METODY ANALIZY DANYCH NIEPEWNYCH
|
|
- Robert Makowski
- 6 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 METODY ANALIZY DANYCH NIEPEWNYCH LITERATURA PODSTAWOWA. Z. Hellwig, Elementy Rachunku Prawdopodobieństwa i Statystyki Matematycznej, PWN, Warszawa, W. Krysicki i inni, Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna w Zadaniach, PWN, Warszawa 995 (Tom I i II) 3. M. Fisz, Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna, PWN, Warszawa W. Feller, Wstęp do Rachunku Prawdopodobieństwa, PWN, Warszawa S. Zubrzycki, Wykłady z Rachunku Prawdopodobieństwa i Statystyki Matematycznej, PWN, Warszawa F. Sawicki, Elementy Statystyki dla Lekarzy, PZWL, Warszawa G.R. Rao, Statystyka i Prawda, PWN, Warszawa L. Garding, Spotkanie z Matematyką, PWN, Warszawa 993
2 RYS HISTORYCZNY: początek XVII w. - B. Pascal, P. Fermat - pierwsze prace inspirowane grami hazardowymi koniec XVII w. - J.Bernoulli - pierwsze formalizmy, aksjomaty rachunku prawdop. (książka: Traktat o sztuce przewidywania) - ich rozwój: A. de Moivre (XVIII w.). XVIII w. W. Petty - początek statystyki (książka: Rozważania dotyczące rozmiarów cen ziemi, ludności, zabudowań, gospodarki rolnej, manufaktury, handlu, przemysłu rybnego, rzemieślników, marynarzy, żołnierzy, oraz dochodów państwowych, procentów, podatków, sposobów powiększania dochodów). XIX w. - szybki rozwój rach. prawdop. i statystyki: K. Gauss (teoria błędów obserwacji, metoda najmniejszych kwadratów), A. Cauchy, S. Poisson (badanie rozkładów prawdopodobieństwa), L. Euler (badania demograficzne i ubezpieczenia). XX w. - A. Kołmogorow (teorio-mnogościowe podejście do rachunku prawdopodob.). Polscy matematycy: Hugo Steinhaus, K. Urbanik 2
3 RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA Dział matematyki zajmujący się opisywaniem i badaniem zdarzeń przypadkowych i niepewnych Doświadczenie losowe: doświadczenie (eksperyment), którego wyniku z góry nie można określić, gdyż zależy on od przypadku (np. rzut monetą lub kostką, urodziny dziecka, czas oczekiwania na tramwaj, długość gwoździa calowego) Zdarzenie (zdarzenie losowe) wynik doświadczenia losowego. Zbiór możliwych wyników doświadczenia losowego (zbiór możliwych zdarzeń) jest na ogół znany: np. {orzeł, reszka}, {,2,3,4,5,6}, o {dziewczynka, chłopiec}, [0-5(min)], o [2-3(cm)]. 3
4 ZDARZENIA LOSOWE Zdarzenie elementarne pojęcie pierwotne w aksjomatyce rach. prawd. - elementarny, niepodzielny wynik doświadczenia losowego. Oznaczenia: e - zdarzenie elementarne, E - przestrzeń zdarzeń elementarnych (skończona, nieskończona) e E Przykłady:. Rzut monetą: E = { e, e2}, e orzeł, e2 reszka (skończona) 2. Rzut kostką: E = { e, e2, e3, e4, e5, e6 } (skończona) 3. Czas oczekiwania na tramwaj: E = ( 05, ) (nieskończona) 4
5 Zdarzenie (losowe) każdy podzbiór przestrzeni E (wliczając w to zbiór pusty i całą przestrzeń E ) Zdarzenia będziemy oznaczać dużymi literami: A, B, C,... Np. E = { e, e2, e3, e4, e5, e6, e7, e8, e9 }, A = { e, e2, e3 }, B = { e, e } 5 7. Zdarzenie A zachodzi wtedy i tylko wtedy, gdy zachodzi którekolwiek ze zdarzeń elementarnych wchodzących w jego skład. Zdarzenia szczególne: - zdarzenie niemożliwe (zbiór pusty) I = E - zdarzenie pewne 5
6 Przykłady zdarzeń losowych:. Rzut monetą: E = { OR, }, A =, A = { O}, A = { R}, A = { O, R} liczba wszystkich zdarzeń: 4 2. Rzut kostką: E = {, 23456,,,, } Przykłady zdarzeń: A= {, 246, }, A2 = {, 23, } liczba wszystkich zdarzeń: Dwukrotny rzut monetą: E = { OO, OR, RO, RR} Przykłady zdarzeń: A = { OO, OR}, A2 = { OR, RO}, A3 = { OO, OR, RO} liczba wszystkich zdarzeń: 6. 6
7 4. Czas oczekiwania na tramwaj: E = ( 05), Przykłady zdarzeń: A = ( 02, ), A2 = ( 35), ilość wszystkich zdarzeń:. 5. Wiek małżonków: Wiek żony 00 E Narysować zdarzenia:. A - mąż ma więcej niż 50 lat 2. A 2 -żona jest młodsza od męża o 20 lat 3. A 3 - mąż jest starszy od żony 4. A 4 - suma lat małżonków jest mniejsza niż wiek męża 7
8 Relacje pomiędzy zdarzeniami zdarzenie A zawiera się w B A B - gdy każde zdarzenie elementarne należące do A należy do B lub równoważnie: zdarzenie A pociąga (implikuje) zdarzenie B A B - (jeśli zachodzi A, to na pewno zachodzi także B) Przykład: doświadczenie losowe - wyciągnięcie karty z talii. A - wyciągnięcie pika, B - wyciągnięcie karty czarnej A B. czy B A? zdarzenia równoważne A = B (wtedy jednocześnie A B i B A) 8
9 zdarzenia wyłączające się (wykluczające się) gdy A i B nie mają wspólnych elementów tzn: jeśli zachodzi A, to nie zachodzi B i odwrotnie. Przykład: Zdarzenie losowe- ilość osób z grupy 0-osobowej, która dożyje do 200 roku E = { e0, e, e2, e3, e4, e5, e6, e7, e8, e9, e0 } Zdarzenia: A = { e2 }, B = { e 5 }, C = { e 5, e 6, e 7, e 8, e 9, e 0 } wyłączające? - które są Operacje na zdarzeniach 9
10 Zbiór zbiór pusty zbiór pełny Zdarzenie zdarzenie niemożliwe zdarzenie pewne Suma zdarzeń (alternatywa) A= A i zdarzenie A zachodzi wtedy, gdy zachodzi którekolwiek ze zdarzeń A i Różnica zdarzeń A = A A2 zdarzenie A zachodzi wtedy, gdy zachodzi A i nie zachodzi A 2. gdy A i A 2 są wyłączające się (rozłączne), to A A2 = A. Iloczyn zdarzeń (koniunkcja) 0
11 A= A i zdarzenie A zachodzi wtedy, gdy zachodzą wszystkie A i. gdy A i A 2 wykluczają się, to własności iloczynu zdarzeń:. A A = A 2. A = 3. A I = A A A 2 = Przykład - ilość samochodów i telewizorów w gospodarstwie domowym ( 2) E = { e00, e0, e0, e, e20, e2, e02, e2, e22 } A - w losowo wybranym gospodarstwie jest co najmniej samochód i nie mniej niż telewizor B - w losowo wybranym gospodarstwie jest dokładnie samochód i nie więcej niż telewizor A = { e, e2, e2, e22 }, B = { e0, e }, A B ={ e }. Zdarzenie przeciwne (dopełniające) do zdarzenia A
12 A = I A Zdarzenie A zachodzi wtedy, gdy nie zachodzi zdarzenie A. Własności zdarzeń przeciwnych. A+ A = I, 2. A A = Przykład: A - wyciągamy kartę w kolorze pik lub trefl - co to jest A? DIAGRAM EULERA 2
13 A A A + A A A 2 2 A A + A A A 2 2 A A + A 2 2 A A A A 2 2 3
14 PRAWDOPODOBIEŃSTWO Definicja klasyczna (Laplace) Jeżeli przestrzeń E zawiera n jednakowo możliwych zdarzeń elementarnych, z których m sprzyja zajściu zdarzenia A (A zawiera m zdarzeń elementarnych), to prawdopodobieństwem zdarzenia A nazywamy ułamek Wnioski: m P( A) =. n. 0 P( A), 2. P( I)=, P( ) = 0 3. Jeśli A, A2 są zdarzeniami wykluczającymi się, to P( A + A ) = P( A ) + P( A ) 2 2 Wady definicji klasycznej: Tautologia ( w definicji użyto słowa definiowanego; jednakowo możliwe zdarzenie = jednakowo prawdopodobne) skończona przestrzeń E, wymaga znajomości zbioru zdarzeń sprzyjających Definicja częstościowa (Mises) zliczamy zajścia zdarzeń Jeżeli przy wielokrotnej realizacji doświadczenia losowego, częstość wystąpienia zdarzenia losowego A oscyluje wokół pewnej nieznanej 4
