Prawdopodobieństwo geometryczne

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "Prawdopodobieństwo geometryczne"

Transkrypt

1 Prawdopodobieństwo geometryczne Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK, Toruń Uniwersyteckie Koło Matematyczne 23 kwietnia 2009 r. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 1/30

2 Doświadczenia losowe Doświadczenie losowe doświadczenie, którego wyniku nie da się z góry przewidzieć, a jednocześnie dające się powtarzać w tych samych warunkach. Zbiór zdarzeń elementarnych zbiór wszystkich możliwych wyników doświadczenia, oznaczamy go zazwyczaj symbolem Ω. Zdarzenia podzbiory zbioru Ω. Przykład 1. Rzucamy jeden raz monetą. zbiór zdarzeń elementarnych Ω = {Orzeł,Reszka} = {O, R}. przykłady zdarzeń: zdarzenie A wypadł orzeł, tzn. A = {O}, zdarzenie B wypadł orzeł lub wypadła reszka, tzn. B = {O, R}. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 2/30

3 Doświadczenia losowe Doświadczenie losowe doświadczenie, którego wyniku nie da się z góry przewidzieć, a jednocześnie dające się powtarzać w tych samych warunkach. Zbiór zdarzeń elementarnych zbiór wszystkich możliwych wyników doświadczenia, oznaczamy go zazwyczaj symbolem Ω. Zdarzenia podzbiory zbioru Ω. Przykład 1. Rzucamy jeden raz monetą. zbiór zdarzeń elementarnych Ω = {Orzeł,Reszka} = {O, R}. przykłady zdarzeń: zdarzenie A wypadł orzeł, tzn. A = {O}, zdarzenie B wypadł orzeł lub wypadła reszka, tzn. B = {O, R}. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 2/30

4 Doświadczenia losowe Przykład 2. Rzucamy jeden raz kostką do gry. zbiór zdarzeń elementarnych Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. przykłady zdarzeń: zdarzenie A wypadła liczba parzysta, tzn. A = {2, 4, 6}, zdarzenie B wypadła liczba mniejsza od trzech, tzn. B = {1, 2}. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 3/30

5 Prawdopodobieństwo Każdemu zdarzeniu A przyporządkowujemy liczbę P(A) [0, 1]. Liczba ta określa szansę, że to zdarzenie zajdzie i nazywamy ją prawdopodobieństwem zajścia zdarzenia A. Inaczej mówiąc określamy pewną funkcję, której dziedziną jest zbiór zdarzeń, a zbiorem wartości przedział [0, 1]. Własności prawdopodobieństwa. Niech A i B będą dowolnymi zdarzeniami P(A) [0, 1], P(Ω) = 1, Jeżeli A B =, to P(A B) = P(A) + P(B). Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 4/30

6 Prawdopodobieństwo Każdemu zdarzeniu A przyporządkowujemy liczbę P(A) [0, 1]. Liczba ta określa szansę, że to zdarzenie zajdzie i nazywamy ją prawdopodobieństwem zajścia zdarzenia A. Inaczej mówiąc określamy pewną funkcję, której dziedziną jest zbiór zdarzeń, a zbiorem wartości przedział [0, 1]. Własności prawdopodobieństwa. Niech A i B będą dowolnymi zdarzeniami P(A) [0, 1], P(Ω) = 1, Jeżeli A B =, to P(A B) = P(A) + P(B). Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 4/30

7 Prawdopodobieństwo Przykład 1. Rzut monetą. Ω = {O, R}. Prawdopodobieństwa zdarzeń elementarnych określamy zazwyczaj następująco P({O}) = 1 2, P({R}) = 1 2. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 5/30

8 Prawdopodobieństwo Przykład 2. Rzut kostką. Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}. Prawdopodobieństwa zdarzeń elementarnych określamy zazwyczaj następująco P({1}) = P({2}) = = P({6}) = 1 6. Korzystając z tego możemy obliczyć prawdopodobieństwa innych zdarzeń, np. P( wypadnie liczba parzysta ) = P({2, 4, 6}) = = P({2} {4} {6}) = = P({2}) + P({4}) + P({6}) = = = 1 2. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 6/30

9 Klasyczny model prawdopodobieństwa Doświadczenia losowe z przykładów 1 i 2 (rzut monetą i rzut kostką) mają dwie wspólne cechy: Skończony zbiór zdarzeń elementarnych (wyników) Ω = {O, R}, Ω = 2, Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, Ω = 6, Prawdopodobieństwa wszystkich zdarzeń elementarnych są równe. Inaczej mówiąc każdy wynik doświadczenia losowego jest jednakowo prawdopodobny. P({O}) = P({R}) = 1 2. P({1}) = P({2}) = = P({6}) = 1 6. Jeżeli doświadczenie losowe posiada te dwie cechy, to prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia A możemy wyznaczyć z wzoru P(A) = A Ω. Jest to tzw. klasyczna definicja prawdopodobieństwa. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 7/30

10 Klasyczny model prawdopodobieństwa Doświadczenia losowe z przykładów 1 i 2 (rzut monetą i rzut kostką) mają dwie wspólne cechy: Skończony zbiór zdarzeń elementarnych (wyników) Ω = {O, R}, Ω = 2, Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, Ω = 6, Prawdopodobieństwa wszystkich zdarzeń elementarnych są równe. Inaczej mówiąc każdy wynik doświadczenia losowego jest jednakowo prawdopodobny. P({O}) = P({R}) = 1 2. P({1}) = P({2}) = = P({6}) = 1 6. Jeżeli doświadczenie losowe posiada te dwie cechy, to prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia A możemy wyznaczyć z wzoru P(A) = A Ω. Jest to tzw. klasyczna definicja prawdopodobieństwa. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 7/30

11 Klasyczny model prawdopodobieństwa Doświadczenia losowe z przykładów 1 i 2 (rzut monetą i rzut kostką) mają dwie wspólne cechy: Skończony zbiór zdarzeń elementarnych (wyników) Ω = {O, R}, Ω = 2, Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, Ω = 6, Prawdopodobieństwa wszystkich zdarzeń elementarnych są równe. Inaczej mówiąc każdy wynik doświadczenia losowego jest jednakowo prawdopodobny. P({O}) = P({R}) = 1 2. P({1}) = P({2}) = = P({6}) = 1 6. Jeżeli doświadczenie losowe posiada te dwie cechy, to prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia A możemy wyznaczyć z wzoru P(A) = A Ω. Jest to tzw. klasyczna definicja prawdopodobieństwa. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 7/30

12 Klasyczny model prawdopodobieństwa Doświadczenia losowe z przykładów 1 i 2 (rzut monetą i rzut kostką) mają dwie wspólne cechy: Skończony zbiór zdarzeń elementarnych (wyników) Ω = {O, R}, Ω = 2, Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, Ω = 6, Prawdopodobieństwa wszystkich zdarzeń elementarnych są równe. Inaczej mówiąc każdy wynik doświadczenia losowego jest jednakowo prawdopodobny. P({O}) = P({R}) = 1 2. P({1}) = P({2}) = = P({6}) = 1 6. Jeżeli doświadczenie losowe posiada te dwie cechy, to prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia A możemy wyznaczyć z wzoru P(A) = A Ω. Jest to tzw. klasyczna definicja prawdopodobieństwa. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 7/30

13 Klasyczny model prawdopodobieństwa Doświadczenia losowe z przykładów 1 i 2 (rzut monetą i rzut kostką) mają dwie wspólne cechy: Skończony zbiór zdarzeń elementarnych (wyników) Ω = {O, R}, Ω = 2, Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, Ω = 6, Prawdopodobieństwa wszystkich zdarzeń elementarnych są równe. Inaczej mówiąc każdy wynik doświadczenia losowego jest jednakowo prawdopodobny. P({O}) = P({R}) = 1 2. P({1}) = P({2}) = = P({6}) = 1 6. Jeżeli doświadczenie losowe posiada te dwie cechy, to prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia A możemy wyznaczyć z wzoru P(A) = A Ω. Jest to tzw. klasyczna definicja prawdopodobieństwa. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 7/30

14 Klasyczny model prawdopodobieństwa Doświadczenia losowe z przykładów 1 i 2 (rzut monetą i rzut kostką) mają dwie wspólne cechy: Skończony zbiór zdarzeń elementarnych (wyników) Ω = {O, R}, Ω = 2, Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, Ω = 6, Prawdopodobieństwa wszystkich zdarzeń elementarnych są równe. Inaczej mówiąc każdy wynik doświadczenia losowego jest jednakowo prawdopodobny. P({O}) = P({R}) = 1 2. P({1}) = P({2}) = = P({6}) = 1 6. Jeżeli doświadczenie losowe posiada te dwie cechy, to prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia A możemy wyznaczyć z wzoru P(A) = A Ω. Jest to tzw. klasyczna definicja prawdopodobieństwa. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 7/30

