rozkład dwumianowy Rozkład normalny Marta Zalewska Zmienna losowa dyskretna (skokowa) jest to zmienna, której zbór wartości jest skończony lub przeliczalny.
Bardziej szczegółowoPrzykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1
Przykładowe zadania na egzamin z matematyki - dr Anita Tlałka - 1 Zadania rozwiązywane na wykładzie Zadania rozwiązywane na ćwiczeniach Przy rozwiązywaniu zadań najistotniejsze jest wykazanie się rozumieniem
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady
WYKŁAD 2 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady Metody statystyczne metody opisu metody wnioskowania statystycznego syntetyczny liczbowy opis właściwości zbioru danych ocena
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 3
Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 3 Przygotowując wykład korzystam głównie z książki Jakubowski, Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Zmienna losowa i jej
Bardziej szczegółowoP (A B) = P (A), P (B) = P (A), skąd P (A B) = P (A) P (B). P (A)
Wykład 3 Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego Kiedy dwa zdarzenia są niezależne? Gdy wiedza o tym, czy B zaszło, czy nie, NIE MA WPŁYWU na oszacowanie prawdopodobieństwa zdarzenia A: P (A B) = P
Bardziej szczegółowoLiteratura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III.
Literatura Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K, Wasilewski M., Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna w Zadaniach, cz. I. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej
Bardziej szczegółowoStatystyka. Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego
Statystyka Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego 2017 Zmienna losowa i jej rozkład Mając daną przestrzeń probabilistyczną, czyli parę (&, P) stanowiącą model pewnego doświadczenia losowego (gdzie
Bardziej szczegółowoWykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa
Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Marek Kubiak Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Plan wykładu Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa Rozkład
Bardziej szczegółowoZestaw 2: Zmienne losowe. 0, x < 1, 2, 2 x, 1 1 x, 1 x, F 9 (x) =
Zestaw : Zmienne losowe. Które z poniższych funkcji są dystrybuantami? Odpowiedź uzasadnij. Wskazówka: naszkicuj wykres. 0, x 0,, x 0, F (x) = x, F (x) = x, 0 x
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne. Twierdzenia graniczne Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 20.2.208 / 26 Motywacja Rzucamy wielokrotnie uczciwą monetą i zliczamy
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA Zadanie 0.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 0 4 p k 1/3 1/6 1/ obliczyć EX, D X. (odp. 4/3;
Bardziej szczegółowoRozkłady statystyk z próby
Rozkłady statystyk z próby Rozkłady statystyk z próby Przypuśćmy, że wykonujemy serię doświadczeń polegających na 4 krotnym rzucie symetryczną kostką do gry, obserwując liczbę wyrzuconych oczek Nr kolejny
Bardziej szczegółowoElementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska)
Elementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska) Twierdzenie (o mnożeniu) Podstawowe pojęcia i wzory kombinatoryczne. Niech,, będą zbiorami mającymi odpowiednio,,
Bardziej szczegółowoWstęp do rachunku prawdopodobieństwa
Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa Rozdział 06: Zmienne losowe. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2015/2016 Wprowadzenie Przykład 6.1 Adam, Bolek i Czesiu wstąpili do kasyna. Postanowili
Bardziej szczegółowoAby przygotować się do kolokwiów oraz do egzaminów należy ponownie przeanalizować zadania
Chemia Budowlana - Wydział Chemiczny - 1 Aby przygotować się do kolokwiów oraz do egzaminów należy ponownie przeanalizować zadania rozwiązywane na wykładzie, rozwiązywane na ćwiczeniach, oraz samodzielnie
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja
Bardziej szczegółowoZmienne losowe. Statystyka w 3
Zmienne losowe Statystyka w Zmienna losowa Zmienna losowa jest funkcją, w której każdej wartości R odpowiada pewien podzbiór zbioru będący zdarzeniem losowym. Zmienna losowa powstaje poprzez przyporządkowanie
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład V: Zmienne losowe i ich wartości oczekiwane 25 października 2017 Definicja zmiennej losowej Definicja Zmienne losowa to charakterystyka liczbowa wyniku eksperymentu losowego. Zmienne losowa na przestrzeni
