METODY ANALIZY DANYCH NIEPEWNYCH

Wielkość: px
Rozpocząć pokaz od strony:

Download "METODY ANALIZY DANYCH NIEPEWNYCH"

Transkrypt

1 METODY ANALIZY DANYCH NIEPEWNYCH LITERATURA PODSTAWOWA. Z. Hellwig, Elementy Rachunku Prawdopodobieństwa i Statystyki Matematycznej, PWN, Warszawa, W. Krysicki i inni, Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna w Zadaniach, PWN, Warszawa 995 (Tom I i II) 3. M. Fisz, Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna, PWN, Warszawa W. Feller, Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, PWN, Warszawa S. Zubrzycki, Wykłady z Rachunku Prawdopodobieństwa i Statystyki Matematycznej, PWN, Warszawa F. Sawicki, Elementy Statystyki dla Lekarzy, PZWL, Warszawa G.R. Rao, Statystyka i Prawda, PWN, Warszawa L. Garding, Spotkanie z Matematyką, PWN, Warszawa 993

2 RYS HISTORYCZNY: początek XVII w. - B. Pascal, P. Fermat - pierwsze prace inspirowane grami hazardowymi koniec XVII w. - J.Bernoulli - pierwsze formalizmy, aksjomaty rachunku prawdop. (książka: Traktat o sztuce przewidywania) - ich rozwój: A. de Moivre (XVIII w.). XVIII w. W. Petty - początek statystyki (książka: Rozważania dotyczące rozmiarów cen ziemi, ludności, zabudowań, gospodarki rolnej, manufaktury, handlu, przemysłu rybnego, rzemieślników, marynarzy, żołnierzy, oraz dochodów państwowych, procentów, podatków, sposobów powiększania dochodów). XIX w. - szybki rozwój rach. prawdop. i statystyki: K. Gauss (teoria błędów obserwacji, metoda najmniejszych kwadratów), A. Cauchy, S. Poisson (badanie rozkładów prawdopodobieństwa), L. Euler (badania demograficzne i ubezpieczenia). XX w. - A. Kołmogorow (teorio-mnogościowe podejście do rachunku prawdopodob.). Polscy matematycy: Hugo Steinhaus, K. Urbanik 2

3 RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA Dział matematyki zajmujący się opisywaniem i badaniem zdarzeń przypadkowych i niepewnych Doświadczenie losowe: doświadczenie (eksperyment), którego wyniku z góry nie można określić, gdyż zależy on od przypadku (np. rzut monetą lub kostką, urodziny dziecka, czas oczekiwania na tramwaj, długość gwoździa calowego) Zdarzenie (zdarzenie losowe) wynik doświadczenia losowego. Zbiór możliwych wyników doświadczenia losowego (zbiór możliwych zdarzeń) jest na ogół znany: np. {orzeł, reszka}, {,2,3,4,5,6}, o {dziewczynka, chłopiec}, [0-5(min)], o [2-3(cm)]. 3

4 ZDARZENIA LOSOWE Zdarzenie elementarne pojęcie pierwotne w aksjomatyce rach. prawd. - elementarny, niepodzielny wynik doświadczenia losowego. Oznaczenia: e - zdarzenie elementarne, E - przestrzeń zdarzeń elementarnych (skończona, nieskończona) e E Przykłady:. Rzut monetą: E = { e, e2}, e orzeł, e2 reszka (skończona) 2. Rzut kostką: E = { e, e2, e3, e4, e5, e6 } (skończona) 3. Czas oczekiwania na tramwaj: E = ( 05, ) (nieskończona) 4

5 Zdarzenie (losowe) każdy podzbiór przestrzeni E (wliczając w to zbiór pusty i całą przestrzeń E ) Zdarzenia będziemy oznaczać dużymi literami: A, B, C,... Np. E = { e, e2, e3, e4, e5, e6, e7, e8, e9 }, A = { e, e2, e3 }, B = { e, e } 5 7. Zdarzenie A zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi którekolwiek ze zdarzeń elementarnych wchodzących w jego skład. Zdarzenia szczególne: - zdarzenie niemożliwe (zbiór pusty) I = E - zdarzenie pewne 5

6 Przykłady zdarzeń losowych:. Rzut monetą: E = { OR, }, A =, A = { O}, A = { R}, A = { O, R} liczba wszystkich zdarzeń: 4 2. Rzut kostką: E = {, 23456,,,, } Przykłady zdarzeń: A= {, 246, }, A2 = {, 23, } liczba wszystkich zdarzeń: Dwukrotny rzut monetą: E = { OO, OR, RO, RR} Przykłady zdarzeń: A = { OO, OR}, A2 = { OR, RO}, A3 = { OO, OR, RO} liczba wszystkich zdarzeń: 6. 6

7 4. Czas oczekiwania na tramwaj: E = ( 05), Przykłady zdarzeń: A = ( 02, ), A2 = ( 35), ilość wszystkich zdarzeń:. 5. Wiek małżonków: Wiek żony 00 E Narysować zdarzenia:. A - mąż ma więcej niż 50 lat 2. A 2 -żona jest młodsza od męża o 20 lat 3. A 3 - mąż jest starszy od żony 4. A 4 - suma lat małżonków jest mniejsza niż wiek męża 7

8 Relacje pomiędzy zdarzeniami zdarzenie A zawiera się w B A B - gdy każde zdarzenie elementarne należące do A należy do B lub równoważnie: zdarzenie A pociąga (implikuje) zdarzenie B A B - (jeśli zachodzi A, to na pewno zachodzi także B) Przykład: doświadczenie losowe - wyciągnięcie karty z talii. A - wyciągnięcie pika, B - wyciągnięcie karty czarnej A B. czy B A? zdarzenia równoważne A = B (wtedy jednocześnie A B i B A) 8

9 zdarzenia wyłączające się (wykluczające się) gdy A i B nie mają wspólnych elementów tzn: jeśli zachodzi A, to nie zachodzi B i odwrotnie. Przykład: Zdarzenie losowe- ilość osób z grupy 0-osobowej, która dożyje do 200 roku E = { e0, e, e2, e3, e4, e5, e6, e7, e8, e9, e0 } Zdarzenia: A = { e2 }, B = { e 5 }, C = { e 5, e 6, e 7, e 8, e 9, e 0 } wyłączające? - które są Operacje na zdarzeniach 9

10 Zbiór zbiór pusty zbiór pełny Zdarzenie zdarzenie niemożliwe zdarzenie pewne Suma zdarzeń (alternatywa) A= A i zdarzenie A zachodzi wtedy, gdy zachodzi którekolwiek ze zdarzeń A i Różnica zdarzeń A = A A2 zdarzenie A zachodzi wtedy, gdy zachodzi A i nie zachodzi A 2. gdy A i A 2 są wyłączające się (rozłączne), to A A2 = A. Iloczyn zdarzeń (koniunkcja) 0

11 A= A i zdarzenie A zachodzi wtedy, gdy zachodzą wszystkie A i. gdy A i A 2 wykluczają się, to własności iloczynu zdarzeń:. A A = A 2. A = 3. A I = A A A 2 = Przykład - ilość samochodów i telewizorów w gospodarstwie domowym ( 2) E = { e00, e0, e0, e, e20, e2, e02, e2, e22 } A - w losowo wybranym gospodarstwie jest co najmniej samochód i nie mniej niż telewizor B - w losowo wybranym gospodarstwie jest dokładnie samochód i nie więcej niż telewizor A = { e, e2, e2, e22 }, B = { e0, e }, A B ={ e }. Zdarzenie przeciwne (dopełniające) do zdarzenia A