15 Klasyczny model prawdopodobieństwa Doświadczenia losowe z przykładów 1 i 2 (rzut monetą i rzut kostką) mają dwie wspólne cechy: Skończony zbiór zdarzeń elementarnych (wyników) Ω = {O, R}, Ω = 2, Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, Ω = 6, Prawdopodobieństwa wszystkich zdarzeń elementarnych są równe. Inaczej mówiąc każdy wynik doświadczenia losowego jest jednakowo prawdopodobny. P({O}) = P({R}) = 1 2. P({1}) = P({2}) = = P({6}) = 1 6. Jeżeli doświadczenie losowe posiada te dwie cechy, to prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia A możemy wyznaczyć z wzoru P(A) = A Ω. Jest to tzw. klasyczna definicja prawdopodobieństwa. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 7/30

16 Klasyczny model prawdopodobieństwa Doświadczenia losowe z przykładów 1 i 2 (rzut monetą i rzut kostką) mają dwie wspólne cechy: Skończony zbiór zdarzeń elementarnych (wyników) Ω = {O, R}, Ω = 2, Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, Ω = 6, Prawdopodobieństwa wszystkich zdarzeń elementarnych są równe. Inaczej mówiąc każdy wynik doświadczenia losowego jest jednakowo prawdopodobny. P({O}) = P({R}) = 1 2. P({1}) = P({2}) = = P({6}) = 1 6. Jeżeli doświadczenie losowe posiada te dwie cechy, to prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia A możemy wyznaczyć z wzoru P(A) = A Ω. Jest to tzw. klasyczna definicja prawdopodobieństwa. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 7/30

17 Klasyczny model prawdopodobieństwa Przykład 2. Rzut kostką. Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, Ω = 6, A wypadła liczba parzysta, A = {2, 4, 6}, A = 3, P(A) = A Ω = 3 6 = 1 2, B wypadła liczba mniejsza od 3, B = {1, 2}, B = 2, P(B) = B Ω = 2 6 = 1 3, Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 8/30

18 Klasyczny model prawdopodobieństwa Przykład 2. Rzut kostką. Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, Ω = 6, A wypadła liczba parzysta, A = {2, 4, 6}, A = 3, P(A) = A Ω = 3 6 = 1 2, B wypadła liczba mniejsza od 3, B = {1, 2}, B = 2, P(B) = B Ω = 2 6 = 1 3, Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 8/30

19 Klasyczny model prawdopodobieństwa Przykład 2. Rzut kostką. Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, Ω = 6, A wypadła liczba parzysta, A = {2, 4, 6}, A = 3, P(A) = A Ω = 3 6 = 1 2, B wypadła liczba mniejsza od 3, B = {1, 2}, B = 2, P(B) = B Ω = 2 6 = 1 3, Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 8/30

20 Klasyczny model prawdopodobieństwa Przykład 2. Rzut kostką. Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, Ω = 6, A wypadła liczba parzysta, A = {2, 4, 6}, A = 3, P(A) = A Ω = 3 6 = 1 2, B wypadła liczba mniejsza od 3, B = {1, 2}, B = 2, P(B) = B Ω = 2 6 = 1 3, Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 8/30

21 Klasyczny model prawdopodobieństwa Przykład 2. Rzut kostką. Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, Ω = 6, A wypadła liczba parzysta, A = {2, 4, 6}, A = 3, P(A) = A Ω = 3 6 = 1 2, B wypadła liczba mniejsza od 3, B = {1, 2}, B = 2, P(B) = B Ω = 2 6 = 1 3, Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 8/30

22 Problem Dany jest przedział [0, 1]. Wybieramy z tego przedziału w sposób losowy punkt x. Zakładamy, że prawdopodobieństwa wylosowania dowolnego punktu są równe. Pytania: Jak wygląda zbiór zdarzeń elementarnych? Ile jest zdarzeń elementarnych? Ile wynosi prawdopodobieństwo dowolnego zdarzenia elementarnego? Czy możemy stosować klasyczną definicję prawdopodobieństwa? Jak obliczać prawdopodobieństwa różnych zdarzeń, np. P({x 1 2 }) = P({x > 1 4 }) = P({ 1 2 x < 3 4 }) = P({x = 1 3 }) = Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 9/30

23 Problem Odpowiedzi: Ω = [0, 1] Jest nieskończenie wiele zdarzeń elementarnych, Ω = +, P({x}) = 0 dla dowolnego x [0, 1], Nie możemy stosować klasycznej definicji prawdopodobieństwa. Wynika z tego, że aby określić np. P({x 1 2 }) potrzebna jest inna definicja prawdopodobieństwa. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 10/30

24 Prawdopodobieństwo geometryczne Wiemy, że na podzbiorach R n mamy określone pewne miary. Na R 1 jest to długość, na R 2 pole, a na R 3 objętość. Załóżmy, że Ω jest podzbiorem R n o skończonej mierze. Niech A będzie zdarzeniem (czyli pewnym podzbiorem zbioru Ω). Wówczas P(A) = miara(a) miara(ω). Jest to tzw. geometryczna definicja prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest proporcjonalne do miary (długości, pola, objętości) tego zbioru. Jeżeli np. zbiór B ma pole dwa razy większe od pola zbioru A, to prawdopodobieństwo, że losowo wybrany punkt trafi do zbioru B jest dwa razy większe niż prawdopodobieństwo, że trafi on do zbioru A. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 11/30

25 Prawdopodobieństwo geometryczne Wiemy, że na podzbiorach R n mamy określone pewne miary. Na R 1 jest to długość, na R 2 pole, a na R 3 objętość. Załóżmy, że Ω jest podzbiorem R n o skończonej mierze. Niech A będzie zdarzeniem (czyli pewnym podzbiorem zbioru Ω). Wówczas P(A) = miara(a) miara(ω). Jest to tzw. geometryczna definicja prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest proporcjonalne do miary (długości, pola, objętości) tego zbioru. Jeżeli np. zbiór B ma pole dwa razy większe od pola zbioru A, to prawdopodobieństwo, że losowo wybrany punkt trafi do zbioru B jest dwa razy większe niż prawdopodobieństwo, że trafi on do zbioru A. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 11/30

26 Prawdopodobieństwo geometryczne Wiemy, że na podzbiorach R n mamy określone pewne miary. Na R 1 jest to długość, na R 2 pole, a na R 3 objętość. Załóżmy, że Ω jest podzbiorem R n o skończonej mierze. Niech A będzie zdarzeniem (czyli pewnym podzbiorem zbioru Ω). Wówczas P(A) = miara(a) miara(ω). Jest to tzw. geometryczna definicja prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest proporcjonalne do miary (długości, pola, objętości) tego zbioru. Jeżeli np. zbiór B ma pole dwa razy większe od pola zbioru A, to prawdopodobieństwo, że losowo wybrany punkt trafi do zbioru B jest dwa razy większe niż prawdopodobieństwo, że trafi on do zbioru A. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 11/30

27 Prawdopodobieństwo geometryczne Wiemy, że na podzbiorach R n mamy określone pewne miary. Na R 1 jest to długość, na R 2 pole, a na R 3 objętość. Załóżmy, że Ω jest podzbiorem R n o skończonej mierze. Niech A będzie zdarzeniem (czyli pewnym podzbiorem zbioru Ω). Wówczas P(A) = miara(a) miara(ω). Jest to tzw. geometryczna definicja prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest proporcjonalne do miary (długości, pola, objętości) tego zbioru. Jeżeli np. zbiór B ma pole dwa razy większe od pola zbioru A, to prawdopodobieństwo, że losowo wybrany punkt trafi do zbioru B jest dwa razy większe niż prawdopodobieństwo, że trafi on do zbioru A. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 11/30

28 Prawdopodobieństwo geometryczne Wiemy, że na podzbiorach R n mamy określone pewne miary. Na R 1 jest to długość, na R 2 pole, a na R 3 objętość. Załóżmy, że Ω jest podzbiorem R n o skończonej mierze. Niech A będzie zdarzeniem (czyli pewnym podzbiorem zbioru Ω). Wówczas P(A) = miara(a) miara(ω). Jest to tzw. geometryczna definicja prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest proporcjonalne do miary (długości, pola, objętości) tego zbioru. Jeżeli np. zbiór B ma pole dwa razy większe od pola zbioru A, to prawdopodobieństwo, że losowo wybrany punkt trafi do zbioru B jest dwa razy większe niż prawdopodobieństwo, że trafi on do zbioru A. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 11/30

29 Prawdopodobieństwo geometryczne Wiemy, że na podzbiorach R n mamy określone pewne miary. Na R 1 jest to długość, na R 2 pole, a na R 3 objętość. Załóżmy, że Ω jest podzbiorem R n o skończonej mierze. Niech A będzie zdarzeniem (czyli pewnym podzbiorem zbioru Ω). Wówczas P(A) = miara(a) miara(ω). Jest to tzw. geometryczna definicja prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo zdarzenia A jest proporcjonalne do miary (długości, pola, objętości) tego zbioru. Jeżeli np. zbiór B ma pole dwa razy większe od pola zbioru A, to prawdopodobieństwo, że losowo wybrany punkt trafi do zbioru B jest dwa razy większe niż prawdopodobieństwo, że trafi on do zbioru A. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 11/30

