WPROWADZENIE DO MECHANIKI PĘKANIA

Transkrypt

1 POLITECHNIKA KRAKOWSKA im. Tadeusza Kościuszki JANUSZ GERMAN WPROWADZENIE DO MECHANIKI PĘKANIA Kraków 018

2

3 Janusz German: Wprowadzenie do mechaniki pękania 3 SPIS TREŚCI WAŻNIEJSZE OZNACZENIA 7 OD AUTORA 11 1 WPROWADZENIE 13 POLE NAPRĘŻEŃ W LINIOWO SPRĘŻYSTYM OŚRODKU ZE SZCZELINĄ 3.1 Podstawowe równania teorii sprężystości 3. Podstawy rachunku zmiennych zespolonych 6.3 Funkcja naprężeń dla dwuwymiarowych zagadnień teorii sprężystości 8.4 Zastosowanie funkcji naprężeń westergaarda do analizy stanu naprężenia i przemieszczeń w pobliżu wierzchołka szczeliny Szczelina w I typie obciążenia w paśmie nieskończonym Szczelina w II typie obciążenia w paśmie nieskończonym Szczelina w III typie obciążenia w paśmie nieskończonym Funkcje naprężeń i współczynniki intensywności naprężeń dla różnych przypadków szczelin w i typie obciążenia 41.6 Wpływ skończonych wymiarów ciała na wartości współczynników intensywności naprężeń 47.7 Wykorzystanie zasady superpozycji do wyznaczania współczynników intensywności naprężeń Szczeliny eliptyczne i kołowe 53.9 Przykłady 56 3 UPLASTYCZNIENIE W POBLIŻU WIERZCHOŁKA SZCZELINY Sprężysto-plastyczne pole naprężeń w pobliżu wierzchołka szczeliny Model Irwina Efektywny współczynnik intensywności naprężeń Model Dugdale a 83

4 4 Spis treści 3. Kształt stref plastycznych Grubość ciała, a kształt strefy plastycznej Przykłady 96 4 ENERGETYCZNY OPIS SZCZELINY Bilans energetyczny ciała ze szczeliną Energia dla ciała sprężysto-kruchego - teoria Griffith a Warunek stałych uchwytów Warunek stałej siły Ogólna zależność siła-przemieszczenie Obciążenie krytyczne Obciążenie krytyczne dla materiałów quasi-kruchych Związek prędkości uwalniania energii ze współczynnikiem intensywności naprężeń Podatność ciała ze szczeliną 10 5 SIŁOWE KRYTERIUM PĘKANIA Obciążenie krytyczne Zależność parametru K c od grubości ciała Analiza ilościowa wpływu grubości na odporność na pękanie Wyznaczanie odporności na pękanie w płaskim stanie odkształcenia Próbki testowe Przygotowanie próbek do badań Procedura przeprowadzenia próby Wyznaczanie wartości K Ic z wykresu P - u Uwagi końcowe Wyznaczanie odporności na pękanie w płaskim stanie naprężenia i zakresie przejściowym Metoda Federsena Metoda krzywych R Przykłady KRYTERIA PĘKANIA W ZAKRESIE SPRĘŻYSTO- PLASTYCZNYM Koncepcja całki J Podstawy teoretyczne Definicja całki J Całka J dla ciała ze szczeliną 165

5 Janusz German: Wprowadzenie do mechaniki pękania Energetyczna interpretacja całki J Całka J jako charakterystyka pola naprężeń w ośrodku nieliniowo sprężystym ze szczeliną Związek całki J z rozwarciem w wierzchołku szczeliny Całka J w warunkach stałych uchwytów i stałego obciążenia Całka J jako miara odporności materiału na pękanie Doświadczalne wyznaczanie całki J oraz J Ic Doświadczalne wyznaczanie całki J metodą wielu próbek Doświadczalne wyznaczanie całki J metodą jednej próbki Metoda normowa wyznaczania całki J i J Ic Kryterium pękania oparte na krytycznym rozwarciu szczeliny Podstawy teoretyczne Teoretyczna krzywa COD Podstawowe informacje nt. normowej próby wyznaczania rozwarcia krytycznego WZROST SZCZELIN ZMĘCZENIOWYCH Szczelina zmęczeniowa przy obciążeniu cyklicznym o stałej amplitudzie Krzywa prędkości wzrostu szczeliny zmęczeniowej Równania prędkości propagacji szczeliny zmęczeniowej Czas życia elementu ze szczeliną zmęczeniową Szczelina zmęczeniowa przy obciążeniu cyklicznym o zmiennej amplitudzie Wpływ środowiska na proces pękania Przykłady 19 CYTOWANE PRACE 47

6

7 Janusz German: Wprowadzenie do mechaniki pękania 7 WAŻNIEJSZE OZNACZENIA A powierzchnia szczeliny B, b, W, S wymiary próbek c, c * stałe materiałowe zależne od PSN i PSO COD CT CTOD E E G G J J Ic K I, K II, K III K Ic K przemieszczenie rozwarcie szczeliny próbka kompaktowa ( compact tension specimen ) efektywne rozwarcie w wierzchołku szczeliny pierwotnej moduł sprężystości (moduł Younga) prędkość zmian energii wewnętrznej ciała prędkość uwalniania energii moduł ścinania (moduł Kirchhoffa) całka J (często określana jako całka Rice a ) krytyczna wartość całki J współczynniki intensywności naprężeń dla I, II i III typu szczeliny odporność materiału na pękanie w warunkach płaskiego stanu odkształcenia prędkość zmian energii kinetycznej ciała K I efektywny współczynnik intensywności naprężeń w modelu Irwina L moc obciążenia zewnętrznego L długość szczeliny fikcyjnej w modelu Dugdale a l, a długość szczeliny l ef l kr M m F, C F m p, C p efektywna długość szczeliny zastępczej Irwina krytyczna długość szczeliny dla danego obciążenia moment zginający stałe w równaniu Formana stałe w równaniu Parisa

8 8 Ważniejsze oznaczenia N N f P PSN PSO R R c R e r p SENB T Ue Up liczba cykli w próbie zmęczenia liczba cykli do zniszczenia elementu ( czas życia elementu) siła skupiona obciążająca próbkę płaski stan naprężenia płaski stan odkształcenia współczynnik asymetrii cyklu zmęczeniowego odporności na pękanie granica plastyczności długość strefy plastycznej w pobliżu wierzchołka szczeliny próbka do trójpunktowego zginania ( single edge notched bend specimen ) wektor sił powierzchniowych energia odkształcenia sprężystego praca odkształceń plastycznych u i W WIN δ współrzędne wektora przemieszczenia energia powierzchniowa współczynnik intensywności naprężeń zakres zmienności naprężenia w próbie zmęczenia pierwsze przybliżenie długości strefy plastycznej w modelu Irwina δc, δu, δi, δm rozwarcia szczeliny w normowej próbie wyznaczania krytycznej wartości COD δt efektywne rozwarcie w wierzchołku szczeliny pierwotnej δ te, δ tp e ij, e o, o, α, n Γ γ Φ Φ A Φ e część sprężystą i plastyczna rozwarcia w wierzchołku szczeliny w normowej próbie wyznaczania krytycznej wartości COD składowe stanu odkształcenia stałe materiałowe w równaniu Ramberga-Osgooda kontur ograniczający obszar ciała w definicji całki J gęstość energii powierzchniowej (napięcie powierzchniowe) gęstość energii wewnętrznej w całce J funkcja naprężeń Airy'ego całka eliptyczna drugiego rodzaju

9 Janusz German: Wprowadzenie do mechaniki pękania 9 φ I λ ν zespolona funkcja naprężeń Westergaarda poprawka długości strefy plastycznej w modelu Irwina współczynnik Poisson a Π energia potencjalna ciała przy nieskończenie małym przyroście długości szczeliny ij składowe stanu naprężenia kr obciążenie krytyczne dla danej długości szczeliny ys granica plastyczności θ, r współrzędne biegunowe w układzie o początku umieszczonym w wierzchołku szczeliny