15 liczby p, i jeżeli wahania częstości maleją wraz ze wzrostem liczby doświadczeń, to liczba p będzie prawdopodobieństwem zdarzenia A. P(A) = lim n m n Wada: Liczba doświadceń jest wartością ograniczoną Definicja aksjomatyczna (Kołmogorow): Każdemu zdarzeniu A związanemu z określonym doświadczeniem losowym przyporządkowujemy liczbę P(A) o następujących własnościach. 0 P( A), 2. P( I)=, 3. Jeżeli A, A2, A3,... są zdarzeniami parami się wykluczającymi, to: P( A + A + A +...) = P( A ) + P( A ) + P( A ) Wnioski:. P( ) = 0, bo: 5
16 I = I +, P( I) = P( I) + P( ), = + P( ) 2. P( A+ A) = 3. Jeżeli A B, to P( A) P( B) 4. Jeżeli A = B, to P( A) = P( B) Definicja geometryczna Jeżeli Q i q to dwa zbiory należące do przestrzeni n- wymiarowej, oraz jeżeli q zawiera się w Q to prawdopodobieństwo, że dowolny punkt z Q będzie należał do q, jest równe stosunkowi miary zbioru q do miary zbioru Q. Przykłady. Rzut kostką: P(parzysta liczba oczek)=?, P(liczba oczek podzielna przez 3)=? 2. Rzut dwoma kostkami: 6
17 Ile jest zdarzeń elementarnych? P(suma oczek podzielna przez 5) =? P(suma oczek = 2) =? P(suma oczek = 6) =? P(suma oczek = 7) =? (paradoks de Merego) 3. Dwóch graczy gra aż do 6 zwycięstw. Przy stanie 2:5 przerwali grę. Jak należy podzielić pulę? 7
18 Zdarzenia niezależne Dwa zdarzenia A i B nazywamy zdarzeniami niezależnymi, jeżeli zajście jednego z nich nie ma wpływu na prawdopodobieństwo zajścia drugiego zdarzenia. Przykład Zdarzenia niezależne 2 urny w obu kule białe i czarne; Wylosowanie jakiejkolwiek kuli z urny pierwszej nie ma wpływu na prawdopodobieństwo wylosowania jakiejkolwiek kuli z urny drugiej 8
19 Zdarzenia zależne Losowanie kuli z urny - schemat bez zwracania i ze zwracaniem W urnie jest 5 kul białych i 0 czarnych A zdarzenie polegające na wylosowaniu kuli białej w pierwszym losowaniu B - zdarzenie polegające na wylosowaniu kuli białej w drugim losowaniu Schemat ze zwracaniem więc 5 P ( A) = P( B) = = 5 3 P ( B) = 3 niezależnie od tego czy zaszło zdarzenie A czy nie. Zdarzenia A i B są niezależne 9
20 Schemat bez zwracania Gdy zdarzenie A zaszło tzn.: wylosowano kulę białą w pierwszym losowaniu, to: P ( B) = 4 4 gdy zdarzenie A, (wylosowano kulę czarną w pierwszym losowaniu), to: P ( B) = 5 4 Zdarzania A i B są zależne 20
21 Prawdopodobieństwo warunkowe Jeśli prawdopodobieństwo zdarzenia B zależy od dodatkowych okoliczności (warunków), to takie prawdopodobieństwo będziemy nazywać warunkowym. Warunek (okoliczność) - najczęściej zajście innego zdarzenia (A). Prawdopodobieństwo warunkowe zdarzenia B przy założeniu, że zaszło zdarzenia A oznaczamy symbolem: P( B / A) Dwa zdarzenia A i B są niezależne, jeśli: P( A / B) = P( A) oraz P( B / A) = P( B) Przykłady Rzut kostką A - zdarzenie, że wyrzuciliśmy mniej niż 2 oczka B - zdarzenie, że wyrzuciliśmy mniej niż 3 oczka P ( A) = 6 więc P ( A/ B) = 2 P( A) P( A/ B) 2
22 więc zdarzenia A i B są zależne Talia kart Losujemy z talii jedną kartę A wylosowanie figury B wylosowanie karty czarnej 6 P ( A) = = P ( A/ B) = = P ( A) = P( A/ B) Podobnie 26 P ( B) = = P ( B / A) = = 6 2 P ( B) = P( B / A) więc zdarzenia A i B są zależne 22
23 Prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń A pole =k Pole =n B pole =r Pole prostokąta - n Pole lewego koła - k Pole prawego koła - r Pole powierzchni wspólnej - s A - zdarzenie, że trafimy w punkt lewego koła B - zdarzenie, że trafimy w punkt prawego koła AB (iloczyn) - trafimy w obszar wspólny Stąd mamy: k r s s PA ( ) =, PB ( ) =, PAB ( ) =, PA ( / B) =, PB ( / A) = n n n r s k dalej: 23
24 s PA ( / B) = = n = r s r n PAB ( ) PB ( ) Otrzymujemy stąd wzór na prawdopodobieństwo iloczynu dwóch zdarzeń: P( AB) = P( B) P( A / B) i w podobny sposób (jak?): P( AB) = P( A) P( B / A) Zdarzenia A i B są niezależne to Przykład P( AB) = P( A) P( B) Z talii wyciągamy kolejno dwie karty (bez zwracania). Policzyć prawdopodobieństwo, że będą to asy. A - prawdopodobieństwo wylosowania asa w pierwszym losowaniu B - prawdopodobieństwo wylosowania asa w drugim losowaniu 4 3 P ( AB) = P( A) P( B / A) = = Uogólnienie na prawdopodobieństwo iloczynu 3 zdarzeń: 24
25 P ( ABC) = P( A) P( B / A) P( C / BA) dla n zdarzeń? Przykład Z talii ciągniemy kolejno 3 karty (bez zwracania). Policz prawdopodobieństwo, że będą to kolejno as, król i dama A prawdopodobieństwo wylosowania asa w pierwszym losowaniu B prawdopodobieństwo wylosowania króla w drugim losowaniu C prawdopodobieństwo wylosowania damy w trzecim losowaniu P ( ABC) = P( A) P( B / A) P( C / AB) = = Zdarzenia A, B i C są niezależne, jeśli P( ABC) = P( A) P( B) P( C) oraz P( AB) = P( A) P( B), P( AC) = P( A) P( C), P( BC) = P( B) P( C) 25
26 Kiedy n zdarzeń jest niezależnych? Przykład Z urny, w której są 24 kartki ponumerowane liczbami, 2, 3,..., 24 losujemy jedną kartkę. Określamy następujące zdarzenia: A - wyciągamy liczbę nie większą niż 2 B - wyciągamy jedną z liczb:, 2, 3, 4, 5, 7 C - wyciągamy liczbę podzielną przez 3 Sprawdź, czy zdarzenia A, B i C są niezależne. P ( A) = 2 6 P ( B) = = P ( C) = = 24 3 więc P ( ABC) = 24 P ( ABC) = P( A) P( B) P( C) = 24 Zdarzenia A, B, C nie są niezależne, gdyż: P( A) P( B) = 8 P( B) P( C) = 2 P( AB) = 4 P( BC) = 24 26
27 Prawdopodobieństwo sumy zdarzeń A B Pole prostokąta - n Pole lewego koła - k Pole prawego koła - r Pole powierzchni wspólnej - s Pole powierzchni obu kół - t A - zdarzenie, że trafimy w punkt lewego koła B - zdarzenie, że trafimy w punkt prawego koła AB - zdarzenie, że trafimy w punkt wspólnego obszaru A+B - zdarzenie, że trafimy w punkt lewego lub prawego koła Ponieważ: t k r s t = k+ r s lub = +, n n n n stąd mamy wzór na prawdopodobieństwo sumy zdarzeń: P( A+ B) = P( A) + P( B) P( AB) 27
28 Jak będzie wyglądał wzór dla 3 zdarzeń? Przykład: Z talii wyciągamy jedną kartę. Wyznacz prawdopodobieństwo, że będzie to figura lub karta czerwona. A wylosowanie figury B wylosowanie karty czerwonej 6 4 P ( A) = =, 52 3 P ( B) =, 2 8 P ( AB) = = P ( A + B) = + =
