Modelowanie Agentowe Układów Złożonych Wstęp. Katarzyna Sznajd-Weron

Transkrypt

1 Modelowanie Agentowe Układów Złożonych Wstęp Katarzyna Sznajd-Weron

2 Aperitif (2006) Physicists pretend not only to know everything, but also to know everything better. This applies in particular to computational statistical physicists like US. D. Stauffer, doktorat honoris causa Uniwersytet de Liege,

3 Po co tu jesteśmy? Maciek Bieniek żeby napisać kilka prac A po co Ty tu jesteś? Wiem co odpowie kilka osób Jakie mamy możliwości: Praca naukowa zakończona publikacją (grupy 2-4) Wizualizacja modelu (w NetLogo) Jakieś inne pomysły?

4 Co to jest model agentowy? Model mikroskopowy Bottom up Agenci (jednostki) Ludzie, zwierzęta, rośliny, cząstki, Organizacje, społeczności, populacje, gatunki, Jednego typu lub więcej (np. ludzie i organizacje) Każdy agent ma pewne cechy Oddziaływania Środowisko (przestrzeń)

5 Kiedy się pojawiły? Do 2002 ludzie nie zajmowali się na poważnie ABM Dlaczego? A. Borshchev, AnyLogic Od 19 lat w naukach społecznych wg. F. Squazzoni, History of Economic Ideas, xviii/2010/2 Wg. Web of Science Źródło: M. Niazi, A. Hussain, Agent-based computing from multi-agent systems to agent-based models: a visual survey, Scientometrics (2011) 89:

6 Co to jest układ złożony? Składa się z wielu elementów oddziałujących ze sobą Nieliniowe oddziaływanie : Całość to coś więcej niż suma jego części Typowe: Emergencja Samoorganizacja Brak równowagi Sprzężenia zwrotne Prawa potęgowe Budowla termitów Płatki śniegu

7 More Is Different 1977 nagroda Nobla z fizyki prace nad nieuporządkowanymi układami magnetycznymi P. W. Anderson, More Is Different, Science, New Series 177 (Aug. 4, 1972), pp Przejścia fazowe więcej to coś innego!!! Teoria wielkiego wybuchu (cząstki elementarne, kosmologia) Zastosowania interdyscyplinarne: ewolucja biologiczna, genetyka, lingwistyka, epidemiologia,

8 Przykład: Segregacja rasowa

9 Przykład: Model Schellinga (1971) Agenci mogą być tylko dwóch typów i początkowo rozmieszczeni są losowo na sieci Agent jest nieszczęśliwy jeżeli ma w otoczeniu zbyt wielu obcych (>T) W każdym kroku symulacji jeden nieszczęśliwy, losowo wybrany agent jest przesuwany do losowo wybranej wolnej komórki w sąsiedztwie Schelling, T.C. Dynamic Models of Segregation, Journal of Math. Sociology 1: (1971)

10 Przykład: Model Schellinga (1971) Czego się spodziewacie? Zajrzyjcie na Models Library: Social Science: Segregation

11 Jaka nauka płynie z tego modelu? Model segregacji ze względu na pewną cechę (rasa, płeć, wiek, styl życia, pozycja, zamożność) Nikt nie preferuje ścisłej segregacji Ostra segregacja mimo łagodnych preferencji Mikro motywy i makro zachowanie

12 Przejście pomiędzy mikro a makro Marcin Weron

13 Temperatura Curie ciągłe przejście fazowe magnes ferromagnetyk Przejście fazowe Katarzyna Sznajd-Weron Ferromagnetyk T T c Paramagnetyk T > T c Jak to zrozumieć?

14 Model Isinga (Lenza-Isinga?) 1925 rozprawa doktorska Ernsta Isinga Brak przejścia fazowego w 1D Jedyna praca Isinga Przejście fazowe w 2D (lata czterdzieste) Skala mikro tłumaczy zachowania makro H = J L <i,j> L S i S j 1D H = J i=1 S i S i+1

15 Skąd taki Hamiltonian? Każdy układ dąży do minimalizacji energii LÓD WODA LÓD WODA LÓD WODA Lód i woda w równowadze Przechłodzona woda

16 Skąd taki Hamiltonian? H = J H = J L i=1 L i=1 S i S i+1 Każdy układ dąży do minimalizacji energii S i S i+1 = J ( 1) H = J L i=1 S i S i+1 = J L i=1 1 = JN

17 Oddziaływania pomiędzy cząstkami Ferromagnetyk (konformizm) Antyferromagnetyk (antykonformizm) Wpływ (siła oddziaływania) wzrasta wraz Ze zgodnością grupy Z rozmiarem grupy Wysoka temperatura nerwowo Piotr Nyczka

18 Czego się spodziewacie? Czego się spodziewacie? Zajrzyjcie na Models Library: Chemistry & Physics: Ising NetLogo (środowisko do ABM) Prof. Uri Wilensky Northwestern's Center for Connected Learning and Computer-Based Modeling (CCL)