10

11 Janusz German: Wprowadzenie do mechaniki pękania 11 Moim dzieciom OD AUTORA Wiele osób uważa, że tradycyjny w wyższych szkołach technicznych przedmiot pod nazwą wytrzymałość materiałów to dyscyplina z zamierzchłej epoki, a jej rozwój zakończył się wraz z końcem XIX wieku. I rzeczywiście, jeśli poprzestać na tym, co zaproponowali ongiś autorzy obowiązującego od 007 roku przez kilka lat standardu kształcenia np. dla budownictwa, trudno z takim poglądem się nie zgodzić. Jest jednak i inne spojrzenie na wytrzymałość materiałów, a mianowicie takie, w którym dostrzega się nowsze osiągnięcia w tym zakresie. Mechanika kompozytów, mechanika uszkodzeń, mechanika pękania i inne działy nauk technicznych są w istocie częścią wytrzymałości, choć stanowią obecnie dobrze rozwinięte i w pełni ukształtowane, autonomiczne dyscypliny naukowe. Nadal są także intensywnie rozwijane, choć nie wszędzie w równie dobrym stopniu. Rozwój nauki zawsze stanowił i stanowi asumpt do rozwijania także dydaktyki w danym obszarze. Nie inaczej jest z mechaniką pękania. W wielu krajach stanowi ona obecnie standardowy przedmiot, traktowany na równi z klasyczną wytrzymałością materiałów. W Polsce sytuacja jest inna jedynie nieliczne wydziały politechniczne maja w swoich programach ten przedmiot, w kilku innych wybrane zagadnienia pękania wchodzą w zakres wytrzymałości materiałów. Podstawowymi motywami, które skłoniły Autora do napisania tej książki były: jego głębokie przekonanie o konieczności poszerzenia wiedzy byłych i aktualnych studentów o podstawy mechaniki pękania, ograniczony dostęp do odpowiedniej literatury polskojęzycznej, a także chęć Autora uporządkowania własnych notatek i przemyśleń czynionych od wielu lat i udostępnienie ich w formie książkowej studentom, pracownikom naukowym oraz wszystkim zainteresowanym poruszoną w nim tematyką. Warto w tym miejscu wspomnieć, że pierwsza i jak dotąd jedyna polskojęzyczna obszerna monografia dotycząca mechaniki pękania, autorstwa A. Neimitza, została wydana 0 lat temu. Liczba polskich skryptów, a także podręczników jest bardzo skromna i dalece niewystarczająca. Pewien wkład w ten dorobek ma również Autor, który w 004 r. wydał wraz z dr M. Biel-Gołaską książkę pt. Podstawy i zastosowanie mechaniki pękania w zagadnieniach inżynierskich. Obecna praca Autora jest znacznie rozszerzoną wersją poprzedniej, w tej części, która była jego wyłącznego autorstwa, zawiera także nowe treści.

12 1 Od Autora Swego czasu udostępniłem niniejszą publikację w formie elektronicznej na mojej stronie internetowej. Okazało się wkrótce, że jest ona często cytowana w publikacjach naukowych, a także chętnie wykorzystywana przez zarówno praktyków, jak i naukowców, o czym dowiadywałem się z korespondencji owej, jak i podczas, najczęściej przypadkowych, rozmów z wieloma osobami z tzw. branży. Stanowiło to dla mnie wystarczającą pokusę, aby wydać pracę w tradycyjnej formie papierowej, wbrew nowym trendom publikacyjnym opartym na przekazie elektronicznym, którym i ja niestety ulegam. Niniejsza książka stanowi w pewnej mierze odzwierciedlenie mojego wykładu z mechaniki pękania, prowadzonego na Wydziale Inżynierii Lądowej Politechniki Krakowskiej na nieistniejącej już specjalności Mechanika Komputerowa, a następnie na specjalności Mechanika Materiałów i Konstrukcji Budowlanych. Obecnie mechanika pękania włączana jest do programu studiów w ramach wytrzymałości materiałów na obu stopniach studiów, choć w bardzo ograniczonym wymiarze. Autor wyraża jednak nadzieję, że w niezbyt odległej przyszłości ten stan się poprawi i mechanika pękania, jeżeli nie jako oddzielny przedmiot, to z pewnością jako integralna część wykładu z wytrzymałości materiałów będzie przybliżana studentom, zwłaszcza na drugim, magisterskim stopniu studiów. Jakkolwiek książka pomyślana jest przede wszystkim dla środowiska akademickiego, to zdaniem autora może ona być przydatna także dla innych osób, które w swej praktyce zetkną się z zagadnieniami pękania, a nie dysponują odpowiednią wiedzą na ich temat, bowiem jego zawartość pozwala na podjęcie samodzielnych studiów w tym zakresie. Powstanie niniejszej pracy nie byłoby możliwe, gdyby nie tradycja w zakresie publikowania skryptów, podręczników i monografii, od wielu lat obowiązująca w Zakładzie (kiedyś Katedrze) Wytrzymałości Materiałów Wydziału Inżynierii Lądowej Politechniki Krakowskiej. Rozpoczął ją wieloletni szef Katedry prof. S. Piechnik pisząc znakomite podręczniki wytrzymałości materiałów i teorii prętów cienkościennych, a kontynuowali prof. M. Chrzanowski wraz ze współpracownikami (nowoczesne książki nt. reologii ciał stałych), dr A. Bodnar (ceniony podręcznik wytrzymałości materiałów), a także Autor niniejszej pracy, który opublikował obszerny podręcznik na temat mechaniki kompozytów włóknistych. Mam nadzieję, że książka przekazana właśnie do dyspozycji czytelników będzie stanowiła wartościową kontynuację tego cyklu wydawniczego. Z nadzieją na życzliwy odbiór książki, Autor Kraków, maj 018

13 ROZDZIAŁ 1 1 WPROWADZENIE Podstawowym zadaniem inżynierii jest ocena zdolności konstrukcji do przenoszenia obciążeń. Nie jest ona możliwa bez znajomości charakterystyk wytrzymałościowych materiału, z którego konstrukcja jest wykonana. Mogą one być wyznaczone doświadczalnie lub określone na podstawie analizy budowy wewnętrznej materiału. Pierwszy z tych sposobów jest podejściem czysto empirycznym, a więc i obarczonym błędami związanymi z warunkami w jakich przeprowadzany jest eksperyment. Mimo to jest to sposób stosowany najczęściej przede wszystkim ze względu na stosunkowo proste sposoby określania charakterystyk wytrzymałościowych, zaś błędy pomiarowe można zminimalizować poprzez odpowiednią obróbkę statystyczna wyników doświadczalnych. Drugi sposób wydaje się być bardziej "naukowy" i jest zazwyczaj niezwykle żmudny, jeśli weźmiemy pod uwagę całą złożoność budowy materii. Może on jednak dawać ogólny pogląd na charakterystyki materiału będące przedmiotem zainteresowania. Niech za prosty przykład posłuży tu analiza sił pomiędzy dwoma tylko atomami (Rys. 1.1) przytoczona za [1.]. F r F a F a F r a. s o F F r F a F a F r F b. s=s o +δ Rys Równowaga układu dwóch atomów

14 14 Wprowadzenie Na taki układ atomów działają zarówno siły przyciągające F a i odpychające F r, które maleją wraz ze wzrostem odległości między atomami: F C s a r a = F n r m C = (1.1) s przy czym m >n (typowe wartości to: n =5, m =10). W położeniu równowagi (Rys. 1.1a) mamy s =s i F o a =F r skąd otrzymujemy zależność: s C r o = Ca 1 m n (1.) Jeśli układ ten obciążymy układem dwu sił F (Rys. 1.1b) to z warunku równowagi sił, tzn. F = F a F r i po wykorzystaniu (1.1) i (1.) otrzymamy: n C a so so F = n so s s m (1.3) Wprowadzając oznaczenie: δ= s s o mamy: n C a δ δ F = 1 1 n + + so s o s o m (1.4) Wykres zależności F - δ pokazano na Rys. 1.. W istocie, widać, że dla małych δ/so otrzymujemy: C a δ δ Ca F = n n + + n 1 ( m n) δ so so so s + o (1.5) a więc wykres ten można (dla małych δ/so) przybliżyć prostą, podobnie jak to obserwujemy w przypadku rozciągania większości materiałów konstrukcyjnych. Krzywa F - δ ma maksimum w punkcie δ = δ o, który wyznaczamy przez przyrównanie do zera pochodnej z wyrażenia (1.4):