29 Prawdopodobieństwo całkowite Przykład: Mamy dwie urny. W jednej urnie są 3 kule białe i 2 czarne, a w drugiej jest kula biała i 4 czarne. Schemat losowania jest następujący: najpierw losujemy urnę, a potem losujemy z niej kulę. Należy wyznaczyć prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej. A - wylosowanie urny A 2 - wylosowanie urny 2 B - wylosowanie białej kuli P( B) = P( A ) P( B / A ) + P( A ) P( B / A ) 2 2 Jest to wzór na prawdopodobieństwo całkowite Dane jest dowolne zdarzenie B i układ zdarzeń A, A 2,..., A n, które są wyłączające się (rozłączne) i dające w sumie zdarzenie pewne. Musi więc zajść jedno i tylko jedno zdarzenie A, a zatem zdarzenie B - jeśli zajdzie - to musi zajść wraz z jednym i tylko jednym zdarzeniem A. Stąd wynika, że: B = BA+ BA BA n, gdzie poszczególne składniki są zdarzeniami wyłączającymi się. 29
30 Mamy zatem: P( B) = P( BA) + P( BA2 ) P( BA n ) a dalej, korzystając ze wzoru na prawdopodobieństwo iloczynu otrzymujemy wzór na prawdopodobieństwo całkowite: P( B) = P( B / A ) P( A ) + P( B / A ) P( A ) P( B / A ) P( A 2 2 n n ) Przykład: Mamy 4 urny. W pierwszej jest kula biała i 999 czarnych, a w pozostałych po jednej białej i czarnej. Wyznaczyć prawdopodobieństwo wylosowania kuli białej. Jakie byłoby to prawdopodobieństwo, gdyby wszystkie kule były w jednej urnie? 30
31 Wzór Bayesa Wzór Bayesa (Thomas Bayes ) pozwala wyznaczyć prawdopodobieństwo zajścia jednego ze zdarzeń A i, jeśli zaszło zdarzenie B. Ze wzoru na prawdopodobieństwo iloczynu zdarzeń mamy: P( A B) = P( A ) P( B / A ) P( B) P( A / B), i i i = i a stąd P( A P B A PAi B i) ( / ( / ) i) =. PB ( ) Wykorzystując w mianowniku wzór na prawdopodobieństwo całkowite otrzymujemy wzór Bayesa: PA ( / B) = i PA ( i) PB ( / Ai) PA ( ) PB ( / A) + PA ( ) PB ( / A) + PA ( ) PB ( / A 2 2 n n) Przykład: 3
32 Dla danych jak w przykładzie poprzednim (z dwoma urnami) wyznaczyć prawdopodobieństwo wylosowania każdej z obu urn, pod warunkiem, że wyciągnięto kulę białą. Bayesowska teoria podejmowania decyzji ZMIENNE LOSOWE Zmienna losowa - wielkość, która w wyniku doświadczenia losowego przyjmuje określoną wartość liczbową (niemożliwą do przewidzenia wcześniej). Oznaczenia zmiennych losowych: X, Y, Z,..., ich wartości: x, y, z,... Realizacja zmiennej losowej - wartość, jaką przyjmuje zmienna losowa Przykłady:. Rzut kostką: X x { 23456,,,,, } 2. Temperatura powietrza w dniu o godz x [ 30, 20] 3. Procentowa zmiana kursu akcji Banku Śląskiego x [ 0, + 0] 4. Czas oczekiwania na tramwaj x [ 05], 32
33 Zmienna losowa - funkcja odwzorowująca przestrzeń zdarzeń elementarnych w zbiór liczb [ x = Xe ( ) ] Rodzaje zmiennych losowych:. Zmienne losowe dyskretne (skokowe) - zbiór wartości jest skończony (przeliczalny) 2. Zmienne losowe ciągłe - zbiór wartości nieskończony (np. zbiór liczb rzeczywistych) Zmienna losowa przyjmuje swe wartości z określonymi prawdopodobieństwami (jej wartość zależy od wyniku doświadczenia losowego - zdarzenia). Rozkład prawdopodobieństwa zmiennej losowej - przyporządkowanie wartościom zmiennej losowej prawdopodobieństw. Dystrybuanta zmiennej losowej X: 33
34 Własności dystrybuanty:. 0 F( x) 2. F( ) = 0, F( + ) = 3. Jest funkcja niemalejącą: jeśli x < x to ( F( x ) F( x ) 2 2 F( x) = P( X < x) Dyskretne zmienne losowe Zmienna losowa X o wartościach ze zbioru { x, x 2, x 3,..., x n } Rozkład prawdopodobieństwa: Dystrybuanta: PX ( = x) = Px ( ) = p, p= i i i i i= n Fx ( ) = Px ( i ) x < x Narysować rozkład i dystrybuantę dyskretnej zmiennej losowej i 34
35 Przykłady dyskretnych zmiennych losowych. Zero-jedynkowa (binarna) zmienna losowa X przyjmuje dwie wartości: rozkład prawdopodobieństwa: x { 0,} P( X = ) = p, P( X = 0) = p= q Interpretacja: X = X = 0 gdy zajdzie zdarzenie oznaczające sukces gdy zajdzie zdarzenie oznaczające porażkę Przykład: Rzut kostką: sukces - wyrzucenie szóstki, porażka - nie wyrzucenie szóstki P( X = ) = / 6, P( X = 0) = 5/ 6 35
36 Narysować dystrybuantę. 2. Dwumianowa zmienna losowa Przykład: Rzucamy 3 razy monetą; sukces, gdy wypadnie orzeł - porażka, gdy wypadnie reszka X - zmienna losowa oznaczająca ilość sukcesów zbiór wartości: { 023,,, } Wyznaczyć rozkład zmiennej losowej X oraz jej dystrybuantę. Mamy n doświadczeń (niezależnych): każde z nich może zakończyć się sukcesem (z prawdopodobieństwem p) lub porażką (z prawdopodobieństwem q=-p). X - zmienna losowa oznaczająca ilość sukcesów zbiór wartości: {,2,3,..,n} Rozkład prawdopodobieństwa X: 36
37 n k = n! k!( n k)! elementowego PX k n k p k q n k ( = ) = (dlaczego?) - ilość k-elementowych kombinacji ze zbioru n- Przykład: Mamy pakiet akcji 0 firm. Prawdopodobieństwo, że wzrośnie wartość akcji firmy wynosi 0.5. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wzrośnie wartość akcji 7 firm? 37
38 Ciągłe zmienne losowe Dystrybuanta F(x) jest funkcją ciągłą. Rozkład prawdopodobieństwa ciągłej zmiennej losowej wygodnie jest przedstawić przy pomocy funkcji gęstości rozkładu prawdopodobieństwa f(x), która związana jest z dystrybuantą: x f( x) = d Fx ( ), Fx ( ) = f( ) d dx ξ ξ Z własności dystrybuanty wynika: + F( + ) = f( x) dx = oraz f ( x) 0 (dlaczego?) Dla dowolnych a< b: 38
39 b Pa ( X b) = Fb ( ) Fa ( ) = f( x) dx a W szczególności: x0 PX ( = x0) = f( xdx ) = 0 x nie znaczy to, że zdarzenie takie jest niemożliwe 0 Interpretacja f(x). Przykłady ciągłych zmiennych losowych. Zmienna losowa o rozkładzie prostokątnym (równomiernym, jednostajnym) Zm. los. X ma rozkład równomierny na odcinku [a, b]: dla x [ a, b], f( x) = b a 0 w przeciwnym razie. 39
40 Narysować funkcję gęstości i dystrybuantę. 2. Zmienna losowa o rozkładzie trójkątnym Narysować funkcję gęstości i dystrybuantę. DWUWYMIAROWE ZMIENNE LOSOWE Dwuwymiarową zmienną losową (X,Y) nazywamy parę funkcji X(e) i Y(e) opisanych na przestrzeni zdarzeń elementarnych E i przyjmujących wartości ze skończonego zbioru liczb (zmienna dyskretna) lub ciągłego (zmienna ciągła). Dystrybuanta dwuwymiarowej zmiennej losowej: F( x, y) = P( X < x, Y < y) F(, y) = F( x, ) = 0, F( +, + ) = Dwuwymiarowa dyskretna zmienna losowa X ma zbiór wartości { x, x 2,..., x n } 40
41 Y ma zbiór wartości { y, y 2,..., y m } Rozkład zmiennej losowej (X,Y) określają prawdopodobieństwa: P( X = x, Y = y ) = p, i= 2,,..., n, j = 2,,..., m. i j ij Można go ująć w postaci tablicy n m. Oczywiście: Oznaczmy: n m p ij = i= j= p = p q = i m n ij j j= i= p j. i Oczywiście: m q n j j= i= = p =. i Pokazać, że: p P( X = x ), q = P( Y = y ). i = i j j p ij - rozkład łączny zmiennych losowych (X,Y) pi, qj - rozkłady brzegowe zmiennych losowych (X,Y) 4
