X P 0,2 0,5 0,2 0,1

Transkrypt

1 Zadanie 1 Zmienna losowa X ma rozkład: x p 0,2 0,5 0,3 Wyznaczyć i narysować dystrybuantę tej zmiennej losowej. Zadanie 2 Zmienna losowa X ma rozkład: X P 0,2 0,5 0,2 0,1 Podać wartość dystrybuanty tej zmiennej w punkcie 5. Zadanie 3 Wyznaczyć EX oraz D 2 X zmiennej losowej X o rozkładzie: x p 0,1 0,5 0,3 0,1 Podać wartość dystrybuanty tej zmiennej losowej w punkcie 1. Zadanie 4 Wyznaczyć EX oraz D 2 X zmiennej losowej X o rozkładzie: x p 0,2 0,4 0,1 0,3 Zadanie 5 a) Jacek bierze udział w następującej grze: rzuca kostką do gry, gdy wypadnie liczba parzysta Jacek dostaje 10 zł; gdy wypadnie 3 lub 5 Jacek nic nie dostaje, ale też nic nie płaci; gdy wypadnie 1 Jacek płaci 20 zł. Podać rozkład zmiennej losowej X, którą definiujemy jako wygrana Jacka. Zadanie 6 W urnie znajduje się pięć kul białych oraz dwie czarne. Z urny losujemy dwie kule. Niech X oznacza zmienną losową oznaczającą liczbę wylosowanych kul białych. a) Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej X gdy losowanie odbywa się bez zwracania b) wyznaczyć rozkład zmiennej losowej X gdy losowanie odbywa się ze zwracaniem. c) Niech Y oznacza zmienną losową równą 0, gdy wylosowaliśmy dwie kule o różnych kolorach i równą 1, gdy wylosowaliśmy dwie kule o tych samych kolorach. Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej Y gdy losujemy bez zwracania Zadanie 7 Niech X i Y będą niezależnymi zm. losowymi takimi, że EX = 4, EY = 2, Obliczyć

2 = = = Zadanie 8 W urnie jest 1 kula biała i 4 czerwone. Z urny losujemy 3 kule bez zwracania. Niech X będzie zmienną losową oznaczającą wyciągniętą liczbę kul czerwonych. Podać rozkład zmiennej losowej X. Zadanie 9 W urnie są 2 kule białe i 2 czerwone. Z urny losujemy 3 kule bez zwracania. Niech X będzie zmienną losową oznaczającą wyciągniętą liczbę kul białych. Podać rozkład zmiennej losowej X. Zadanie 10 Kasyno proponuje następującą grę losową. Rzucamy symetryczną kostką 3 razy. Jeśli za każdym razem wypadnie szóstka, kasyno płaci klientowi 1000 zł, jeśli za każdym razem wypadnie ta sama liczba oczek (ale nie 3 szóstki) kasyno płaci klientowi 100 zł, jeśli choć raz wypadnie inna liczba oczek, kasyno nic nie płaci. Udział w grze kosztuje tylko 10 zł. Czy gra jest opłacalna dla kasyna? Wskazówka: Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej X, gdzie X jest wygraną kasyna, a następnie obliczyć jej wartość oczekiwaną. Zadanie 11 W zamrażalniku znajduje się 5 lodów, w tym 3 waniliowe i 2 czekoladowe. Do zamrażalnika podchodzi dziecko, które nie znosi lodów czekoladowych a uwielbia waniliowe. Dziecko wkłada rękę do zamrażalnika i losowo wyciąga jednego loda. Jeśli jest to lód czekoladowy denerwuje się, odkłada go i więcej lodów nie wyciąga. Jeśli jest to lód waniliowy zjada go i sięga po następnego. Całą zabawę kontynuuje w analogiczny sposób. To znaczy, gdy natrafi na loda waniliowego, zjada go i sięga po następnego. Gdy natrafi na loda czekoladowego denerwuje się, odkłada go i więcej po lody nie sięga. Zabawa kończy się dla dziecka dopiero w chwili natrafienia na loda czekoladowego. Niech X oznacza liczbę zjedzonych lodów. a) Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej X. b) Wyznaczyć EX c) Wyznaczyć D 2 X. d) Wyznaczyć odchylenie standardowe zmiennej losowej X Zadanie 12 Ze zbioru liczb 1,2,,100 losujemy n=5 razy niezależnie od siebie po 1 liczbie. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że: a) Dokładnie 2 razy wylosujemy liczbę parzystą, a 3 razy nieparzystą b) Liczb parzystych wylosujemy mniej niż nieparzystych Zadanie 13 Ze zbioru liczb 1,2,,9 losujemy n=6 razy niezależnie od siebie po 1 liczbie. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że: a) Dokładnie 1 raz wylosujemy liczbę podzielną przez 2 b) Liczbę podzielną przez 2 wylosujemy co najmniej 2 razy