30 Przykład Dany jest przedział [0, 1]. Wybieramy z tego przedziału w sposób losowy punkt x. Zakładamy, że prawdopodobieństwa wylosowania dowolnego punktu są równe. Jakie jest prawdopodobieństwo, że x [0, 1 3 ]? Rozwiązanie: Ω = [0, 1], A = [0, 1 3 ], 1 P(A) = P(x [0, 1 długość(a) 3 ]) = długość(ω) = 3 1 = 1 3. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 12/30

31 Przykład Dany jest przedział [0, 1]. Wybieramy z tego przedziału w sposób losowy punkt x. Zakładamy, że prawdopodobieństwa wylosowania dowolnego punktu są równe. Jakie jest prawdopodobieństwo, że x [0, 1 3 ]? Rozwiązanie: Ω = [0, 1], A = [0, 1 3 ], 1 P(A) = P(x [0, 1 długość(a) 3 ]) = długość(ω) = 3 1 = 1 3. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 12/30

32 Przykład Dany jest przedział [0, 1]. Wybieramy z tego przedziału w sposób losowy punkt x. Zakładamy, że prawdopodobieństwa wylosowania dowolnego punktu są równe. Jakie jest prawdopodobieństwo, że x [0, 1 3 ]? Rozwiązanie: Ω = [0, 1], A = [0, 1 3 ], 1 P(A) = P(x [0, 1 długość(a) 3 ]) = długość(ω) = 3 1 = 1 3. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 12/30

33 Przykład Dany jest przedział [0, 1]. Wybieramy z tego przedziału w sposób losowy punkt x. Zakładamy, że prawdopodobieństwa wylosowania dowolnego punktu są równe. Jakie jest prawdopodobieństwo, że x [0, 1 3 ]? Rozwiązanie: Ω = [0, 1], A = [0, 1 3 ], 1 P(A) = P(x [0, 1 długość(a) 3 ]) = długość(ω) = 3 1 = 1 3. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 12/30

34 Zadanie Wewnątrz koła o promieniu 5 wybrano losowo jeden punkt. Oblicz prawdopodobieństwo, że znajduje się on w odległości mniejszej niż 2 od środka koła. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 13/30

35 Zadanie W koło wpisany jest kwadrat. Oblicz prawdopodobieństwo, że punkt rzucony losowo na koło znajdzie się wewnątrz kwadratu. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 14/30

36 Zadanie W koło wpisany jest kwadrat. Na koło rzucono losowo i niezależnie od siebie dwa punkty. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pierwszy z nich znajdzie się w kwadracie, a drugi w górnym odcinku koła. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 15/30

37 Zadanie Pan Kowalski przychodzi codziennie na przystanek w losowo wybranym momencie pomiędzy godziną 9, a 11. Autobus przyjeżdża o każdej pełnej godzinie. Tramwaj przyjeżdża 20 minut po każdej pełnej godzinie. Pan Kowalski zawsze wsiada w to co przyjedzie pierwsze. Jakie jest prawdopodobieństwo, że pojedzie tramwajem? Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 16/30

38 Zadanie Jaś i Małgosia umówili się, że spotkają się w parku pomiędzy godziną 17, a 18. Osoba, która przyjdzie pierwsza ma poczekać na drugą najwyżej 15 minut. Jakie jest prawdopodobieństwo, że Jaś i Małgosia spotkają się? Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 17/30

39 Zadanie Na płaszczyźnie poprowadzono dwie rodziny prostych równoległych, które dzielą ją na prostokąty o bokach 5 cm i 8 cm. Na płaszczyznę rzucono losowo monetę o średnicy 2 cm. Jakie jest prawdopodobieństwo, że nie przetnie ona żadnej z prostych? Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 18/30

40 Zadanie Tarcza strzelecka o promieniu 10 cm podzielona jest na trzy koncentryczne pierścienie o promieniach 2 cm, 6 cm i 10 cm, za trafienie w które zdobywa się odpowiednio 1,2 i 3 punkty. Zakładamy, że strzelec zawsze trafia w tarczę i że robi to w sposób losowy. Jakie jest prawdopodobieństwo zdobycia dwóch punktów w jednym strzale? Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 19/30

41 Igła Buffona Problem. Wyobraźmy sobie planszę z zaznaczonymi na niej równoległymi liniami odległymi od siebie o d. Na planszę upuszczamy igłę o długości l (zakładamy, że l d). Jakie jest prawdopodobieństwo, że igła przetnie jedną z linii? d l Problem ten sformułował w XVIII wieku francuski filozof, przyrodnik i matematyk Georges-Louis Leclerc, Comte de Buffon ( ). Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 20/30

42 Igła Buffona Rozwiązanie. Niech x oznacza odległość środka igły od najbliższej linii, a α kąt ostry między igłą a linią. d l/2 α y x Zauważmy, że x [0, d/2], α [0, π/2] (tzn. α [0, 90 ]), y = l 2 sin(α), igła przetnie linię gdy x y tzn. gdy x l 2 sin(α). Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 21/30

43 Igła Buffona Rozwiązanie. Niech x oznacza odległość środka igły od najbliższej linii, a α kąt ostry między igłą a linią. d l/2 α y x Zauważmy, że x [0, d/2], α [0, π/2] (tzn. α [0, 90 ]), y = l 2 sin(α), igła przetnie linię gdy x y tzn. gdy x l 2 sin(α). Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 21/30

44 Igła Buffona Rozwiązanie. Niech x oznacza odległość środka igły od najbliższej linii, a α kąt ostry między igłą a linią. d l/2 α y x Zauważmy, że x [0, d/2], α [0, π/2] (tzn. α [0, 90 ]), y = l 2 sin(α), igła przetnie linię gdy x y tzn. gdy x l 2 sin(α). Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 21/30

45 Igła Buffona Rozwiązanie. Niech x oznacza odległość środka igły od najbliższej linii, a α kąt ostry między igłą a linią. d l/2 α y x Zauważmy, że x [0, d/2], α [0, π/2] (tzn. α [0, 90 ]), y = l 2 sin(α), igła przetnie linię gdy x y tzn. gdy x l 2 sin(α). Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 21/30

46 Igła Buffona Z poprzednich rozważań wynika, że odpowiednikiem losowego rzutu igły na planszę jest losowy wybór punktu z prostokąta o [0, π/2] [0, d/2]. Jeżeli wylosowany punkt leży pod krzywą x = l/2 sin(α), oznacza to, że igła przecięła linię, a jeżeli nad krzywą to, że jej nie przecięła. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 22/30

47 Igła Buffona Ponieważ wylosowanie dowolnego punktu z prostokąta [0, π/2] [0, d/2] jest jednakowo prawdopodobne, więc P({igła przetnie linię}) = Pole całego prostokąta wynosi oczywiście pole pod krzywą x = l/2 sin(α) pole prostokąta [0, π/2] [0, d/2] π 2 d 2 = πd 4. A jak obliczyć pole pod krzywą x = l/2 sin(α)? Dla znających rachunek całkowy jest oczywiste, że pole to wynosi: Stąd π/2 0 l 2 sin α dα = l 2 ( cos(π/2) ( cos(0))) = l 2 P({igła przetnie linię}) = l/2 (πd)/4 = 2l πd. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 23/30

48 Igła Buffona Ponieważ wylosowanie dowolnego punktu z prostokąta [0, π/2] [0, d/2] jest jednakowo prawdopodobne, więc P({igła przetnie linię}) = Pole całego prostokąta wynosi oczywiście pole pod krzywą x = l/2 sin(α) pole prostokąta [0, π/2] [0, d/2] π 2 d 2 = πd 4. A jak obliczyć pole pod krzywą x = l/2 sin(α)? Dla znających rachunek całkowy jest oczywiste, że pole to wynosi: Stąd π/2 0 l 2 sin α dα = l 2 ( cos(π/2) ( cos(0))) = l 2 P({igła przetnie linię}) = l/2 (πd)/4 = 2l πd. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 23/30

49 Igła Buffona Ponieważ wylosowanie dowolnego punktu z prostokąta [0, π/2] [0, d/2] jest jednakowo prawdopodobne, więc P({igła przetnie linię}) = Pole całego prostokąta wynosi oczywiście pole pod krzywą x = l/2 sin(α) pole prostokąta [0, π/2] [0, d/2] π 2 d 2 = πd 4. A jak obliczyć pole pod krzywą x = l/2 sin(α)? Dla znających rachunek całkowy jest oczywiste, że pole to wynosi: Stąd π/2 0 l 2 sin α dα = l 2 ( cos(π/2) ( cos(0))) = l 2 P({igła przetnie linię}) = l/2 (πd)/4 = 2l πd. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 23/30