Bardziej szczegółowoBiostatystyka, # 3 /Weterynaria I/
Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Głęboka 28, p. 221 bud. CIW, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoTemat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły. Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga. Anna Rajfura, Matematyka
Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga 1 Zagadnienia 1. Przypomnienie wybranych pojęć rachunku prawdopodobieństwa. Zmienna losowa. Rozkład
Bardziej szczegółowoPodstawowe modele probabilistyczne
Wrocław University of Technology Podstawowe modele probabilistyczne Maciej Zięba maciej.zieba@pwr.edu.pl Rozpoznawanie Obrazów, Lato 2018/2019 Pojęcie prawdopodobieństwa Prawdopodobieństwo reprezentuje
Bardziej szczegółowoZmienne losowe. dr Mariusz Grządziel Wykład 12; 20 maja 2014
Zmienne losowe dr Mariusz Grządziel Wykład 2; 20 maja 204 Definicja. Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która przyjmuje
Bardziej szczegółowoPodstawy nauk przyrodniczych Matematyka
Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka Elementy rachunku prawdopodobieństwa dr inż. Małgorzata Szeląg Zakład Genetyki Molekularnej Człowieka tel. 61 829 59 04 malgorzata.szelag@amu.edu.pl Pokój 1.118
Bardziej szczegółowoMATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ
MATEMATYKA Z ELEMENTAMI STATYSTYKI LABORATORIUM KOMPUTEROWE DLA II ROKU KIERUNKU ZARZĄDZANIE I INŻYNIERIA PRODUKCJI ZESTAWY ZADAŃ Opracowała: Milena Suliga Wszystkie pliki pomocnicze wymienione w treści
Bardziej szczegółowoWymagania egzaminacyjne z matematyki. Klasa 3C. MATeMATyka. Nowa Era. Klasa 3
Wymagania egzaminacyjne z matematyki. lasa 3C. MATeMATyka. Nowa Era. y są ze sobą ściśle powiązane ( + P + R + D + W), stanowiąc ocenę szkolną, i tak: ocenę dopuszczającą (2) otrzymuje uczeń, który spełnił
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne Teoria estymacji Jędrzej Potoniec Bibliografia Bibliografia Próba losowa (x 1, x 2,..., x n ) Próba losowa (x 1, x 2,..., x n ) (X 1, X 2,..., X n ) Próba losowa (x 1, x 2,...,
Bardziej szczegółowozdarzenie losowe - zdarzenie którego przebiegu czy wyniku nie da się przewidzieć na pewno.
Rachunek prawdopodobieństwa Podstawowym celem rachunku prawdopodobieństwa jest określanie szans zajścia pewnych zdarzeń. Pojęcie podstawowe rachunku prawdopodobieństwa to: zdarzenie losowe - zdarzenie
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa Sebastian Rymarczyk srymarczyk@afm.edu.pl Tematyka zajęć 1. Elementy kombinatoryki. 2. Definicje prawdopodobieństwa. 3. Własności prawdopodobieństwa. 4. Zmienne losowe, parametry
Bardziej szczegółowoL.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 2 ZADANIA - ZESTAW 2
ZADANIA - ZESTAW 2 Zadanie 2.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 1 0 2 p k 1/ 1/6 1/2 a) wyznaczyć dystrybuantę tej zmiennej losowej i naszkicować jej wykres, b) obliczyć
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3.
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3. ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA. Zmienną losową X nazywamy funkcję (praktycznie każdą) przyporządkowującą zdarzeniom elementarnym liczby rzeczywiste. X : Ω R (dokładniej:
Bardziej szczegółowoDefinicja 7.4 (Dystrybuanta zmiennej losowej). Dystrybuantą F zmiennej losowej X nazywamy funkcję: Własności dystrybuanty zmiennej losowej:
Definicja 7.4 (Dystrybuanta zmiennej losowej). Dystrybuantą F zmiennej losowej X nazywamy funkcję: F (t) P (X t) < t < Własności dystrybuanty zmiennej losowej: jest niemalejąca: 0 F (t) jest prawostronnie
Bardziej szczegółowoWykład 13. Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa
Wykład 13. Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu semestr zimowy, rok akademicki 2015 2016 Doświadczenie losowe Doświadczenie
Bardziej szczegółowoMatematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/
Matematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/ Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a bud. Agro II, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoRozkłady prawdopodobieństwa
Tytuł Spis treści Wersje dokumentu Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej 10 grudnia 2011 Spis treści Tytuł Spis treści Wersje dokumentu 1 Wartość oczekiwana Wariancja i odchylenie standardowe Rozkład
Bardziej szczegółowoKwantyle. Kwantyl rzędu p rozkładu prawdopodobieństwa to taka liczba x p. , że. Możemy go obliczyć z dystrybuanty: P(X x p.