19 Ewolucja układu w czasie (ferromagnetyk) niska temperatura Oddziaływanie porządkuje Temperatura losowe zmiany W niskich temperaturach porządek W wysokich temperaturach nieporządek m =< S i > = 1 N i=1 N S i

20 Dalsze losy modelu Isinga Przejście fazowe w 2D bez pola Onsager, lata czterdzieste Symulacje Komputerowe model Isinga w 3D i 2D z polem Wykorzystanie poza fizyką

21 Symulacja Monte Carlo Modelu Isinga Przygotuj stan początkowy układu Pozwól mu ewoluować Poczekaj aż ustali się magnetyzacja Zanotuj wartość m Powtarzaj to dużo razy Policz średnią magnetyzację Jaka to średnia? N m =< S i > = 1 N i=1 S i

22 Średnia po zespole Średnia po czasie i średnia po zespole Średnia po czasie Układ ergodyczny to średnia po zespole = średnia po czasie

23 Algorytm Metropolisa 1MCS = N losowań Wylosuj jeden spin S i Oblicz energię E = E(S i ) = S i J j nn S j Oblicz energię E = E( S i ) = S i J j nn S j Oblicz zmianę energii ΔE = E E Jeżeli ΔE 0 to S i S i Jeżeli ΔE > 0 to wylosuj r z przedziału [0,1] i akceptuj nową konfigurację jeżeli: r < p = exp ΔE k B T, k B = J = 1

24 Przejście fazowe w modelu Isinga

25 Po co model w fizyce? nieznane zjawisko? Weryfikacja Model Eksperyment Konstrukcja Marcin Weron

26 Spojrzenie fizyka na rzeczywistość Wszystko powinno być tak proste, jak to tylko możliwe, ale nie prostsze

27 Po co nam uproszczenia? Przykład z rozprawy doktorskiej Piotra Nyczki: Oryginalny obraz R, G, B [0,255] Zdjęto kolor jedna zmienna o 256 wartościach Coraz mniejsza liczba odcieni szarości, ostatecznie 2 Łatwiejsza analiza może nawet analityczna Większa kontrola (zrozumienie) Możliwość zupełnej analizy wrażliwości na zmianę parametrów (uwaga na przejścia fazowe!)

28 More can be worse - dyfuzja cząstek leków przez błony komórkowe Bardzo prosty model T. Rezai et all., J Am Chem Soc. 128(8): (2006) Podstawowe założenie: tylko jedna konformacja cząstki zarówno w wodzie jak i membranie Rzeczywistość: typowe cząstki organiczne mają tysiące konformacji Policz konformacje! R. V. Swift, R. E. Amaro, J Comput Aided Mol Des. 25(11): (2011) Gorsza prognostyka Przykładowe cząsteczki leku Ventolin (astma, choroby płuc),

29 More can be worse - modele klimatu Coraz bardziej realistyczne Jednocześnie coraz mniej dokładne w jakim sensie? Mniej użyteczne prognostycznie M. Maslin and P. Austin, Uncertainty: Climate models at their limit?, Nature 486, (2012) Nie zawsze model bardziej skomplikowany jest gorszy! Zacznij od prostego modelu

30 Jak weryfikować modele? Co to znaczy zweryfikować? Eksperyment przywilej fizyki? Obserwacja jak to robić?

31 Jeden wzór może nie wystarczyć! Podstawowe cechy modeli Boidów: Starają się unikać zderzeń Dopasowują prędkość do sąsiadujących osobników Starają się trzymać blisko sąsiadów obserwowany NND<1 długości ryby p = 0 0 wszystkie w tym samym kierunku p = 90 0 w losowych W rzeczywistości p 10 0,20 0

32 Odporność na detale W modelach 1-9 wpływ od uśrednionego sąsiedztwa, a w wpływ od jednego 9 modeli z regułą większościową dało prawie identyczne wyniki Pozostałe różnice okazały się nieistotne Odkrywamy najważniejszy mechanizm!

33 Czy ABM może zastąpić eksperyment społeczny? ABM powinno być uzupełnieniem ABM może pomóc zrozumieć Dlaczego ABM może pomóc odkryć najważniejsze czynniki Jeżeli nie możemy zrobić eksperymentu to ABM odpowiada na Co by było gdyby

34 Przypadek jako narzędzie budowania modeli Miesięczny zapis gry w ruletkę w Monte Carlo może dostarczyć nam podstaw do dyskutowania fundamentów nauki Karl Pearson ( ) Metoda Monte Carlo ABM Metoda Monte Carlo

35 Liczby losowe Tippett (1927) Random Sampling Numbers Pierwsza tablica liczb losowych cyfr ułożonych w zestawach po 4 Dane o powierzchni parafii z brytyjskiego spisu powszechnego (odrzucone 2 pierwsze i 2 ostatnie cyfry)

36 36 Jak inaczej otrzymać liczby losowe? Czy coś zwraca waszą uwagę?