42 Mamy: p = P( X = x, Y = y ) = P( X = x / Y = y ) P( Y = y ) = p / p ij i j i j j i j j p = P( X = x, Y = y ) = P( Y = y / X = x ) P( X = x ) = p / p p ij i j j i i j i i p i/ j, j/ i - prawdopodobieństwa warunkowe Gdy: zmienne losowe X i Y są niezależne to: lub równoważnie: p = p i p = q i/ j i j/ i j p = p q ij i j Dwuwymiarowa ciągła zmienna losowa (X, Y) - nieskończony zbiór wartości (np. R) Funkcja gęstości rozkładu prawdopodobieństwa: 2 d F( x, y) f( x, y) =, Fxy (, ) = f ( xydxdy, ) dx dy. Gęstość brzegowa: Gęstości warunkowe: + f( x) = f( x, y) dy, f( y) = f( x, y) dx x + y 42
43 f ( x, y) f x y f( x/ y) f y x f( y), ( / ) (, ) = =. f( x) f ( x, y) = f ( x) f ( y) zmienne losowe X i Y są niezależne. Przykłady Są dwie spółki: A i B. Z notowaniami akcji spółki A wiążemy zmienną losową X: jeśli akcje spadają, to X=-, gdy się nie zmieniają, to X=0, gdy rosną, to X=+. W podobny sposób ze spółką B wiążemy zmienna losową Y. Łączny rozkład (X,Y) jest następujący: ,05 0, ,05 0, 0,5 + 0, 0,05 0,45 Sprawdź, czy zmienne losowe X i Y są niezależne. 43
44 2. Piotr jedzie na uczelnię dwoma autobusami. Czas oczekiwania na każdy autobus jest zmienną losową o rozkładzie równomiernym na odcinku [0, 0]. Wychodząc z domu Piotr przeznaczył na łączne czekanie na autobusy 7 minut. Jakie jest prawdopodobieństwo, że nie spóźni się na zajęcia? PARAMETRY ZMIENNYCH LOSOWYCH Wartość oczekiwana (przeciętna, średnia) zmiennej losowej Oznaczenia: E X ), X (, m Znaczenie: obserwujemy realizacje zm. losowej X: x, x 2,..., x n - gdy n jest duże, to wartość średnia jest przybliżeniem średniej arytmetycznej realizacji: E( X ) ( x+ x xn )/ n Przykład: czas czekania na tramwaj Wartość oczekiwana dyskretnej zmiennej losowej 44
45 Zmienna losowa X o wartościach x, x 2,..., x n przyjmowanych z prawdopodobieństwami p, p 2,..., p n. Wartość oczekiwana X: EX ( )= n i= x p i i Przykłady:. Zmienna losowa binarna: X przyjmuje dwie wartości: x { 0,} P( X = ) = p, P( X = 0) = p= q EX ( )= 0q+ p= p (wartość średnia nie musi należeć do zbioru wartości X). 2. Rzut kostką: zm. losowa X przyjmuje wartości, 2, 3, 4, 5, 6 z prawdopodobieństwem/6. Policzyć E(X). 45
46 3. Zmienna losowa X ma rozkład dwumianowy o parametrach n i p: PX k n k p k q n k ( = ) = Pokazać, że: E(X) = n p Wartość oczekiwana ciągłej zmiennej losowej Zmienna losowa X o funkcji gęstości rozkładu prawdopodobieństwa f(x): + EX ( ) = xfxdx ( ) Przykłady:. X ma rozkład równomierny na odcinku [a, b]. Wyliczyć E(X). 2. X ma rozkład trójkątny (równoramienny) na odcinku [0, 2]. Wyliczyć E(X). 46
47 Interpretacja Wartość średnia - środek ciężkości f(x). Inne parametry I rzędu: mediana - x m takie, że moda - x l takie, że F( x m ) = / 2 f ( xl ) = max f ( x) rozkłady jedno-, wielomodalne Własności E(X):. C - stała: E(C) = C (dlaczego?) 47
48 2. E( X+ X Xn) = E( X) + E( X2) E( Xn) 2. E(C X)=C E(X) 4. X - zmienna losowa o funkcji gęstości prawdopodobieństwa f(x). Y - zmienna losowa: Y=g(X) n E( X) = g( xi) pi i= Przykłady: + EY ( ) = gx ( ) f( x) dx - dla przypadku dyskretnego).. Z = X E( X). Policzyć E(Z). 2. X ma rozkład równomierny na odcinku [a, b]. Y = X 2. Policzyć E(Y). Wariancja zmiennej losowej Oznaczenia: V(X) (σ 2 ) 48
49 Znaczenie: parametr informujący o rozrzucie zmiennej losowej (miara rozproszenia) 2 V( X) = E( X E( X)) Dla ciągłych zmiennych losowych + 2 V( X) = ( x E( X)) f( x) dx - Dla dyskretnych zmiennych losowych: n 2 V( X) = ( xi E( X)) pi i= V( X) = E( X E( X)) = E( X 2 XE( X) + E ( X)) = E( X ) E ( X) Przykłady:. Wyznaczyć wariancję zm. losowej o rozkładzie binarnym (V(X)=p q) 49
50 2. Wyznaczyć wariancję zm. losowej o rozkładzie równomiernym na [a, b]. Dyspersja (odchylenie standardowe) - inna miara rozproszenia: σ = σ 2 Własności wariancji. V( C )= 0, bo V( C ) = E( C ) E ( C) = C C = 0 2. V( C X) = C 2 V( X) bo:v( C X) = E[ CX E( CX)] = C E( X ) C E ( X) = C V( X) 3. Wariancja sumy niezależnych zmiennych losowych równa się sumie wariancji tych zmiennych: n n V( Xi ) = V( Xi ) i= i= 50
51 4. X, Y - niezależne zmienne losowe: V( X Y) = V( X) + V( Y) Przykłady:. Wyliczyć ( V( X E( X)) 2. Wyznaczyć wariancję zm. losowej o rozkładzie dwumianowym (suma n niezależnych zm. losowych o rozkładzie binarnym) Zmienna losowa o rozkładzie normalnym ( x m) f( x) = 2 N( m, σ ) = exp{ } 2π σ σ 2 Zmienna losowa standaryzowana (normalizowana) Zmienna losowa X jest standaryzowana, jeśli E(X)=0 i V(X)=. Jeśli dla zm. losowej X: 5
52 E(X)=m i V( X )= σ 2, to zmienna losowa jest standaryzowana. Y = X m σ 2 Parametry dwuwymiarowej zmiennej losowej (X, Y) Kowariancja cov( X, Y) = E( X E( X))( Y E( Y)) Jeśli zmienne losowe X i Y są niezależne, to cov( XY, ) = 0 (twierdzenie odwrotne nie jest prawdziwe) Współczynnik korelacji 52
53 ρ = cov( X, Y) V( X) V( Y ), ρ miara siły zależności pomiędzy zmiennymi losowymi dla zmiennych losowych niezależnych: ρ = 0. 53
Zmienna losowa. Rozkład skokowy
Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy Kody kolorów: żółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga * - materiał nadobowiązkowy Anna Rajfura, Matematyka i statystyka matematyczna na kierunku Rolnictwo SGGW 1 Zagadnienia
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa
Rachunek prawdopodobieństwa Sebastian Rymarczyk srymarczyk@afm.edu.pl Tematyka zajęć 1. Elementy kombinatoryki. 2. Definicje prawdopodobieństwa. 3. Własności prawdopodobieństwa. 4. Zmienne losowe, parametry
Bardziej szczegółowoBiostatystyka, # 3 /Weterynaria I/
Biostatystyka, # 3 /Weterynaria I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Głęboka 28, p. 221 bud. CIW, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoWYKŁAD 2. Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady
WYKŁAD 2 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo Zmienna losowa i jej rozkłady Metody statystyczne metody opisu metody wnioskowania statystycznego syntetyczny liczbowy opis właściwości zbioru danych ocena
Bardziej szczegółowoRozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych
Rozkłady prawdopodobieństwa zmiennych losowych Rozkład dwumianowy Rozkład normalny Marta Zalewska Zmienna losowa dyskretna (skokowa) jest to zmienna, której zbór wartości jest skończony lub przeliczalny.