Kwantyle Kwantyl rzędu p rozkładu prawdopodobieństwa to taka liczba x p, że P(X x p ) p P(X x p ) 1 p Możemy go obliczyć z dystrybuanty: Jeżeli F(x p ) = p, to x p jest kwantylem rzędu p Jeżeli F(x p )
Bardziej szczegółowoSTYSTYSTYKA dla ZOM II dr inż Krzysztof Bryś Wykad 1
1 STYSTYSTYKA dla ZOM II dr inż Krzysztof Bryś Wykad 1 Klasyczny Rachunek Prawdopodobieństwa. 1. Pojȩcia wstȩpne. Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wynik nie jest znany. Posiadamy
Bardziej szczegółowo1 Wersja testu A 18 września 2014 r.
1 Wersja testu A 18 września 2014 r. 1. Zapisać w postaci przedziału lub uporządkowanej sumy przedziałów zbiór liczb rzeczywstych x, dla których podana implikacja jest prawdziwa. a) x 2 < 4 x < 3, (, +
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Momenty Zmienna losowa jest wystarczająco dokładnie opisana przez jej rozkład prawdopodobieństwa. Względy praktyczne dyktują jednak potrzebę znalezienia charakterystyk
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne 6. Momenty zmiennych losowych Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 8.11.2018 1 / 47 Funkcje zmiennych losowych Mierzalna funkcja Y
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa 2.1. σ ciało (algebra) zdarzeń Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska losowe Zdarzenie losowe to pewien podzbiór przestrzeni zdarzeń
Bardziej szczegółowoWybrane rozkłady zmiennych losowych. Statystyka
Wybrane rozkłady zmiennych losowych Statystyka Rozkład dwupunktowy Zmienna losowa przyjmuje tylko dwie wartości: wartość 1 z prawdopodobieństwem p i wartość 0 z prawdopodobieństwem 1- p x i p i 0 1-p 1
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład IV: 27 października 2014 Współczynnik korelacji Brak korelacji a niezależność Definicja współczynnika korelacji Współczynnikiem korelacji całkowalnych z kwadratem zmiennych losowych X i Y nazywamy
Bardziej szczegółowoZadania z Zasad planowania eksperymentu i opracowania wyników pomiarów. Zestaw 2.
Zestaw. Zadanie.. Prawdziwa wiedza polega na zrozumieniu przyczyn Francis Bacon Zmienna losowa X może przyjmować podane poniżej wartości z określonym prawdopodobieństwem: x i 4 p i / /6 /6 / Przedstaw
Bardziej szczegółowoRozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe
Statystyka i opracowanie danych W4 Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Rozkład normalny wykres funkcji gęstości
Bardziej szczegółowo1 Elementy kombinatoryki i teorii prawdopodobieństwa
1 Elementy kombinatoryki i teorii prawdopodobieństwa 1.1 Elementy kombinatoryki W rozwiązywaniu pewnych problemów związanych z obliczaniem prawdopodobieństwa o skończonej liczbie zdażeń elementarnych bardzo
Bardziej szczegółowoDokładne i graniczne rozkłady statystyk z próby
Dokładne i graniczne rozkłady statystyk z próby Przypomnijmy Populacja Próba Wielkość N n Średnia Wariancja Odchylenie standardowe 4.2 Rozkład statystyki Mówimy, że rozkład statystyki (1) jest dokładny,
Bardziej szczegółowoW rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych:
W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych: Zmienne losowe skokowe (dyskretne) przyjmujące co najwyżej przeliczalnie wiele wartości Zmienne losowe ciągłe
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA
1 STATYSTYKA MATEMATYCZNA dla ZPM I dr inż Krzysztof Bryś wyk lad 1,2 KLASYCZNY RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Pojȩcia wstȩpne. Doświadczeniem losowym nazywamy doświadczenie, którego wynik nie jest znany.