50 Igła Buffona Ponieważ wylosowanie dowolnego punktu z prostokąta [0, π/2] [0, d/2] jest jednakowo prawdopodobne, więc P({igła przetnie linię}) = Pole całego prostokąta wynosi oczywiście pole pod krzywą x = l/2 sin(α) pole prostokąta [0, π/2] [0, d/2] π 2 d 2 = πd 4. A jak obliczyć pole pod krzywą x = l/2 sin(α)? Dla znających rachunek całkowy jest oczywiste, że pole to wynosi: Stąd π/2 0 l 2 sin α dα = l 2 ( cos(π/2) ( cos(0))) = l 2 P({igła przetnie linię}) = l/2 (πd)/4 = 2l πd. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 23/30

51 Jak obliczyć pole nie znając rachunku całkowego? Problem. Dana jest funkcja f : [a, b] R +. Jak obliczyć pole figury ograniczonej osią OX prostymi x = a i x = b oraz krzywą y = f (x)? Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 24/30

52 Obliczanie pól metodą Monte Carlo Wybieramy losowo N punktów z prostokąta [a, b] [0, Max] (N duże). r N liczba punktów, które znalazły się wewnątrz obszaru S, tzn. pod wykresem funkcji f (na rysunku zostały oznaczone kolorem czerwonym). Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 25/30

53 Obliczanie pól metodą Monte Carlo r NN określa jaka część punktów trafiła w obszar S. Ponieważ punkty są rozłożone równomiernie na całym prostokącie, więc możemy rozsądnie przyjąć, że obszar S stanowi r N N część obszaru całego prostokąta tzn. Stąd Pole(S) Pole([a, b] [0, Max]) r N N. Pole(S) Pole([a, b] [0, Max]) rn N = Max (b a) rn N Im więcej punktów wylosowaliśmy tym przybliżenie to powinno być dokładniejsze. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 26/30

54 Obliczanie pól metodą Monte Carlo r NN określa jaka część punktów trafiła w obszar S. Ponieważ punkty są rozłożone równomiernie na całym prostokącie, więc możemy rozsądnie przyjąć, że obszar S stanowi r N N część obszaru całego prostokąta tzn. Stąd Pole(S) Pole([a, b] [0, Max]) r N N. Pole(S) Pole([a, b] [0, Max]) rn N = Max (b a) rn N Im więcej punktów wylosowaliśmy tym przybliżenie to powinno być dokładniejsze. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 26/30

55 Obliczanie pól metodą Monte Carlo r NN określa jaka część punktów trafiła w obszar S. Ponieważ punkty są rozłożone równomiernie na całym prostokącie, więc możemy rozsądnie przyjąć, że obszar S stanowi r N N część obszaru całego prostokąta tzn. Stąd Pole(S) Pole([a, b] [0, Max]) r N N. Pole(S) Pole([a, b] [0, Max]) rn N = Max (b a) rn N Im więcej punktów wylosowaliśmy tym przybliżenie to powinno być dokładniejsze. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 26/30

56 Igła Buffona Niech P oznacza prawdopodobieństwo, że igła przetnie jakąś linię. Wiemy już, że P = 2l πd. Przekształcając ten wzór otrzymujemy, że π = 2l Pd. Wynika stąd, że znając długość igły, odległość między liniami i prawdopodobieństwo P możemy wyznaczyć liczbę π. Powtórzmy N razy eksperyment polegający na rzucie igły na planszę. Załóżmy, że igła przecięła którąś z linii r N razy (0 r N N). Wydaje się naturalnym przyjąć, że Stąd P r N N π 2lN r N d. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 27/30

57 Igła Buffona Niech P oznacza prawdopodobieństwo, że igła przetnie jakąś linię. Wiemy już, że P = 2l πd. Przekształcając ten wzór otrzymujemy, że π = 2l Pd. Wynika stąd, że znając długość igły, odległość między liniami i prawdopodobieństwo P możemy wyznaczyć liczbę π. Powtórzmy N razy eksperyment polegający na rzucie igły na planszę. Załóżmy, że igła przecięła którąś z linii r N razy (0 r N N). Wydaje się naturalnym przyjąć, że Stąd P r N N π 2lN r N d. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 27/30

58 Igła Buffona Niech P oznacza prawdopodobieństwo, że igła przetnie jakąś linię. Wiemy już, że P = 2l πd. Przekształcając ten wzór otrzymujemy, że π = 2l Pd. Wynika stąd, że znając długość igły, odległość między liniami i prawdopodobieństwo P możemy wyznaczyć liczbę π. Powtórzmy N razy eksperyment polegający na rzucie igły na planszę. Załóżmy, że igła przecięła którąś z linii r N razy (0 r N N). Wydaje się naturalnym przyjąć, że Stąd P r N N π 2lN r N d. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 27/30

59 Igła Buffona Niech P oznacza prawdopodobieństwo, że igła przetnie jakąś linię. Wiemy już, że P = 2l πd. Przekształcając ten wzór otrzymujemy, że π = 2l Pd. Wynika stąd, że znając długość igły, odległość między liniami i prawdopodobieństwo P możemy wyznaczyć liczbę π. Powtórzmy N razy eksperyment polegający na rzucie igły na planszę. Załóżmy, że igła przecięła którąś z linii r N razy (0 r N N). Wydaje się naturalnym przyjąć, że Stąd P r N N π 2lN r N d. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 27/30

60 Igła Buffona Niech P oznacza prawdopodobieństwo, że igła przetnie jakąś linię. Wiemy już, że P = 2l πd. Przekształcając ten wzór otrzymujemy, że π = 2l Pd. Wynika stąd, że znając długość igły, odległość między liniami i prawdopodobieństwo P możemy wyznaczyć liczbę π. Powtórzmy N razy eksperyment polegający na rzucie igły na planszę. Załóżmy, że igła przecięła którąś z linii r N razy (0 r N N). Wydaje się naturalnym przyjąć, że Stąd P r N N π 2lN r N d. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 27/30

61 Igła Buffona Wynika stąd, że przy odpowiednio dużej liczbie rzutów igłą liczba 2lN r N d będzie dobrym przybliżeniem liczby π. Im większa liczba rzutów tym przybliżenie powinno być lepsze. W 1901 roku włoski matematyk Mario Lazzarini rzucił igłą 3408 razy i otrzymał bardzo dokładne przybliżenie liczby π π 355 3, Błąd występuje dopiero na 7 miejscu po przecinku. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 28/30

62 Igła Buffona Wynika stąd, że przy odpowiednio dużej liczbie rzutów igłą liczba 2lN r N d będzie dobrym przybliżeniem liczby π. Im większa liczba rzutów tym przybliżenie powinno być lepsze. W 1901 roku włoski matematyk Mario Lazzarini rzucił igłą 3408 razy i otrzymał bardzo dokładne przybliżenie liczby π π 355 3, Błąd występuje dopiero na 7 miejscu po przecinku. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 28/30

63 Metody Monte Carlo historia Metodami Monte Carlo nazywamy klasę metod, które do numerycznego rozwiązywania złożonych zagadnień wykorzystują komputerowe generowanie liczb pseudolosowych odpowiadających możliwym parametrom wejściowym badanego układu (opisanego modelem matematycznym). Metody Monte-Carlo stosowane są w różnych dziedzinach np. przy projektowaniu eksperymentów fizycznych (np. doświadczeń z cząstkami elementarnymi), modelowaniu procesów fizycznych (np. powstawania struktur we wszechświecie itp.), wyznaczania cen różnych instrumentów finansowych. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 29/30

64 Metody Monte Carlo historia Idee tej metody przedstawili w latach 40-tych XX wieku naukowcy pracujący w laboratorium w Los Alamos przy projekcie Manhattan Stanisław Ulam, John von Neumann, Enrico Fermi i Nicholas Metropolis. Nazwa pochodzi od słynnego kasyna w Monte Carlo, w którym podobno grywał często wujek Stanisława Ulama. Wielokrotne powtarzanie tych samych eksperymentów losowych można porównać do regularnego uczestnictwa w grach hazardowych. Takie symulacje losowe przeprowadzane były już wcześniej, ale służyły raczej do weryfikacji znanych rezultatów (uzyskanych innymi metodami), a nie do właściwego rozwiązywania problemów. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Prawdopodobieństwo geometryczne 30/30

Lista zadania nr 4 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie

Lista zadania nr 4 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Lista zadania nr 4 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w

Bardziej szczegółowo

Metody numeryczne w przykładach

Metody numeryczne w przykładach Metody numeryczne w przykładach Bartosz Ziemkiewicz Wydział Matematyki i Informatyki UMK, Toruń Regionalne Koło Matematyczne 8 kwietnia 2010 r. Bartosz Ziemkiewicz (WMiI UMK) Metody numeryczne w przykładach