15 Janusz German: Wprowadzenie do mechaniki pękania 15 δ = s o o m n 1 m n 1 (1.6) Wartość siły odpowiadająca temu przemieszczeniu wynosi: F C m m s n n n m n a max = n o m m n (1.7) F F m B R A e, δ δ ο Rys. 1.. Zależność siły od odległości między dwoma atomami Jest ona, jak wykazują doświadczenia, znacznie większa od sił rzeczywistych, jakie mogą być przeniesione przez materiału. Tym niemniej, charakter wykresu F - δ odpowiada dobrze charakterowi wykresu rozciągania i nawet powyższa prosta analiza dobrze oddaje jakościowy związek siła-przemieszczenie. Jeśli więc wprowadzić umowne definicje naprężenia i odkształcenia: def F = ; A s s s def e= o = o d s o to wykres na Rys. 1. można teraz aproksymować sinusoidą (Rys. 1.3): s=s sin πε (1.8) R gdzie: R jest największym naprężeniem jakie może materiał przenieść, a więc jego wytrzymałością.

16 16 Wprowadzenie Traktując nachylenie stycznej do tego wykresu w punkcie e=0 jako moduł Younga: d s E = = πsr cos πε = πs d ε= 0 ε ε= 0 otrzymujemy następujące oszacowanie wytrzymałości materiału: E R = (1.9) π z którego wynika, że o jest ona tylko o jeden rząd niższa od wartości modułu Younga. W materiałach rzeczywistych jednak różnica ta wynosi dwa do trzech rzędów wielkości ( R E). R F F M R aproksymacja 1/4 e δ ο δ Rys Aproksymacja związku - e Również wartość odkształcenia e R =1/4 w chwili osiągnięcia wytrzymałości jest znacznie większa od odkształcenia dla większości materiałów, które nie przekracza kilku procent. Tym niemniej i ten wykres jest dobrym przybliżeniem - w sensie jakościowym - rzeczywistych procesów i może na przykład być wykorzystany do obliczenia energii γ (na jednostkę objętości) uwalniającej się w procesie zniszczenia (rozumianego jako spadek naprężeń po osiągnięciu przez nie wartości maksymalnej). Energia ta jest reprezentowana na Rys. 1.3 przez zakreskowaną powierzchnię wykresu - e, którą łatwo w przybliżeniu obliczyć:

17 Janusz German: Wprowadzenie do mechaniki pękania s R γ= sdε sdε= sr sin πεdε= π (1.10) Tak więc zmniejszenie wytrzymałości materiału w stosunku do wytrzymałości teoretycznej jest związane z obecnością - w zasadzie nieuniknioną - różnorakich defektów, które Yokobori [1.5] dzieli na defekty I i II rodzaju. Defekty I rodzaju to w jego rozumieniu wszelkiego typu koncentratory naprężeń w postaci ostrych szczelin, bądź wycięć (karbów) o dowolnym kształcie - są to zatem defekty o charakterze geometrycznym, niezwiązane ze strukturą i budową materiału. Przez defekty II rodzaju rozumie się koncentratory naprężeń w formie dyslokacji, pustek rozlokowanych wzdłuż granic sąsiednich ziaren, wtrąceń obcego materiału (np. węgiel w metalach) wywołujących naprężenia kontaktowe oraz wszystkie inne defekty wewnętrznej budowy materiału. Defekty I rodzaju, które można nazwać makroskopowymi stanowią przedmiot zainteresowania teoretyków, jak i praktyków od lat dwudziestych naszego stulecia. Choć już wcześniej zdawano sobie sprawę z faktu występowania koncentracji naprężeń wokół otworów czy karbów, to jednak rozwiązania teorii sprężystości prowadziły do absurdalnych wniosków jeśli geometria tych makroskopowych defektów stawała się osobliwa w tym sensie, że promień krzywizny wycięcia czy karbu zmierzał do zera ("ostra szczelina"). W takim bowiem przypadku wartości naprężeń, wyznaczone metodami teorii sprężystości, zmierzały do nieskończoności niezależnie od wartości przyłożonego obciążenia; tak więc dowolnie małe obciążenie konstrukcji zawierającej szczelinę mogło spowodować przekroczenie wytrzymałości materiału i zniszczenie. W rzeczywistości jednak wiadomo było, że konstrukcje mogą zawierać szczeliny o długości mniejszej od pewnej długości krytycznej zależnej od obciążenia. Za początek analizy ciał z defektami makroskopowymi uważa się publikację Griffith'a [1.1] z roku 190, opierającą się na wcześniejszej analitycznej pracy Inglisa [1.3], dotyczącej obciążenia krytycznego dla pasma sprężystego osłabionego otworem eliptycznym, poddanego jednoosiowemu równomiernemu rozciąganiu (Rys. 1.4). Dla b 0 maksymalne naprężenia y występują na brzegu otworu (x=l) i wynoszą: l y = 1+ b (1.11)

18 18 Wprowadzenie y y b x l Rys Rozciągane pasmo z otworem eliptycznym Jeśli b 0, to y : przypadek ten odpowiada występowaniu w ciele szczeliny, która w sposób formalny jest zdefiniowana w mechanice ciała stałego jako powierzchnia, na której występuje nieciągłość przemieszczeń. W istocie, dla b=0 płaszczyzną taką jest płaszczyzna szczeliny (-l x l, y = 0, -t z t, gdzie t jest grubością rozciąganego pasma) i dla niej zachodzi warunek: def def + v( y = 0 + dy) = v v( y = 0 dy) = v gdzie: v jest przemieszczeniem wzdłuż osi y. W drugim skrajnym przypadku b=l otrzymujemy: = 3 y co jest znanym wzorem Kirscha [1.4] określającym koncentrację naprężeń w rozciąganym paśmie zawierającym otwór kołowy. Wzory otrzymane przez Inglisa dla naprężenia y i przemieszczenia v dla b=0 oraz x=0 (a więc w płaszczyźnie szczeliny) mają postać: 1 y =, v=0 dla x l x x x l l l (1.1a) p 1 ( ν ) y = 0, v= l x dla x l (1.1b) E

19 Janusz German: Wprowadzenie do mechaniki pękania 19 Podstawą rozumowania Griffith'a jest bilans energetyczny, zgodnie z którym praca związana z rozwarciem szczeliny (tożsama ze zmniejszaniem się energii potencjalnej przy nieskończenie małym przyroście długości pęknięcia, a zatem w momencie inicjacji) Π wynosi: 1 Π= l v dx (1.13) l lub po podstawieniu (1.1b) i wycałkowaniu: πl Π= ( 1 ν ) (1.14) E gdzie: mnożnik jest związany z pracą wykonaną na przemieszczeniu obu brzegów szczeliny, zaś mnożnik 1/ wynika ze sprężystego zachowania się materiału. Praca Π jest równoważona przez pracę W niezbędną do utworzenia się wewnątrz ciała swobodnej powierzchni: W = 4lγ (1.15) gdzie: γ jest energią potrzebną do utworzenia jednostki swobodnej powierzchni, a mnożnik 4l wynika z faktu, że szczelina ma dwie jednostkowe powierzchnie l. Bilans energetyczny ilustruje Rys. 1.5, na którym pokazano też wykres całkowitej energii W: U = W +Π (1.16) Widać, że funkcja W(l) osiąga maksimum dla pewnej wartości l kr, którą wyznaczyć można z warunku: du dl = l lkr = 0 (1.17) lub po uwzględnieniu (1.16): dw dl dπ = (1.18) dl l= lkr l= lkr Warunek ten po uwzględnieniu (1.14) i (1.15) przyjmuje postać:

20 0 Wprowadzenie π 1 ν = 4 γ (1.19) E ( ) skąd otrzymujemy krytyczną długość szczeliny dla zadanego obciążenia : l kr l kr E γ = (1.0) π ν ( 1 ) Wzór ten może posłużyć również do wyznaczenia krytycznego obciążenia kr dla zadanej długości szczeliny l : = kr E γ πl ( 1 ν ) (1.1) energia W energia powierzchniowa + U energia całkowita długość szczeliny l - Π energia potencjalna prędkość energii G R= γ prędkość uwalniania energii potencjalnej prędkość zmiany energii powierzchniowej l kr długość szczeliny l Rys Bilans energetyczny rozwarcia szczeliny wg Griffith'a Oba powyższe wzory wyrażają podstawową ideę Griffith'a, a mianowicie tę, że propagacja szczeliny następuje gdy spełniony jest warunek:

21 Janusz German: Wprowadzenie do mechaniki pękania 1 π l = K c (1.) gdzie: K c = E γ 1 ν (1.3) jest stałą materiałową i nazywa się odpornością materiału na pękanie. Tak więc teoria Griffith'a jest oparta na koncepcji wprowadzenia nowej stałej materiałowej, charakteryzującej wytrzymałość materiału. Na koniec zauważmy, że teoria Griffith'a opisuje lawinowy wzrost szczeliny po przekroczeniu przez obciążenie wartości krytycznej. W istocie - ze wzoru (1.1) widać, że wraz ze wzrostem długości szczeliny maleje wartość obciążenia krytycznego, a więc potrzebnego do jej propagacji. Tak więc jeśli tylko obciążenie osiągnie wartość krytyczną, zostanie zapoczątkowany lawinowy ruch szczeliny. Przytoczone tutaj rozwiązanie Griffith'a (podane powyżej wzory obowiązują dla płaskiego stanu odkształcenia, dla płaskiego stanu naprężenia należy w nich pominąć mnożnik (1-ν )) ma obecnie znaczenie tylko historyczne, tym niemniej zawiera wszystkie elementy współczesnej teorii zniszczenia ciał idealnie sprężystych (jest to tzw. liniowo-sprężysta mechanika pękania), omówionej w rozdz.. W szczególności wynika z niego, że pomimo osobliwości w wierzchołku szczeliny typu x -1/, można zdefiniować kryterium pękania, określające warunki, przy których nie nastąpi zniszczenie konstrukcji w wyniku propagacji szczeliny, a więc można zaprojektować ją w sposób bezpieczny. Mechanika pękania wyróżnia 3 możliwe typy obciążenia szczelin (niekiedy mówi się niezupełnie poprawnie o typach szczelin), w zależności od sposobu w jaki przemieszczają się brzegi szczeliny na skutek działającego obciążenia - przedstawiono je na Rys TYP I TYP II TYP III Rys Typy obciążenia szczelin

22 Wprowadzenie Typy obciążenia szczelin pokazane na Rys. 1.6 noszą następujące nazwy: typ I - rozrywanie; powierzchnie szczeliny rozchodzą się w kierunku prostopadłym do frontu szczeliny. typ II - poprzeczne ścinanie; powierzchnie szczeliny ślizgają się po sobie w kierunku prostopadłym do frontu szczeliny. typ III - podłużne ścinanie; powierzchnie szczeliny przesuwają się po sobie w kierunku równoległym do frontu szczeliny. Każdemu z typów obciążenia szczeliny odpowiada pole naprężeń w postaci: K T T T ij = f ij( θ ) T = I, II, III π r (1.4) gdzie: r i θ są współrzędnymi biegunowymi o początku umieszczonym w wierzchołku szczeliny, zaś K T nosi nazwę współczynnika intensywności naprężeń (WIN) dla danego typu obciążenia szczeliny.

23 ROZDZIAŁ POLE NAPRĘŻEŃ W LINIOWO SPRĘŻYSTYM OŚRODKU ZE SZCZELINĄ.1 PODSTAWOWE RÓWNANIA TEORII SPRĘŻYSTOŚCI W celu łatwiejszego zrozumienia treści niniejszego rozdziału, celowe jest zdaniem autora przypomnienie czytelnikom podstawowego kompletu równań rządzących zagadnieniem brzegowym liniowej teorii sprężystości, wykorzystywanego oczywiście również w zagadnieniach mechaniki pękania. Lokalne równania równowagi (rów. Naviera): 11, 1 + 1, + 13, 3 + X 1 = 0 1, 1 +, + 3, 3 + X = 0 gdzie: 31, 1 + 3, + 33, 3 + X 3 = 0 11,, 33 - naprężenia normalne, pozostałe to naprężenia styczne. Symbol ij, j oznacza pochodną cząstkową naprężenia ij względem zmiennej x j. Współrzędne wektora sił masowych oznaczono jako X 1, X i X 3. Liniowe równania geometryczne (rów. Cauchy ego). ε 11 = u1,1 ε = u, ε 33 = u3,3 ε = 1 u + u ( ) 1 1,,1

24 4 Pole naprężeń w liniowo sprężystym ośrodku ze szczeliną gdzie: 1 ε = u + u ( ) 13 1,3 3,1 ε = 1 u + u ( ) 3,3 3, e 11, e, e 33 odkształcenia liniowe, pozostałe to odkształcenia kątowe. Wielkości u i oznaczają współrzędne wektora przemieszczenia. Symbol u i, j oznacza pochodną cząstkową przemieszczenia u i względem zmiennej x j. Równania fizyczne liniowej teorii sprężystości (rów. Hooke a) U podstaw konstrukcji równań liniowej teorii sprężystości leży jawna zależność odkształceń od naprężeń, liniowy związek między odkształceniami i naprężeniami oraz znikanie odkształceń po usunięciu obciążenia zewnętrznego. Uwzględniając ponadto jednorodność i izotropię materiału (tzn. identyczne własności materiału w każdym punkcie i w każdym kierunku) równania fizyczne można zapisać następująco: 1 ε = E +ν ν + + ( 1 ) ( ) ε = E +ν ν + + ( 1 ) ( ) ε = E +ν ν + + ( 1 ) ( ) ν E ε 1 = lub też po odwróceniu powyższych relacji w postaci: 1+ν 1+ν ε = ε 3 = 3 E E ( ) = G ε +λ ε +ε +ε ( ) = G ε +λ ε +ε +ε 11 33

25 Janusz German: Wprowadzenie do mechaniki pękania 5 ( ) = G ε +λ ε +ε +ε = G ε 1 13 = G ε 13 3 = G ε 3 gdzie: G - moduł ścinania, E - moduł Younga, ν - współczynnik Poisson a, λ - stała Lame go. Płaski stan naprężenia (PSN) x 1 x Płaski stan odkształcenia (PSO) Płaski stan naprężenia to taki stan, dla którego wszystkie jego składowe leżą w jednej płaszczyźnie, np. (x 1, x ). PSN występuje zawsze na powierzchni ciała, a także w elementach, których grubość jest znacznie mniejsza od pozostałych dwóch jego wymiarów (np. blachy). Częstym przypadkiem jest również tzw. pseudopłaski stan naprężenia, w którym dodatkowo niezerowe jest naprężenie normalne 33, prostopadłe do płaszczyzny (x 1, x ). Płaski stan odkształcenia (PSO) to taki stan, w którym wszystkie jego składowe leżą w jednej płaszczyźnie, np. (x 1, x ). Niezerowe są wówczas jedynie składowe e 11, e i e 1. PSO występuje z reguły w ciałach, których grubość jest porównywalna z pozostałymi wymiarami. Częstym przypadkiem jest również tzw. pseudopłaski stan odkształcenia, w którym dodatkowo niezerowe jest odkształcenie liniowe e 33. Płaskiemu stanowi naprężenia odpowiada pseudopłaski stan odkształcenia i odwrotnie - płaskiemu stanowi odkształcenia odpowiada pseudopłaski stan naprężenia. Przykładowo - dla PSO zachodzą warunki e 33 =0, e 13 =0, e 3 =0. Z równań Hooke a otrzymujemy wówczas: 33 = ν ( 11 + ) 13 = 0 3 = 0 a zatem pseudopłaski stan naprężenia. Przypadki PSO i PSN noszą łącznie nazwę dwuwymiarowych zagadnień teorii sprężystości.