12 A = I A Zdarzenie A zachodzi wtedy, gdy nie zachodzi zdarzenie A. Własności zdarzeń przeciwnych. A+ A = I, 2. A A = Przykład: A - wyciągamy kartę w kolorze pik lub trefl - co to jest A? DIAGRAM EULERA 2

13 A A A + A A A 2 2 A A + A A A 2 2 A A + A 2 2 A A A A 2 2 3

14 PRAWDOPODOBIEŃSTWO Definicja klasyczna (Laplace) Jeżeli przestrzeń E zawiera n jednakowo możliwych zdarzeń elementarnych, z których m sprzyja zajściu zdarzenia A (A zawiera m zdarzeń elementarnych), to prawdopodobieństwem zdarzenia A nazywamy ułamek Wnioski: m P( A) =. n. 0 P( A), 2. P( I)=, P( ) = 0 3. Jeśli A, A2 są zdarzeniami wykluczającymi się, to P( A + A ) = P( A ) + P( A ) 2 2 Wady definicji klasycznej: Tautologia ( w definicji użyto słowa definiowanego; jednakowo możliwe zdarzenie = jednakowo prawdopodobne) skończona przestrzeń E, wymaga znajomości zbioru zdarzeń sprzyjających Definicja częstościowa (Mises) zliczamy zajścia zdarzeń Jeżeli przy wielokrotnej realizacji doświadczenia losowego, częstość wystąpienia zdarzenia losowego A oscyluje wokół pewnej nieznanej 4

15 liczby p, i jeżeli wahania częstości maleją wraz ze wzrostem liczby doświadczeń, to liczba p będzie prawdopodobieństwem zdarzenia A. P(A) = lim n m n Wada: Liczba doświadceń jest wartością ograniczoną Definicja aksjomatyczna (Kołmogorow): Każdemu zdarzeniu A związanemu z określonym doświadczeniem losowym przyporządkowujemy liczbę P(A) o następujących własnościach. 0 P( A), 2. P( I)=, 3. Jeżeli A, A2, A3,... są zdarzeniami parami się wykluczającymi, to: P( A + A + A +...) = P( A ) + P( A ) + P( A ) Wnioski:. P( ) = 0, bo: 5

16 I = I +, P( I) = P( I) + P( ), = + P( ) 2. P( A+ A) = 3. Jeżeli A B, to P( A) P( B) 4. Jeżeli A = B, to P( A) = P( B) Definicja geometryczna Jeżeli Q i q to dwa zbiory należące do przestrzeni n- wymiarowej, oraz jeżeli q zawiera się w Q to prawdopodobieństwo, że dowolny punkt z Q będzie należał do q, jest równe stosunkowi miary zbioru q do miary zbioru Q. Przykłady. Rzut kostką: P(parzysta liczba oczek)=?, P(liczba oczek podzielna przez 3)=? 2. Rzut dwoma kostkami: 6

17 Ile jest zdarzeń elementarnych? P(suma oczek podzielna przez 5) =? P(suma oczek = 2) =? P(suma oczek = 6) =? P(suma oczek = 7) =? (paradoks de Merego) 3. Dwóch graczy gra aż do 6 zwycięstw. Przy stanie 2:5 przerwali grę. Jak należy podzielić pulę? 7

18 Zdarzenia niezależne Dwa zdarzenia A i B nazywamy zdarzeniami niezależnymi, jeżeli zajście jednego z nich nie ma wpływu na prawdopodobieństwo zajścia drugiego zdarzenia. Przykład Zdarzenia niezależne 2 urny w obu kule białe i czarne; Wylosowanie jakiejkolwiek kuli z urny pierwszej nie ma wpływu na prawdopodobieństwo wylosowania jakiejkolwiek kuli z urny drugiej 8

19 Zdarzenia zależne Losowanie kuli z urny - schemat bez zwracania i ze zwracaniem W urnie jest 5 kul białych i 0 czarnych A zdarzenie polegające na wylosowaniu kuli białej w pierwszym losowaniu B - zdarzenie polegające na wylosowaniu kuli białej w drugim losowaniu Schemat ze zwracaniem więc 5 P ( A) = P( B) = = 5 3 P ( B) = 3 niezależnie od tego czy zaszło zdarzenie A czy nie. Zdarzenia A i B są niezależne 9

20 Schemat bez zwracania Gdy zdarzenie A zaszło tzn.: wylosowano kulę białą w pierwszym losowaniu, to: P ( B) = 4 4 gdy zdarzenie A, (wylosowano kulę czarną w pierwszym losowaniu), to: P ( B) = 5 4 Zdarzania A i B są zależne 20

21 Prawdopodobieństwo warunkowe Jeśli prawdopodobieństwo zdarzenia B zależy od dodatkowych okoliczności (warunków), to takie prawdopodobieństwo będziemy nazywać warunkowym. Warunek (okoliczność) - najczęściej zajście innego zdarzenia (A). Prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia B przy założeniu, że zaszło zdarzenia A oznaczamy symbolem: P( B / A) Dwa zdarzenia A i B są niezależne, jeśli: P( A / B) = P( A) oraz P( B / A) = P( B) Przykłady Rzut kostką A - zdarzenie, że wyrzuciliśmy mniej niż 2 oczka B - zdarzenie, że wyrzuciliśmy mniej niż 3 oczka P ( A) = 6 więc P ( A/ B) = 2 P( A) P( A/ B) 2

22 więc zdarzenia A i B są zależne Talia kart Losujemy z talii jedną kartę A wylosowanie figury B wylosowanie karty czarnej 6 P ( A) = = P ( A/ B) = = P ( A) = P( A/ B) Podobnie 26 P ( B) = = P ( B / A) = = 6 2 P ( B) = P( B / A) więc zdarzenia A i B są zależne 22

23 Prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń A pole =k Pole =n B pole =r Pole prostokąta - n Pole lewego koła - k Pole prawego koła - r Pole powierzchni wspólnej - s A - zdarzenie, że trafimy w punkt lewego koła B - zdarzenie, że trafimy w punkt prawego koła AB (iloczyn) - trafimy w obszar wspólny Stąd mamy: k r s s PA ( ) =, PB ( ) =, PAB ( ) =, PA ( / B) =, PB ( / A) = n n n r s k dalej: 23

24 s PA ( / B) = = n = r s r n PAB ( ) PB ( ) Otrzymujemy stąd wzór na prawdopodobieństwo iloczynu dwóch zdarzeń: P( AB) = P( B) P( A / B) i w podobny sposób (jak?): P( AB) = P( A) P( B / A) Zdarzenia A i B są niezależne to Przykład P( AB) = P( A) P( B) Z talii wyciągamy kolejno dwie karty (bez zwracania). Policzyć prawdopodobieństwo, że będą to asy. A - prawdopodobieństwo wylosowania asa w pierwszym losowaniu B - prawdopodobieństwo wylosowania asa w drugim losowaniu 4 3 P ( AB) = P( A) P( B / A) = = Uogólnienie na prawdopodobieństwo iloczynu 3 zdarzeń: 24

25 P ( ABC) = P( A) P( B / A) P( C / BA) dla n zdarzeń? Przykład Z talii ciągniemy kolejno 3 karty (bez zwracania). Policz prawdopodobieństwo, że będą to kolejno as, król i dama A prawdopodobieństwo wylosowania asa w pierwszym losowaniu B prawdopodobieństwo wylosowania króla w drugim losowaniu C prawdopodobieństwo wylosowania damy w trzecim losowaniu P ( ABC) = P( A) P( B / A) P( C / AB) = = Zdarzenia A, B i C są niezależne, jeśli P( ABC) = P( A) P( B) P( C) oraz P( AB) = P( A) P( B), P( AC) = P( A) P( C), P( BC) = P( B) P( C) 25