3 Zadanie 14 Pracownik pewnej firmy mieszka w okolicy, w której odbywają się częste awantury i w związku z tym, nie ze swojej winy, spóźnia się do pracy. Na podstawie obserwacji oszacował, że w przeciągu kilku ostatnich miesięcy spóźniał się przeciętnie 2 razy na 10 dni roboczych. W całym najbliższym tygodniu (5 dni roboczych) ma być przeprowadzona kontrola. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że a) pracownik w każdym dniu kontrolowanym spóźni się do pracy b) pracownik spóźni się przynajmniej raz podczas kontrolowanego tygodnia Wskazówka: skorzystać z rozkładu dwumianowego Zadanie 15 Firma ma do wyboru kupno systemu zabezpieczeń dwóch producentów. Producent I proponuje system składający się z trzech niezależnie od siebie pracujących czujników, z których każdy wykrywa intruza z prawdopodobieństwem 0,90. Producent II proponuje system składający się z 10 niezależnie od siebie pracujących czujników, z których każdy wykrywa intruza z prawdopodobieństwem 0,5. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że a) dokładnie dwa czujniki wykryją intruza w przypadku systemu I producenta b) dokładnie trzy czujniki wykryją intruza w przypadku systemu II producenta c) intruz zostanie wykryty w przypadku systemu I producenta d) intruz zostanie wykryty w przypadku systemu II producenta Zadanie 16 Firma medyczna, chcąc zaoszczędzić, po konsultacji z analitykiem, świadomie zakupiła cztery wybrakowane (ale dużo tańsze!) urządzenia do badań. Wszystkie urządzenia zachowują się podczas pojedynczego dnia pracy identycznie, tzn. ulegają awarii z prawdopodobieństwem 0,1. Urządzenia pracują niezależnie od siebie. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że podczas pojedynczego dnia pracy a) popsują się dokładnie trzy urządzenia b) popsują się wszystkie cztery urządzenia c) przynajmniej jedno z urządzeń nie popsuje się. Zadanie 17 Pracownik pewnej firmy mieszka w okolicy, w której odbywają się częste awantury i w związku z tym, nie ze swojej winy, spóźnia się do pracy. Na podstawie obserwacji oszacował, że w przeciągu kilku ostatnich miesięcy spóźniał się przeciętnie 3 razy na 10 dni roboczych. W całym najbliższym tygodniu (5 dni roboczych) ma być przeprowadzona kontrola. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że a) pracownikowi uda się nie spóźnić ani razu podczas kontrolowanego tygodnia b) pracownik spóźni się więcej niż jeden raz podczas kontrolowanego tygodnia Wskazówka: skorzystać z rozkładu dwumianowego Zadanie 18

4 Firma ma do wyboru kupno systemu zabezpieczeń dwóch producentów. Producent I proponuje system składający się z trzech niezależnie od siebie pracujących czujników, z których każdy wykrywa intruza z prawdopodobieństwem 0,90. Producent II proponuje system składający się z 10 niezależnie od siebie pracujących czujników, z których każdy wykrywa intruza z prawdopodobieństwem 0,5. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że a) dokładnie dwa czujniki wykryją intruza w przypadku systemu I producenta b) dokładnie trzy czujniki wykryją intruza w przypadku systemu II producenta c) intruz zostanie wykryty w przypadku systemu I producenta d) intruz zostanie wykryty w przypadku systemu II producenta Zadanie 19 Profesor ma na swoim wykładzie aż 250 studentów, wobec czego zdecydował się na egzamin testowy. Mało ambitny student postanowił podejść do egzaminu testowego w sposób czysto losowy, tzn. udzielając odpowiedzi TAK/NIE z prawd. ½. Egzamin składa się z 10 pytań testowych z odpowiedziami TAK lub NIE. Egzamin zalicza udzielenie co najmniej 8 poprawnych odpowiedzi. a) Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że student przynajmniej na jedno pytanie odpowie źle. b) Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że student zda egzamin. c) Jeśli założymy hipotetycznie, że każdy z 250 studentów profesora podejdzie do egzaminu w sposób losowy, to oczekujemy, że ilu z nich nie zda egzaminu? d) Niech X będzie zmienną losową oznaczającą liczbę egzaminów prowadzącą do zdania, przy założeniu, że wszystkie odpowiedzi udzielane są w sposób losowy. Obliczyć EX. Zadanie 20 Rzucamy czterema monetami tak długo, aż wyrzucimy w jednym rzucie cztery jednakowe wyniki, tj. cztery orły lub cztery reszki. Obliczyć wartość oczekiwaną liczby rzutów Odp. EX=16. Obliczyć prawdopodobieństwo zdarzenia, że wykonamy liczbę rzutów większą niż 2. Zadanie 21 Pewien nieszczęsny hazardzista postanowił grać w dużego lotka tak długo, aż w końcu trafi szóstkę. Ponieważ znał się tez na statystyce postanowił najpierw policzyć oczekiwaną liczbę losowań wiodącą do pierwszej szóstki w dużego lotka. Zadanie 22 Zmienna losowa X ma rozkład Poissona z parametrem. Obliczyć Zadanie 23