Bardziej szczegółowoKurs do wyboru Wstęp do analizy algorytmów Instytut Matematyki i Informatyki UO 2011/2012
dr Przemysław Szczepaniak Kurs do wyboru Wstęp do analizy algorytmów Instytut Matematyki i Informatyki UO 2011/2012 ZLICZANIE 1.ZmiastaAdomiastaBprowadzipięćdróg.Ilomasposobamimożnaodbyćpodróż A B Apodwarunkiem,żeniemożnawracaćtąsamądrogą?
Bardziej szczegółowoWybrane rozkłady zmiennych losowych. Statystyka
Wybrane rozkłady zmiennych losowych Statystyka Rozkład dwupunktowy Zmienna losowa przyjmuje tylko dwie wartości: wartość 1 z prawdopodobieństwem p i wartość 0 z prawdopodobieństwem 1- p x i p i 0 1-p 1
Bardziej szczegółowoRozkłady i ich dystrybuanty 16 marca F X (t) = P (X < t) 0, gdy t 0, F X (t) = 1, gdy t > c, 0, gdy t x 1, 1, gdy t > x 2,
Wykład 4. Rozkłady i ich dystrybuanty 6 marca 2007 Jak opisać cały rozkład jedną funkcją? Aby znać rozkład zmiennej X, musimy umieć obliczyć P (a < X < b) dla dowolnych a < b. W tym celu wystarczy znać
Bardziej szczegółowoPROBABILISTYKA - test numery zestawów 1,3,5,7,9,...,41
1 numery zestawów 1,3,5,7,9,...,41 (a) Jeśli P (A) = 0.5 oraz P (B) = 0.3 oraz B A, to P (B \ A) = 0.2. (b) Przy jednokrotnym rzucie kostk a prawdopodobieństwo, że wypadnie szóstka pod warunkiem, że wypad
Bardziej szczegółowoZadania zestaw 1: Zadania zestaw 2
Zadania zestaw 1: Zadania zestaw 2 Zadania zestaw 3. 1 Rozkład zmiennej losowej skokowej X przedstawia tabela. x i m 0 n p i 0,4 0,3 0,3 a) Wyznacz m i n jeśli: są całkowite, m
Bardziej szczegółowoRozkłady zmiennych losowych
Rozkłady zmiennych losowych Wprowadzenie Badamy pewną zbiorowość czyli populację pod względem występowania jakiejś cechy. Pobieramy próbę i na podstawie tej próby wyznaczamy pewne charakterystyki. Jeśli
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA. rachunek prawdopodobieństwa
STATYSTYKA MATEMATYCZNA rachunek prawdopodobieństwa treść Zdarzenia losowe pojęcie prawdopodobieństwa prawo wielkich liczb zmienne losowe rozkłady teoretyczne zmiennych losowych Zanim zajmiemy się wnioskowaniem
Bardziej szczegółowoLista 1 1. Ile jest tablic rejestracyjnych formatu LL CCCC? A ile CC LLLL?
Statystyka i Rachunek Prawdopodobieństwa (Fizyka i Optyka) Lista zadań Marek Klonowski Wrocław 2015/16 Lista 1 1. Ile jest tablic rejestracyjnych formatu LL CCCC? A ile CC LLLL? 2. Ile jest ciągów bitowych
Bardziej szczegółowoZ poprzedniego wykładu
PODSTAWY STATYSTYKI 1. Teoria prawdopodobieństwa i elementy kombinatoryki 2. Zmienne losowe i ich rozkłady 3. Populacje i próby danych, estymacja parametrów 4. Testowanie hipotez 5. Testy parametryczne
Bardziej szczegółowoKomisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r. Część I Matematyka finansowa
Komisja Egzaminacyjna dla Aktuariuszy LXX Egzamin dla Aktuariuszy z 23 marca 2015 r. Część I Matematyka finansowa WERSJA TESTU A Imię i nazwisko osoby egzaminowanej:... Czas egzaminu: 100 minut 1 1. Rozważmy
Bardziej szczegółowoLista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie
Lista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w
Bardziej szczegółowoSieci Mobilne i Bezprzewodowe laboratorium 1
Sieci Mobilne i Bezprzewodowe laboratorium 1 Plan laboratoriów Teoria zdarzeń dyskretnych Modelowanie zdarzeń dyskretnych Symulacja zdarzeń dyskretnych Problem rozmieszczenia stacji raportujących i nieraportujących
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 3 ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ JEDNOWYMIAROWEJ
Ćwiczenia 3 ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ JEDNOWYMIAROWEJ Zadanie 1. Zmienna losowa przyjmuje wartości -1, 0, 1 z prawdopodobieństwami równymi odpowiednio: ¼, ½, ¼. Należy: a. Wyznaczyć rozkład prawdopodobieństwa
