Prawdopodobieństwo geometryczne
|
|
|
- Michalina Staniszewska
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Prawdopodobieństwo geometryczne Krzysztof Jasiński Wydział Matematyki i Informatyki UMK, Toruń V Lieceum Ogólnokształące im. Jana Pawała II w Toruniu Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 1/21
2 Doświadczenia losowe Doświadczenie losowe doświadczenie, którego wyniku nie da się z góry przewidzieć, a jednocześnie dające się powtarzać w tych samych warunkach. Zbiór zdarzeń elementarnych zbiór wszystkich możliwych wyników doświadczenia, oznaczamy go zazwyczaj symbolem Ω. Zdarzenia podzbiory zbioru Ω. Przykład 1. Rzucamy jeden raz monetą. zbiór zdarzeń elementarnych Ω = {Orzeł,Reszka} = {O, R}. przykłady zdarzeń: zdarzenie A wypadł orzeł, tzn. A = {O}, zdarzenie B wypadł orzeł lub wypadła reszka, tzn. B = {O, R}. Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 2/21
3 Doświadczenia losowe Doświadczenie losowe doświadczenie, którego wyniku nie da się z góry przewidzieć, a jednocześnie dające się powtarzać w tych samych warunkach. Zbiór zdarzeń elementarnych zbiór wszystkich możliwych wyników doświadczenia, oznaczamy go zazwyczaj symbolem Ω. Zdarzenia podzbiory zbioru Ω. Przykład 1. Rzucamy jeden raz monetą. zbiór zdarzeń elementarnych Ω = {Orzeł,Reszka} = {O, R}. przykłady zdarzeń: zdarzenie A wypadł orzeł, tzn. A = {O}, zdarzenie B wypadł orzeł lub wypadła reszka, tzn. B = {O, R}. Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 2/21
4 Doświadczenia losowe Przykład 2. Rzucamy jeden raz kostką do gry. zbiór zdarzeń elementarnych Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. przykłady zdarzeń: zdarzenie A wypadła liczba parzysta, tzn. A = {2, 4, 6}, zdarzenie B wypadła liczba mniejsza od trzech, tzn. B = {1, 2}. Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 3/21
5 Prawdopodobieństwo Każdemu zdarzeniu A przyporządkowujemy liczbę P(A) [0, 1]. Liczba ta określa szansę, że to zdarzenie zajdzie i nazywamy ją prawdopodobieństwem zajścia zdarzenia A. Inaczej mówiąc określamy pewną funkcję, której dziedziną jest zbiór zdarzeń, a zbiorem wartości przedział [0, 1]. Własności prawdopodobieństwa. Niech A i B będą dowolnymi zdarzeniami P(A) [0, 1], P(Ω) = 1, Jeżeli A B =, to P(A B) = P(A) + P(B). Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 4/21
6 Prawdopodobieństwo Każdemu zdarzeniu A przyporządkowujemy liczbę P(A) [0, 1]. Liczba ta określa szansę, że to zdarzenie zajdzie i nazywamy ją prawdopodobieństwem zajścia zdarzenia A. Inaczej mówiąc określamy pewną funkcję, której dziedziną jest zbiór zdarzeń, a zbiorem wartości przedział [0, 1]. Własności prawdopodobieństwa. Niech A i B będą dowolnymi zdarzeniami P(A) [0, 1], P(Ω) = 1, Jeżeli A B =, to P(A B) = P(A) + P(B). Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 4/21
7 Prawdopodobieństwo Przykład 1. Rzut monetą. Ω = {O, R}. Prawdopodobieństwa zdarzeń elementarnych określamy zazwyczaj następująco P({O}) = 1 2, P({R}) = 1 2. Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 5/21
8 Prawdopodobieństwo Przykład 2. Rzut kostką. Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Prawdopodobieństwa zdarzeń elementarnych określamy zazwyczaj następująco P({1}) = P({2}) = = P({6}) = 1 6. Korzystając z tego możemy obliczyć prawdopodobieństwa innych zdarzeń, np. P( wypadnie liczba parzysta ) = P({2, 4, 6}) = = P({2} {4} {6}) = = P({2}) + P({4}) + P({6}) = = = 1 2. Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 6/21
9 Klasyczny model prawdopodobieństwa Doświadczenia losowe z przykładów 1 i 2 (rzut monetą i rzut kostką) mają dwie wspólne cechy: Skończony zbiór zdarzeń elementarnych (wyników) Ω = {O, R}, Ω = 2, Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, Ω = 6, Prawdopodobieństwa wszystkich zdarzeń elementarnych są równe. Inaczej mówiąc każdy wynik doświadczenia losowego jest jednakowo prawdopodobny. P({O}) = P({R}) = 1 2. P({1}) = P({2}) = = P({6}) = 1 6. Jeżeli doświadczenie losowe posiada te dwie cechy, to prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia A możemy wyznaczyć z wzoru P(A) = A Ω. Jest to tzw. klasyczna definicja prawdopodobieństwa. Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 7/21
10 Klasyczny model prawdopodobieństwa Doświadczenia losowe z przykładów 1 i 2 (rzut monetą i rzut kostką) mają dwie wspólne cechy: Skończony zbiór zdarzeń elementarnych (wyników) Ω = {O, R}, Ω = 2, Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, Ω = 6, Prawdopodobieństwa wszystkich zdarzeń elementarnych są równe. Inaczej mówiąc każdy wynik doświadczenia losowego jest jednakowo prawdopodobny. P({O}) = P({R}) = 1 2. P({1}) = P({2}) = = P({6}) = 1 6. Jeżeli doświadczenie losowe posiada te dwie cechy, to prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia A możemy wyznaczyć z wzoru P(A) = A Ω. Jest to tzw. klasyczna definicja prawdopodobieństwa. Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 7/21
11 Klasyczny model prawdopodobieństwa Doświadczenia losowe z przykładów 1 i 2 (rzut monetą i rzut kostką) mają dwie wspólne cechy: Skończony zbiór zdarzeń elementarnych (wyników) Ω = {O, R}, Ω = 2, Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, Ω = 6, Prawdopodobieństwa wszystkich zdarzeń elementarnych są równe. Inaczej mówiąc każdy wynik doświadczenia losowego jest jednakowo prawdopodobny. P({O}) = P({R}) = 1 2. P({1}) = P({2}) = = P({6}) = 1 6. Jeżeli doświadczenie losowe posiada te dwie cechy, to prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia A możemy wyznaczyć z wzoru P(A) = A Ω. Jest to tzw. klasyczna definicja prawdopodobieństwa. Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 7/21