26 6 Pole naprężeń w liniowo sprężystym ośrodku ze szczeliną. PODSTAWY RACHUNKU ZMIENNYCH ZESPOLONYCH Wyznaczenie pól naprężeń, odkształceń i przemieszczeń wokół wierzchołka szczeliny matematycznej (tj. powierzchni, na której występuje nieciągłość funkcji przemieszczeń) jest zadaniem trudnym, wymagającym stosowania zaawansowanych metod matematycznych. Jedną z nich jest teoria zmiennych zespolonych użyta w zagadnieniach mechaniki pękania przez Muskheliszwili'ego [.7] i Westergaarda [.1,.13]. Poniżej naszkicujemy podstawy tej metody, rozpoczynając od krótkiego wprowadzania do rachunku zmiennych zespolonych. Zmienną zespoloną z zmiennych rzeczywistych x 1, x nazywamy zmienną w postaci: z= x1+ ix (.1) gdzie: x 1 oznacza część rzeczywistą, x część urojoną zmiennej zespolonej z, zaś i jednostkę urojoną, określoną jako: def i = 1 (.) Zmienną z można także - korzystając ze współrzędnych biegunowych (r,θ ) - zapisać w tzw. postaci trygonometrycznej: z i = re θ (.3) Niech f(z) oznacza dowolną funkcję analityczną zmiennej z. Pochodne cząstkowe tej funkcji względem zmiennych rzeczywistych x 1, x wynoszą: f z z d f ( z) = = f = f ( z) = x z x x x dz f z z f z f if z x z x x ( ) = = = ( ) (.4) (.5) Zapiszmy funkcję f(z) w następującej postaci: f ( z) =α+ i β (.6) gdzie: α i β są funkcjami rzeczywistymi zmiennych rzeczywistych x 1, x, przy czym:

27 Janusz German: Wprowadzenie do mechaniki pękania 7 ( z) α= Re f (.7) ( z) β= Im f (.8) Pochodne (.4) i (.5) po wykorzystaniu (.6) przyjmują postaci: α β f z i f z x x x ( ) = + = ( ) (.9) α β f ( z ) = + i = if ( z) (.10) x x x Wstawiając rów. (.9) do (.10) i porównując części rzeczywiste oraz urojone otrzymanej równości, otrzymujemy następujące zależności: α = β = x x x x ( Re f ) ( Im f ) 1 1 α = β = x x x x ( Re f ) ( Im f ) 1 1 (.11) (.1) Równania (.11) I (.1) noszą nazwę warunków Cauchy'ego - Riemanna. Elementarne przekształcenia tych warunków prowadzą do następujących równań: α α + = α= x x (.13a) β β + = β= x x (.13b) Tak więc zarówno część rzeczywista α, jak i urojona β dowolnej funkcji analitycznej muszą być funkcjami harmonicznymi; noszą one nazwę sprzężonych funkcji harmonicznych. Ta własność funkcji analitycznej odgrywa podstawową rolę przy wyznaczaniu pola naprężeń w pobliżu wierzchołka szczeliny metodą Westergaarda, bazującą na funkcjach naprężeń Airy'ego.

28 8 Pole naprężeń w liniowo sprężystym ośrodku ze szczeliną.3 FUNKCJA NAPRĘŻEŃ DLA DWUWYMIAROWYCH ZAGADNIEŃ TEORII SPRĘŻYSTOŚCI W dwuwymiarowych zagadnieniach teorii sprężystości często stosowaną metodą określania stanu naprężenia jest metoda oparta na funkcji naprężeń Airy'ego 1 Φ, związanej ze składowymi stanu naprężenia zależnościami : 11 =Φ, =Φ, 11 (.14) 1 = Φ, 1 Można wykazać (dowód pozostawiamy czytelnikowi), że warunkiem koniecznym aby dowolna funkcja była funkcją naprężeń musi ona spełniać równanie biharmoniczne: 4 Φ= 0 (.15) które jest równaniem nierozdzielności odkształceń wyrażonym poprzez naprężenia w postaci (.14). Spełnione muszą być ponadto równania równowagi (Naviera) oraz warunki brzegowe odpowiednie dla danego zagadnienia. Twierdzenie 1 Każda funkcja postaci: Φ=ψ + x ψ + x ψ (.16) jest funkcją naprężeń, jeżeli ψ 1, ψ, ψ 3 są funkcjami harmonicznymi. Dowód: Nałóżmy na funkcję x 1 ψ operator Laplace'a. Otrzymamy wówczas po prostych przekształceniach i wykorzystaniu założenia o harmoniczności funkcji ψ następujące równanie: 1 Pod pojęciem dwuwymiarowych zagadnień teorii sprężystości rozumie się zagadnienie płaskiego stanu naprężenia lub płaskiego stanu odkształcenia. Funkcja naprężeń Airy'ego dotyczy zasadniczo PSN, jednakże może także być wykorzystana w warunkach PSO. Zakładając dla przykładu, że odkształcenia zachodzą jedynie w płaszczyźnie (x 1,x ) mamy e 13 =e 3 =e 33 =0. Korzystając z prawa Hooke'a otrzymujemy zerowe naprężenia styczne 13 i 3, zaś naprężenie normalne 33 =ν ( 11 + ) (z tego powodu stan naprężenia odpowiadający PSO określa się mianem pseudopłaskiego stanu naprężenia). Tak więc nawet w warunkach PSO znajomość naprężeń 11, i 1 - możliwych do uzyskania poprzez funkcję Airy'ego - jest wystarczająca do pełnego opisu stanu naprężenia stanu naprężenia lub płaskiego stanu odkształcenia.

29 Janusz German: Wprowadzenie do mechaniki pękania 9 ψ ψ + ( x1 ψ ) = ψ + x1 + x1 = ψ,1 x1 x x 1 x 1 x x (.17) Ponowne użycie laplasjanu na rów. (.17) prowadzi do zależności: 4 ψ ( x1 ψ ) = + = ( ψ ) = 0 x1 x x1 x1 (.18) Wykazaliśmy zatem, że funkcja x 1 ψ spełnia równanie biharmoniczne, może tym samym być funkcją naprężeń. W analogiczny sposób dowodzi się, że funkcją naprężeń może być funkcja x ψ 3. Westergaard [.13] wprowadził funkcję naprężeń Φ w ogólnej postaci: gdzie: ( z) x Im ( z) Φ= Re ϕ + ϕ (.19) def def dϕ dϕ ϕ ( z) = ϕ= ( z) dz ( z) dz ϕ ϕ = (.0 a, b) dz def def dϕ dϕ ϕ ( z) = ϕ= ( z) dz ( z) dz ϕ ϕ = (.1 a, b) dz ϕ jest funkcją analityczną zmiennej zespolonej. Korzystając z tego, że funkcje ϕ, ϕ są również funkcjami analitycznymi oraz z wykazanej uprzednio harmoniczności tak części rzeczywistej, jak i urojonej funkcji analitycznej, stwierdzamy, że funkcja Westergaarda (.19) jest zgodna z ogólną postacią funkcji naprężeń (.16) - jest zatem także funkcją naprężeń. Można to także wykazać bezpośrednio - wystarczy udowodnić, że Re ϕ, Im ϕ są funkcjami harmonicznymi. Korzystając z warunków Cauchy'ego - Riemanna otrzymujemy: Re ϕ Im ϕ = x x 1