Bardziej szczegółowoDeska Galtona. Adam Osękowski. Instytut Matematyki, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski
a schemat Bernoulliego Instytut Matematyki, Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski XV Festiwal Nauki, 21 września 2011r. a schemat Bernoulliego Schemat Bernoulliego B(n, p)
Bardziej szczegółowo(C. Gauss, P. Laplace, Bernoulli, R. Fisher, J. Spława-Neyman) Wikipedia 2008
STATYSTYKA MATEMATYCZNA - dział matematyki stosowanej oparty na rachunku prawdopodobieństwa; zajmuje się badaniem zbiorów na podstawie analizy ich części. Nauka, której przedmiotem zainteresowania są metody
Bardziej szczegółowoa. zbiór wszystkich potasowań talii kart (w którym S dostaje 13 pierwszych kart, W - 13 kolejnych itd.);
03DRAP - Przykłady przestrzeni probabilistycznych A Zadania na ćwiczenia Zadanie A1 (wskazówka: pierwsze ćwicznia i rozdział 23 przykł 1 i 2) Zbuduj model przestrzeni klasycznej (czyli takiej, w której
Bardziej szczegółowo12DRAP - parametry rozkładów wielowymiarowych
DRAP - parametry rozkładów wielowymiarowych Definicja.. Jeśli h : R R, a X, Y ) jest wektorem losowym o gęstości fx, y) to EhX, Y ) = hx, y)fx, y)dxdy. Jeśli natomiast X, Y ) ma rozkład dyskretny skupiony
Bardziej szczegółowozadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych
zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych 1. [E.A 5.10.1996/zad.4] Funkcja gęstości dana jest wzorem { 3 x + 2xy + 1 y dla (x y) (0 1) (0 1) 4 4 P (X > 1 2 Y > 1 2 ) wynosi:
Bardziej szczegółowoZadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014.
Zadania o numerze 4 z zestawów licencjat 2014. W nawiasie przy zadaniu jego występowanie w numerze zestawu Spis treści (Z1, Z22, Z43) Definicja granicy ciągu. Obliczyć granicę:... 3 Definicja granicy ciągu...
Bardziej szczegółowo51. Wykorzystywanie sumy, iloczynu i różnicy zdarzeń do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń.
Matematyka lekcja 5 5. Wykorzystywanie sumy, iloczynu i różnicy zdarzeń do obliczania prawdopodobieństw zdarzeń. I. rzypomnij sobie:. Jak rysujemy drzewo stochastyczne i przy jego pomocy obliczamy prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoPojęcie szeregu nieskończonego:zastosowania do rachunku prawdopodobieństwa wykład 1
Pojęcie szeregu nieskończonego:zastosowania do rachunku prawdopodobieństwa wykład dr Mariusz Grządziel 5 lutego 04 Paradoks Zenona z Elei wersja uwspółcześniona Zenek goni Andrzeja; prędkość Andrzeja:
Bardziej szczegółowoZdarzenia losowe i prawdopodobieństwo
Rozdział 1 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo 1.1 Klasyfikacja zdarzeń Zdarzenie elementarne pojęcie aprioryczne, które nie może być zdefiniowane. Odpowiednik pojęcia punkt w geometrii. Zdarzenie elementarne
Bardziej szczegółowoRachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka
Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka W 2. Probabilistyczne modele danych Zmienne losowe. Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej Dr Anna ADRIAN Zmienne
Bardziej szczegółowoPODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek
PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Piotr Wiącek ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA Jest to miara probabilistyczna określona na σ-ciele podzbiorów borelowskich pewnej przestrzeni metrycznej. σ-ciało podzbiorów
Bardziej szczegółowoCentralne twierdzenie graniczne
Instytut Sterowania i Systemów Informatycznych Universytet Zielonogórski Wykład 4 Ważne uzupełnienie Dwuwymiarowy rozkład normalny N (µ X, µ Y, σ X, σ Y, ρ): f XY (x, y) = 1 2πσ X σ Y 1 ρ 2 { [ (x ) 1
Bardziej szczegółowo