12 Klasyczny model prawdopodobieństwa Doświadczenia losowe z przykładów 1 i 2 (rzut monetą i rzut kostką) mają dwie wspólne cechy: Skończony zbiór zdarzeń elementarnych (wyników) Ω = {O, R}, Ω = 2, Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, Ω = 6, Prawdopodobieństwa wszystkich zdarzeń elementarnych są równe. Inaczej mówiąc każdy wynik doświadczenia losowego jest jednakowo prawdopodobny. P({O}) = P({R}) = 1 2. P({1}) = P({2}) = = P({6}) = 1 6. Jeżeli doświadczenie losowe posiada te dwie cechy, to prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia A możemy wyznaczyć z wzoru P(A) = A Ω. Jest to tzw. klasyczna definicja prawdopodobieństwa. Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 7/21
13 Klasyczny model prawdopodobieństwa Doświadczenia losowe z przykładów 1 i 2 (rzut monetą i rzut kostką) mają dwie wspólne cechy: Skończony zbiór zdarzeń elementarnych (wyników) Ω = {O, R}, Ω = 2, Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, Ω = 6, Prawdopodobieństwa wszystkich zdarzeń elementarnych są równe. Inaczej mówiąc każdy wynik doświadczenia losowego jest jednakowo prawdopodobny. P({O}) = P({R}) = 1 2. P({1}) = P({2}) = = P({6}) = 1 6. Jeżeli doświadczenie losowe posiada te dwie cechy, to prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia A możemy wyznaczyć z wzoru P(A) = A Ω. Jest to tzw. klasyczna definicja prawdopodobieństwa. Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 7/21
14 Klasyczny model prawdopodobieństwa Doświadczenia losowe z przykładów 1 i 2 (rzut monetą i rzut kostką) mają dwie wspólne cechy: Skończony zbiór zdarzeń elementarnych (wyników) Ω = {O, R}, Ω = 2, Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, Ω = 6, Prawdopodobieństwa wszystkich zdarzeń elementarnych są równe. Inaczej mówiąc każdy wynik doświadczenia losowego jest jednakowo prawdopodobny. P({O}) = P({R}) = 1 2. P({1}) = P({2}) = = P({6}) = 1 6. Jeżeli doświadczenie losowe posiada te dwie cechy, to prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia A możemy wyznaczyć z wzoru P(A) = A Ω. Jest to tzw. klasyczna definicja prawdopodobieństwa. Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 7/21
15 Klasyczny model prawdopodobieństwa Doświadczenia losowe z przykładów 1 i 2 (rzut monetą i rzut kostką) mają dwie wspólne cechy: Skończony zbiór zdarzeń elementarnych (wyników) Ω = {O, R}, Ω = 2, Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, Ω = 6, Prawdopodobieństwa wszystkich zdarzeń elementarnych są równe. Inaczej mówiąc każdy wynik doświadczenia losowego jest jednakowo prawdopodobny. P({O}) = P({R}) = 1 2. P({1}) = P({2}) = = P({6}) = 1 6. Jeżeli doświadczenie losowe posiada te dwie cechy, to prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia A możemy wyznaczyć z wzoru P(A) = A Ω. Jest to tzw. klasyczna definicja prawdopodobieństwa. Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 7/21
16 Klasyczny model prawdopodobieństwa Doświadczenia losowe z przykładów 1 i 2 (rzut monetą i rzut kostką) mają dwie wspólne cechy: Skończony zbiór zdarzeń elementarnych (wyników) Ω = {O, R}, Ω = 2, Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, Ω = 6, Prawdopodobieństwa wszystkich zdarzeń elementarnych są równe. Inaczej mówiąc każdy wynik doświadczenia losowego jest jednakowo prawdopodobny. P({O}) = P({R}) = 1 2. P({1}) = P({2}) = = P({6}) = 1 6. Jeżeli doświadczenie losowe posiada te dwie cechy, to prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia A możemy wyznaczyć z wzoru P(A) = A Ω. Jest to tzw. klasyczna definicja prawdopodobieństwa. Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 7/21
17 Klasyczny model prawdopodobieństwa Przykład 2. Rzut kostką. Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, Ω = 6, A wypadła liczba parzysta, A = {2, 4, 6}, A = 3, P(A) = A Ω = 3 6 = 1 2, B wypadła liczba mniejsza od 3, B = {1, 2}, B = 2, P(B) = B Ω = 2 6 = 1 3, Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 8/21
18 Klasyczny model prawdopodobieństwa Przykład 2. Rzut kostką. Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, Ω = 6, A wypadła liczba parzysta, A = {2, 4, 6}, A = 3, P(A) = A Ω = 3 6 = 1 2, B wypadła liczba mniejsza od 3, B = {1, 2}, B = 2, P(B) = B Ω = 2 6 = 1 3, Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 8/21
19 Klasyczny model prawdopodobieństwa Przykład 2. Rzut kostką. Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, Ω = 6, A wypadła liczba parzysta, A = {2, 4, 6}, A = 3, P(A) = A Ω = 3 6 = 1 2, B wypadła liczba mniejsza od 3, B = {1, 2}, B = 2, P(B) = B Ω = 2 6 = 1 3, Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 8/21
20 Klasyczny model prawdopodobieństwa Przykład 2. Rzut kostką. Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, Ω = 6, A wypadła liczba parzysta, A = {2, 4, 6}, A = 3, P(A) = A Ω = 3 6 = 1 2, B wypadła liczba mniejsza od 3, B = {1, 2}, B = 2, P(B) = B Ω = 2 6 = 1 3, Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 8/21
21 Klasyczny model prawdopodobieństwa Przykład 2. Rzut kostką. Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, Ω = 6, A wypadła liczba parzysta, A = {2, 4, 6}, A = 3, P(A) = A Ω = 3 6 = 1 2, B wypadła liczba mniejsza od 3, B = {1, 2}, B = 2, P(B) = B Ω = 2 6 = 1 3, Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 8/21
22 Problem Dany jest przedział [0, 1]. Wybieramy z tego przedziału w sposób losowy punkt x. Zakładamy, że prawdopodobieństwa wylosowania dowolnego punktu są równe. Pytania: Jak wygląda zbiór zdarzeń elementarnych? Ile jest zdarzeń elementarnych? Ile wynosi prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia elementarnego? Czy możemy stosować klasyczną definicję prawdopodobieństwa? Jak obliczać prawdopodobieństwa różnych zdarzeń, np. P({x 1 2 }) = P({x > 1 4 }) = P({ 1 2 x < 3 4 }) = P({x = 1 3 }) = Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 9/21