Bardziej szczegółowo

a. zbiór wszystkich potasowań talii kart (w którym S dostaje 13 pierwszych kart, W - 13 kolejnych itd.);

a. zbiór wszystkich potasowań talii kart (w którym S dostaje 13 pierwszych kart, W - 13 kolejnych itd.); 03DRAP - Przykłady przestrzeni probabilistycznych Definicja 1 Przestrzeń probabilistyczna to trójka (Ω, F, P), gdzie Ω zbiór zdarzeń elementarnych, F σ ciało zdarzeń (podzbiorów Ω), P funkcja prawdopodobieństwa/miara

Bardziej szczegółowo

L.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 1 ZADANIA - ZESTAW 1. (odp. a) B A C, b) A, c) A B, d) Ω)

L.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 1 ZADANIA - ZESTAW 1. (odp. a) B A C, b) A, c) A B, d) Ω) ZADANIA - ZESTAW 1 Zadanie 1.1 Rzucamy trzy razy monetą. A i - zdarzenie polegające na tym, że otrzymamy orła w i - tym rzucie. Określić zbiór zdarzeń elementarnych. Wypisać zdarzenia elementarne sprzyjające

Bardziej szczegółowo

dr Jarosław Kotowicz 29 października Zadania z wykładu 1

dr Jarosław Kotowicz 29 października Zadania z wykładu 1 Rachunek prawdopodobieństwa - ćwiczenia czwarte Schematy rachunku prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo geometryczne. kierunek: informatyka i ekonometria I dr Jarosław Kotowicz 29 października 20 Spis

Bardziej szczegółowo

Praca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015

Praca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015 Praca kontrolna z matematyki nr 1 Liceum Ogólnokształcące dla Dorosłych Semestr 5 Rok szkolny 2014/2015 2 6 + 3 1. Oblicz 3. 3 x 1 3x 2. Rozwiąż nierówność > x. 2 3 3. Funkcja f przyporządkowuje każdej

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa 2.1. σ ciało (algebra) zdarzeń Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska losowe Zdarzenie losowe to pewien podzbiór przestrzeni zdarzeń

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 2

Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 2 Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 2 Przygotowując wykład korzystam głównie z książki Jakubowski, Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Prawdopodobieństwo geometryczne

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 1

Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 1 Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 1 Przygotowując wykład korzystam głównie z książki Jakubowski, Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Jakubowski, Sztencel:

Bardziej szczegółowo

Nie do końca zaawansowane elementy programowania w pakiecie R. Tomasz Suchocki

Nie do końca zaawansowane elementy programowania w pakiecie R. Tomasz Suchocki Nie do końca zaawansowane elementy programowania w pakiecie R Tomasz Suchocki Plan wykładu Metody Monte Carlo Jak bardzo można przybliżyć liczbę π? Całkowanie numeryczne R w Linuxie Tinn-R Metody Monte

Bardziej szczegółowo

( 2) 6 III EDYCJA MIĘDZYSZKOLNEGO KONKURSU MATEMATYCZNEGO DLA UCZNIÓW SZKÓŁ PONADGIMNAZJALNYCH O PROFILU ZAWODOWYM I TECHNICZNYM.

( 2) 6 III EDYCJA MIĘDZYSZKOLNEGO KONKURSU MATEMATYCZNEGO DLA UCZNIÓW SZKÓŁ PONADGIMNAZJALNYCH O PROFILU ZAWODOWYM I TECHNICZNYM. GRUPA WIEKOWA I część pierwsza Na rozwiązanie zadań masz godzinę lekcyjną Za kaŝde zadanie moŝesz zdobyć 1 punkt Wyznacz iloraz NWW (35,14) NWD(16,38) Zamień ułamek 0,(27) na ułamek zwykły Płaszcz z ceny

Bardziej szczegółowo

P r a w d o p o d o b i eństwo Lekcja 1 Temat: Lekcja organizacyjna. Program. Kontrakt.

P r a w d o p o d o b i eństwo Lekcja 1 Temat: Lekcja organizacyjna. Program. Kontrakt. P r a w d o p o d o b i eństwo Lekcja 1 Temat: Lekcja organizacyjna. Program. Kontrakt. Lekcja 2 Temat: Podstawowe pojęcia związane z prawdopodobieństwem. Str. 10-21 1. Doświadczenie losowe jest to doświadczenie,

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI 5 MAJA 2016 POZIOM PODSTAWOWY. Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI 5 MAJA 2016 POZIOM PODSTAWOWY. Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 013 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL dyskalkulia miejsce na naklejkę dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo

Prawdopodobieństwo Prawdopodobieństwo http://www.matemaks.pl/ Wstęp do rachunku prawdopodobieństwa http://www.matemaks.pl/wstep-do-rachunku-prawdopodobienstwa.html Rachunek prawdopodobieństwa pomaga obliczyć szansę zaistnienia

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 1. L. Kowalski, Statystyka, 2005

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 1. L. Kowalski, Statystyka, 2005 RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 1. Literatura: Marek Cieciura, Janusz Zacharski, Metody probabilistyczne w ujęciu praktycznym, L. Kowalski, Statystyka, 2005 R.Leitner, J.Zacharski, "Zarys matematyki

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA ZADANIA Z ROZWIĄZANIAMI. Uwaga! Dla określenia liczebności zbioru (mocy zbioru) użyto zamiennie symboli: Ω lub

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA ZADANIA Z ROZWIĄZANIAMI. Uwaga! Dla określenia liczebności zbioru (mocy zbioru) użyto zamiennie symboli: Ω lub RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA ZADANIA Z ROZWIĄZANIAMI Uwaga! Dla określenia liczebności zbioru (mocy zbioru) użyto zamiennie symboli: Ω lub 1. W grupie jest 15 kobiet i 18 mężczyzn. Losujemy jedną osobę

Bardziej szczegółowo

Matematyka podstawowa X. Rachunek prawdopodobieństwa

Matematyka podstawowa X. Rachunek prawdopodobieństwa Matematyka podstawowa X Rachunek prawdopodobieństwa Zadania wprowadzające: 1. Rzucasz trzy razy monetą a) Napisz zbiór wszystkich wyników tego doświadczenia losowego. Ile ich jest? Wyrzuciłeś większą liczbę

Bardziej szczegółowo

MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI

MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI MODELOWANIE RZECZYWISTOŚCI Daniel Wójcik Instytut Biologii Doświadczalnej PAN d.wojcik@nencki.gov.pl tel. 022 5892 424 http://www.neuroinf.pl/members/danek/swps/ Podręcznik Iwo Białynicki-Birula Iwona

Bardziej szczegółowo

p k (1 p) n k. k c. dokładnie 10 razy została wylosowana kula amarantowa, ale nie za pierwszym ani drugim razem;

p k (1 p) n k. k c. dokładnie 10 razy została wylosowana kula amarantowa, ale nie za pierwszym ani drugim razem; 05DRAP - Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego Definicja.. Zdarzenia A i B nazywamy niezależnymi, jeżeli zachodzi równość P(A B) = P(A) P(B). Definicja. 2. Zdarzenia A,..., A n nazywamy niezależnymi

Bardziej szczegółowo

= A. A - liczba elementów zbioru A. Lucjan Kowalski

= A. A - liczba elementów zbioru A. Lucjan Kowalski Lucjan Kowalski ZADANIA, PROBLEMY I PARADOKSY W PROBABILISTYCE Przypomnienie. Ω - zbiór zdarzeń elementarnych. A zdarzenie (podzbiór Ω). A - liczba elementów zbioru A Jeśli zdarzeń elementarnych jest skończenie

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo

Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Rozdział 1 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo 1.1 Klasyfikacja zdarzeń Zdarzenie elementarne pojęcie aprioryczne, które nie może być zdefiniowane. Odpowiednik pojęcia punkt w geometrii. Zdarzenie elementarne

Bardziej szczegółowo

Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły. Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga. Anna Rajfura, Matematyka

Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły. Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga. Anna Rajfura, Matematyka Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga 1 Zagadnienia 1. Przypomnienie wybranych pojęć rachunku prawdopodobieństwa. Zmienna losowa. Rozkład

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 2. Aksjomatyczne ujęcie prawdopodobieństwa 2.0. Wstęp Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Wstęp Dlaczego prawdopodobieństwo klasyczne nie wystarcza? Jak opisać grę w ruletkę,

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 204/205 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY PRZYKŁADOWY ZESTAW ZADAŃ DLA OSÓB Z AUTYZMEM, W TYM Z ZESPOŁEM ASPERGERA (A2) W czasie trwania egzaminu zdający może korzystać z

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW PRZYGOTOWANY PRZEZ SERWIS WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY+ 19 MARCA 2011 CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT.) Wskaż nierówność, która

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 204/205 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY PRZYKŁADOWY ZESTAW ZADAŃ (A) W czasie trwania egzaminu zdający może korzystać z zestawu wzorów matematycznych, linijki i cyrkla

Bardziej szczegółowo

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO Lekcja 2 Klasyczna definicja prawdopodobieństwa ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Według klasycznej

Bardziej szczegółowo

c) ( 13 (1) (2) Zadanie 2. Losując bez zwracania kolejne litery ze zbioru AAAEKMMTTY, jakie jest prawdopodobieństwo Odp.