26 Kiedy n zdarzeń jest niezależnych? Przykład Z urny, w której są 24 kartki ponumerowane liczbami, 2, 3,..., 24 losujemy jedną kartkę. Określamy następujące zdarzenia: A - wyciągamy liczbę nie większą niż 2 B - wyciągamy jedną z liczb:, 2, 3, 4, 5, 7 C - wyciągamy liczbę podzielną przez 3 Sprawdź, czy zdarzenia A, B i C są niezależne. P ( A) = 2 6 P ( B) = = P ( C) = = 24 3 więc P ( ABC) = 24 P ( ABC) = P( A) P( B) P( C) = 24 Zdarzenia A, B, C nie są niezależne, gdyż: P( A) P( B) = 8 P( B) P( C) = 2 P( AB) = 4 P( BC) = 24 26

27 Prawdopodobieństwo sumy zdarzeń A B Pole prostokąta - n Pole lewego koła - k Pole prawego koła - r Pole powierzchni wspólnej - s Pole powierzchni obu kół - t A - zdarzenie, że trafimy w punkt lewego koła B - zdarzenie, że trafimy w punkt prawego koła AB - zdarzenie, że trafimy w punkt wspólnego obszaru A+B - zdarzenie, że trafimy w punkt lewego lub prawego koła Ponieważ: t k r s t = k+ r s lub = +, n n n n stąd mamy wzór na prawdopodobieństwo sumy zdarzeń: P( A+ B) = P( A) + P( B) P( AB) 27

28 Jak będzie wyglądał wzór dla 3 zdarzeń? Przykład: Z talii wyciągamy jedną kartę. Wyznacz prawdopodobieństwo, że będzie to figura lub karta czerwona. A wylosowanie figury B wylosowanie karty czerwonej 6 4 P ( A) = =, 52 3 P ( B) =, 2 8 P ( AB) = = P ( A + B) = + =

29 Prawdopodobieństwo całkowite Przykład: Mamy dwie urny. W jednej urnie są 3 kule białe i 2 czarne, a w drugiej jest kula biała i 4 czarne. Schemat losowania jest następujący: najpierw losujemy urnę, a potem losujemy z niej kulę. Należy wyznaczyć prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej. A - wylosowanie urny A 2 - wylosowanie urny 2 B - wylosowanie białej kuli P( B) = P( A ) P( B / A ) + P( A ) P( B / A ) 2 2 Jest to wzór na prawdopodobieństwo całkowite Dane jest dowolne zdarzenie B i układ zdarzeń A, A 2,..., A n, które są wyłączające się (rozłączne) i dające w sumie zdarzenie pewne. Musi więc zajść jedno i tylko jedno zdarzenie A, a zatem zdarzenie B - jeśli zajdzie - to musi zajść wraz z jednym i tylko jednym zdarzeniem A. Stąd wynika, że: B = BA+ BA BA n, gdzie poszczególne składniki są zdarzeniami wyłączającymi się. 29

30 Mamy zatem: P( B) = P( BA) + P( BA2 ) P( BA n ) a dalej, korzystając ze wzoru na prawdopodobieństwo iloczynu otrzymujemy wzór na prawdopodobieństwo całkowite: P( B) = P( B / A ) P( A ) + P( B / A ) P( A ) P( B / A ) P( A 2 2 n n ) Przykład: Mamy 4 urny. W pierwszej jest kula biała i 999 czarnych, a w pozostałych po jednej białej i czarnej. Wyznaczyć prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej. Jakie byłoby to prawdopodobieństwo, gdyby wszystkie kule były w jednej urnie? 30

31 Wzór Bayesa Wzór Bayesa (Thomas Bayes ) pozwala wyznaczyć prawdopodobieństwo zajścia jednego ze zdarzeń A i, jeśli zaszło zdarzenie B. Ze wzoru na prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń mamy: P( A B) = P( A ) P( B / A ) P( B) P( A / B), i i i = i a stąd P( A P B A PAi B i) ( / ( / ) i) =. PB ( ) Wykorzystując w mianowniku wzór na prawdopodobieństwo całkowite otrzymujemy wzór Bayesa: PA ( / B) = i PA ( i) PB ( / Ai) PA ( ) PB ( / A) + PA ( ) PB ( / A) + PA ( ) PB ( / A 2 2 n n) Przykład: 3

32 Dla danych jak w przykładzie poprzednim (z dwoma urnami) wyznaczyć prawdopodobieństwo wylosowania każdej z obu urn, pod warunkiem, że wyciągnięto kulę białą. Bayesowska teoria podejmowania decyzji ZMIENNE LOSOWE Zmienna losowa - wielkość, która w wyniku doświadczenia losowego przyjmuje określoną wartość liczbową (niemożliwą do przewidzenia wcześniej). Oznaczenia zmiennych losowych: X, Y, Z,..., ich wartości: x, y, z,... Realizacja zmiennej losowej - wartość, jaką przyjmuje zmienna losowa Przykłady:. Rzut kostką: X x { 23456,,,,, } 2. Temperatura powietrza w dniu o godz x [ 30, 20] 3. Procentowa zmiana kursu akcji Banku Śląskiego x [ 0, + 0] 4. Czas oczekiwania na tramwaj x [ 05], 32

33 Zmienna losowa - funkcja odwzorowująca przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb [ x = Xe ( ) ] Rodzaje zmiennych losowych:. Zmienne losowe dyskretne (skokowe) - zbiór wartości jest skończony (przeliczalny) 2. Zmienne losowe ciągłe - zbiór wartości nieskończony (np. zbiór liczb rzeczywistych) Zmienna losowa przyjmuje swe wartości z określonymi prawdopodobieństwami (jej wartość zależy od wyniku doświadczenia losowego - zdarzenia). Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej - przyporządkowanie wartościom zmiennej losowej prawdopodobieństw. Dystrybuanta zmiennej losowej X: 33

34 Własności dystrybuanty:. 0 F( x) 2. F( ) = 0, F( + ) = 3. Jest funkcja niemalejącą: jeśli x < x to ( F( x ) F( x ) 2 2 F( x) = P( X < x) Dyskretne zmienne losowe Zmienna losowa X o wartościach ze zbioru { x, x 2, x 3,..., x n } Rozkład prawdopodobieństwa: Dystrybuanta: PX ( = x) = Px ( ) = p, p= i i i i i= n Fx ( ) = Px ( i ) x < x Narysować rozkład i dystrybuantę dyskretnej zmiennej losowej i 34

35 Przykłady dyskretnych zmiennych losowych. Zero-jedynkowa (binarna) zmienna losowa X przyjmuje dwie wartości: rozkład prawdopodobieństwa: x { 0,} P( X = ) = p, P( X = 0) = p= q Interpretacja: X = X = 0 gdy zajdzie zdarzenie oznaczające sukces gdy zajdzie zdarzenie oznaczające porażkę Przykład: Rzut kostką: sukces - wyrzucenie szóstki, porażka - nie wyrzucenie szóstki P( X = ) = / 6, P( X = 0) = 5/ 6 35