23 Problem Odpowiedzi: Ω = [0, 1] Jest nieskończenie wiele zdarzeń elementarnych, Ω = +, P({x}) = 0 dla dowolnego x [0, 1], Nie możemy stosować klasycznej definicji prawdopodobieństwa. Wynika z tego, że aby określić np. P({x 1 2 }) potrzebna jest inna definicja prawdopodobieństwa. Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 10/21
24 Prawdopodobieństwo geometryczne Wiemy, że na podzbiorach R n mamy określone pewne miary. Na R 1 jest to długość, na R 2 pole, a na R 3 objętość. Załóżmy, że Ω jest podzbiorem R n o skończonej mierze. Niech A będzie zdarzeniem (czyli pewnym podzbiorem zbioru Ω). Wówczas P(A) = miara(a) miara(ω). Jest to tzw. geometryczna definicja prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest proporcjonalne do miary (długości, pola, objętości) tego zbioru. Jeżeli np. zbiór B ma pole dwa razy większe od pola zbioru A, to prawdopodobieństwo, że losowo wybrany punkt trafi do zbioru B jest dwa razy większe niż prawdopodobieństwo, że trafi on do zbioru A. Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 11/21
25 Prawdopodobieństwo geometryczne Wiemy, że na podzbiorach R n mamy określone pewne miary. Na R 1 jest to długość, na R 2 pole, a na R 3 objętość. Załóżmy, że Ω jest podzbiorem R n o skończonej mierze. Niech A będzie zdarzeniem (czyli pewnym podzbiorem zbioru Ω). Wówczas P(A) = miara(a) miara(ω). Jest to tzw. geometryczna definicja prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest proporcjonalne do miary (długości, pola, objętości) tego zbioru. Jeżeli np. zbiór B ma pole dwa razy większe od pola zbioru A, to prawdopodobieństwo, że losowo wybrany punkt trafi do zbioru B jest dwa razy większe niż prawdopodobieństwo, że trafi on do zbioru A. Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 11/21
26 Prawdopodobieństwo geometryczne Wiemy, że na podzbiorach R n mamy określone pewne miary. Na R 1 jest to długość, na R 2 pole, a na R 3 objętość. Załóżmy, że Ω jest podzbiorem R n o skończonej mierze. Niech A będzie zdarzeniem (czyli pewnym podzbiorem zbioru Ω). Wówczas P(A) = miara(a) miara(ω). Jest to tzw. geometryczna definicja prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest proporcjonalne do miary (długości, pola, objętości) tego zbioru. Jeżeli np. zbiór B ma pole dwa razy większe od pola zbioru A, to prawdopodobieństwo, że losowo wybrany punkt trafi do zbioru B jest dwa razy większe niż prawdopodobieństwo, że trafi on do zbioru A. Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 11/21
27 Prawdopodobieństwo geometryczne Wiemy, że na podzbiorach R n mamy określone pewne miary. Na R 1 jest to długość, na R 2 pole, a na R 3 objętość. Załóżmy, że Ω jest podzbiorem R n o skończonej mierze. Niech A będzie zdarzeniem (czyli pewnym podzbiorem zbioru Ω). Wówczas P(A) = miara(a) miara(ω). Jest to tzw. geometryczna definicja prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest proporcjonalne do miary (długości, pola, objętości) tego zbioru. Jeżeli np. zbiór B ma pole dwa razy większe od pola zbioru A, to prawdopodobieństwo, że losowo wybrany punkt trafi do zbioru B jest dwa razy większe niż prawdopodobieństwo, że trafi on do zbioru A. Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 11/21
28 Prawdopodobieństwo geometryczne Wiemy, że na podzbiorach R n mamy określone pewne miary. Na R 1 jest to długość, na R 2 pole, a na R 3 objętość. Załóżmy, że Ω jest podzbiorem R n o skończonej mierze. Niech A będzie zdarzeniem (czyli pewnym podzbiorem zbioru Ω). Wówczas P(A) = miara(a) miara(ω). Jest to tzw. geometryczna definicja prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest proporcjonalne do miary (długości, pola, objętości) tego zbioru. Jeżeli np. zbiór B ma pole dwa razy większe od pola zbioru A, to prawdopodobieństwo, że losowo wybrany punkt trafi do zbioru B jest dwa razy większe niż prawdopodobieństwo, że trafi on do zbioru A. Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 11/21
29 Prawdopodobieństwo geometryczne Wiemy, że na podzbiorach R n mamy określone pewne miary. Na R 1 jest to długość, na R 2 pole, a na R 3 objętość. Załóżmy, że Ω jest podzbiorem R n o skończonej mierze. Niech A będzie zdarzeniem (czyli pewnym podzbiorem zbioru Ω). Wówczas P(A) = miara(a) miara(ω). Jest to tzw. geometryczna definicja prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest proporcjonalne do miary (długości, pola, objętości) tego zbioru. Jeżeli np. zbiór B ma pole dwa razy większe od pola zbioru A, to prawdopodobieństwo, że losowo wybrany punkt trafi do zbioru B jest dwa razy większe niż prawdopodobieństwo, że trafi on do zbioru A. Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 11/21
30 Przykład Dany jest przedział [0, 1]. Wybieramy z tego przedziału w sposób losowy punkt x. Zakładamy, że prawdopodobieństwa wylosowania dowolnego punktu są równe. Jakie jest prawdopodobieństwo, że x [0, 1 3 ]? Rozwiązanie: Ω = [0, 1], A = [0, 1 3 ], 1 P(A) = P(x [0, 1 długość(a) 3 ]) = długość(ω) = 3 1 = 1 3. Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 12/21
31 Przykład Dany jest przedział [0, 1]. Wybieramy z tego przedziału w sposób losowy punkt x. Zakładamy, że prawdopodobieństwa wylosowania dowolnego punktu są równe. Jakie jest prawdopodobieństwo, że x [0, 1 3 ]? Rozwiązanie: Ω = [0, 1], A = [0, 1 3 ], 1 P(A) = P(x [0, 1 długość(a) 3 ]) = długość(ω) = 3 1 = 1 3. Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 12/21
32 Przykład Dany jest przedział [0, 1]. Wybieramy z tego przedziału w sposób losowy punkt x. Zakładamy, że prawdopodobieństwa wylosowania dowolnego punktu są równe. Jakie jest prawdopodobieństwo, że x [0, 1 3 ]? Rozwiązanie: Ω = [0, 1], A = [0, 1 3 ], 1 P(A) = P(x [0, 1 długość(a) 3 ]) = długość(ω) = 3 1 = 1 3. Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 12/21