c) ( 13 (1) (2) Zadanie 2. Losując bez zwracania kolejne litery ze zbioru AAAEKMMTTY, jakie jest prawdopodobieństwo Odp. Zadania na kolokwium nr Zadanie. Spośród kart w tali wylosowano. Jakie jest prawdopodobieństwo: pików, kierów, trefli i karo otrzymania wszystkich kolorów otrzymania dokładnie pików a ( b ( ( c ( ( ( (

Bardziej szczegółowo

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Egzamin maturalny maj 009 MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI Zadanie 1. Matematyka poziom podstawowy Wyznaczanie wartości funkcji dla danych argumentów i jej miejsca zerowego. Zdający

Bardziej szczegółowo

MATERIAŁ ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI

MATERIAŁ ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI Materiał ćwiczeniowy zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia diagnozy. Materiał ćwiczeniowy chroniony jest prawem autorskim. Materiału nie należy powielać ani udostępniać w żadnej innej

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI PRZED MATURĄ MAJ 2017 POZIOM ROZSZERZONY Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15 stron (zadania 1 18). 2. Rozwiązania zadań wpisuj

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum

Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum Wymagania edukacyjne z matematyki w klasie III gimnazjum - nie potrafi konstrukcyjnie podzielić odcinka - nie potrafi konstruować figur jednokładnych - nie zna pojęcia skali - nie rozpoznaje figur jednokładnych

Bardziej szczegółowo

METODY PROBABILISTYCZNE I STATYSTYKA

METODY PROBABILISTYCZNE I STATYSTYKA Andrzej Marciniak METODY PROBABILISTYCZNE I STATYSTYKA Wykłady dla studentów kierunku informatyka Państwowej Wyższej Szkoły Zawodowej w Kaliszu Wykłady są przeznaczone wyłącznie do indywidualnego użytku

Bardziej szczegółowo

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM.

ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM. ZAGADNIENIA NA EGZAMIN POPRAWKOWY Z MATEMATYKI W KLASIE III TECHNIKUM. I. Trygonometria. 1. Definicje funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym. 2. Rozwiązywanie trójkątów prostokątnych

Bardziej szczegółowo

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI

ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie 51. ( pkt) Rozwiąż równanie 3 x = 1. 1 x Zadanie 5. ( pkt) x+ 3y = 5 Rozwiąż układ równań. x y = 3 Zadanie 53. ( pkt) Rozwiąż nierówność x + 6x 7 0. ZADANIA OTWARTE KRÓTKIEJ ODPOWIEDZI Zadanie

Bardziej szczegółowo

Przestrzeń probabilistyczna

Przestrzeń probabilistyczna Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty zbiór Σ rodzina podzbiorów tego zbioru P funkcja określona na Σ, zwana prawdopodobieństwem. Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo warunkowe Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym

Prawdopodobieństwo warunkowe Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym Edward Stachowski Prawdopodobieństwo warunkowe Twierdzenie o prawdopodobieństwie całkowitym W podstawie programowej obowiązującej na egzaminie maturalnym od 05r pojawiły się nowe treści programowe Wśród

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja MMA-R1_1P-07 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdającego 1 Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY 7SP. V. Obliczenia procentowe. Uczeń: 1) przedstawia część wielkości jako procent tej wielkości;

WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY 7SP. V. Obliczenia procentowe. Uczeń: 1) przedstawia część wielkości jako procent tej wielkości; WYMAGANIA EDUKACYJNE Z MATEMATYKI DLA KLASY 7SP Liczby. TEMAT Rozwinięcia dziesiętne liczb wymiernych. Zaokrąglanie liczb. Szacowanie wyników. Dodawanie i odejmowanie liczb dodatnich. Mnożenie i dzielenie

Bardziej szczegółowo

W czasie trwania egzaminu zdający może korzystać z zestawu wzorów matematycznych, linijki i cyrkla oraz kalkulatora.

W czasie trwania egzaminu zdający może korzystać z zestawu wzorów matematycznych, linijki i cyrkla oraz kalkulatora. Egzamin maturalny od roku szkolnego 2014/2015 Matematyka Poziom rozszerzony Przykładowy zestaw zadań dla osób słabowidzących (A4) W czasie trwania egzaminu zdający może korzystać z zestawu wzorów matematycznych,

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW NR 80866 WYGENEROWANY AUTOMATYCZNIE W SERWISIE WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Przekrój osiowy

Bardziej szczegółowo

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1

PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 PLANIMETRIA CZYLI GEOMETRIA PŁASZCZYZNY CZ. 1 Planimetria to dział geometrii, w którym przedmiotem badań są własności figur geometrycznych leżących na płaszczyźnie (patrz określenie płaszczyzny). Pojęcia

Bardziej szczegółowo

Biostatystyka, # 2 /Weterynaria I/

Biostatystyka, # 2 /Weterynaria I/ Biostatystyka, # 2 /Weterynaria I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a bud. Agro II, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Miejsce na naklejkę z kodem szkoły dysleksja PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY Czas pracy 180 minut Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 16 stron

Bardziej szczegółowo

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO Lekcja 3 Definicja prawdopodobieństwa Kołmogorowa. Prawdopodobieństwa warunkowe i niezależne. ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko

Bardziej szczegółowo

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2015

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 2015 1 MATEMATYKA - poziom podstawowy klasa 2 CZERWIEC 2015 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 17 stron. 2. Rozwiązania zadań i odpowiedzi zamieść w miejscu na to

Bardziej szczegółowo

Doświadczenie i zdarzenie losowe

Doświadczenie i zdarzenie losowe Doświadczenie i zdarzenie losowe Doświadczenie losowe jest to takie doświadczenie, które jest powtarzalne w takich samych warunkach lub zbliżonych, a którego wyniku nie można przewidzieć jednoznacznie.

Bardziej szczegółowo

zdarzenie losowe - zdarzenie którego przebiegu czy wyniku nie da się przewidzieć na pewno.

zdarzenie losowe - zdarzenie którego przebiegu czy wyniku nie da się przewidzieć na pewno. Rachunek prawdopodobieństwa Podstawowym celem rachunku prawdopodobieństwa jest określanie szans zajścia pewnych zdarzeń. Pojęcie podstawowe rachunku prawdopodobieństwa to: zdarzenie losowe - zdarzenie

Bardziej szczegółowo

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego

Projekt Era inżyniera pewna lokata na przyszłość jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach Europejskiego Funduszu Społecznego Materiały dydaktyczne na zajęcia wyrównawcze z matematyki dla studentów pierwszego roku kierunku zamawianego Biotechnologia w ramach projektu Era inżyniera pewna lokata na przyszłość Projekt Era inżyniera

Bardziej szczegółowo

3. Podstawowe pojęcia statystyki matematycznej i rachunku prawdopodobieństwa wykład z Populacja i próba

3. Podstawowe pojęcia statystyki matematycznej i rachunku prawdopodobieństwa wykład z Populacja i próba 3. Podstawowe pojęcia statystyki matematycznej i rachunku prawdopodobieństwa wykład z 12.03.2007 Populacja i próba Populacja- zbiorowość skończona lub nieskończona, w stosunku do której mają być formułowane

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.0. Rozkłady zmiennych losowych, dystrybuanta. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2016/2017 Wprowadzenie Przykład 1 Bolek, Lolek i Tola

Bardziej szczegółowo

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki z zakresu klasy drugiej TECHNIKUM

Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki z zakresu klasy drugiej TECHNIKUM Zespól Szkół Ogólnokształcących i Zawodowych w Ciechanowcu 23 czerwca 2017r. Wymagania na egzamin poprawkowy z matematyki z zakresu klasy drugiej TECHNIKUM Strona 1 z 9 1. Geometria płaska trójkąty zna

Bardziej szczegółowo

Wstęp do probabilistyki i statystyki Wykład 3. Prawdopodobieństwo i algebra zdarzeń

Wstęp do probabilistyki i statystyki Wykład 3. Prawdopodobieństwo i algebra zdarzeń Wstęp do probabilistyki i statystyki Wykład 3. Prawdopodobieństwo i algebra zdarzeń dr inż. Krystyna Schneider, Katedra Elektroniki, AGH e-mail: kryschna@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~kryschna 1 Plan:

Bardziej szczegółowo

MATERIAŁ ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI

MATERIAŁ ĆWICZENIOWY Z MATEMATYKI Materiał ćwiczeniowy zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Materiał ćwiczeniowy chroniony jest prawem autorskim. Materiału nie naleŝy powielać ani udostępniać w Ŝadnej formie

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI WPISUJE ZDAJĄCY KOD PESEL PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY PRZED MATURĄ MAJ 015 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 16 stron (zadania 1 34). Ewentualny brak zgłoś przewodniczącemu

Bardziej szczegółowo

Rzucamy dwa razy sprawiedliwą, sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania:

