Wstęp do fizyki statystycznej: krytyczność i przejścia fazowe. Katarzyna Sznajd-Weron

Transkrypt

1 Wstęp do fizyki statystycznej: krytyczność i przejścia fazowe Katarzyna Sznajd-Weron

2 Co to jest fizyka statystyczna? Termodynamika poziom makroskopowy Fizyka statystyczna poziom mikroskopowy Marcin Weron Grób Boltzmanna na cmentarzu centralnym w Wiedniu

3 Sylwester w górach i jajka 2014 Katarzyna Sznajd-Weron

4 Pełny diagram fazowy dla wody 2014 Katarzyna Sznajd-Weron

5 Nieciągłe przejście fazowe 2014 Katarzyna Sznajd-Weron

6 Równowaga i stany metastabilne

7 Potencjały na diagramie fazowym 2014 Katarzyna Sznajd-Weron

8 Stan metastabilny: przechłodzona woda

9 Histereza

10 Nieciągłe przejście fazowe: punkt potrójny

11 Linie spinodali obszary metastabilności 2014 Katarzyna Sznajd-Weron

12 Ciągłe (krytyczne) przejście fazowe 2014 Katarzyna Sznajd-Weron

13 Ciągłe przejście fazowe: punkt krytyczny

14 Przykład ciągłej przemiany fazowej

15 Przemiana fazowa para-ferromagnetyk magnes ferromagnetyk Katarzyna Sznajd-Weron Ferromagnetyk T T c Paramagnetyk T > T c Jak to zrozumieć?

16 Model Isinga (Lenza-Isinga?) 1925 rozprawa doktorska Ernsta Isinga Brak przejścia fazowego w 1D Jedyna praca Isinga Przejście fazowe w 2D (lata czterdzieste) Skala mikro tłumaczy zachowania makro L H = J L S i S j 1D H = J i=1 S i S i+1 <i,j>

17 Skąd taki Hamiltonian? L H = J S i S i+1 i=1 L H = J S i S i+1 = J ( 1) i=1 Każdy układ dąży do minimalizacji energii L H = J i=1 L S i S i+1 = J i=1 1 = JL

18 Oddziaływania pomiędzy cząstkami T < T c T > T c Oddziaływanie między cząstkami porządkuje Temperatura rozburza ( nerwowo ) Jak to policzyć? Algorytm Metropolisa

19 Czego się spodziewacie? Czego się spodziewacie? Zajrzyjcie na Models Library NetLogo (środowisko do ABM) Prof. Uri Wilensky Northwestern's Center for Connected Learning and Computer-Based Modeling (CCL)

20 Dalsze losy modelu Isinga Przejście fazowe w 2D bez pola Onsager, lata czterdzieste Symulacje Komputerowe model Isinga w 3D i 2D z polem Wykorzystanie poza fizyką Układy społeczne Rynki finansowe Układy biologiczne

21 Przejście fazowe w modelu Isinga

22 energia materia Układy otwarte, zamknięte i izolowane (termodynamiczne) Co tu jest stałe? Co może się zmienić? energia Układ otwarty Układ zamknięty Układ izolowany

23 Układy i jego otoczenie układ otwarty + otoczenie = układ izolowany układ Tylko dla takich istnieje ogólna teoria! otoczenie

24 Skala mikro i macro N A = liczba atomów, cząsteczek lub cząstek w jednym molu Jeden mol powietrza dla p = 1Atm i T = 0 O C zajmuje V = 22.2l Układ makroskopowy w fizyce (10 23 ) Opis w skali makro - termodynamika Dlaczego? Spojrzenie na układ w skali mikro

25 Przykład: gaz doskonały (pv = Nk B T) Rozrzedzony gaz złożony z N identycznych cząsteczek w pudle Średnie odległości między cząsteczkami duże Oddziaływania zaniedbywalne tylko zderzenia Zderzenia cząsteczek są doskonale sprężyste Pudło przedzielone na pół: n P (t) + n L (t) = N n L 0 = N n P 0 = 0 Co się stanie?

26 Przykład: gaz doskonały (pv = Nk B T) Pudło przedzielone na pół: n P (t) + n L (t) = N n L 0 = N n P 0 = 0 n L = n P = N 2? Ile jest konfiguracji takich, że n L = N? Wszystkich konfiguracji jest 2 N. Dlaczego? Wszystkie z lewej strony: P n L = N = 1 2 N Jaka konfiguracja najbardziej prawdopodobna?