33 Przykład Dany jest przedział [0, 1]. Wybieramy z tego przedziału w sposób losowy punkt x. Zakładamy, że prawdopodobieństwa wylosowania dowolnego punktu są równe. Jakie jest prawdopodobieństwo, że x [0, 1 3 ]? Rozwiązanie: Ω = [0, 1], A = [0, 1 3 ], 1 P(A) = P(x [0, 1 długość(a) 3 ]) = długość(ω) = 3 1 = 1 3. Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 12/21
34 Zadanie 1 Wewnątrz koła o promieniu 5 wybrano losowo jeden punkt. Oblicz prawdopodobieństwo, że znajduje się on w odległości mniejszej niż 2 od środka koła. Rozwiązanie: Ω = {(x, y) : x 2 + y 2 25}, A = {(x, y) : x 2 + y 2 < 4}, P(A) = P({(x, y) : x 2 + y 2 < 2}) = pole(a) pole(ω) = 4π 25π = Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 13/21
35 Zadanie 1 Wewnątrz koła o promieniu 5 wybrano losowo jeden punkt. Oblicz prawdopodobieństwo, że znajduje się on w odległości mniejszej niż 2 od środka koła. Rozwiązanie: Ω = {(x, y) : x 2 + y 2 25}, A = {(x, y) : x 2 + y 2 < 4}, P(A) = P({(x, y) : x 2 + y 2 < 2}) = pole(a) pole(ω) = 4π 25π = Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 13/21
36 Zadanie 1 Wewnątrz koła o promieniu 5 wybrano losowo jeden punkt. Oblicz prawdopodobieństwo, że znajduje się on w odległości mniejszej niż 2 od środka koła. Rozwiązanie: Ω = {(x, y) : x 2 + y 2 25}, A = {(x, y) : x 2 + y 2 < 4}, P(A) = P({(x, y) : x 2 + y 2 < 2}) = pole(a) pole(ω) = 4π 25π = Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 13/21
37 Zadanie 1 Wewnątrz koła o promieniu 5 wybrano losowo jeden punkt. Oblicz prawdopodobieństwo, że znajduje się on w odległości mniejszej niż 2 od środka koła. Rozwiązanie: Ω = {(x, y) : x 2 + y 2 25}, A = {(x, y) : x 2 + y 2 < 4}, P(A) = P({(x, y) : x 2 + y 2 < 2}) = pole(a) pole(ω) = 4π 25π = Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 13/21
38 Zadanie 2 W koło wpisany jest kwadrat. Oblicz prawdopodobieństwo, że punkt rzucony losowo na koło znajdzie się wewnątrz kwadratu. Rozwiązanie: Ω = {(x, y) : x 2 + y 2 r 2 }, A = {(x, y) wnętrze kwadratu}, P(A) = P({(x, y) wnętrze kwadratu}) = pole(a) pole(ω) = 2r 2 πr 2 = 2 π. Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 14/21
39 Zadanie 2 W koło wpisany jest kwadrat. Oblicz prawdopodobieństwo, że punkt rzucony losowo na koło znajdzie się wewnątrz kwadratu. Rozwiązanie: Ω = {(x, y) : x 2 + y 2 r 2 }, A = {(x, y) wnętrze kwadratu}, P(A) = P({(x, y) wnętrze kwadratu}) = pole(a) pole(ω) = 2r 2 πr 2 = 2 π. Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 14/21
40 Zadanie 2 W koło wpisany jest kwadrat. Oblicz prawdopodobieństwo, że punkt rzucony losowo na koło znajdzie się wewnątrz kwadratu. Rozwiązanie: Ω = {(x, y) : x 2 + y 2 r 2 }, A = {(x, y) wnętrze kwadratu}, P(A) = P({(x, y) wnętrze kwadratu}) = pole(a) pole(ω) = 2r 2 πr 2 = 2 π. Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 14/21
41 Zadanie 2 W koło wpisany jest kwadrat. Oblicz prawdopodobieństwo, że punkt rzucony losowo na koło znajdzie się wewnątrz kwadratu. Rozwiązanie: Ω = {(x, y) : x 2 + y 2 r 2 }, A = {(x, y) wnętrze kwadratu}, P(A) = P({(x, y) wnętrze kwadratu}) = pole(a) pole(ω) = 2r 2 πr 2 = 2 π. Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 14/21
42 Zadanie 3 Dwie osoby umawiają się między godziną a Pierwsza osoba, która przyjdzie czeka kwadrans, ale nie dłużej niż do 11.00, i jeśli się nie doczeka, odchodzi. Jakie jest prawdopodobieństwo, że te osoby się spotkają. Rozwiązanie: x moment przyjścia I osoby, y moment przyjścia II osoby. Ω = {(x, y) : 0 x 60, 0 y 60}, (czas wyrażony w minutach), A = {(x, y) [0, 60] 2 : y x y + 15, x y x + 15} = {(x, y) [0, 60] 2 : x 15 y x + 15}, Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 15/21
43 Zadanie 3 Dwie osoby umawiają się między godziną a Pierwsza osoba, która przyjdzie czeka kwadrans, ale nie dłużej niż do 11.00, i jeśli się nie doczeka, odchodzi. Jakie jest prawdopodobieństwo, że te osoby się spotkają. Rozwiązanie: x moment przyjścia I osoby, y moment przyjścia II osoby. Ω = {(x, y) : 0 x 60, 0 y 60}, (czas wyrażony w minutach), A = {(x, y) [0, 60] 2 : y x y + 15, x y x + 15} = {(x, y) [0, 60] 2 : x 15 y x + 15}, Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 15/21
44 Zadanie 3 Dwie osoby umawiają się między godziną a Pierwsza osoba, która przyjdzie czeka kwadrans, ale nie dłużej niż do 11.00, i jeśli się nie doczeka, odchodzi. Jakie jest prawdopodobieństwo, że te osoby się spotkają. Rozwiązanie: x moment przyjścia I osoby, y moment przyjścia II osoby. Ω = {(x, y) : 0 x 60, 0 y 60}, (czas wyrażony w minutach), A = {(x, y) [0, 60] 2 : y x y + 15, x y x + 15} = {(x, y) [0, 60] 2 : x 15 y x + 15}, Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 15/21
45 Zadanie 3 Dwie osoby umawiają się między godziną a Pierwsza osoba, która przyjdzie czeka kwadrans, ale nie dłużej niż do 11.00, i jeśli się nie doczeka, odchodzi. Jakie jest prawdopodobieństwo, że te osoby się spotkają. Rozwiązanie: x moment przyjścia I osoby, y moment przyjścia II osoby. Ω = {(x, y) : 0 x 60, 0 y 60}, (czas wyrażony w minutach), A = {(x, y) [0, 60] 2 : y x y + 15, x y x + 15} = {(x, y) [0, 60] 2 : x 15 y x + 15}, Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 15/21
46 Zadanie 3 cd. Rozwiązanie: P(A) = 1 P(A ) = 1 pole(a ) pole(ω) = Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 16/21
47 Zadanie 3 cd. Rozwiązanie: P(A) = 1 P(A ) = 1 pole(a ) pole(ω) = Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 16/21
![Jak obliczyć pole nie znając rachunku całkowego? Problem. Dana jest funkcja f : [a, b] R +.](/docs-images/91/106007356/images/48-0.jpg "Jak obliczyć pole figury ograniczonej osią OX prostymi x = a i x = b oraz krzywą y = f (x)?")