Bardziej szczegółowoElementy Rachunek prawdopodobieństwa
Elementy rachunku prawdopodobieństwa Rachunek prawdopodobieństwa zajmuje się analizą praw rządzących zdarzeniami losowymi Pojęciami pierwotnymi są: zdarzenie elementarne ω oraz zbiór zdarzeń elementarnych
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo. Prawdopodobieństwo. Jacek Kłopotowski. Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH. 16 października 2018
Katedra Matematyki i Ekonomii Matematycznej SGH 16 października 2018 Definicja σ-algebry Definicja Niech Ω oznacza zbiór niepusty. Rodzinę M podzbiorów zbioru Ω nazywamy σ-algebrą (lub σ-ciałem) wtedy
Bardziej szczegółowoPrzykład 1 W przypadku jednokrotnego rzutu kostką przestrzeń zdarzeń elementarnych
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Niech Ω będzie przestrzenią zdarzeń elementarnych. Definicja 1 Rodzinę S zdarzeń losowych (zbiór S podzbiorów zbioru
Bardziej szczegółowoTemat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły. Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga. Anna Rajfura, Matematyka
Temat: Zmienna losowa. Rozkład skokowy. Rozkład ciągły Kody kolorów: Ŝółty nowe pojęcie pomarańczowy uwaga 1 Zagadnienia 1. Przypomnienie wybranych pojęć rachunku prawdopodobieństwa. Zmienna losowa. Rozkład
Bardziej szczegółowoII WYKŁAD STATYSTYKA. 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15
II WYKŁAD STATYSTYKA 12/03/2014 B8 sala 0.10B Godz. 15:15 WYKŁAD 2 Rachunek prawdopodobieństwa zdarzenia elementarne zdarzenia losowe zmienna losowa skokowa i ciągła prawdopodobieństwo i gęstość prawdopodobieństwa
Bardziej szczegółowoZdarzenia losowe i prawdopodobieństwo
Rozdział 1 Zdarzenia losowe i prawdopodobieństwo 1.1 Klasyfikacja zdarzeń Zdarzenie elementarne pojęcie aprioryczne, które nie może być zdefiniowane. Odpowiednik pojęcia punkt w geometrii. Zdarzenie elementarne
Bardziej szczegółowo(C. Gauss, P. Laplace, Bernoulli, R. Fisher, J. Spława-Neyman) Wikipedia 2008
STATYSTYKA MATEMATYCZNA - dział matematyki stosowanej oparty na rachunku prawdopodobieństwa; zajmuje się badaniem zbiorów na podstawie analizy ich części. Nauka, której przedmiotem zainteresowania są metody
Bardziej szczegółowoWykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe
Wykład 3 Jednowymiarowe zmienne losowe Niech (Ω, F, P ) będzie ustaloną przestrzenią probabilistyczną Definicja 1 Jednowymiarowa zmienna losowa (o wartościach rzeczywistych), określoną na przestrzeni probabilistycznej
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa i statystyka
Rachunek prawdopodobieństwa i statystyka Przestrzeń probabilistyczna Niech Ω będzie dowolnym zbiorem, zwanym przestrzenią zdarzeń elementarnych. Elementy ω tej przestrzeni nazywamy zdarzeniami elementarnymi.
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA. Rafał Kucharski. Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2
STATYSTYKA Rafał Kucharski Uniwersytet Ekonomiczny w Katowicach 2015/16 ROND, Finanse i Rachunkowość, rok 2 Wybrane litery alfabetu greckiego α alfa β beta Γ γ gamma δ delta ɛ, ε epsilon η eta Θ θ theta
Bardziej szczegółowoIII. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE
III. ZMIENNE LOSOWE JEDNOWYMIAROWE.. Zmienna losowa i pojęcie rozkładu prawdopodobieństwa W dotychczas rozpatrywanych przykładach każdemu zdarzeniu była przyporządkowana odpowiednia wartość liczbowa. Ta
Bardziej szczegółowoLista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie
Lista zadania nr 7 Metody probabilistyczne i statystyka studia I stopnia informatyka (rok 2) Wydziału Ekonomiczno-Informatycznego Filia UwB w Wilnie Jarosław Kotowicz Instytut Matematyki Uniwersytet w
Bardziej szczegółowoStatystyka. Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego
Statystyka Wydział Zarządzania Uniwersytetu Łódzkiego 2017 Zmienna losowa i jej rozkład Mając daną przestrzeń probabilistyczną, czyli parę (&, P) stanowiącą model pewnego doświadczenia losowego (gdzie
Bardziej szczegółowoZestaw 2: Zmienne losowe. 0, x < 1, 2, 2 x, 1 1 x, 1 x, F 9 (x) =
Zestaw : Zmienne losowe. Które z poniższych funkcji są dystrybuantami? Odpowiedź uzasadnij. Wskazówka: naszkicuj wykres. 0, x 0,, x 0, F (x) = x, F (x) = x, 0 x
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 2 i 3 Zmienna losowa Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 2 i 3 1 / 19 Zmienna losowa Definicja Dana jest przestrzeń probabilistyczna
Bardziej szczegółowo12DRAP - parametry rozkładów wielowymiarowych
DRAP - parametry rozkładów wielowymiarowych Definicja.. Jeśli h : R R, a X, Y ) jest wektorem losowym o gęstości fx, y) to EhX, Y ) = hx, y)fx, y)dxdy. Jeśli natomiast X, Y ) ma rozkład dyskretny skupiony
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki. 1.1 Definicja zmiennej losowej
Rozdział 1 Zmienne losowe, ich rozkłady i charakterystyki 1.1 Definicja zmiennej losowej Zbiór możliwych wyników eksperymentu będziemy nazywać przestrzenią zdarzeń elementarnych i oznaczać Ω, natomiast
Bardziej szczegółowoW2 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie)
W2 Podstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie) Henryk Maciejewski Jacek Jarnicki Marek Woda www.zsk.iiar.pwr.edu.pl Rachunek prawdopodobieństwa - przypomnienie 1. Zdarzenia 2. Prawdopodobieństwo
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA. rachunek prawdopodobieństwa
STATYSTYKA MATEMATYCZNA rachunek prawdopodobieństwa treść Zdarzenia losowe pojęcie prawdopodobieństwa prawo wielkich liczb zmienne losowe rozkłady teoretyczne zmiennych losowych Zanim zajmiemy się wnioskowaniem
Bardziej szczegółowo4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03)
4,5. Dyskretne zmienne losowe (17.03; 31.03) Definicja 1 Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x 1, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która przyjmuje wszystkie
Bardziej szczegółowoDyskretne zmienne losowe
Dyskretne zmienne losowe dr Mariusz Grządziel 16 marca 2009 Definicja 1. Zmienna losowa nazywamy dyskretna (skokowa), jeśli zbiór jej wartości x 1, x 2,..., można ustawić w ciag. Zmienna losowa X, która
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna dla leśników
Statystyka matematyczna dla leśników Wydział Leśny Kierunek leśnictwo Studia Stacjonarne I Stopnia Rok akademicki 2013/2014 Wykład 3 Zmienna losowa i jej rozkłady Zdarzenia losowe Pojęcie prawdopodobieństwa
Bardziej szczegółowoMETODY PROBABILISTYCZNE I STATYSTYKA