5 a)zmienna losowa X ma rozkład Poissona z parametrem. Obliczyć b) Firma ubezpieczeniowa modeluje liczbę zgłoszonych szkód rozkładem Poissona. W grupie kierowców z pewnego miasta posiadających prawo jazdy nie dłużej niż rok zaobserwowano 42 zgłoszone szkody na 100 kierowców. Oszacować na tej podstawie prawdopodobieństwo tego, że losowy kierowca z takiej grupy zgłosi przynajmniej jedną szkodę. Zadanie 24 Zmienna losowa ma rozkład Poissona z parametrem spełniony jest warunek. Dla jakich wartości parametru Zadanie 25 Wzrost dziewcząt osiemnastoletnich ma rozkład normalny populacji dziewcząt o wzroście ponad 170 cm.. Obliczyć udział w Zadanie 26 Niech X 1,..., X 4 będzie prostą próbą losową z rozkładu N(2,10). Obliczyć a) b) Zadanie 27 Niech. a) Obliczyć b) Niech będzie prostą próbą losową z rozkładu. Obliczyć. Zadanie 28 Niech. a) Obliczyć b) Niech będzie prostą próbą losową z rozkładu. Obliczyć. Zadanie 29 Niech będzie prostą próbą losową z rozkładu. Obliczyć a) b) c) Zadanie 30 Niech X 1,..., X n będzie prostą próbą losową z rozkładu N(11,4). Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że średnia z 4-elementowej próby jest mniejsza od 7. Zadanie 31 Niech X 1,..., X n będzie prostą próbą losową z rozkładu N(5,3). Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że średnia z 9-elementowej próby jest większa od 7.

6 Zadanie 32 Niech X 1,..., X n będzie prostą próbą losową z rozkładu N(20,3). Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że średnia z n-elementowej próby jest większa od 15. Przyjąć n=16. Zadanie 33 Zawartość witaminy P w torebce suplementu diety z suszonych owoców aronii pewnej firmy, ze względu na specyficzne metody suszenia, charakteryzuje się dużą zmiennością, a konkretnie jest zmienną losową o rozkładzie. a) Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że zawartość witaminy P w losowo kupionej torebce będzie większa niż 2000 mg b) Obliczyć udział procentowy saszetek tej firmy, które zawierają mniej niż 500 mg witaminy P. c) Klient pragnie zakupić 25 takich saszetek. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że średnia zawartość witaminy P w 25 zakupionych saszetkach (średnia z próby) mieścić się będzie w przedziale od 1200 do 1800 mg Zadanie 34 Zawartość toksycznej substancji w 100g ryby złowionej w pewnym obszarze Pacyfiku ma rozkład N(20,4). a) Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że zawartość toksycznej substancji w losowo przyjętej porcji 100g ryby złowionej w tym obszarze Pacyfiku będzie zawierać się w przedziale od 19 do 21, tj. policzyć, gdzie. b) Obliczyć prawdopodobieństwo tego, średnia tygodniowa dawka (zakładając, że porcję 100g takiej ryby jemy codziennie) przyjmowanej substancji toksycznej jest większa od 18,5, tj. policzyć prawdopodobieństwo tego, że średnia z 7-elementowej próby prostej z rozkładu jest większa od 18,5. Zadanie 35 Dla zmiennej losowej X o rozkładzie jednostajnym na przedziale (0,1),. obliczyć Zadanie 36 Autobus kursuje regularnie co 20 minut. Obliczyć prawdopodobieństwo tego, że przychodząc na przystanek w sposób losowy będziemy czekać dłużej niż 15 minut. Zadanie 37 Zmienna losowa ma rozkład wykładniczy o funkcji gęstości. Wyznaczyć: a) EX b) DX c) d) )

7 Zadanie 38 Niech X będzie zmienną losową o rozkładzie a) zero-jedynkowym z parametrem p=0,6 b) dwumianowym z parametrami n=4, p=0,3 c) geometrycznym z parametrem p=0,5 d) Poissona z parametrem e) jednostajnym na przedziale (2,4) f) normalnym N(5,2) g) wykładniczym z parametrem Obliczyć w każdym z przypadków