48 Jak obliczyć pole nie znając rachunku całkowego? Problem. Dana jest funkcja f : [a, b] R +. Jak obliczyć pole figury ograniczonej osią OX prostymi x = a i x = b oraz krzywą y = f (x)? Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 17/21
49 Obliczanie pól metodą Monte Carlo Wybieramy losowo N punktów z prostokąta [a, b] [0, Max] (N duże). r N liczba punktów, które znalazły się wewnątrz obszaru S, tzn. pod wykresem funkcji f (na rysunku zostały oznaczone kolorem czerwonym). Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 18/21
50 Obliczanie pól metodą Monte Carlo r NN określa jaka część punktów trafiła w obszar S. Ponieważ punkty są rozłożone równomiernie na całym prostokącie, więc możemy rozsądnie przyjąć, że obszar S stanowi r N N część obszaru całego prostokąta tzn. Stąd Pole(S) Pole([a, b] [0, Max]) r N N. Pole(S) Pole([a, b] [0, Max]) rn N = Max (b a) rn N Im więcej punktów wylosowaliśmy tym przybliżenie to powinno być dokładniejsze. Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 19/21
51 Obliczanie pól metodą Monte Carlo r NN określa jaka część punktów trafiła w obszar S. Ponieważ punkty są rozłożone równomiernie na całym prostokącie, więc możemy rozsądnie przyjąć, że obszar S stanowi r N N część obszaru całego prostokąta tzn. Stąd Pole(S) Pole([a, b] [0, Max]) r N N. Pole(S) Pole([a, b] [0, Max]) rn N = Max (b a) rn N Im więcej punktów wylosowaliśmy tym przybliżenie to powinno być dokładniejsze. Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 19/21
52 Obliczanie pól metodą Monte Carlo r NN określa jaka część punktów trafiła w obszar S. Ponieważ punkty są rozłożone równomiernie na całym prostokącie, więc możemy rozsądnie przyjąć, że obszar S stanowi r N N część obszaru całego prostokąta tzn. Stąd Pole(S) Pole([a, b] [0, Max]) r N N. Pole(S) Pole([a, b] [0, Max]) rn N = Max (b a) rn N Im więcej punktów wylosowaliśmy tym przybliżenie to powinno być dokładniejsze. Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 19/21
53 Metody Monte Carlo historia Metodami Monte Carlo nazywamy klasę metod, które do numerycznego rozwiązywania złożonych zagadnień wykorzystują komputerowe generowanie liczb pseudolosowych odpowiadających możliwym parametrom wejściowym badanego układu (opisanego modelem matematycznym). Metody Monte-Carlo stosowane są w różnych dziedzinach np. przy projektowaniu eksperymentów fizycznych (np. doświadczeń z cząstkami elementarnymi), modelowaniu procesów fizycznych (np. powstawania struktur we wszechświecie itp.), wyznaczania cen różnych instrumentów finansowych. Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 20/21
54 Metody Monte Carlo historia Idee tej metody przedstawili w latach 40-tych XX wieku naukowcy pracujący w laboratorium w Los Alamos przy projekcie Manhattan Stanisław Ulam, John von Neumann, Enrico Fermi i Nicholas Metropolis. Nazwa pochodzi od słynnego kasyna w Monte Carlo, w którym podobno grywał często wujek Stanisława Ulama. Wielokrotne powtarzanie tych samych eksperymentów losowych można porównać do regularnego uczestnictwa w grach hazardowych. Takie symulacje losowe przeprowadzane były już wcześniej, ale służyły raczej do weryfikacji znanych rezultatów (uzyskanych innymi metodami), a nie do właściwego rozwiązywania problemów. Krzysztof Jasiński (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 21/21
Prawdopodobieństwo geometryczne
Prawdopodobieństwo geometryczne Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK, Toruń Uniwersyteckie Koło Matematyczne 23 kwietnia 2009 r. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne
Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka
Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka Elementy rachunku prawdopodobieństwa dr inż. Małgorzata Szeląg Zakład Genetyki Molekularnej Człowieka tel. 61 829 59 04 malgorzata.szelag@amu.edu.pl Pokój 1.118
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń.
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń. 3.2. Niezależność zdarzeń Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Niezależność dwóch zdarzeń Intuicja Zdarzenia losowe
Metody probabilistyczne
Metody probabilistyczne 2. Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 10.10.2017 1 / 33 Klasyczna definicja prawdopodobieństwa
Metody numeryczne w przykładach
Metody numeryczne w przykładach Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK, Toruń Regionalne Koło Matematyczne 8 kwietnia 2010 r. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Metody numeryczne w przykładach
Prawdopodobieństwo. Prawdopodobieństwo. Jacek Kłopotowski. Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH. 16 października 2018
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 16 października 2018 Definicja σ-algebry Definicja Niech Ω oznacza zbiór niepusty. Rodzinę M podzbiorów zbioru Ω nazywamy σ-algebrą (lub σ-ciałem) wtedy
Rachunek prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa Sebastian Rymarczyk srymarczyk@afm.edu.pl Tematyka zajęć 1. Elementy kombinatoryki. 2. Definicje prawdopodobieństwa. 3. Własności prawdopodobieństwa. 4. Zmienne losowe, parametry
Lista zadania nr 4 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie
Lista zadania nr 4 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w
Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły. Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga. Anna Rajfura, Matematyka
Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga 1 Zagadnienia 1. Przypomnienie wybranych pojęć rachunku prawdopodobieństwa. Zmienna losowa. Rozkład
Zmienna losowa. Rozkład skokowy
Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga * - materiał nadobowiązkowy Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 1 Zagadnienia
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I (SGH)
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I (SGH) Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 1 1 / 24 Warunki zaliczenia 1 Do egzaminu dopuszczeni wszyscy, którzy uczęszczali na
Statystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 2 Magdalena Alama-Bućko 5 marca 2018 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 5 marca 2018 1 / 14 Prawdopodobieństwo klasyczne Ω - zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych
Metody probabilistyczne
Metody probabilistyczne 1. Prawdopodobieństwo klasyczne Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 03.10.2017 1 / 19 Rys historyczny Francja, XVII w.: gry hazardowe
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa 2.1. σ ciało (algebra) zdarzeń Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska losowe Zdarzenie losowe to pewien podzbiór przestrzeni zdarzeń
Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 2
Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 2 Przygotowując wykład korzystam głównie z książki Jakubowski, Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo geometryczne
Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/
Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Głęboka 28, p. 221 bud. CIW, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Rachunek prawdopodobieństwa- wykład 2
Rachunek prawdopodobieństwa- wykład 2 Pojęcie dyskretnej przestrzeni probabilistycznej i określenie prawdopodobieństwa w tej przestrzeni dr Marcin Ziółkowski Instytut Matematyki i Informatyki Uniwersytet
Prawdopodobieństwo
Prawdopodobieństwo http://www.matemaks.pl/ Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa http://www.matemaks.pl/wstep-do-rachunku-prawdopodobienstwa.html Rachunek prawdopodobieństwa pomaga obliczyć szansę zaistnienia
Podstawy metod probabilistycznych. dr Adam Kiersztyn
Podstawy metod probabilistycznych dr Adam Kiersztyn Przestrzeń zdarzeń elementarnych i zdarzenia losowe. Zjawiskiem lub doświadczeniem losowym nazywamy taki proces, którego przebiegu i ostatecznego wyniku
WYKŁAD 3. Witold Bednorz, Paweł Wolff. Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, Uniwersytet Warszawski. 1 Instytut Matematyki
WYKŁAD 3 Witold Bednorz, Paweł Wolff 1 Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, 2010-2011 Schemmat Bernouliego Rzucamy 10 razy moneta, próba Bernouliego jest pojedynczy
P r a w d o p o d o b i eństwo Lekcja 1 Temat: Lekcja organizacyjna. Program. Kontrakt.
P r a w d o p o d o b i eństwo Lekcja 1 Temat: Lekcja organizacyjna. Program. Kontrakt. Lekcja 2 Temat: Podstawowe pojęcia związane z prawdopodobieństwem. Str. 10-21 1. Doświadczenie losowe jest to doświadczenie,
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3.