Rzucamy dwa razy sprawiedliwą, sześcienną kostką do gry. Oblicz prawdopodobieństwo otrzymania: Statystyka Ubezpieczeniowa Część 1. Rachunek prawdopodobieństwa: - prawdopodobieństwo klasyczne - zdarzenia niezależne - prawdopodobieństwo warunkowe - prawdopodobieństwo całkowite - wzór Bayesa Schemat

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 016 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę dyskalkulia dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY

Bardziej szczegółowo

Wskazówki do zadań testowych. Matura 2016

Wskazówki do zadań testowych. Matura 2016 Wskazówki do zadań testowych. Matura 2016 Zadanie 1 la każdej dodatniej liczby a iloraz jest równy.. C.. Korzystamy ze wzoru Zadanie 2 Liczba jest równa.. 2 C.. 3 Zadanie 3 Liczby a i c są dodatnie. Liczba

Bardziej szczegółowo

Rachunek całkowy - całka oznaczona

Rachunek całkowy - całka oznaczona SPIS TREŚCI. 2. CAŁKA OZNACZONA: a. Związek między całką oznaczoną a nieoznaczoną. b. Definicja całki oznaczonej. c. Własności całek oznaczonych. d. Zastosowanie całek oznaczonych. e. Zamiana zmiennej

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ARKUSZ ZAWIERA INFORMACJE PRAWNIE CHRONIONE DO MOMENTU ROZPOCZĘCIA EGZAMINU! Miejsce na naklejkę MMA-R_P-08 EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM ROZSZERZONY MAJ ROK 008 Czas pracy 80 minut Instrukcja

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO

EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO EGZAMIN MATURALNY OD ROKU SZKOLNEGO 014/015 MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY PRZYKŁADOWY ZESTAW ZADAŃ DLA OSÓB SŁABOSŁYSZĄCYCH (A3) W czasie trwania egzaminu zdający może korzystać z zestawu wzorów matematycznych,

Bardziej szczegółowo

MATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 3. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań

MATEMATYKA Przed próbną maturą. Sprawdzian 3. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań MTMTYK Przed próbną maturą. Sprawdzian. (poziom podstawowy) Rozwiązania zadań Zadanie. ( pkt) P.. Uczeń używa wzorów skróconego mnożenia na (a ± b) oraz a b. Zapisujemy równość w postaci (a b) + (c d)

Bardziej szczegółowo

Blok III: Funkcje elementarne. e) y = 1 3 x. f) y = x. g) y = 2x. h) y = 3x. c) y = 3x + 2. d) y = x 3. c) y = x. d) y = x.

Blok III: Funkcje elementarne. e) y = 1 3 x. f) y = x. g) y = 2x. h) y = 3x. c) y = 3x + 2. d) y = x 3. c) y = x. d) y = x. Blok III: Funkcje elementarne III. Narysuj wykres funkcji: a) y = x y = x y = x y = x III. Narysuj wykres funkcji: a) y = x + y = 4 x III. Znajdź miejsca zerowe funkcji: a) y = 6 x y = x e) y = x f) y

Bardziej szczegółowo

Matura 2014 z WSiP Arkusz egzaminacyjny z matematyki Poziom podstawowy

Matura 2014 z WSiP Arkusz egzaminacyjny z matematyki Poziom podstawowy Wypełnia uczeń Numer PESEL Kod ucznia Matura 0 z WSiP Arkusz egzaminacyjny z matematyki Poziom podstawowy Informacje dla ucznia. Sprawdź, czy zestaw egzaminacyjny zawiera stron. Ewentualny brak stron lub

Bardziej szczegółowo

REALIZACJA TREŚCI PODSTAWY PROGRAMOWEJ PRZEZ PROGRAM MATEMATYKA Z PLUSEM

REALIZACJA TREŚCI PODSTAWY PROGRAMOWEJ PRZEZ PROGRAM MATEMATYKA Z PLUSEM REALIZACJA TREŚCI PODSTAWY PROGRAMOWEJ PRZEZ PROGRAM MATEMATYKA Z PLUSEM Treści nauczania wg podstawy programowej Podręcznik M+ Klasa I Klasa II Klasa III 1. Liczby wymierne dodatnie. Uczeń: 1) odczytuje

Bardziej szczegółowo

Probabilistyczne podstawy statystyki matematycznej. Dr inż. Małgorzata Michalcewicz-Kaniowska

Probabilistyczne podstawy statystyki matematycznej. Dr inż. Małgorzata Michalcewicz-Kaniowska Probabilistyczne podstawy statystyki matematycznej Dr inż. Małgorzata Michalcewicz-Kaniowska 1 Zdarzenia losowe, algebra zdarzeń Do podstawowych pojęć w rachunku prawdopodobieństwa zaliczamy: doświadczenie

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM

WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM WYMAGANIA EDUKACYJNE NIEZBĘDNE DO UZYSKANIA ŚRÓDROCZNYCH I ROCZNYCH OCEN KLASYFIKACYJNYCH Z MATEMATYKI W KLASIE II GIMNAZJUM OCENA ŚRÓDROCZNA: NIEDOSTATECZNY ocenę niedostateczny otrzymuje uczeń, który

Bardziej szczegółowo

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURA

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURA NAJWIEKSZY INTERNETOWY ZBIÓR ZADAŃ Z MATEMATYKI LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURA DLA KLAS TRZECICH POZIOM PODSTAWOWY GRUPA I 1 STYCZNIA 011 CZAS PRACY: 170 MINUT Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT.) Liczba

Bardziej szczegółowo

Stowarzyszenie Nauczycieli Matematyki

Stowarzyszenie Nauczycieli Matematyki WPISUJE ZDAJĄCY KOD PESEL Miejsce na naklejkę z kodem (podczas egzaminu w maju) PRÓBNY ARKUSZ MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY 1. Sprawdź czy arkusz zawiera 13 stron (zadania 1-32). STYCZEŃ 2015

Bardziej szczegółowo

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych,

IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. - funkcja dwóch zmiennych, IX. Rachunek różniczkowy funkcji wielu zmiennych. 1. Funkcja dwóch i trzech zmiennych - pojęcia podstawowe. Definicja 1.1. Niech D będzie podzbiorem przestrzeni R n, n 2. Odwzorowanie f : D R nazywamy

Bardziej szczegółowo

postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany: y = 0,5x 2. Podaj określenie ciągu arytmetycznego. Dany jest ciąg a n

postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany: y = 0,5x 2. Podaj określenie ciągu arytmetycznego. Dany jest ciąg a n Propozycje pytań na maturę ustną ( profil podstawowy ) Elżbieta Kujawińska ZESTAW Podaj wzory na postać kanoniczną i iloczynową funkcji kwadratowej Sprowadź do postaci kanonicznej i iloczynowej trójmiany:

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI PRZED MATURĄ MAJ 2016 POZIOM PODSTAWOWY Instrukcja dla zdającego 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 14 stron (zadania 1 31). 2. Rozwiązania zadań wpisuj

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne z matematyki

Wymagania edukacyjne z matematyki Wymagania edukacyjne z matematyki Poziom podstawowy Klasa IIIb r.szk. 2014/2015 PLANIMETRIA(1) rozróżnia trójkąty: ostrokątne, prostokątne, rozwartokątne stosuje twierdzenie o sumie miar kątów w trójkącie

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń.

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń. Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń. 3.1 Prawdopodobieństwo warunkowe Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2016/2017 Przykład 1 Alicja

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo zadania na sprawdzian

Prawdopodobieństwo zadania na sprawdzian Prawdopodobieństwo zadania na sprawdzian Zad. 1. Zdarzenia A, B, C oznaczają, że wzięto co najmniej po jednej książce odpowiednio z pierwszych, drugich i trzecich dzieł zebranych. Każde z dzieł zebranych

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA

EGZAMIN MATURALNY 2010 MATEMATYKA Centralna Komisja Egzaminacyjna w Warszawie EGZAMIN MATURALNY MATEMATYKA POZIOM ROZSZERZONY Klucz punktowania odpowiedzi MAJ Egzamin maturalny z matematyki Za prawidłowe rozwiązanie każdego z zadań inną

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW NR 89195 WYGENEROWANY AUTOMATYCZNIE W SERWISIE WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Punkty A = ( 6

Bardziej szczegółowo

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 09 MARCA Kartoteka testu. Maksymalna liczba punktów. Nr zad. Matematyka dla klasy 3 poziom podstawowy

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 09 MARCA Kartoteka testu. Maksymalna liczba punktów. Nr zad. Matematyka dla klasy 3 poziom podstawowy Matematyka dla klasy poziom podstawowy LUBELSKA PRÓBA PRZED MATURĄ 09 MARCA 06 Kartoteka testu Nr zad Wymaganie ogólne. II. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji.. II. Wykorzystanie i interpretowanie

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady

WYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady WYKŁAD 2 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady Metody statystyczne metody opisu metody wnioskowania statystycznego syntetyczny liczbowy opis właściwości zbioru danych ocena

Bardziej szczegółowo

1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 14 stron (zadania ). Ewentualny brak zgłoś przewodniczącemu zespołu nadzorującego egzamin.