Andrzej Marciniak METODY PROBABILISTYCZNE I STATYSTYKA Wykłady dla studentów kierunku informatyka Państwowej Wyższej Szkoły Zawodowej w Kaliszu Wykłady są przeznaczone wyłącznie do indywidualnego użytku
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa- wykład 2
Rachunek prawdopodobieństwa- wykład 2 Pojęcie dyskretnej przestrzeni probabilistycznej i określenie prawdopodobieństwa w tej przestrzeni dr Marcin Ziółkowski Instytut Matematyki i Informatyki Uniwersytet
Bardziej szczegółowoPodstawy nauk przyrodniczych Matematyka
Podstawy nauk przyrodniczych Matematyka Elementy rachunku prawdopodobieństwa dr inż. Małgorzata Szeląg Zakład Genetyki Molekularnej Człowieka tel. 61 829 59 04 malgorzata.szelag@amu.edu.pl Pokój 1.118
Bardziej szczegółowoPrzestrzeń probabilistyczna
Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty zbiór Σ rodzina podzbiorów tego zbioru P funkcja określona na Σ, zwana prawdopodobieństwem. Przestrzeń probabilistyczna (Ω, Σ, P) Ω pewien niepusty
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne. Twierdzenia graniczne Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 20.2.208 / 26 Motywacja Rzucamy wielokrotnie uczciwą monetą i zliczamy
Bardziej szczegółowoModelowanie zależności. Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski
Modelowanie zależności pomiędzy zmiennymi losowymi Matematyczne podstawy teorii ryzyka i ich zastosowanie R. Łochowski P Zmienne losowe niezależne - przypomnienie Dwie rzeczywiste zmienne losowe X i Y
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I (SGH)
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I (SGH) Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 1 1 / 24 Warunki zaliczenia 1 Do egzaminu dopuszczeni wszyscy, którzy uczęszczali na
Bardziej szczegółowoRozdział 1. Wektory losowe. 1.1 Wektor losowy i jego rozkład
Rozdział 1 Wektory losowe 1.1 Wektor losowy i jego rozkład Definicja 1 Wektor X = (X 1,..., X n ), którego każda współrzędna jest zmienną losową, nazywamy n-wymiarowym wektorem losowym (krótko wektorem
Bardziej szczegółowoJeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x 1, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Wykład 4 Rozkłady i ich dystrybuanty Dwa typy zmiennych losowych Jeśli wszystkie wartości, jakie może przyjmować zmienna można wypisać w postaci ciągu {x, x 2,...}, to mówimy, że jest to zmienna dyskretna.
Bardziej szczegółowoP (A B) = P (A), P (B) = P (A), skąd P (A B) = P (A) P (B). P (A)
Wykład 3 Niezależność zdarzeń, schemat Bernoulliego Kiedy dwa zdarzenia są niezależne? Gdy wiedza o tym, czy B zaszło, czy nie, NIE MA WPŁYWU na oszacowanie prawdopodobieństwa zdarzenia A: P (A B) = P
Bardziej szczegółowoRachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka
Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka W 2. Probabilistyczne modele danych Zmienne losowe. Rozkład prawdopodobieństwa i dystrybuanta. Wartość oczekiwana i wariancja zmiennej losowej Dr Anna ADRIAN Zmienne
Bardziej szczegółowoLiteratura. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej dla studentów, cz. III.
Literatura Krysicki W., Bartos J., Dyczka W., Królikowska K, Wasilewski M., Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna w Zadaniach, cz. I. Leitner R., Zacharski J., Zarys matematyki wyŝszej
Bardziej szczegółowoWYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty
WYKŁADY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA I wykład 4 Przekształcenia zmiennej losowej, momenty Agata Boratyńska Agata Boratyńska Rachunek prawdopodobieństwa, wykład 4 / 9 Przekształcenia zmiennej losowej X
Bardziej szczegółowoStatystyka. Magdalena Jakubek. kwiecień 2017
Statystyka Magdalena Jakubek kwiecień 2017 1 Nauka nie stara się wyjaśniać, a nawet niemal nie stara się interpretować, zajmuje się ona głównie budową modeli. Model rozumiany jest jako matematyczny twór,
Bardziej szczegółowoWynik pomiaru jako zmienna losowa
Wynik pomiaru jako zmienna losowa Wynik pomiaru jako zmienna losowa Zmienne ciągłe i dyskretne Funkcja gęstości i dystrybuanta Wartość oczekiwana Momenty rozkładów Odchylenie standardowe Estymator zmiennej
Bardziej szczegółowoStatystyka Astronomiczna
Statystyka Astronomiczna czyli zastosowania statystyki w astronomii historycznie astronomowie mieli wkład w rozwój dyscypliny Rachunek prawdopodobieństwa - gałąź matematyki Statystyka - metoda oceny właściwości
Bardziej szczegółowoWykład 2. Prawdopodobieństwo i elementy kombinatoryki
Wstęp do probabilistyki i statystyki Wykład 2. Prawdopodobieństwo i elementy kombinatoryki dr hab.inż. Katarzyna Zakrzewska, prof.agh Katedra Elektroniki, AGH e-mail: zak@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~zak
Bardziej szczegółowoWażne rozkłady i twierdzenia
Ważne rozkłady i twierdzenia Rozkład dwumianowy i wielomianowy Częstość. Prawo wielkich liczb Rozkład hipergeometryczny Rozkład Poissona Rozkład normalny i rozkład Gaussa Centralne twierdzenie graniczne
Bardziej szczegółowoW rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych:
W rachunku prawdopodobieństwa wyróżniamy dwie zasadnicze grupy rozkładów zmiennych losowych: Zmienne losowe skokowe (dyskretne) przyjmujące co najwyżej przeliczalnie wiele wartości Zmienne losowe ciągłe
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 3
Rachunek prawdopodobieństwa (Elektronika, studia niestacjonarne) Wykład 3 Przygotowując wykład korzystam głównie z książki Jakubowski, Sztencel Wstęp do teorii prawdopodobieństwa. Zmienna losowa i jej
Bardziej szczegółowoWykład 13. Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa
Wykład 13. Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu semestr zimowy, rok akademicki 2015 2016 Doświadczenie losowe Doświadczenie
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA
STATYSTYKA MATEMATYCZNA ZESTAW 0 (POWT. RACH. PRAWDOPODOBIEŃSTWA) ZADANIA Zadanie 0.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 0 4 p k 1/3 1/6 1/ obliczyć EX, D X. (odp. 4/3;
Bardziej szczegółowoPODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA. Piotr Wiącek
PODSTAWOWE ROZKŁADY PRAWDOPODOBIEŃSTWA Piotr Wiącek ROZKŁAD PRAWDOPODOBIEŃSTWA Jest to miara probabilistyczna określona na σ-ciele podzbiorów borelowskich pewnej przestrzeni metrycznej. σ-ciało podzbiorów
Bardziej szczegółowozadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych
zadania z rachunku prawdopodobieństwa zapożyczone z egzaminów aktuarialnych 1. [E.A 5.10.1996/zad.4] Funkcja gęstości dana jest wzorem { 3 x + 2xy + 1 y dla (x y) (0 1) (0 1) 4 4 P (X > 1 2 Y > 1 2 ) wynosi:
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3.