27 Przykład: 4 cząstki w pudle

28 Mikrostan i makrostan Mikrostan - szczegółowe informacje na temat każdej z cząstek - np. wszystkie położenia i pędy Ile zmiennych dla układu 3D gazu złożonego z N cząstek? Stan mikroskopowy zmienia się przez cały czas Makrostan - np. liczba cząstek w lewej połowie naczynia

29 Przykład: rzut dwiema kościami do gry Makrostan suma oczek na dwóch kościach Jakie mikrostany? Ile wszystkich? Ω = 6 6 = 36 P 2 = 1 36 P 3 = 2 36 = 1 18 P 7 = 6 36 = 1 6

30 Pojedyncza cząstka: odwracalność w czasie Pomyśl o jednej cząstce Ruch cząstki opisany równaniem Newtona d Ԧp ԦF = dt Gdzie jest początek a gdzie koniec?

31 Procesy nieodwracalne strzałka czasu Umieśćmy wszystkie cząstki w lewej połowie pudła? Jak wyglądałby wykres n L (t)? Posprzątam na swoim biurku i co dalej? Czy może samoistnie powstać budowla z kamieni? Układ izolowany w stanie uporządkowanym! nieuporządkowany Czas relaksacji - czas potrzebny na dojście do równowagi "Miara nieporządku" - entropia Wzrost entropii - strzałka czasu

32 Procesy nieodwracalne strzałka czasu Umieśćmy wszystkie cząstki w lewej połowie pudła? Jak wyglądałby wykres n L (t)? Posprzątam na swoim biurku i co dalej? Czy może samoistnie powstać budowla z kamieni? Wzrost entropii - strzałka czasu?

33 Równowaga mikroskopowo i makroskopowo: model Ehrenfesta

34 Twierdzenie H-Boltzmanna P r (t) - prawdopodobieństwo znalezienia układu w mikrostanie r (jednym z dozwolonych stanów układu) w chwili t Układ na pewno znajduje się w jednym ze stanów, tzn. r P r (t) = 1 W rs - prawdopodobieństwo przejścia w jednostce czasu ze stanu r do s Równanie ewolucji (bilansu) w układzie izolowanym: dp r dt = P s W sr P r W rs s s

35 Twierdzenie H-Boltzmanna dp r dt = P s W sr P r W rs s s Warunek mikroodwracalności: W sr = W rs dp r dt = (P s P r ) W sr s Zdefiniujmy wielkość: dh dt = 1 2 r H = lnp r = P r lnp r r W rs (P r P s )(lnp r lnp s ) s

36 Twierdzenie H-Boltzmanna dh Entropia: dt = 1 2 r H = lnp r dh dt 0, = P r lnp r r W rs (P r P s )(lnp r lnp s ) s dh dt = 0 dla P r = P s S = k B lnp r S = k B H ds dt 0, ds dt = 0 dla P r = P s

37 Podsumowania twierdzenia H-Boltzmanna Układ izolowany: dp r dt = s P s W sr s P r W rs + 0 Mikroodwracalność: W sr = W rs Wówczas entropia zdefiniowana jako S = k B lnp r = k B P r lnp r = k B P r ln 1 r r P r Rośnie i osiąga wartość maksymalną w stanie równowagi: ds dt 0, ds dt = 0 dla P r = P s stan równowagi

38 Entropia - ogólniej Mieliśmy już entropię Boltzmanna: S = k B lnp r = k B P r lnp r = k B P r ln 1 r r P r W teorii informacji mamy entropię Shannona H(X) = lnp(x i ) = i p x i log q p(x i ) Jeśli wszystkie stany równoprawdopodobne P r = 1 Ω to Ω 1 S = k B r=1 Ω lnω = k BlnΩ

39 Równowaga mikroskopowo i makroskopowo Postulat równych prawdopodobieństw a'priori Jeżeli układ izolowany znajduje się w stanie równowagi, to każdy z jego stanów dozwolonych jest jednakowo prawdopodobny P r = P s Stan równowagi makroskopowy max Ω, max S Stan (mikrostan) s 1 3 W sr Stan (mikrostan) r W rs 2 5 4

40 Entropia w układzie izolowanym Strzałka czasu Miara nieporządku Miara niepewności S = k B lnω Fundamentalne równanie łączące skalę mikro i makro (termodynamika) Stała Boltzmanna: k B 1, J K

41 Entropia - przykład N korali: N 1 korali czerwonych + N 2 korali szarych Chcesz zrobić naszyjnik i bierzesz losowo korale Jaka entropia naszyjnika? Dla jakiego N 1, N 2 entropia największa? Ω = N! N 1! N 2! S = k B lnω = k B (lnn! lnn 1! lnn 2!) Przybliżenie Stirlinga: ln N! NlnN N S = NlnN N 1 lnn 1 N 2 lnn 2

42 Entropia - przykład S = NlnN N 1 lnn 1 N 2 lnn 2 Kiedy entropia maksymalna? S(N 1 ) = NlnN N 1 lnn 1 (N N 1 )ln(n N 1 ) S N 1 =? Maksymalna entropia powinna być dla N 1 = N 2 = 1/2