36 Narysować dystrybuantę. 2. Dwumianowa zmienna losowa Przykład: Rzucamy 3 razy monetą; sukces, gdy wypadnie orzeł - porażka, gdy wypadnie reszka X - zmienna losowa oznaczająca ilość sukcesów zbiór wartości: { 023,,, } Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej X oraz jej dystrybuantę. Mamy n doświadczeń (niezależnych): każde z nich może zakończyć się sukcesem (z prawdopodobieństwem p) lub porażką (z prawdopodobieństwem q=-p). X - zmienna losowa oznaczająca ilość sukcesów zbiór wartości: {,2,3,..,n} Rozkład prawdopodobieństwa X: 36

37 n k = n! k!( n k)! elementowego PX k n k p k q n k ( = ) = (dlaczego?) - ilość k-elementowych kombinacji ze zbioru n- Przykład: Mamy pakiet akcji 0 firm. Prawdopodobieństwo, że wzrośnie wartość akcji firmy wynosi 0.5. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wzrośnie wartość akcji 7 firm? 37

38 Ciągłe zmienne losowe Dystrybuanta F(x) jest funkcją ciągłą. Rozkład prawdopodobieństwa ciągłej zmiennej losowej wygodnie jest przedstawić przy pomocy funkcji gęstości rozkładu prawdopodobieństwa f(x), która związana jest z dystrybuantą: x f( x) = d Fx ( ), Fx ( ) = f( ) d dx ξ ξ Z własności dystrybuanty wynika: + F( + ) = f( x) dx = oraz f ( x) 0 (dlaczego?) Dla dowolnych a< b: 38

39 b Pa ( X b) = Fb ( ) Fa ( ) = f( x) dx a W szczególności: x0 PX ( = x0) = f( xdx ) = 0 x nie znaczy to, że zdarzenie takie jest niemożliwe 0 Interpretacja f(x). Przykłady ciągłych zmiennych losowych. Zmienna losowa o rozkładzie prostokątnym (równomiernym, jednostajnym) Zm. los. X ma rozkład równomierny na odcinku [a, b]: dla x [ a, b], f( x) = b a 0 w przeciwnym razie. 39

40 Narysować funkcję gęstości i dystrybuantę. 2. Zmienna losowa o rozkładzie trójkątnym Narysować funkcję gęstości i dystrybuantę. DWUWYMIAROWE ZMIENNE LOSOWE Dwuwymiarową zmienną losową (X,Y) nazywamy parę funkcji X(e) i Y(e) opisanych na przestrzeni zdarzeń elementarnych E i przyjmujących wartości ze skończonego zbioru liczb (zmienna dyskretna) lub ciągłego (zmienna ciągła). Dystrybuanta dwuwymiarowej zmiennej losowej: F( x, y) = P( X < x, Y < y) F(, y) = F( x, ) = 0, F( +, + ) = Dwuwymiarowa dyskretna zmienna losowa X ma zbiór wartości { x, x 2,..., x n } 40

41 Y ma zbiór wartości { y, y 2,..., y m } Rozkład zmiennej losowej (X,Y) określają prawdopodobieństwa: P( X = x, Y = y ) = p, i= 2,,..., n, j = 2,,..., m. i j ij Można go ująć w postaci tablicy n m. Oczywiście: Oznaczmy: n m p ij = i= j= p = p q = i m n ij j j= i= p j. i Oczywiście: m q n j j= i= = p =. i Pokazać, że: p P( X = x ), q = P( Y = y ). i = i j j p ij - rozkład łączny zmiennych losowych (X,Y) pi, qj - rozkłady brzegowe zmiennych losowych (X,Y) 4

42 Mamy: p = P( X = x, Y = y ) = P( X = x / Y = y ) P( Y = y ) = p / p ij i j i j j i j j p = P( X = x, Y = y ) = P( Y = y / X = x ) P( X = x ) = p / p p ij i j j i i j i i p i/ j, j/ i - prawdopodobieństwa warunkowe Gdy: zmienne losowe X i Y są niezależne to: lub równoważnie: p = p i p = q i/ j i j/ i j p = p q ij i j Dwuwymiarowa ciągła zmienna losowa (X, Y) - nieskończony zbiór wartości (np. R) Funkcja gęstości rozkładu prawdopodobieństwa: 2 d F( x, y) f( x, y) =, Fxy (, ) = f ( xydxdy, ) dx dy. Gęstość brzegowa: Gęstości warunkowe: + f( x) = f( x, y) dy, f( y) = f( x, y) dx x + y 42

43 f ( x, y) f x y f( x/ y) f y x f( y), ( / ) (, ) = =. f( x) f ( x, y) = f ( x) f ( y) zmienne losowe X i Y są niezależne. Przykłady Są dwie spółki: A i B. Z notowaniami akcji spółki A wiążemy zmienną losową X: jeśli akcje spadają, to X=-, gdy się nie zmieniają, to X=0, gdy rosną, to X=+. W podobny sposób ze spółką B wiążemy zmienna losową Y. Łączny rozkład (X,Y) jest następujący: ,05 0, ,05 0, 0,5 + 0, 0,05 0,45 Sprawdź, czy zmienne losowe X i Y są niezależne. 43

44 2. Piotr jedzie na uczelnię dwoma autobusami. Czas oczekiwania na każdy autobus jest zmienną losową o rozkładzie równomiernym na odcinku [0, 0]. Wychodząc z domu Piotr przeznaczył na łączne czekanie na autobusy 7 minut. Jakie jest prawdopodobieństwo, że nie spóźni się na zajęcia? PARAMETRY ZMIENNYCH LOSOWYCH Wartość oczekiwana (przeciętna, średnia) zmiennej losowej Oznaczenia: E X ), X (, m Znaczenie: obserwujemy realizacje zm. losowej X: x, x 2,..., x n - gdy n jest duże, to wartość średnia jest przybliżeniem średniej arytmetycznej realizacji: E( X ) ( x+ x xn )/ n Przykład: czas czekania na tramwaj Wartość oczekiwana dyskretnej zmiennej losowej 44

45 Zmienna losowa X o wartościach x, x 2,..., x n przyjmowanych z prawdopodobieństwami p, p 2,..., p n. Wartość oczekiwana X: EX ( )= n i= x p i i Przykłady:. Zmienna losowa binarna: X przyjmuje dwie wartości: x { 0,} P( X = ) = p, P( X = 0) = p= q EX ( )= 0q+ p= p (wartość średnia nie musi należeć do zbioru wartości X). 2. Rzut kostką: zm. losowa X przyjmuje wartości, 2, 3, 4, 5, 6 z prawdopodobieństwem/6. Policzyć E(X). 45

46 3. Zmienna losowa X ma rozkład dwumianowy o parametrach n i p: PX k n k p k q n k ( = ) = Pokazać, że: E(X) = n p Wartość oczekiwana ciągłej zmiennej losowej Zmienna losowa X o funkcji gęstości rozkładu prawdopodobieństwa f(x): + EX ( ) = xfxdx ( ) Przykłady:. X ma rozkład równomierny na odcinku [a, b]. Wyliczyć E(X). 2. X ma rozkład trójkątny (równoramienny) na odcinku [0, 2]. Wyliczyć E(X). 46

47 Interpretacja Wartość średnia - środek ciężkości f(x). Inne parametry I rzędu: mediana - x m takie, że moda - x l takie, że F( x m ) = / 2 f ( xl ) = max f ( x) rozkłady jedno-, wielomodalne Własności E(X):. C - stała: E(C) = C (dlaczego?) 47

48 2. E( X+ X Xn) = E( X) + E( X2) E( Xn) 2. E(C X)=C E(X) 4. X - zmienna losowa o funkcji gęstości prawdopodobieństwa f(x). Y - zmienna losowa: Y=g(X) n E( X) = g( xi) pi i= Przykłady: + EY ( ) = gx ( ) f( x) dx - dla przypadku dyskretnego).. Z = X E( X). Policzyć E(Z). 2. X ma rozkład równomierny na odcinku [a, b]. Y = X 2. Policzyć E(Y). Wariancja zmiennej losowej Oznaczenia: V(X) (σ 2 ) 48