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 3. ZMIENNA LOSOWA JEDNOWYMIAROWA. Zmienną losową X nazywamy funkcję (praktycznie każdą) przyporządkowującą zdarzeniom elementarnym liczby rzeczywiste. X : Ω R (dokładniej:
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład IV: 27 października 2014 Współczynnik korelacji Brak korelacji a niezależność Definicja współczynnika korelacji Współczynnikiem korelacji całkowalnych z kwadratem zmiennych losowych X i Y nazywamy
Bardziej szczegółowoZadania zestaw 1: Zadania zestaw 2
Zadania zestaw 1: Zadania zestaw 2 Zadania zestaw 3. 1 Rozkład zmiennej losowej skokowej X przedstawia tabela. x i m 0 n p i 0,4 0,3 0,3 a) Wyznacz m i n jeśli: są całkowite, m
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 1 Magdalena Alama-Bućko 20 lutego 2017 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 20 lutego 2017 1 / 21 Wykład : 10h (przez 10 tygodni po 45 minut) Ćwiczenia : 15h (45
Bardziej szczegółowoWykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa
Wykład z analizy danych: powtórzenie zagadnień z rachunku prawdopodobieństwa Marek Kubiak Instytut Informatyki Politechnika Poznańska Plan wykładu Podstawowe pojęcia rachunku prawdopodobieństwa Rozkład
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 4. Zmienne losowe 4.1. Zmienne losowe dyskretne. Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Definicja/Rozkład Zmienne losowe dyskretne Definicja Zmienną losową, która skupiona
Bardziej szczegółowozdarzenie losowe - zdarzenie którego przebiegu czy wyniku nie da się przewidzieć na pewno.
Rachunek prawdopodobieństwa Podstawowym celem rachunku prawdopodobieństwa jest określanie szans zajścia pewnych zdarzeń. Pojęcie podstawowe rachunku prawdopodobieństwa to: zdarzenie losowe - zdarzenie
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład II: Zmienne losowe i charakterystyki ich rozkładów 13 października 2014 Zmienne losowe Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Definicja zmiennej losowej i jej
Bardziej szczegółowoWykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe
Wykład 6 Centralne Twierdzenie Graniczne. Rozkłady wielowymiarowe Nierówność Czebyszewa Niech X będzie zmienną losową o skończonej wariancji V ar(x). Wtedy wartość oczekiwana E(X) też jest skończona i
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 1 Magdalena Alama-Bućko 26 lutego 2018 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 26 lutego 2018 1 / 16 Wykład : 10h (przez 10 tygodni po 45 minut) zaliczenie wykładu
Bardziej szczegółowoMatematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/
Matematyka z el. statystyki, # 3 /Geodezja i kartografia II/ Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a bud. Agro II, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoStatystyka matematyczna
Statystyka matematyczna Wykład 1 Magdalena Alama-Bućko 25 lutego 2019 Magdalena Alama-Bućko Statystyka matematyczna 25 lutego 2019 1 / 18 Wykład : 10h (przez 10 tygodni po 45 minut) Ćwiczenia : 15h (45
Bardziej szczegółowoZmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014
Zmienne losowe i ich rozkłady. Momenty zmiennych losowych. Wrocław, 10 października 2014 Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe
Bardziej szczegółowoRozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe
Statystyka i opracowanie danych W4 Rozkład normalny Parametry rozkładu zmiennej losowej Zmienne losowe wielowymiarowe Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok407 adan@agh.edu.pl Rozkład normalny wykres funkcji gęstości
Bardziej szczegółowoKURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO
KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO Lekcja 3 Definicja prawdopodobieństwa Kołmogorowa. Prawdopodobieństwa warunkowe i niezależne. ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko
Bardziej szczegółowoLaboratorium nr 7. Zmienne losowe typu skokowego.
Laboratorium nr 7. Zmienne losowe typu skokowego.. Zmienna losowa X ma rozkład dany tabelką: - 0 3 0, 0,3 0, 0,3 0, Naszkicować dystrybuantę zmiennej X. Obliczyć EX oraz VarX.. Zmienna losowa ma rozkład
Bardziej szczegółowoWykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady
Wykład 2 Zmienne losowe i ich rozkłady Magdalena Frąszczak Wrocław, 11.10.2017r Zmienne losowe i ich rozkłady Doświadczenie losowe: Rzut monetą Rzut kostką Wybór losowy n kart z talii 52 Gry losowe Doświadczenie
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 3 ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ JEDNOWYMIAROWEJ
Ćwiczenia 3 ROZKŁAD ZMIENNEJ LOSOWEJ JEDNOWYMIAROWEJ Zadanie 1. Zmienna losowa przyjmuje wartości -1, 0, 1 z prawdopodobieństwami równymi odpowiednio: ¼, ½, ¼. Należy: a. Wyznaczyć rozkład prawdopodobieństwa
Bardziej szczegółowoWstęp do probabilistyki i statystyki Wykład 3. Prawdopodobieństwo i algebra zdarzeń
Wstęp do probabilistyki i statystyki Wykład 3. Prawdopodobieństwo i algebra zdarzeń dr inż. Krystyna Schneider, Katedra Elektroniki, AGH e-mail: kryschna@agh.edu.pl http://home.agh.edu.pl/~kryschna 1 Plan:
Bardziej szczegółowoZmienne losowe ciągłe i ich rozkłady
Statystyka i opracowanie danych W3 Zmienne losowe ciągłe i ich rozkłady Dr Anna ADRIAN Paw B5, pok47 adan@agh.edu.pl Plan wykładu Rozkład Poissona. Zmienna losowa ciągła Dystrybuanta i funkcja gęstości
Bardziej szczegółowoWybrane rozkłady zmiennych losowych. Statystyka
Wybrane rozkłady zmiennych losowych Statystyka Rozkład dwupunktowy Zmienna losowa przyjmuje tylko dwie wartości: wartość 1 z prawdopodobieństwem p i wartość 0 z prawdopodobieństwem 1- p x i p i 0 1-p 1
Bardziej szczegółowoRACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 1. L. Kowalski, Statystyka, 2005
RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 1. Literatura: Marek Cieciura, Janusz Zacharski, Metody probabilistyczne w ujęciu praktycznym, L. Kowalski, Statystyka, 2005 R.Leitner, J.Zacharski, "Zarys matematyki
Bardziej szczegółowoBiostatystyka, # 2 /Weterynaria I/
Biostatystyka, # 2 /Weterynaria I/ dr n. mat. Zdzisław Otachel Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a bud. Agro II, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoSTATYSTYKA wykład 1. Wanda Olech. Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierząt
STTYSTYK wykład 1 Wanda Olech Katedra Genetyki i Ogólnej Hodowli Zwierząt Plan wykładów Data WYKŁDY 1.X rachunek prawdopodobieństwa; 8.X zmienna losowa jednowymiarowa, funkcja rozkładu, dystrybuanta 15.X
Bardziej szczegółowoJednowymiarowa zmienna losowa
1 Jednowymiarowa zmienna losowa Przykład Doświadczenie losowe - rzut kostką do gry. Obserwujemy ilość wyrzuconych oczek. Teoretyczny model eksperymentu losowego - przestrzeń probabilistyczna (Ω, S, P ),
Bardziej szczegółowoStatystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka. Zmienne losowe. Aleksander Denisiuk. denisjuk@euh-e.edu.pl
Statystyka Opisowa z Demografią oraz Biostatystyka Zmienne losowe Aleksander Denisiuk denisjuk@euh-e.edu.pl Elblaska Uczelnia Humanistyczno-Ekonomiczna ul. Lotnicza 2 82-300 Elblag oraz Biostatystyka p.