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3. ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA. Zmienną losową X nazywamy funkcję (praktycznie każdą) przyporządkowującą zdarzeniom elementarnym liczby rzeczywiste. X : Ω R (dokładniej:
Metody probabilistyczne
Metody probabilistyczne. Twierdzenia graniczne Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 20.2.208 / 26 Motywacja Rzucamy wielokrotnie uczciwą monetą i zliczamy
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa 2.0. Wstęp Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Wstęp Dlaczego prawdopodobieństwo klasyczne nie wystarcza? Jak opisać grę w ruletkę,
Wykład 13. Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa
Wykład 13. Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu semestr zimowy, rok akademicki 2015 2016 Doświadczenie losowe Doświadczenie
a. zbiór wszystkich potasowań talii kart (w którym S dostaje 13 pierwszych kart, W - 13 kolejnych itd.);
03DRAP - Przykłady przestrzeni probabilistycznych Definicja 1 Przestrzeń probabilistyczna to trójka (Ω, F, P), gdzie Ω zbiór zdarzeń elementarnych, F σ ciało zdarzeń (podzbiorów Ω), P funkcja prawdopodobieństwa/miara
Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 1
Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 1 Przygotowując wykład korzystam głównie z książki Jakubowski, Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Jakubowski, Sztencel:
= A. A - liczba elementów zbioru A. Lucjan Kowalski
Lucjan Kowalski ZADANIA, PROBLEMY I PARADOKSY W PROBABILISTYCE Przypomnienie. Ω - zbiór zdarzeń elementarnych. A zdarzenie (podzbiór Ω). A - liczba elementów zbioru A Jeśli zdarzeń elementarnych jest skończenie
III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE
III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta
MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI
MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI Daniel Wójcik Instytut Biologii Doświadczalnej PAN d.wojcik@nencki.gov.pl tel. 022 5892 424 http://www.neuroinf.pl/members/danek/swps/ Podręcznik Iwo Białynicki-Birula Iwona
L.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 2 ZADANIA - ZESTAW 2
ZADANIA - ZESTAW 2 Zadanie 2.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 1 0 2 p k 1/ 1/6 1/2 a) wyznaczyć dystrybuantę tej zmiennej losowej i naszkicować jej wykres, b) obliczyć
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I KOMBINATORYKA
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA I KOMBINATORYKA Doświadczenia losowe Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się zdarzeniami jakie zachodzą, gdy przeprowadzamy doświadczenia losowe. Mówimy, że doświadczenie jest
c. dokładnie 10 razy została wylosowana kula antracytowa, ale nie za pierwszym ani drugim razem;
05DRAP - Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego A Zadania na ćwiczenia Zadanie A.. Niech Ω = {ω, ω 2, ω, ω, ω 5 } i P({ω }) = 8, P({ω 2}) = P({ω }) = P({ω }) = 6 oraz P({ω 5}) = 5 6. Niech A = {ω,
KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO
KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO Lekcja 2 Klasyczna definicja prawdopodobieństwa ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Według klasycznej
p k (1 p) n k. k c. dokładnie 10 razy została wylosowana kula amarantowa, ale nie za pierwszym ani drugim razem;
05DRAP - Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego Definicja.. Zdarzenia A i B nazywamy niezależnymi, jeżeli zachodzi równość P(A B) = P(A) P(B). Definicja. 2. Zdarzenia A,..., A n nazywamy niezależnymi
Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo
Rozdział 1 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo 1.1 Klasyfikacja zdarzeń Zdarzenie elementarne pojęcie aprioryczne, które nie może być zdefiniowane. Odpowiednik pojęcia punkt w geometrii. Zdarzenie elementarne
Spis treści. Definicje prawdopodobieństwa. Częstościowa definicja prawdopodobieństwa. Wnioskowanie_Statystyczne_-_wykład
Wnioskowanie_Statystyczne_-_wykład Spis treści 1 Definicje prawdopodobieństwa 1.1 Częstościowa definicja prawdopodobieństwa 1.1.1 Przykład 1.1.2 Rozwiązanie: 1.1.3 Inne rozwiązanie: 1.1.4 Jeszcze inne
Ilustracja metody Monte Carlo obliczania pola obszaru D zawartego w kwadracie [a,b]x[a,b]
![Ilustracja metody Monte Carlo obliczania pola obszaru D zawartego w kwadracie [a,b]x[a,b]](/thumbs/58/42442567.jpg "Ilustracja metody Monte Carlo obliczania pola obszaru D zawartego w kwadracie [a,b]x[a,b]")
Ilustracja metody Monte Carlo obliczania pola obszaru D zawartego w kwadracie [a,b]x[a,b] Dagna Bieda, Piotr Jarecki, Tomasz Nachtigall, Jakub Ciesiółka, Marek Kubiczek Metoda Monte Carlo Metoda Monte
Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady
Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady Magdalena Frąszczak Wrocław, 11.10.2017r Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe Doświadczenie
Nie do końca zaawansowane elementy programowania w pakiecie R. Tomasz Suchocki
Nie do końca zaawansowane elementy programowania w pakiecie R Tomasz Suchocki Plan wykładu Metody Monte Carlo Jak bardzo można przybliżyć liczbę π? Całkowanie numeryczne R w Linuxie Tinn-R Metody Monte
Rozdział 1. Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki. 1.1 Definicja zmiennej losowej
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Zbiór możliwych wyników eksperymentu będziemy nazywać przestrzenią zdarzeń elementarnych i oznaczać Ω, natomiast
Statystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 1 Magdalena Alama-Bućko 26 lutego 2018 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 26 lutego 2018 1 / 16 Wykład : 10h (przez 10 tygodni po 45 minut) zaliczenie wykładu
Biostatystyka, # 2 /Weterynaria I/
Biostatystyka, # 2 /Weterynaria I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a bud. Agro II, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
L.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 1 ZADANIA - ZESTAW 1. (odp. a) B A C, b) A, c) A B, d) Ω)
ZADANIA - ZESTAW 1 Zadanie 1.1 Rzucamy trzy razy monetą. A i - zdarzenie polegające na tym, że otrzymamy orła w i - tym rzucie. Określić zbiór zdarzeń elementarnych. Wypisać zdarzenia elementarne sprzyjające
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY
PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY 18 KWIETNIA 2015 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Dla każdej liczby
Prawdopodobieństwo warunkowe Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym
Edward Stachowski Prawdopodobieństwo warunkowe Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym W podstawie programowej obowiązującej na egzaminie maturalnym od 05r pojawiły się nowe treści programowe Wśród
Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014
Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014 Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe
Statystyka podstawowe wzory i definicje
1 Statystyka podstawowe wzory i definicje Średnia arytmetyczna to suma wszystkich liczb (a 1, a 2,, a n) podzielona przez ich ilość (n) Przykład 1 Dany jest zbiór liczb {6, 8, 11, 2, 5, 3}. Oblicz średnią
WYKŁAD 1. Witold Bednorz, Paweł Wolff. Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski
WYKŁAD 1 Witold Bednorz, Paweł Wolff Instytut Matematyki Uniwersytet Warszawski Rachunek Prawdopodobieństwa, WNE, 2010-2011 Wprowadzenie Gry hazardowe Wprowadzenie Gry hazardowe Klasyczna definicja prawdopodobieństwa.
Statystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 1 Magdalena Alama-Bućko 20 lutego 2017 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 20 lutego 2017 1 / 21 Wykład : 10h (przez 10 tygodni po 45 minut) Ćwiczenia : 15h (45
Ilustracja metody MONTE CARLO. obliczania całek podwójnych
Ilustracja metody MONTE CARLO obliczania całek podwójnych Często jest tak, iż wiemy, że istnieje całka oznaczona z funkcji f jednak nie potrafimy jej analitycznie policzyć. Konieczne jest wtedy zastosowanie
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA ZADANIA Z ROZWIĄZANIAMI. Uwaga! Dla określenia liczebności zbioru (mocy zbioru) użyto zamiennie symboli: Ω lub
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA ZADANIA Z ROZWIĄZANIAMI Uwaga! Dla określenia liczebności zbioru (mocy zbioru) użyto zamiennie symboli: Ω lub 1. W grupie jest 15 kobiet i 18 mężczyzn. Losujemy jedną osobę
+ r arcsin. M. Przybycień Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka π r x
Prawdopodobieństwo geometryczne Przykład: Przestrzeń zdarzeń elementarnych określona jest przez zestaw punktów (x, y) na płaszczyźnie i wypełnia wnętrze kwadratu [0 x 1; 0 y 1]. Znajdź p-stwo, że dowolny
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 1. L. Kowalski, Statystyka, 2005
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 1. Literatura: Marek Cieciura, Janusz Zacharski, Metody probabilistyczne w ujęciu praktycznym, L. Kowalski, Statystyka, 2005 R.Leitner, J.Zacharski, "Zarys matematyki
P (A B) = P (A), P (B) = P (A), skąd P (A B) = P (A) P (B). P (A)
Wykład 3 Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego Kiedy dwa zdarzenia są niezależne? Gdy wiedza o tym, czy B zaszło, czy nie, NIE MA WPŁYWU na oszacowanie prawdopodobieństwa zdarzenia A: P (A B) = P
Prawdopodobieństwo i statystyka
Wykład I: Formalizm teorii prawdopodonieństwa 6 października 2014 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura Dostępność treści wykładów 1 Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych. 2 Egzamin dwuczęściowy:
a. zbiór wszystkich potasowań talii kart (w którym S dostaje 13 pierwszych kart, W - 13 kolejnych itd.);
03DRAP - Przykłady przestrzeni probabilistycznych A Zadania na ćwiczenia Zadanie A1 (wskazówka: pierwsze ćwicznia i rozdział 23 przykł 1 i 2) Zbuduj model przestrzeni klasycznej (czyli takiej, w której
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna. Leszek Adamczyk Wykłady dla kierunku Fizyka Medyczna w semestrze letnim 2016/2017
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka matematyczna Leszek Adamczyk Wykłady dla kierunku Fizyka Medyczna w semestrze letnim 2016/2017 1 1 Wstęp Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka to: działy matematyki
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 2 i 3 1 / 19 Zmienna losowa Definicja Dana jest przestrzeń probabilistyczna
EGZAMIN W KLASIE TRZECIEJ GIMNAZJUM W ROKU SZKOLNYM 2015/2016 CZĘŚĆ 2. ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ
EGZAMIN W KLASIE TRZECIEJ GIMNAZJUM W ROKU SZKOLNYM 2015/2016 CZĘŚĆ 2. MATEMATYKA ZASADY OCENIANIA ROZWIĄZAŃ ZADAŃ ARKUSZ GM-M7 KWIECIEŃ 2016 Zadanie 1. (0 1) I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. 8.
Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA
Kujawsko-Pomorskie Centrum Edukacji Nauczycieli w Bydgoszczy PLACÓWKA AKREDYTOWANA KOD PESEL PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Marzec 015 POZIOM PODSTAWOWY 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera
STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2
STATYSTYKA Rafał Kucharski Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 Wybrane litery alfabetu greckiego α alfa β beta Γ γ gamma δ delta ɛ, ε epsilon η eta Θ θ theta
3. Podstawowe pojęcia statystyki matematycznej i rachunku prawdopodobieństwa wykład z Populacja i próba
3. Podstawowe pojęcia statystyki matematycznej i rachunku prawdopodobieństwa wykład z 12.03.2007 Populacja i próba Populacja- zbiorowość skończona lub nieskończona, w stosunku do której mają być formułowane
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.0. Rozkłady zmiennych losowych, dystrybuanta. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Wprowadzenie Rozważmy eksperymenty 1 gra Bolka w ruletkę w kasynie;
METODY PROBABILISTYCZNE I STATYSTYKA
Andrzej Marciniak METODY PROBABILISTYCZNE I STATYSTYKA Wykłady dla studentów kierunku informatyka Państwowej Wyższej Szkoły Zawodowej w Kaliszu Wykłady są przeznaczone wyłącznie do indywidualnego użytku
Matematyka podstawowa X. Rachunek prawdopodobieństwa
Matematyka podstawowa X Rachunek prawdopodobieństwa Zadania wprowadzające: 1. Rzucasz trzy razy monetą a) Napisz zbiór wszystkich wyników tego doświadczenia losowego. Ile ich jest? Wyrzuciłeś większą liczbę
Elementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska)
Elementy rachunku prawdopodobieństwa (M. Skośkiewicz, A. Siejka, K. Walczak, A. Szpakowska) Twierdzenie (o mnożeniu) Podstawowe pojęcia i wzory kombinatoryczne. Niech,, będą zbiorami mającymi odpowiednio,,
2. Lesław Gajek, Marek Kałuszka, Wnioskowanie statystyczne. Modele i metody. Dla studentów.
Literatura:. Jerzy Greń, Statystyka matematyczna. Modele i zadania.. Lesław Gajek, Marek Kałuszka, Wnioskowanie statystyczne. Modele i metody. Dla studentów.. J. Koronacki, J. Mielniczuk, Statystyka dla
Matematyka z el. statystyki, # 2 /Geodezja i kartografia II/
Matematyka z el. statystyki, # 2 /Geodezja i kartografia II/ Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a bud. Agro II, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Wykład 11: Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa
Wykład : Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa dr Mariusz Grządziel 3 maja 203 Doświadczenie losowe Doświadczenie nazywamy losowym, jeśli: może być powtarzane (w zasadzie) w tych samych warunkach;
WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM
WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM OCENA ŚRÓDROCZNA: NIEDOSTATECZNY ocenę niedostateczny otrzymuje uczeń, który
WYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady
WYKŁAD 2 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady Metody statystyczne metody opisu metody wnioskowania statystycznego syntetyczny liczbowy opis właściwości zbioru danych ocena
REALIZACJA TREŚCI PODSTAWY PROGRAMOWEJ PRZEZ PROGRAM MATEMATYKA Z PLUSEM
REALIZACJA TREŚCI PODSTAWY PROGRAMOWEJ PRZEZ PROGRAM MATEMATYKA Z PLUSEM Treści nauczania wg podstawy programowej Podręcznik M+ Klasa I Klasa II Klasa III 1. Liczby wymierne dodatnie. Uczeń: 1) odczytuje
Doświadczenie i zdarzenie losowe
Doświadczenie i zdarzenie losowe Doświadczenie losowe jest to takie doświadczenie, które jest powtarzalne w takich samych warunkach lub zbliżonych, a którego wyniku nie można przewidzieć jednoznacznie.