49 Znaczenie: parametr informujący o rozrzucie zmiennej losowej (miara rozproszenia) 2 V( X) = E( X E( X)) Dla ciągłych zmiennych losowych + 2 V( X) = ( x E( X)) f( x) dx - Dla dyskretnych zmiennych losowych: n 2 V( X) = ( xi E( X)) pi i= V( X) = E( X E( X)) = E( X 2 XE( X) + E ( X)) = E( X ) E ( X) Przykłady:. Wyznaczyć wariancję zm. losowej o rozkładzie binarnym (V(X)=p q) 49

50 2. Wyznaczyć wariancję zm. losowej o rozkładzie równomiernym na [a, b]. Dyspersja (odchylenie standardowe) - inna miara rozproszenia: σ = σ 2 Własności wariancji. V( C )= 0, bo V( C ) = E( C ) E ( C) = C C = 0 2. V( C X) = C 2 V( X) bo:v( C X) = E[ CX E( CX)] = C E( X ) C E ( X) = C V( X) 3. Wariancja sumy niezależnych zmiennych losowych równa się sumie wariancji tych zmiennych: n n V( Xi ) = V( Xi ) i= i= 50

51 4. X, Y - niezależne zmienne losowe: V( X Y) = V( X) + V( Y) Przykłady:. Wyliczyć ( V( X E( X)) 2. Wyznaczyć wariancję zm. losowej o rozkładzie dwumianowym (suma n niezależnych zm. losowych o rozkładzie binarnym) Zmienna losowa o rozkładzie normalnym ( x m) f( x) = 2 N( m, σ ) = exp{ } 2π σ σ 2 Zmienna losowa standaryzowana (normalizowana) Zmienna losowa X jest standaryzowana, jeśli E(X)=0 i V(X)=. Jeśli dla zm. losowej X: 5

52 E(X)=m i V( X )= σ 2, to zmienna losowa jest standaryzowana. Y = X m σ 2 Parametry dwuwymiarowej zmiennej losowej (X, Y) Kowariancja cov( X, Y) = E( X E( X))( Y E( Y)) Jeśli zmienne losowe X i Y są niezależne, to cov( XY, ) = 0 (twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe) Współczynnik korelacji 52

53 ρ = cov( X, Y) V( X) V( Y ), ρ miara siły zależności pomiędzy zmiennymi losowymi dla zmiennych losowych niezależnych: ρ = 0. 53

Zmienna losowa. Rozkład skokowy

Zmienna losowa. Rozkład skokowy Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga * - materiał nadobowiązkowy Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 1 Zagadnienia

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa

Rachunek prawdopodobieństwa Rachunek prawdopodobieństwa Sebastian Rymarczyk srymarczyk@afm.edu.pl Tematyka zajęć 1. Elementy kombinatoryki. 2. Definicje prawdopodobieństwa. 3. Własności prawdopodobieństwa. 4. Zmienne losowe, parametry

Bardziej szczegółowo

Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/

Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/ Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Głęboka 28, p. 221 bud. CIW, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl

Bardziej szczegółowo

WYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady

WYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady WYKŁAD 2 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady Metody statystyczne metody opisu metody wnioskowania statystycznego syntetyczny liczbowy opis właściwości zbioru danych ocena

Bardziej szczegółowo

Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych

Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych Rozkład dwumianowy Rozkład normalny Marta Zalewska Zmienna losowa dyskretna (skokowa) jest to zmienna, której zbór wartości jest skończony lub przeliczalny.

Bardziej szczegółowo

Elementy Rachunek prawdopodobieństwa

Elementy Rachunek prawdopodobieństwa Elementy rachunku prawdopodobieństwa Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się analizą praw rządzących zdarzeniami losowymi Pojęciami pierwotnymi są: zdarzenie elementarne ω oraz zbiór zdarzeń elementarnych

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo. Prawdopodobieństwo. Jacek Kłopotowski. Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH. 16 października 2018

Prawdopodobieństwo. Prawdopodobieństwo. Jacek Kłopotowski. Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH. 16 października 2018 Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 16 października 2018 Definicja σ-algebry Definicja Niech Ω oznacza zbiór niepusty. Rodzinę M podzbiorów zbioru Ω nazywamy σ-algebrą (lub σ-ciałem) wtedy

Bardziej szczegółowo

Przykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych

Przykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru

Bardziej szczegółowo

Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły. Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga. Anna Rajfura, Matematyka

Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły. Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga. Anna Rajfura, Matematyka Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga 1 Zagadnienia 1. Przypomnienie wybranych pojęć rachunku prawdopodobieństwa. Zmienna losowa. Rozkład

Bardziej szczegółowo

II WYKŁAD STATYSTYKA. 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15

II WYKŁAD STATYSTYKA. 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 II WYKŁAD STATYSTYKA 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 2 Rachunek prawdopodobieństwa zdarzenia elementarne zdarzenia losowe zmienna losowa skokowa i ciągła prawdopodobieństwo i gęstość prawdopodobieństwa

Bardziej szczegółowo

Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo

Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Rozdział 1 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo 1.1 Klasyfikacja zdarzeń Zdarzenie elementarne pojęcie aprioryczne, które nie może być zdefiniowane. Odpowiednik pojęcia punkt w geometrii. Zdarzenie elementarne

Bardziej szczegółowo

(C. Gauss, P. Laplace, Bernoulli, R. Fisher, J. Spława-Neyman) Wikipedia 2008

(C. Gauss, P. Laplace, Bernoulli, R. Fisher, J. Spława-Neyman) Wikipedia 2008 STATYSTYKA MATEMATYCZNA - dział matematyki stosowanej oparty na rachunku prawdopodobieństwa; zajmuje się badaniem zbiorów na podstawie analizy ich części. Nauka, której przedmiotem zainteresowania są metody

Bardziej szczegółowo

Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe

Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną Definicja 1 Jednowymiarowa zmienna losowa (o wartościach rzeczywistych), określoną na przestrzeni probabilistycznej

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka

Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Przestrzeń probabilistyczna Niech Ω będzie dowolnym zbiorem, zwanym przestrzenią zdarzeń elementarnych. Elementy ω tej przestrzeni nazywamy zdarzeniami elementarnymi.