30 30 Pole naprężeń w liniowo sprężystym ośrodku ze szczeliną Re ϕ Im ϕ = x x 1 Różniczkując pierwsze z równań wzg. x 1, a drugie wzg. x i dodając stronami, otrzymamy: Zachodzą także związki: ( ) ϕ = Re 0 Re ϕ Im ϕ = x x 1 Re ϕ Im ϕ = x x 1 Różniczkując pierwsze z równań wzg. x, a drugie wzg. x 1 i odejmując stronami, otrzymamy: ( ) ϕ = Im 0 Korzystając z funkcji Westergaarda (.19) wyznaczymy obecnie składowe stanu naprężenia w płaszczyźnie (x 1, x ), określone przez związki (.14). Φ d Φ = Re ϕ+ x Im ϕ x dz 1 (.) Φ d dφ = = Re x = ϕ+ Im ϕ x1 dz dz (.3) ( x ) Φ Im Re = Re ϕ+ Im ϕ = ϕ + Im ϕ+ x ϕ = x x x x 1 1 dϕ dϕ = Im + Im ϕ+ x Re = Im ϕ+ Im ϕ+ x Re ϕ= xre ϕ dz dz (.4)

31 Janusz German: Wprowadzenie do mechaniki pękania 31 Φ Re Im 11 ( x Re ) Re x ϕ Re x ϕ x x x x1 = = ϕ = ϕ+ = ϕ = d ϕ = Re ϕ x Im = Re ϕ xim ϕ (.5) dz Φ Re ϕ 1 ( x Re ) x x x1 x x1 x1 = = ϕ = = Re ϕ (.6) Tak więc ostatecznie składowe stanu naprężenia mają postaci: = Re ϕ x Im ϕ 11 = Re ϕ+ x Im ϕ (.7) = x Reϕ 1 Tak określone naprężenia spełniają nie tylko równanie nierozdzielności odkształceń, ale również równania równowagi (dowód pozostawiamy czytelnikowi). Składowe wektora przemieszczenia w płaszczyźnie (x 1, x ) zależą od tego czy analizowany ośrodek znajduje się w PSO, czy też PSN. Różnice są jedynie ilościowe, a równania opisujące te składowe można zapisać formalnie we wspólnej postaci: gdzie: κ 1 Gu1( x1, x) = Re ϕ( z) x Im ϕ ( z) (.8) κ+ 1 Gu( x1, x) = Im ϕ( z) x Re ϕ ( z) (.9) E G = ; 1 +ν 3-4ν dla PSO κ= 3-ν (.30) dla PSN 1 +ν W celu uzyskania zależności (.8) i (.9) należy wykorzystać związki fizyczne liniowej teorii sprężystości (rów. Hooke'a) oraz liniowe równania geometryczne (rów. Cauchy'ego).

32 3 Pole naprężeń w liniowo sprężystym ośrodku ze szczeliną Dla zilustrowania metody wyznaczania przemieszczeń załóżmy, że analizowany jest PSO i interesuje nas składowa u 1 wektora przemieszczenia. Z równań fizycznych otrzymujemy dla PSO: 1 ε = E +ν ν + + ( 1 ) ( ) ( ) ε = 0 =ν ε = ( 1 ) G ν ν Do ostatniego równania podstawiamy naprężenia (.7) - otrzymujemy wówczas: 1 e 11 = ( 1 ) ( Re x Im ) ( Re x Im ) G ν ϕ ϕ ν ϕ+ ϕ = Równanie Cauchy'ego ma postać: 1 = ( 1 ν) Re ϕ x Im ϕ G u ε = u = ε dx x1 1 u1 = ( 1 ν) Re ϕ dx1 x Im ϕ dx 1 G Uwzględniając związki (.0) i (.1) odpowiednie całki wynoszą: Re ϕ Re ϕ dx = dx = Re ϕ x Im ϕ Im ϕ dx = dx = Im ϕ x 1 1 1

33 Janusz German: Wprowadzenie do mechaniki pękania 33 Wykorzystując powyższe zależności przemieszczenie jest określone związkiem: 1 u1 = ( 1 ) Re xim G ν ϕ ϕ Z rów. (.30) dla PSO dostajemy: 3 κ ν= Ostatecznie zatem przemieszczenie u 1 przyjmuje postać: κ 1 Gu1 = Re ϕ z xim ϕ z ( ) ( ) W analogiczny sposób otrzymuje się rów. (.9)..4 ZASTOSOWANIE FUNKCJI NAPRĘŻEŃ WESTERGAARDA DO ANALIZY STANU NAPRĘŻENIA I PRZEMIESZCZEŃ W POBLIŻU WIERZCHOŁKA SZCZELINY.4.1 Szczelina w I typie obciążenia w paśmie nieskończonym. Uzyskane w poprzednim rozdziale rezultaty oparte na koncepcji funkcji naprężeń w postaci zaproponowanej przez Westergaarda zostaną obecnie wykorzystane do wyznaczenia pola naprężeń i przemieszczeń wywołanych obecnością szczeliny. Rozpatrywane jest zagadnienie płaskiego ciała o nieograniczonych wymiarach zawierającego szczelinę o długości l, poddanego działaniu równomiernego dwuosiowego rozciągania obciążeniem o stałej wartości, przyłożonym w nieskończoności i leżącym w płaszczyźnie ciała. Rozpatrywany jest więc I typ obciążenia szczeliny, zwany "oderwaniem", bądź "rozwarciem". Geometria zadania pokazana jest na Rys..1. Warunki brzegowe dla analizowanego zagadnienia szczeliny można zapisać następująco: 1. x x1 l 1 dla = 0; < = 0, = 0. dla x 0; x1 l = >> (.31)

34 34 Pole naprężeń w liniowo sprężystym ośrodku ze szczeliną 3. dla x 0; x1 = ± Funkcją naprężeń spełniającą warunki (.31) jest funkcja : ϕ= z z l (.3) Spełnienie warunków i 3 jest natychmiast widoczne. W celu sprawdzenia warunku 1 zapiszmy funkcję naprężeń (dla x = 0) w postaci: x1 x1 x1 ϕ= = = i x l 1 l x l x (.33) x 1 r θ 11 1 l x Rys..1. Szczelina w nieograniczonym paśmie, rozciąganym w nieskończoności. Funkcja w postaci (.33) ma więc niezerową jedynie część urojoną (warunek 1 dotyczy punktów spełniających zależność x 1 < l ). Naprężenia określone przez Paris i Sih [.8] podają, że dowolną funkcję Z, będąca funkcją analityczną w całej dziedzinie z wyjątkiem obszaru szczeliny określonego współrzędnymi x = 0, -b x 1 l, można przedstawić w postaci: Z = g( z) ( z+ b)( z l) W przypadku szczeliny wolnej od obciążeń działających na jej brzegu, dobierając funkcję g(z) tak, że w obszarze szczeliny Im g(z) = 0, funkcja Z pozwala uzyskać rozwiązanie zadania szczeliny także w jej obszarze. Dla b = l i g(z)= z - funkcja Z przyjmuje postać (.3).

35 Janusz German: Wprowadzenie do mechaniki pękania 35 (.7) z wykorzystaniem (.33) są zatem w obszarze szczeliny zerowe, a to oznacza spełnienie warunku brzegowego 1. Dalsze rozważania ograniczymy do obszaru przywierzchołkowego szczeliny. Jest to uzasadnione tym, że efekty wywołane obecnością szczeliny (np. silny wzrost naprężeń) mają charakter lokalny i koncentrują się w pobliżu wierzchołków szczeliny. Dokonajmy przesunięcia układu współrzędnych do wierzchołka szczeliny, jak pokazano na Rys... x y P z= x1+ ix r θ x x 1 η= x+ iy= z l l Rys... Transformacja układu współrzędnych do wierzchołka szczeliny. Postać trygonometryczna zmiennej zespolonej η, określającej położenie dowolnego punktu P w układzie biegunowym (r, θ ) jest następująca: ( cos sin ) ; η= = θ+ θ = + (.35) iθ re r i r x y Funkcja naprężeń (.3) wyrażona poprzez zmienną η ma postać: η η ϕ= l + 1 η l + l l 1 (.36) Warunek geometryczny ograniczający obszar analizy do sąsiedztwa wierzchołka można zapisać w postaci: η lim = 0 (.37) l x1 l x 0 Tak więc "lokalna" funkcja naprężeń (.36) przyjmuje po prostych przekształceniach postać:

36 36 Pole naprężeń w liniowo sprężystym ośrodku ze szczeliną ϕ= K I πη (.38) gdzie: KI = π l (.39) Po wykorzystaniu postaci trygonometrycznej (.35) zmiennej η, a także reguły pierwiastkowania liczby zespolonej 3 i prostych przekształceniach - otrzymujemy: K I θ θ ϕ= cos i sin π r (.40) W celu wyznaczenia naprężeń obliczmy wyrażenia występujące w (.7), poczynając od pochodnej ϕ'. Po zróżniczkowaniu funkcji (.38), wykorzystaniu wzoru Moivre'a 4 i po przekształceniach otrzymujemy: 1 K I 3 3 cos sin 3 i ϕ= θ θ π r (.41) Z zależności (.40) i (.41) wynikają następujące równości: K I θ Re ϕ= cos π r (.4) 1 KI 3 KI θ θ 3 x Im ϕ = r sin θ sin θ= sin cos sin θ 3 πr πr (.43) 1 K I 3 K I θ θ 3 x Re ϕ = r sin θ cos θ= sin cos cos θ 3 π r πr (.44) Ostatecznie, z równań (.7) określających naprężenia poprzez funkcję naprężeń otrzymujemy: 3 n z = n r n cos θ+ i sin θ = n r ( cos θ n+ i sin θ n) 4 ( ) n cos θ+ i sin θ = cos nθ+ i sin nθ

37 Janusz German: Wprowadzenie do mechaniki pękania 37 K I θ θ 3θ s 11 = cos 1 sin sin πr K I θ θ 3θ s = cos 1+ sin sin πr (.45) s = 1 K I πr θ θ 3θ sin cos cos 0 dla PSN s 33 = ν K ( 11 ) I θ ν s +s = cos dla PSO πr Pole naprężeń (.45) można wspólnie zapisać w postaci: = ij K I πr f ij ( θ) (.46) Irwin wykazał, że stan naprężenia opisany równaniem (.46) odnosi się do dowolnej konfiguracji szczeliny w I typie obciążenia i do dowolnego obciążenia. Tym co uwzględnia geometrię ciała ze szczeliną, długość szczeliny oraz rodzaj i sposób przyłożenia obciążenia jest współczynnik K I, noszący nazwę współczynnika intensywności naprężeń (WIN). Tak więc znajomość tego współczynnika jest wystarczająca do pełnego opisu stanu naprężenia w pobliżu wierzchołka szczeliny. W celu wyznaczenia przemieszczeń punktów położonych w obszarze w pobliżu wierzchołka szczeliny wykorzystamy równania (.8) i (.9). Wymagają one znajomości funkcji ϕ określonej związkiem (.0 b). W wyniku scałkowania funkcji naprężeń (.38) otrzymujemy: r θ θ ϕ= KI cos + i sin π (.47) Ostatecznie, po dość uciążliwych przekształceniach otrzymujemy z równań (.8) i (.9) przemieszczenia w postaci:

38 38 Pole naprężeń w liniowo sprężystym ośrodku ze szczeliną KI r θ u1 = cos κ cos θ G π ( ) (.48) KI r θ u = sin κ cos θ G π ( ) (.49) Ważnym parametrem z punktu widzenia stosowanych w mechanice pękania kryteriów zniszczeniowych jest rozwarcie brzegów szczeliny. Przemieszczenie powierzchni szczeliny można wyznaczyć z ogólnej postaci przemieszczenia u - rów. (.9). W obszarze szczeliny tzn. dla x =0, -l x 1 l funkcja naprężeń ma postać (.3). Funkcja ϕ otrzymana przez scałkowanie (.3) i zapisana dla obszaru szczeliny przyjmuje postać: ϕ= z l = i l x 1 (.50) Korzystając z (.9) i (.30), po prostych przekształceniach otrzymamy przemieszczenia brzegów szczeliny - Rys..3 - w postaci: u = c l x (.51) 1 gdzie: c - stała materiałowa zależna od tego czy analizowany jest PSN, czy PSO. Stała ta wynosi: ( ν ) 1 dla PSO c = E (.5) E dla PSN x u x 1 COD Rys..3. Rozwarcie brzegów szczeliny. Rys..3. Rozwarcie brzegów szczeliny. Maksymalne rozwarcie szczeliny COD (ang. Crack Opening Displacement) - Rys..3 - występuje w połowie długości szczeliny (x 1 =0) i wynosi:

39 Janusz German: Wprowadzenie do mechaniki pękania 39 COD = c l (.53) Zwróćmy jeszcze uwagę na kształt brzegu rozwartej szczeliny. Związek (.51) można łatwo przekształcić do równania: u C x + = (.54) l 1 1 które świadczy, że brzeg szczeliny przyjmuje kształt elipsy..4. Szczelina w II typie obciążenia w paśmie nieskończonym. Rozwiązanie dla szczeliny w II typie obciążenia - Rys..4 - w tarczy o nieskończonych wymiarach można uzyskać w analogiczny sposób jak dla I typu, korzystając z funkcji naprężeń w postaci: ϕ= i τ z z l (.55) τ x 1 τ r θ 11 1 l x 1 τ 1 11 τ 1 Rys..4. Szczelina II typu w paśmie nieskończonym. Stan naprężenia w pobliżu wierzchołka szczeliny opisują związki: K II θ θ 3θ s 11 = sin + cos cos π r

40 40 Pole naprężeń w liniowo sprężystym ośrodku ze szczeliną s = K II π r θ θ 3θ sin cos cos (.56) K II θ θ 3θ s 1 = cos 1 sin sin π r 0 dla PSN n K II θ sin dla PSO πr s 33 = n ( s 11 +s ) = Przemieszczenia punktów położonych w obszarze w pobliżu wierzchołka szczeliny wyrażają się związkami w postaci: KII r θ u1 = sin +κ+ cos θ G π ( ) (.57) KII r θ u = cos κ cos θ G π ( ) Współczynnik intensywności naprężeń ma postać: KII =τ π l (.58).4.3 Szczelina w III typie obciążenia w paśmie nieskończonym. Szczelinę w III typie obciążenia w nieskończonym paśmie sprężystym przedstawiono na Rys..5. Szczegóły rozwiązania tego zadania można znaleźć np. w monografii Gdoutosa [.3] (patrz także Przykład 1). Tutaj ograniczymy się jedynie do zacytowania rozwiązania. Niezerowe składowe stanu naprężenia i przemieszczenia w pobliżu wierzchołka szczeliny opisują związki: K III θ s 13 = sin π r (.59)

41 Janusz German: Wprowadzenie do mechaniki pękania 41 K III θ s 3 = cos πr KIII u3 = G r θ sin π (.60) KIII =τ π l (.61) τ x r θ l x 1 τ Rys..5. Szczelina III typu w paśmie nieskończonym..5 FUNKCJE NAPRĘŻEŃ I WSPÓŁCZYNNIKI INTENSYWNOŚCI NAPRĘŻEŃ DLA RÓŻNYCH PRZYPADKÓW SZCZELIN W I TYPIE OBCIĄŻENIA Funkcje naprężeń znane są dla wielu konfiguracji szczelina-ciało-obciążenie. Uzyskano je metodą Westergaarda lub met. Muskheliszwilego-Kołosowa bazującą na ogólnej postaci funkcji naprężeń odmiennej od tej stosowanej przez Westergaarda (rów. (.19)). Szczegóły metody Muskheliszwilego-Kołosowa można znaleźć w pracach [.5], [.7]. Uwzględniając, że rozkłady naprężeń w pobliżu wierzchołka szczeliny opisane są w każdym przypadku tą samą zależnością: = ij K I π r f ij ( θ) (.6) oraz to, że różnią się w zależności od zadania tylko postacią współczynnika intensywności naprężeń K I, dochodzimy do wniosku, że wystarczy znać związek