Funkcje: wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna wykład 3
Funkcje: wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna wykład 3 dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu semestr zimowy 2016/2017 Potęgowanie Dla dowolnej liczby dodatniej
Przestrzeń probabilistyczna
Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty zbiór Σ rodzina podzbiorów tego zbioru P funkcja określona na Σ, zwana prawdopodobieństwem. Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty
Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych
Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych Rozkład dwumianowy Rozkład normalny Marta Zalewska Zmienna losowa dyskretna (skokowa) jest to zmienna, której zbór wartości jest skończony lub przeliczalny.
ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM.
ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM. I. Trygonometria. 1. Definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym. 2. Rozwiązywanie trójkątów prostokątnych
Statystyka i eksploracja danych
Wykład I: Formalizm statystyki matematycznej 17 lutego 2014 Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura Zagadnienia omawiane na wykładach Forma zaliczenia przedmiotu Forma zaliczenia Literatura
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY 7SP. V. Obliczenia procentowe. Uczeń: 1) przedstawia część wielkości jako procent tej wielkości;
WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY 7SP Liczby. TEMAT Rozwinięcia dziesiętne liczb wymiernych. Zaokrąglanie liczb. Szacowanie wyników. Dodawanie i odejmowanie liczb dodatnich. Mnożenie i dzielenie
Probabilistyczne podstawy statystyki matematycznej. Dr inż. Małgorzata Michalcewicz-Kaniowska
Probabilistyczne podstawy statystyki matematycznej Dr inż. Małgorzata Michalcewicz-Kaniowska 1 Zdarzenia losowe, algebra zdarzeń Do podstawowych pojęć w rachunku prawdopodobieństwa zaliczamy: doświadczenie
(C. Gauss, P. Laplace, Bernoulli, R. Fisher, J. Spława-Neyman) Wikipedia 2008
STATYSTYKA MATEMATYCZNA - dział matematyki stosowanej oparty na rachunku prawdopodobieństwa; zajmuje się badaniem zbiorów na podstawie analizy ich części. Nauka, której przedmiotem zainteresowania są metody
MATEMATYKA Z PLUSEM DLA KLASY VII W KONTEKŚCIE WYMAGAŃ PODSTAWY PROGRAMOWEJ. programowej dla klas IV-VI. programowej dla klas IV-VI.
MATEMATYKA Z PLUSEM DLA KLASY VII W KONTEKŚCIE WYMAGAŃ PODSTAWY PROGRAMOWEJ TEMAT LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ UWAGI. LICZBY I DZIAŁANIA 6 h Liczby. Rozwinięcia
ZESTAWIENIE TEMATÓW Z MATEMATYKI Z PLUSEM DLA KLASY VIII Z WYMAGANIAMI PODSTAWY PROGRAMOWEJ WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ
ZESTAWIENIE TEMATÓW Z MATEMATYKI Z PLUSEM DLA KLASY VIII Z WYMAGANIAMI PODSTAWY PROGRAMOWEJ TEMAT LICZBA GODZIN LEKCYJNYCH WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ UWAGI 1. LICZBY I DZIAŁANIA 14 h
Przykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru
Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady
Statystyka i opracowanie danych W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Rozkład Poissona. Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i funkcja gęstości
Definicja 7.4 (Dystrybuanta zmiennej losowej). Dystrybuantą F zmiennej losowej X nazywamy funkcję: Własności dystrybuanty zmiennej losowej:
Definicja 7.4 (Dystrybuanta zmiennej losowej). Dystrybuantą F zmiennej losowej X nazywamy funkcję: F (t) P (X t) < t < Własności dystrybuanty zmiennej losowej: jest niemalejąca: 0 F (t) jest prawostronnie
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń.
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń. 3.1 Prawdopodobieństwo warunkowe Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Przykład 1 Alicja wylosowała jedną kartę z
Podstawa programowa przedmiotu MATEMATYKA. III etap edukacyjny (klasy I - III gimnazjum)
Podstawa programowa przedmiotu MATEMATYKA III etap edukacyjny (klasy I - III gimnazjum) Cele kształcenia wymagania ogólne: I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń interpretuje i tworzy teksty o
Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład I: Przestrzeń probabilistyczna
9 października 2018 Zasady zaliczenia przedmiotu: Zaliczenie ćwiczeń rachunkowych. Zdanie egzaminu ustnego z treści wykładu. Literatura J. Jakubowski i R. Sztencel, Wstęp do teorii prawdopodobieństwa.
WYMAGANIA EDUKACUJNE Z MATEMATYKI Z PLUSEM DLA KLASY VIII WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ TEMAT
WYMAGANIA EDUKACUJNE Z MATEMATYKI Z PLUSEM DLA KLASY VIII TEMAT WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ 1. LICZBY I DZIAŁANIA System rzymski. Powtórzenie i utrwalenie umiejętności z zakresu podstawy
02DRAP - Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa, zasada w-w
02DRAP - Aksjomatyczna definicja prawdopodobieństwa, zasada w-w A Zadania na ćwiczenia Zadanie A.1. Niech Ω = R oraz F będzie σ-ciałem generowanym przez rodzinę wszystkich przedziałów otwartych typu (,
Statystyka i Rachunek Prawdopodobieństwa dla Bioinzynierii Lista zadań 2, 2018/19z (zadania na ćwiczenia)
Statystyka i Rachunek Prawdopodobieństwa dla Bioinzynierii Lista zadań 2, 2018/19z (zadania na ćwiczenia) 1 Przestrzeń probabilistyczna Zadanie 1 Rzucamy dwiema kostkami do gry. Opisać przestrzeń zdarzeń
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń.
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń. 3.1 Prawdopodobieństwo warunkowe Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2016/2017 Przykład 1 Alicja
Praca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015
Praca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015 2 6 + 3 1. Oblicz 3. 3 x 1 3x 2. Rozwiąż nierówność > x. 2 3 3. Funkcja f przyporządkowuje każdej
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 5. Rozkłady łączne 5.3 Rozkłady warunkowe i warunkowa wartość oczekiwana Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2015/2016 Prawdopodobieństwo wyraża postawę
Rachunku prawdopodobieństwa: rys historyczny, aksjomatyka, prawdopodobieństwo warunkowe,
Rachunku prawdopodobieństwa: rys historyczny, aksjomatyka, prawdopodobieństwo warunkowe, niezależność zdarzeń dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu Semestr letni
WYMAGANIA EGZAMINACYJNE DLA KLASY III GIMNAZJUM
WYMAGANIA EGZAMINACYJNE DLA KLASY III GIMNAZJUM TEMAT WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE 1. LICZBY I WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE 2. System dziesiątkowy 1. Liczby wymierne dodatnie. Uczeń: 1) zaokrągla rozwinięcia dziesiętne
Funkcje: wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna wykład 2
Funkcje: wielomianowa, wykładnicza, logarytmiczna wykład 2 dr Mariusz Grządziel semestr zimowy 2013 Potęgowanie Dla dowolnej liczby dodatniej a oraz liczy wymiernej w = p/q definiujemy: a w (a 1/q ) p.