1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 14 stron (zadania ). Ewentualny brak zgłoś przewodniczącemu zespołu nadzorującego egzamin. Miejsce na identyfikację szkoły ARKUSZ PRÓBNEJ MATURY Z OPERONEM MATEMATYKA POZIOM PODSTAWOWY MARZEC 205 Instrukcja dla zdającego Czas pracy: 70 minut. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 4 stron

Bardziej szczegółowo

Podstawa programowa przedmiotu MATEMATYKA. III etap edukacyjny (klasy I - III gimnazjum)

Podstawa programowa przedmiotu MATEMATYKA. III etap edukacyjny (klasy I - III gimnazjum) Podstawa programowa przedmiotu MATEMATYKA III etap edukacyjny (klasy I - III gimnazjum) Cele kształcenia wymagania ogólne: I. Wykorzystanie i tworzenie informacji. Uczeń interpretuje i tworzy teksty o

Bardziej szczegółowo

Ilustracja metody Monte Carlo obliczania pola obszaru D zawartego w kwadracie [a,b]x[a,b]

Ilustracja metody Monte Carlo obliczania pola obszaru D zawartego w kwadracie [a,b]x[a,b] Ilustracja metody Monte Carlo obliczania pola obszaru D zawartego w kwadracie [a,b]x[a,b] Dagna Bieda, Piotr Jarecki, Tomasz Nachtigall, Jakub Ciesiółka, Marek Kubiczek Metoda Monte Carlo Metoda Monte

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI ZESTAW NR 78353 WYGENEROWANY AUTOMATYCZNIE W SERWISIE WWW.ZADANIA.INFO POZIOM PODSTAWOWY CZAS PRACY: 170 MINUT 1 Zadania zamknięte ZADANIE 1 (1 PKT) Liczba 5 4 jest

Bardziej szczegółowo

W takim modelu prawdopodobieństwo konfiguracji OR wynosi. 0, 21 lub , 79. 6

W takim modelu prawdopodobieństwo konfiguracji OR wynosi. 0, 21 lub , 79. 6 Rachunek prawdopodobieństwa MAP5 Wydział Elektroniki, rok akad. /, sem. letni Wykładowca: dr hab. A. Jurlewicz Przykłady do listy : Przestrzeń probabilistyczna. Prawdopodobieństwo klasyczne. Prawdopodobieństwo

Bardziej szczegółowo

ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI DLA KLASY II A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ w Publicznym Gimnazjum Integracyjnym nr 47 w Łodzi

ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI DLA KLASY II A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ w Publicznym Gimnazjum Integracyjnym nr 47 w Łodzi ROZKŁAD MATERIAŁU NAUCZANIA MATEMATYKI DLA KLASY II A WYMAGANIA PODSTAWY PROGRAMOWEJ w Publicznym Gimnazjum Integracyjnym nr 47 w Łodzi Rozkład materiału nauczania został opracowany na podstawie programu

Bardziej szczegółowo

Tematy próbnego pisemnego egzaminu dojrzałości z matematyki

Tematy próbnego pisemnego egzaminu dojrzałości z matematyki Tematy próbnego pisemnego egzaminu dojrzałości z matematyki Zadanie Rozwiąż nierówność: [ +log 0, ( x- )] + [ +log 0, ( x- )] + [ +log 0, ( x- )] ++ + [ + log 0, ( x- )] Zadanie Odcinek AB, gdzie A = (,

Bardziej szczegółowo

ODLEGŁOŚĆ NA PŁASZCZYŹNIE - SPRAWDZIAN

ODLEGŁOŚĆ NA PŁASZCZYŹNIE - SPRAWDZIAN ODLEGŁOŚĆ NA PŁASZCZYŹNIE - SPRAWDZIAN Gr. 1 Zad. 1. Dane są punkty: P = (-, 1), R = (5, -1), S = (, 3). a) Oblicz odległość między punktami R i S. b) Wyznacz współrzędne środka odcinka PR. c) Napisz równanie

Bardziej szczegółowo

WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLASY III GIMNAZJUM W ZSPiG W CZARNYM DUNAJCU NA ROK SZKOLNY 2016/2017 ROCZNE

WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLASY III GIMNAZJUM W ZSPiG W CZARNYM DUNAJCU NA ROK SZKOLNY 2016/2017 ROCZNE WYMAGANIA EDUKACYJNE DLA KLASY III GIMNAZJUM W ZSPiG W CZARNYM DUNAJCU NA ROK SZKOLNY 2016/2017 ROCZNE Przekształcenia algebraiczne Równania i układy równań Pojęcie funkcji. Własności funkcji. WYRAŻENIA

Bardziej szczegółowo

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej.

Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE. Rozwiązania. Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Arkusz maturalny nr 2 poziom podstawowy ZADANIA ZAMKNIĘTE Rozwiązania Zadanie 1 Wartość bezwzględna jest odległością na osi liczbowej. Stop Istnieje wzajemnie jednoznaczne przyporządkowanie między punktami

Bardziej szczegółowo

Ilustracja metody Monte Carlo do obliczania pola obszaru D zawartego w kwadracie [a, b] [a, b].

Ilustracja metody Monte Carlo do obliczania pola obszaru D zawartego w kwadracie [a, b] [a, b]. Rachunek Prawdopodobienstwa MAEW104 Wydział Elektroniki, rok akad. 2008/09, sem. letni wykład: dr hab. Agnieszka Jurlewicz Temat projektu: Ilustracja metody Monte Carlo do obliczania pola obszaru D zawartego

Bardziej szczegółowo

Wymagania edukacyjne klasa druga.

Wymagania edukacyjne klasa druga. Wymagania edukacyjne klasa druga. TEMAT WYMAGANIA SZCZEGÓŁOWE Z PODSTAWY PROGRAMOWEJ 1. POTĘGI Potęga o wykładniku naturalnym Iloczyn i iloraz potęg o jednakowych podstawach Potęgowanie potęgi Potęgowanie

Bardziej szczegółowo

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATUR pola do tego przeznaczone. Błędne

LUBELSKA PRÓBA PRZED MATUR pola do tego przeznaczone. Błędne 1 MATEMATYKA - poziom podstawowy klasa 2 CZERWIEC 2015 Instrukcja dla zdaj cego Czas pracy: 170 minut 1. Sprawdź, czy arkusz zawiera 17 stron. 2. Rozwiązania zadań i odpowiedzi zamieść w miejscu na to

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. MMA 2015 WPISUJE ZDAJĄCY KOD PESEL miejsce na naklejkę dysleksja EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY PRZYKŁADOWY

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.1. Zmienne losowe dyskretne. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Definicja/Rozkład Zmienne losowe dyskretne Definicja Zmienną losową, która skupiona

Bardziej szczegółowo

SZKOLNY KONKURS MATEMATYCZNY MATMIX 2007 DROGI UCZNIU!

SZKOLNY KONKURS MATEMATYCZNY MATMIX 2007 DROGI UCZNIU! Wersja A klasy I II SZKOLNY KONKURS MATEMATYCZNY MATMIX 007 DROGI UCZNIU! Masz do rozwiązania 8 zadań testowych, na rozwiązanie których masz 90 minut. Punktacja rozwiązań: - zadania od do 7 - punkty -

Bardziej szczegółowo

Dział I FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE

Dział I FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE MATEMATYKA ZAKRES PODSTAWOWY Rok szkolny 01/013 Klasa: III Nauczyciel: Mirosław Kołomyjski Dział I FUNKCJE TRYGONOMETRYCZNE Lp. Zagadnienie Osiągnięcia ucznia. 1. Miara kąta. Sprawnie operuje pojęciami:

Bardziej szczegółowo

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji.

Pochodna funkcji. Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Pochodna funkcji Pochodna funkcji w punkcie. Różniczka funkcji i obliczenia przybliżone. Zastosowania pochodnych. Badanie funkcji. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika

Bardziej szczegółowo

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY 5 MAJA Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50

EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY 5 MAJA Godzina rozpoczęcia: 9:00. Czas pracy: 170 minut. Liczba punktów do uzyskania: 50 Arkusz zawiera informacje prawnie chronione do momentu rozpoczęcia egzaminu. Układ graficzny CKE 01 KOD UZUPEŁNIA ZDAJĄCY PESEL miejsce na naklejkę Instrukcja dla zdającego EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

Bardziej szczegółowo

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI

PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI WPISUJE ZDAJĄCY IMIĘ I NAZWISKO UCZNIA NUMER UCZNIA W DZIENNIKU PRÓBNY EGZAMIN MATURALNY Z MATEMATYKI POZIOM PODSTAWOWY 1. Sprawdź, czy arkusz egzaminacyjny zawiera 15 stron (zadania 1 33). Ewentualny

Bardziej szczegółowo