42 4 Pole naprężeń w liniowo sprężystym ośrodku ze szczeliną funkcji naprężeń ze współczynnikiem intensywności naprężeń aby w pełni opisać stan naprężenia. Funkcję naprężeń ϕ I w pobliżu wierzchołka szczeliny I typu (indeks przy funkcji naprężeń oznacza typ szczeliny) zawsze można przedstawić w ogólnej postaci : ϕ = I f ( η) η (.63) Uprzednio wykazaliśmy, że dla szczeliny w nieskończonym paśmie przyjmuje ona postać (patrz rów. (.38)): ϕ = I η 0 K I πη (.64) która jest szczególnym przypadkiem równania (.63). Z zależności (.64) otrzymujemy zatem formułę określającą współczynnik intensywności naprężeń w postaci: K I lim I η 0 = πη ϕ (.65) Poniżej podane będą funkcje naprężeń i współczynniki intensywności naprężeń dla różnych konfiguracji szczelin i obciążenia - czytelnik może potraktować sprawdzenie poprawności tych relacji (przypomnijmy, że w przypadku funkcji naprężeń muszą być spełnione równania równowagi, równanie nierozdzielności 4 ϕ I = 0 oraz warunki brzegowe, a w przypadku K I rów. (.65)) jako zadanie do samodzielnego rozwiązania. Nieskończone pasmo z nieskończonym szeregiem szczelin kolinearnych, obciążone równomiernym obciążeniem o wartości b b b x b x 1 b b l l l

43 Janusz German: Wprowadzenie do mechaniki pękania 43 ϕ = I π z s sin b π z πl sin sin b b (.66) K I b π l = πl tan π l b (.67) Nieskończone pasmo z nieskończonym szeregiem szczelin kolinearnych, obciążone siłami skupionymi P* przyłożonymi do powierzchni szczelin w połowie ich długości b b b x b b b P P P P P P l l l x 1 πl πl P sin sin b b ϕ I = 1 π z π z b sin sin b b 1/ (.68) K I = P π l b sin b (.69) * We wszystkich przykładach, w których występuje obciążenie w postaci siły skupionej P przyjmuje się, że jest to siła na jednostkę szerokości, tzn. jej wymiar jest [N/m], chyba że wyraźnie zazanaczono iż P ma wymiar [N].

44 44 Pole naprężeń w liniowo sprężystym ośrodku ze szczeliną Nieskończone pasmo ze szczeliną, której powierzchnia jest obciążona siłami skupionymi P przyłożonymi w odległości b od wierzchołka x B b P A l l P x 1 P l b ϕ I = (.70) π z b z l ( ) K I A = P l+ b π l l b (.71) K I B = P l b π l l+ b (.7) W przypadku gdy siła P przyłożona jest w połowie długości szczeliny tzn. b = 0, otrzymujemy: Pl ϕ I = (.73) π z z l K I = P π l (.74) Zauważmy, że w tym ostatnim przypadku współczynnik intensywności naprężeń maleje wraz ze wzrostem długości szczeliny. Zakładając, że dla danej długości l kr współczynnik K I osiąga wartość K Ic, przy której następuje propagacja szczeliny, a więc i wzrost jej długości, dochodzimy do wniosku, że wartość K I musi wówczas zmaleć. Gdy osiągnie wartość mniejszą od K Ic - propagacja szczeliny musi ustać; następuje zatem samoistne zahamowanie ruchu szczeliny. Nieskończone pasmo ze szczeliną, której powierzchnia jest obciążona dwiema parami sił skupionych P przyłożonymi w odległości b od wierzchołków szczeliny

45 Janusz German: Wprowadzenie do mechaniki pękania 45 P b x b P P l l P x 1 ϕ I = π Pz l b z l ( z b ) (.75) K I = P l b l π (.76) Nieskończone pasmo ze szczeliną, której powierzchnia jest obciążona obciążeniem ciągłym przyłożonym na odcinkach b x 1 l; x =0 x x 1 l b b l s ϕ I = π z b b z l arccos arcctg z l l z l b (.77) K I l = s arcsin π b l (.78)

46 46 Pole naprężeń w liniowo sprężystym ośrodku ze szczeliną Nieskończone, rozciągane pasmo ze szczeliną nachyloną pod kątem α do kierunku obciążenia α l l KI =s πl sin α (.79) KII =s πl sin α cos α (.8) Szczelina (lub szczeliny) wychodzące z brzegu otworu kołowego w paśmie nieskończonym, rozciąganym równomiernie (jednoosiowo lub dwuosiowo) x x 1 l R l l = π KI l F r (.81) Wartości funkcji F otrzymane przez Bowie'go [.1] zestawiono w poniższej tabeli.

47 Janusz German: Wprowadzenie do mechaniki pękania 47 l/r F(l/r) dla jednej szczeliny rozc. w kierunku x rozc. w kier. x 1 i x F(l/r) dla dwóch szczelin rozc. w kierunku x rozc. w kier. x 1 i x Wiele innych rozwiązań można znaleźć w tablicach współczynników intensywności naprężeń (np. Sih [.9], Murakami [.6])..6 WPŁYW SKOŃCZONYCH WYMIARÓW CIAŁA NA WARTOŚCI WSPÓŁCZYNNIKÓW INTENSYWNOŚCI NAPRĘŻEŃ Zagadnienie ciała o skończonych wymiarach o różnych konfiguracjach układu ciało-szczelina-obciążenie - z punktu widzenia zastosowań praktycznych - jest oczywiście ważniejsze od zadania ciała nieograniczonego ze szczeliną. Uzyskanie rozwiązań w formie zamkniętej jest jednak niemożliwe, toteż wszystkie istniejące rozwiązania zawierają pewne mnożniki liczbowe uwzględniające skończone wymiary ciała, najczęściej przedstawiane w formie tabel lub wykresów, rzadziej podawane jako zależności funkcyjne. Poniżej zestawiono wartości współczynników intensywności naprężeń dla najczęściej spotykanych konfiguracji szczelin i obciążenia. W kilku przypadkach podano dwie zależności, z których jedna stosowana jest w badaniach prowadzonych na próbkach normowych.

48 48 Pole naprężeń w liniowo sprężystym ośrodku ze szczeliną Szczelina centralna w paśmie rozciąganym l b K I π l =s π l sec (.8) b K I 3 l l l = π l b b b (.83) Szczelina krawędziowa w paśmie rozciąganym l b K I 3 4 l l l l = πl b b b b (.84) KI = 1.1 π l dla małych l/b (.85)

49 Janusz German: Wprowadzenie do mechaniki pękania 49 Dwie szczeliny krawędziowe w paśmie rozciąganym l b l K I 3 l l l = π l b b b (.86) KI = 1.1 π l dla małych l/b (.87) Belka trójpunktowo zginana siłą skupioną P [N] ze szczeliną krawędziową P W S l B K I PS l l l l l = BW W W W W W (.88) Belka zginana o skończonej szerokości ze szczeliną krawędziową M M W l B S

50 50 Pole naprężeń w liniowo sprężystym ośrodku ze szczeliną K I 3 4 6M l l l l = πl BW W W W W (.89) Tarcza o skończonej szerokości ze szczeliną boczną, rozciągana siłami skupionymi P[N] P l b B P 1 3 P l l K I = BW W W l l l W W W (.90).7 WYKORZYSTANIE ZASADY SUPERPOZYCJI DO WYZNACZANIA WSPÓŁCZYNNIKÓW INTENSYWNOŚCI NAPRĘŻEŃ. Wspomniano już, że rozkłady naprężeń dla danego typu szczeliny mają identyczną formę - są niezależne od konfiguracji układu ciało-szczelinaobciążenie, a tym co je różnicuje jest jedynie postać współczynnika intensywności naprężeń. Dzięki temu, w przypadku gdy mamy do czynienia z kombinacją różnych obciążeń, ale w obrębie tego samego typu szczeliny, współczynnik ten może być wyznaczony z zasady superpozycji. Prawdziwa jest zatem zależność: KT = KTp + KTq + KTr +... T = I, II, III (.91) gdzie: p, q i r oznaczają różne obciążenia zewnętrzne działające na ciało ze szczeliną.