37 37 Albo Idź do szpitala po zapis kolejnych urodzeń chłopców i dziewczynek: CDDDCCD Przetasuj liczby (Tablica liczb przetasowanych czterocyfrowych Hugo Steinhausa wydana w 1954)

38 Generatory liczb pseudolosowych (PRNG) PRNG generuje deterministycznie ciąg bitów, który pod pewnymi względami jest nieodróżnialny od ciągu uzyskanego z prawdziwie losowego źródła. Algorytm liniowy (liczby o rozkładzie jednostajnym): x ax b mod c n 1 n a,b,c liczby magiczne, np: 5 a 7, b 0, c

39 Cechy dobrego generatora do MC Długi okres powtarzalności Losowość brak korelacji, równomierność (specjalne testy) Szybki

40 Generator Mersenne Twister ( Makoto Matsumoto i Takuji Nishimura,1997 Nadaje się do Symulacji Monte Carlo, ale nie do kryptografii Zalety MT19937 Mersenne Twistera: Okres (udowodnione) Wysoki stopień równomiernego rozmieszczenia Spełnia większość testów losowości Szybki

41 Metoda Monte Carlo Metoda Monte Carlo (MC) jest techniką rozwiązania problemów, która polega na generowaniu zmiennych losowych w celu oszacowania parametrów ich rozkładu John von Neumann

42 Idea metody Monte Carlo Jaka jest szansa ułożenia pasjansa? Ciężko to policzyć analitycznie bo wygrana zależy od wielu ruchów A gdyby tak parę razy spróbować ułożyć pasjansa i zobaczyć ile razy się to uda? Przegrana Przegrana Wygrana Przegrana Szansa ułożenia to ¼!

43 Ręczne Monte Carlo Pierwsze udokumentowane doświadczenie wykonał w XVIII w. uczony i pisarz francuski Buffon hr. Georges-Louis Leclerc Buffon ( ) Wykonał 4040 rzutów monetą! Otrzymał średnią wartość 0,5069 (orzeł = 1, reszka = 0) W XX w. eksperyment powtórzył rosyjski statystyk Romanowski Wykonał rzutów monetą!!! Otrzymał średnią wartość 0,4923

44 Prawdopodobieństwo jako długoterminowa względna częstość

45 Igła Buffona a liczba Na kartkę papieru pokrytą liniami równoległymi oddalonymi od siebie o odległość d rzucamy losowo igłę o długości l < d Zliczamy ile razy przetnie ona linie siatki (liczba m) w n rzutach Można pokazać, że prawdopodobieństwo tego, że igła przetnie linię wynosi: m n 2l d 45

46 Igła Buffona sformułowanie problemu

47 Igła Buffona - rozwiązanie

48 Igła Buffona eksperymentalne wyznaczenie

49 Jak dobre jest to oszacowanie? W 1864, kapitan O. C. Fox wykonał ten eksperyment gdy nudził się podczas rekonwalescencji n m l d Powierzchnia nieruchoma obracająca się obracająca się

50 Sprawdźmy to sami ( = 3,14159)

51 Współczesna historia metody Monte Carlo Stanisław Ulam w trakcie... rekonwalescencji układa pasjanse Canfield Nicolas Metropolis nadaje nazwę nowej metodzie Monte Carlo (od kasyna) 1949r. pierwsza publikacja na temat metody Monte Carlo napisana przez Ulama i Metropolisa

52 Matematyczne podstawy MC a - poszukiwana wielkość (np. magnetyzacja) a=ex wartość oczekiwana pewnej zmiennej losowej X. Jeżeli jesteśmy w stanie generować niezależne wartości S1,S2,... z rozkładu zmiennej X, to Prawo wielkich liczb: 1 lim 1 2 n n S S... S a n

53 Istota Monte Carlo Metoda Monte Carlo polega na szacowaniu wielkości a przez średnią z pewnej odpowiednio dobranej n elementowej próby. Co to znaczy odpowiednio dobranej? Generowana z rozkładu zmiennej X (a=ex) EX 2 x W x VarX i i p i E X EX 2

54 Zastosowania metody MC Szacowanie pól figur Obliczanie układów równań liniowych Obliczanie równań różniczkowych cząstkowych Obliczanie całek Interpolacja funkcji wielu zmiennych Prognozy pogody Wycena instrumentów pochodnych Modele mikroskopowe

55 Szacowanie pól figur (c) 2009 K&R Weron 55

56 Literatura D. W. Heermann, Podstawy symulacji komputerowych w fizyce, WNT 1997 D. P. Landau, K. Binder, A Guide to Monte Carlo Simulations in Statistical Physics, Cambridge University Press 2005

57 Do zobaczenia w Monte Carlo