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2

STATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 STATYSTYKA Rafał Kucharski Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 Wybrane litery alfabetu greckiego α alfa β beta Γ γ gamma δ delta ɛ, ε epsilon η eta Θ θ theta

Bardziej szczegółowo

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE

III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta

Bardziej szczegółowo

Lista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie

Lista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Lista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w

Bardziej szczegółowo

Statystyka. Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego

Statystyka. Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego Statystyka Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego 2017 Zmienna losowa i jej rozkład Mając daną przestrzeń probabilistyczną, czyli parę (&, P) stanowiącą model pewnego doświadczenia losowego (gdzie

Bardziej szczegółowo

Zestaw 2: Zmienne losowe. 0, x < 1, 2, 2 x, 1 1 x, 1 x, F 9 (x) =

Zestaw 2: Zmienne losowe. 0, x < 1, 2, 2 x, 1 1 x, 1 x, F 9 (x) = Zestaw : Zmienne losowe. Które z poniższych funkcji są dystrybuantami? Odpowiedź uzasadnij. Wskazówka: naszkicuj wykres. 0, x 0,, x 0, F (x) = x, F (x) = x, 0 x

Bardziej szczegółowo

WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa

WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 2 i 3 1 / 19 Zmienna losowa Definicja Dana jest przestrzeń probabilistyczna

Bardziej szczegółowo

12DRAP - parametry rozkładów wielowymiarowych

12DRAP - parametry rozkładów wielowymiarowych DRAP - parametry rozkładów wielowymiarowych Definicja.. Jeśli h : R R, a X, Y ) jest wektorem losowym o gęstości fx, y) to EhX, Y ) = hx, y)fx, y)dxdy. Jeśli natomiast X, Y ) ma rozkład dyskretny skupiony

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki. 1.1 Definicja zmiennej losowej

Rozdział 1. Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki. 1.1 Definicja zmiennej losowej Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Zbiór możliwych wyników eksperymentu będziemy nazywać przestrzenią zdarzeń elementarnych i oznaczać Ω, natomiast

Bardziej szczegółowo

W2 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie)

W2 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie) W2 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie) Henryk Maciejewski Jacek Jarnicki Marek Woda www.zsk.iiar.pwr.edu.pl Rachunek prawdopodobieństwa - przypomnienie 1. Zdarzenia 2. Prawdopodobieństwo

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA. rachunek prawdopodobieństwa

STATYSTYKA MATEMATYCZNA. rachunek prawdopodobieństwa STATYSTYKA MATEMATYCZNA rachunek prawdopodobieństwa treść Zdarzenia losowe pojęcie prawdopodobieństwa prawo wielkich liczb zmienne losowe rozkłady teoretyczne zmiennych losowych Zanim zajmiemy się wnioskowaniem

Bardziej szczegółowo

4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03)

4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03) 4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03) Definicja 1 Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x 1, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która przyjmuje wszystkie

Bardziej szczegółowo

Dyskretne zmienne losowe

Dyskretne zmienne losowe Dyskretne zmienne losowe dr Mariusz Grządziel 16 marca 2009 Definicja 1. Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x 1, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna dla leśników

Statystyka matematyczna dla leśników Statystyka matematyczna dla leśników Wydział Leśny Kierunek leśnictwo Studia Stacjonarne I Stopnia Rok akademicki 2013/2014 Wykład 3 Zmienna losowa i jej rozkłady Zdarzenia losowe Pojęcie prawdopodobieństwa

Bardziej szczegółowo

METODY PROBABILISTYCZNE I STATYSTYKA

METODY PROBABILISTYCZNE I STATYSTYKA Andrzej Marciniak METODY PROBABILISTYCZNE I STATYSTYKA Wykłady dla studentów kierunku informatyka Państwowej Wyższej Szkoły Zawodowej w Kaliszu Wykłady są przeznaczone wyłącznie do indywidualnego użytku

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa- wykład 2

Rachunek prawdopodobieństwa- wykład 2 Rachunek prawdopodobieństwa- wykład 2 Pojęcie dyskretnej przestrzeni probabilistycznej i określenie prawdopodobieństwa w tej przestrzeni dr Marcin Ziółkowski Instytut Matematyki i Informatyki Uniwersytet

Bardziej szczegółowo

Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka

Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka Elementy rachunku prawdopodobieństwa dr inż. Małgorzata Szeląg Zakład Genetyki Molekularnej Człowieka tel. 61 829 59 04 malgorzata.szelag@amu.edu.pl Pokój 1.118

Bardziej szczegółowo

Przestrzeń probabilistyczna

Przestrzeń probabilistyczna Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty zbiór Σ rodzina podzbiorów tego zbioru P funkcja określona na Σ, zwana prawdopodobieństwem. Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty

Bardziej szczegółowo

Metody probabilistyczne

Metody probabilistyczne Metody probabilistyczne. Twierdzenia graniczne Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 20.2.208 / 26 Motywacja Rzucamy wielokrotnie uczciwą monetą i zliczamy

Bardziej szczegółowo

Modelowanie zależności. Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski

Modelowanie zależności. Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski Modelowanie zależności pomiędzy zmiennymi losowymi Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski P Zmienne losowe niezależne - przypomnienie Dwie rzeczywiste zmienne losowe X i Y

Bardziej szczegółowo

WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I (SGH)

WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I (SGH) WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I (SGH) Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 1 1 / 24 Warunki zaliczenia 1 Do egzaminu dopuszczeni wszyscy, którzy uczęszczali na

Bardziej szczegółowo

Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład

Rozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem

Bardziej szczegółowo

Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.

Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna. Wykład 4 Rozkłady i ich dystrybuanty Dwa typy zmiennych losowych Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.

Bardziej szczegółowo

P (A B) = P (A), P (B) = P (A), skąd P (A B) = P (A) P (B). P (A)

P (A B) = P (A), P (B) = P (A), skąd P (A B) = P (A) P (B). P (A) Wykład 3 Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego Kiedy dwa zdarzenia są niezależne? Gdy wiedza o tym, czy B zaszło, czy nie, NIE MA WPŁYWU na oszacowanie prawdopodobieństwa zdarzenia A: P (A B) = P

Bardziej szczegółowo

Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka

Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka W 2. Probabilistyczne modele danych Zmienne losowe. Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej Dr Anna ADRIAN Zmienne

Bardziej szczegółowo

Literatura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III.

Literatura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III. Literatura Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K, Wasilewski M., Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna w Zadaniach, cz. I. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej

Bardziej szczegółowo

WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty

WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 4 / 9 Przekształcenia zmiennej losowej X

Bardziej szczegółowo

Statystyka. Magdalena Jakubek. kwiecień 2017

Statystyka. Magdalena Jakubek. kwiecień 2017 Statystyka Magdalena Jakubek kwiecień 2017 1 Nauka nie stara się wyjaśniać, a nawet niemal nie stara się interpretować, zajmuje się ona głównie budową modeli. Model rozumiany jest jako matematyczny twór,

Bardziej szczegółowo

Wynik pomiaru jako zmienna losowa

Wynik pomiaru jako zmienna losowa Wynik pomiaru jako zmienna losowa Wynik pomiaru jako zmienna losowa Zmienne ciągłe i dyskretne Funkcja gęstości i dystrybuanta Wartość oczekiwana Momenty rozkładów Odchylenie standardowe Estymator zmiennej

Bardziej szczegółowo

Statystyka Astronomiczna

Statystyka Astronomiczna Statystyka Astronomiczna czyli zastosowania statystyki w astronomii historycznie astronomowie mieli wkład w rozwój dyscypliny Rachunek prawdopodobieństwa - gałąź matematyki Statystyka - metoda oceny właściwości

Bardziej szczegółowo

Wykład 2. Prawdopodobieństwo i elementy kombinatoryki

Wykład 2. Prawdopodobieństwo i elementy kombinatoryki Wstęp do probabilistyki i statystyki Wykład 2. Prawdopodobieństwo i elementy kombinatoryki dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh Katedra Elektroniki, AGH e-mail: zak@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~zak

Bardziej szczegółowo

Ważne rozkłady i twierdzenia

Ważne rozkłady i twierdzenia Ważne rozkłady i twierdzenia Rozkład dwumianowy i wielomianowy Częstość. Prawo wielkich liczb Rozkład hipergeometryczny Rozkład Poissona Rozkład normalny i rozkład Gaussa Centralne twierdzenie graniczne

Bardziej szczegółowo

W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych:

W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych: W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych: Zmienne losowe skokowe (dyskretne) przyjmujące co najwyżej przeliczalnie wiele wartości Zmienne losowe ciągłe

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 3

Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 3 Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 3 Przygotowując wykład korzystam głównie z książki Jakubowski, Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Zmienna losowa i jej

Bardziej szczegółowo

Wykład 13. Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa

Wykład 13. Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa Wykład 13. Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu semestr zimowy, rok akademicki 2015 2016 Doświadczenie losowe Doświadczenie

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA

STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA Zadanie 0.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 0 4 p k 1/3 1/6 1/ obliczyć EX, D X. (odp. 4/3;

Bardziej szczegółowo

PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek

PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Piotr Wiącek ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA Jest to miara probabilistyczna określona na σ-ciele podzbiorów borelowskich pewnej przestrzeni metrycznej. σ-ciało podzbiorów

Bardziej szczegółowo

zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych

zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych 1. [E.A 5.10.1996/zad.4] Funkcja gęstości dana jest wzorem { 3 x + 2xy + 1 y dla (x y) (0 1) (0 1) 4 4 P (X > 1 2 Y > 1 2 ) wynosi:

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3.