Bardziej szczegółowoMatematyczne Podstawy Kognitywistyki
Matematyczne Podstawy Kognitywistyki Dorota Leszczyńska-Jasion Kombinatoryka, ci agi liczbowe, skończone przestrzenie probabilistyczne Przykłady zagadnień kombinatorycznych Rozważmy układ n miast o bardzo
Bardziej szczegółowoP r a w d o p o d o b i eństwo Lekcja 1 Temat: Lekcja organizacyjna. Program. Kontrakt.
P r a w d o p o d o b i eństwo Lekcja 1 Temat: Lekcja organizacyjna. Program. Kontrakt. Lekcja 2 Temat: Podstawowe pojęcia związane z prawdopodobieństwem. Str. 10-21 1. Doświadczenie losowe jest to doświadczenie,
Bardziej szczegółowoKURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO
KURS PRAWDOPODOBIEŃSTWO Lekcja 2 Klasyczna definicja prawdopodobieństwa ZADANIE DOMOWE www.etrapez.pl Strona 1 Część 1: TEST Zaznacz poprawną odpowiedź (tylko jedna jest prawdziwa). Pytanie 1 Według klasycznej
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo geometryczne, własności prawdopodobieństwa, wzór włączeń i wyłączeń
Agata Boratyńska Ćwiczenia z rachunku prawdopodobieństwa 1 Ćwiczenia 1. Klasyczna definicja prawdopodobieństwa, prawdopodobieństwo geometryczne, własności prawdopodobieństwa, wzór włączeń i wyłączeń UWAGA:
Bardziej szczegółowoElementy rachunku prawdopodobieństwa. Statystyka matematyczna. w zastosowaniach
Statystyka matematyczna w zastosowaniach Elementy rachunku prawdopodobieństwa Robert Pietrzykowski STATYSTYKA: nauka poświęcona metodom badania(analizowania) zjawisk masowych; polega na systematyzowaniu
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń.
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń. 3.1 Prawdopodobieństwo warunkowe Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska Przykład 1 Alicja wylosowała jedną kartę z
Bardziej szczegółowoStatystyka podstawowe wzory i definicje
1 Statystyka podstawowe wzory i definicje Średnia arytmetyczna to suma wszystkich liczb (a 1, a 2,, a n) podzielona przez ich ilość (n) Przykład 1 Dany jest zbiór liczb {6, 8, 11, 2, 5, 3}. Oblicz średnią
Bardziej szczegółowoĆwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu.
Ćwiczenia 7 - Zmienna losowa i jej rozkład. Parametry rozkładu. A Teoria Definicja A.1. Niech (Ω, F, P) będzie przestrzenią probabilistyczną. Zmienną losową określoną na przestrzeni Ω nazywamy dowolną
Bardziej szczegółowoWstęp. Kurs w skrócie
Mariola Zalewska Zakład Metod Matematycznych i Statystycznych Zarządzania Wydział Zarządzania Uniwersystet Warszawski I rok DSM Rachunek Prawdopodobieństwa Wstęp Kombinatoryka Niezależność zdarzeń, Twierdzenie
Bardziej szczegółowoZmienne losowe. Statystyka w 3
Zmienne losowe Statystyka w Zmienna losowa Zmienna losowa jest funkcją, w której każdej wartości R odpowiada pewien podzbiór zbioru będący zdarzeniem losowym. Zmienna losowa powstaje poprzez przyporządkowanie
Bardziej szczegółowoRachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń.
Rachunek prawdopodobieństwa Rozdział 3. Prawdopodobieństwo warunkowe i niezależność zdarzeń. 3.1 Prawdopodobieństwo warunkowe Katarzyna Rybarczyk-Krzywdzińska semestr zimowy 2016/2017 Przykład 1 Alicja
Bardziej szczegółowoStatystyka i eksploracja danych
Wykład II: i charakterystyki ich rozkładów 24 lutego 2014 Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa, cz. II Wartość oczekiwana Dystrybuanty Słowniczek teorii prawdopodobieństwa,
Bardziej szczegółowoRachunku prawdopodobieństwa: rys historyczny, aksjomatyka, prawdopodobieństwo warunkowe,
Rachunku prawdopodobieństwa: rys historyczny, aksjomatyka, prawdopodobieństwo warunkowe, niezależność zdarzeń dr Mariusz Grzadziel Katedra Matematyki, Uniwersytet Przyrodniczy we Wrocławiu Semestr letni
Bardziej szczegółowoRozkłady prawdopodobieństwa
Tytuł Spis treści Wersje dokumentu Instytut Matematyki Politechniki Łódzkiej 10 grudnia 2011 Spis treści Tytuł Spis treści Wersje dokumentu 1 Wartość oczekiwana Wariancja i odchylenie standardowe Rozkład
Bardziej szczegółowoPrawdopodobieństwo i statystyka
Wykład VII: Rozkład i jego charakterystyki 22 listopada 2016 Uprzednio wprowadzone pojęcia i ich własności Definicja zmiennej losowej Zmienna losowa na przestrzeni probabilistycznej (Ω, F, P) to funkcja
Bardziej szczegółowoPEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA
PEWNE FAKTY Z RACHUNKU PRAWDOPODOBIEŃSTWA 1. Trójkę (Ω, F, P ), gdzie Ω, F jest σ-ciałem podzbiorów Ω, a P jest prawdopodobieństwem określonym na F, nazywamy przestrzenią probabilistyczną. 2. Rodzinę F
Bardziej szczegółowoMatematyka z el. statystyki, # 2 /Geodezja i kartografia II/
Matematyka z el. statystyki, # 2 /Geodezja i kartografia II/ Uniwersytet Przyrodniczy w Lublinie Katedra Zastosowań Matematyki i Informatyki ul. Akademicka 15, p.211a bud. Agro II, e-mail: zdzislaw.otachel@up.lublin.pl
Bardziej szczegółowoMetody probabilistyczne
Metody probabilistyczne 1. Prawdopodobieństwo klasyczne Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki PP http://www.cs.put.poznan.pl/wkotlowski/ 03.10.2017 1 / 19 Rys historyczny Francja, XVII w.: gry hazardowe
Bardziej szczegółowoL.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 2 ZADANIA - ZESTAW 2
ZADANIA - ZESTAW 2 Zadanie 2.1 Zmienna losowa X ma rozkład określony funkcją prawdopodobieństwa: x k 1 0 2 p k 1/ 1/6 1/2 a) wyznaczyć dystrybuantę tej zmiennej losowej i naszkicować jej wykres, b) obliczyć
Bardziej szczegółowoZadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - 1. a) Jacek i Agatka stoją koło siebie; b) Jacek, Placek i Agatka stoją koło siebie.
Zadania z Rachunku Prawdopodobieństwa I - 1 1. Grupę n dzieci ustawiono w sposón losowy w szereg. Oblicz prawdopodobieństwo tego, że a) Jacek i Agatka stoją koło siebie; b) Jacek, Placek i Agatka stoją
Bardziej szczegółowoPrawa wielkich liczb, centralne twierdzenia graniczne
, centralne twierdzenia graniczne Katedra matematyki i ekonomii matematycznej 17 maja 2012, centralne twierdzenia graniczne Rodzaje zbieżności ciągów zmiennych losowych, centralne twierdzenia graniczne
Bardziej szczegółowoL.Kowalski zadania z rachunku prawdopodobieństwa-zestaw 1 ZADANIA - ZESTAW 1. (odp. a) B A C, b) A, c) A B, d) Ω)
ZADANIA - ZESTAW 1 Zadanie 1.1 Rzucamy trzy razy monetą. A i - zdarzenie polegające na tym, że otrzymamy orła w i - tym rzucie. Określić zbiór zdarzeń elementarnych. Wypisać zdarzenia elementarne sprzyjające
Bardziej szczegółowo1.1 Wstęp Literatura... 1
Spis treści Spis treści 1 Wstęp 1 1.1 Wstęp................................ 1 1.2 Literatura.............................. 1 2 Elementy rachunku prawdopodobieństwa 2 2.1 Podstawy..............................
Bardziej szczegółowo