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3. RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3. ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA. Zmienną losową X nazywamy funkcję (praktycznie każdą) przyporządkowującą zdarzeniom elementarnym liczby rzeczywiste. X : Ω R (dokładniej:

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład IV: 27 października 2014 Współczynnik korelacji Brak korelacji a niezależność Definicja współczynnika korelacji Współczynnikiem korelacji całkowalnych z kwadratem zmiennych losowych X i Y nazywamy

Bardziej szczegółowo

Zadania zestaw 1: Zadania zestaw 2

Zadania zestaw 1: Zadania zestaw 2 Zadania zestaw 1: Zadania zestaw 2 Zadania zestaw 3. 1 Rozkład zmiennej losowej skokowej X przedstawia tabela. x i m 0 n p i 0,4 0,3 0,3 a) Wyznacz m i n jeśli: są całkowite, m

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna

Statystyka matematyczna Statystyka matematyczna Wykład 1 Magdalena Alama-Bućko 20 lutego 2017 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 20 lutego 2017 1 / 21 Wykład : 10h (przez 10 tygodni po 45 minut) Ćwiczenia : 15h (45

Bardziej szczegółowo

Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa

Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Marek Kubiak Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Plan wykładu Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa Rozkład

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.1. Zmienne losowe dyskretne. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Definicja/Rozkład Zmienne losowe dyskretne Definicja Zmienną losową, która skupiona

Bardziej szczegółowo

zdarzenie losowe - zdarzenie którego przebiegu czy wyniku nie da się przewidzieć na pewno.

zdarzenie losowe - zdarzenie którego przebiegu czy wyniku nie da się przewidzieć na pewno. Rachunek prawdopodobieństwa Podstawowym celem rachunku prawdopodobieństwa jest określanie szans zajścia pewnych zdarzeń. Pojęcie podstawowe rachunku prawdopodobieństwa to: zdarzenie losowe - zdarzenie

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej

Bardziej szczegółowo

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe

Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Nierówność Czebyszewa Niech X będzie zmienną losową o skończonej wariancji V ar(x). Wtedy wartość oczekiwana E(X) też jest skończona i

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna

Statystyka matematyczna Statystyka matematyczna Wykład 1 Magdalena Alama-Bućko 26 lutego 2018 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 26 lutego 2018 1 / 16 Wykład : 10h (przez 10 tygodni po 45 minut) zaliczenie wykładu

Bardziej szczegółowo

Matematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/

Matematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/ Matematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/ Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a bud. Agro II, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl

Bardziej szczegółowo

Statystyka matematyczna

Statystyka matematyczna Statystyka matematyczna Wykład 1 Magdalena Alama-Bućko 25 lutego 2019 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 25 lutego 2019 1 / 18 Wykład : 10h (przez 10 tygodni po 45 minut) Ćwiczenia : 15h (45

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014

Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014 Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014 Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe

Bardziej szczegółowo

Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe

Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe Statystyka i opracowanie danych W4 Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Rozkład normalny wykres funkcji gęstości

Bardziej szczegółowo

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO Lekcja 3 Definicja prawdopodobieństwa Kołmogorowa. Prawdopodobieństwa warunkowe i niezależne. ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko

Bardziej szczegółowo

Laboratorium nr 7. Zmienne losowe typu skokowego.

Laboratorium nr 7. Zmienne losowe typu skokowego. Laboratorium nr 7. Zmienne losowe typu skokowego.. Zmienna losowa X ma rozkład dany tabelką: - 0 3 0, 0,3 0, 0,3 0, Naszkicować dystrybuantę zmiennej X. Obliczyć EX oraz VarX.. Zmienna losowa ma rozkład

Bardziej szczegółowo

Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady

Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady Magdalena Frąszczak Wrocław, 11.10.2017r Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe Doświadczenie

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia 3 ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ JEDNOWYMIAROWEJ

Ćwiczenia 3 ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ JEDNOWYMIAROWEJ Ćwiczenia 3 ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ JEDNOWYMIAROWEJ Zadanie 1. Zmienna losowa przyjmuje wartości -1, 0, 1 z prawdopodobieństwami równymi odpowiednio: ¼, ½, ¼. Należy: a. Wyznaczyć rozkład prawdopodobieństwa

Bardziej szczegółowo

Wstęp do probabilistyki i statystyki Wykład 3. Prawdopodobieństwo i algebra zdarzeń

Wstęp do probabilistyki i statystyki Wykład 3. Prawdopodobieństwo i algebra zdarzeń Wstęp do probabilistyki i statystyki Wykład 3. Prawdopodobieństwo i algebra zdarzeń dr inż. Krystyna Schneider, Katedra Elektroniki, AGH e-mail: kryschna@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~kryschna 1 Plan:

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady

Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Statystyka i opracowanie danych W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Rozkład Poissona. Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i funkcja gęstości

Bardziej szczegółowo

Wybrane rozkłady zmiennych losowych. Statystyka

Wybrane rozkłady zmiennych losowych. Statystyka Wybrane rozkłady zmiennych losowych Statystyka Rozkład dwupunktowy Zmienna losowa przyjmuje tylko dwie wartości: wartość 1 z prawdopodobieństwem p i wartość 0 z prawdopodobieństwem 1- p x i p i 0 1-p 1

Bardziej szczegółowo

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 1. L. Kowalski, Statystyka, 2005

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 1. L. Kowalski, Statystyka, 2005 RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 1. Literatura: Marek Cieciura, Janusz Zacharski, Metody probabilistyczne w ujęciu praktycznym, L. Kowalski, Statystyka, 2005 R.Leitner, J.Zacharski, "Zarys matematyki

Bardziej szczegółowo

Biostatystyka, # 2 /Weterynaria I/

Biostatystyka, # 2 /Weterynaria I/ Biostatystyka, # 2 /Weterynaria I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a bud. Agro II, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl

Bardziej szczegółowo

STATYSTYKA wykład 1. Wanda Olech. Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierząt

STATYSTYKA wykład 1. Wanda Olech. Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierząt STTYSTYK wykład 1 Wanda Olech Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierząt Plan wykładów Data WYKŁDY 1.X rachunek prawdopodobieństwa; 8.X zmienna losowa jednowymiarowa, funkcja rozkładu, dystrybuanta 15.X

Bardziej szczegółowo

Jednowymiarowa zmienna losowa

Jednowymiarowa zmienna losowa 1 Jednowymiarowa zmienna losowa Przykład Doświadczenie losowe - rzut kostką do gry. Obserwujemy ilość wyrzuconych oczek. Teoretyczny model eksperymentu losowego - przestrzeń probabilistyczna (Ω, S, P ),

Bardziej szczegółowo

Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka. Zmienne losowe. Aleksander Denisiuk. denisjuk@euh-e.edu.pl

Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka. Zmienne losowe. Aleksander Denisiuk. denisjuk@euh-e.edu.pl Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka Zmienne losowe Aleksander Denisiuk denisjuk@euh-e.edu.pl Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza 2 82-300 Elblag oraz Biostatystyka p.

Bardziej szczegółowo

Matematyczne Podstawy Kognitywistyki

Matematyczne Podstawy Kognitywistyki Matematyczne Podstawy Kognitywistyki Dorota Leszczyńska-Jasion Kombinatoryka, ci agi liczbowe, skończone przestrzenie probabilistyczne Przykłady zagadnień kombinatorycznych Rozważmy układ n miast o bardzo

Bardziej szczegółowo

P r a w d o p o d o b i eństwo Lekcja 1 Temat: Lekcja organizacyjna. Program. Kontrakt.

P r a w d o p o d o b i eństwo Lekcja 1 Temat: Lekcja organizacyjna. Program. Kontrakt. P r a w d o p o d o b i eństwo Lekcja 1 Temat: Lekcja organizacyjna. Program. Kontrakt. Lekcja 2 Temat: Podstawowe pojęcia związane z prawdopodobieństwem. Str. 10-21 1. Doświadczenie losowe jest to doświadczenie,

Bardziej szczegółowo

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO

KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO Lekcja 2 Klasyczna definicja prawdopodobieństwa ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Według klasycznej

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia 1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo geometryczne, własności prawdopodobieństwa, wzór włączeń i wyłączeń

Ćwiczenia 1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo geometryczne, własności prawdopodobieństwa, wzór włączeń i wyłączeń Agata Boratyńska Ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa 1 Ćwiczenia 1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo geometryczne, własności prawdopodobieństwa, wzór włączeń i wyłączeń UWAGA:

Bardziej szczegółowo

Elementy rachunku prawdopodobieństwa. Statystyka matematyczna. w zastosowaniach

Elementy rachunku prawdopodobieństwa. Statystyka matematyczna. w zastosowaniach Statystyka matematyczna w zastosowaniach Elementy rachunku prawdopodobieństwa Robert Pietrzykowski STATYSTYKA: nauka poświęcona metodom badania(analizowania) zjawisk masowych; polega na systematyzowaniu

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń.

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń. Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń. 3.1 Prawdopodobieństwo warunkowe Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Przykład 1 Alicja wylosowała jedną kartę z

Bardziej szczegółowo

Statystyka podstawowe wzory i definicje

Statystyka podstawowe wzory i definicje 1 Statystyka podstawowe wzory i definicje Średnia arytmetyczna to suma wszystkich liczb (a 1, a 2,, a n) podzielona przez ich ilość (n) Przykład 1 Dany jest zbiór liczb {6, 8, 11, 2, 5, 3}. Oblicz średnią

Bardziej szczegółowo

Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu.

Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu. Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu. A Teoria Definicja A.1. Niech (Ω, F, P) będzie przestrzenią probabilistyczną. Zmienną losową określoną na przestrzeni Ω nazywamy dowolną

Bardziej szczegółowo

Wstęp. Kurs w skrócie

Wstęp. Kurs w skrócie Mariola Zalewska Zakład Metod Matematycznych i Statystycznych Zarządzania Wydział Zarządzania Uniwersystet Warszawski I rok DSM Rachunek Prawdopodobieństwa Wstęp Kombinatoryka Niezależność zdarzeń, Twierdzenie

Bardziej szczegółowo

Zmienne losowe. Statystyka w 3

Zmienne losowe. Statystyka w 3 Zmienne losowe Statystyka w Zmienna losowa Zmienna losowa jest funkcją, w której każdej wartości R odpowiada pewien podzbiór zbioru będący zdarzeniem losowym. Zmienna losowa powstaje poprzez przyporządkowanie

Bardziej szczegółowo

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń.

Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń. Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń. 3.1 Prawdopodobieństwo warunkowe Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2016/2017 Przykład 1 Alicja

Bardziej szczegółowo

Statystyka i eksploracja danych

Statystyka i eksploracja danych Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,

Bardziej szczegółowo

Rachunku prawdopodobieństwa: rys historyczny, aksjomatyka, prawdopodobieństwo warunkowe,

Rachunku prawdopodobieństwa: rys historyczny, aksjomatyka, prawdopodobieństwo warunkowe, Rachunku prawdopodobieństwa: rys historyczny, aksjomatyka, prawdopodobieństwo warunkowe, niezależność zdarzeń dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu Semestr letni

Bardziej szczegółowo

Rozkłady prawdopodobieństwa

Rozkłady prawdopodobieństwa Tytuł Spis treści Wersje dokumentu Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej 10 grudnia 2011 Spis treści Tytuł Spis treści Wersje dokumentu 1 Wartość oczekiwana Wariancja i odchylenie standardowe Rozkład

Bardziej szczegółowo

Prawdopodobieństwo i statystyka

Prawdopodobieństwo i statystyka Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja

Bardziej szczegółowo

PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA

PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Trójkę (Ω, F, P ), gdzie Ω, F jest σ-ciałem podzbiorów Ω, a P jest prawdopodobieństwem określonym na F, nazywamy przestrzenią probabilistyczną. 2. Rodzinę F

Bardziej szczegółowo

Matematyka z el. statystyki, # 2 /Geodezja i kartografia II/

Matematyka z el. statystyki, # 2 /Geodezja i kartografia II/ Matematyka z el. statystyki, # 2 /Geodezja i kartografia II/ Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a bud. Agro II, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl

Bardziej szczegółowo

Metody probabilistyczne

Metody probabilistyczne Metody probabilistyczne 1. Prawdopodobieństwo klasyczne Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 03.10.2017 1 / 19 Rys historyczny Francja, XVII w.: gry hazardowe

Bardziej szczegółowo

L.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 2 ZADANIA - ZESTAW 2

L.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 2 ZADANIA - ZESTAW 2 ZADANIA - ZESTAW 2 Zadanie 2.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 1 0 2 p k 1/ 1/6 1/2 a) wyznaczyć dystrybuantę tej zmiennej losowej i naszkicować jej wykres, b) obliczyć

Bardziej szczegółowo

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - 1. a) Jacek i Agatka stoją koło siebie; b) Jacek, Placek i Agatka stoją koło siebie.

Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - 1. a) Jacek i Agatka stoją koło siebie; b) Jacek, Placek i Agatka stoją koło siebie. Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - 1 1. Grupę n dzieci ustawiono w sposón losowy w szereg. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że a) Jacek i Agatka stoją koło siebie; b) Jacek, Placek i Agatka stoją

Bardziej szczegółowo

Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne

Prawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne , centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne

Bardziej szczegółowo

L.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 1 ZADANIA - ZESTAW 1. (odp. a) B A C, b) A, c) A B, d) Ω)

L.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 1 ZADANIA - ZESTAW 1. (odp. a) B A C, b) A, c) A B, d) Ω) ZADANIA - ZESTAW 1 Zadanie 1.1 Rzucamy trzy razy monetą. A i - zdarzenie polegające na tym, że otrzymamy orła w i - tym rzucie. Określić zbiór zdarzeń elementarnych. Wypisać zdarzenia elementarne sprzyjające

Bardziej szczegółowo

1.1 Wstęp Literatura... 1

1.1 Wstęp Literatura... 1 Spis treści Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Wstęp................................ 1 1.2 Literatura.............................. 1 2 Elementy rachunku prawdopodobieństwa 2 2.1 Podstawy..............................

Bardziej szczegółowo