4. Wymiar fraktalny. jest obiektem geometrycznym posiadaj cym cech samopodobie«stwa, jego wymiar fraktalny jest ró»ny od wymiaru topologicznego

Transkrypt

1 4. Wymiar fraktalny Fraktal to obiekt, który nie ma jednej denicji. Na ogóª przyjmuje si,»e jest to taki obiekt, który speªnia wi kszo± z poni»szych wªasno±ci: jest obiektem geometrycznym posiadaj cym cech samopodobie«stwa, jego wymiar fraktalny jest ró»ny od wymiaru topologicznego algorytm prowadz cy do jego konstrukcji jest prosty (w porównaniu do skomplikowania jego ksztaªtu), jego ksztaªt jest nietrywialny w ka»dej ze skal (jest skª biony, czy te» poszarpany). Samopodobie«stwo jest szczególn postaci podobie«stwa. Podobie«stwo jest zachowane dla jednokªadno- ±ci, obrotu i przesuni cia o wektor. Mo»na wi c mówi o samopodobie«stwie, gdy dany obiekt posiada t cech,»e istnieje jego fragment nie b d cy caªo±ci, który po zastosowaniu powy»szych przeksztaªce«, da identyczny obiekt co pocz tkowo. Przykªadem obiektu samopodobnego jest np. spirala logarytmiczna. Wycinaj c jej odpowiedni fragment oraz dokonuj c powi kszenia i obrotu uzyskujemy pocz tkow spiral. Samopodobie«stwo obiektów zycznych nale»y bada, czy wyst puje ono na sko«czonej liczbie poziomów wielko±ci. Przykªadem mo»e byc kalaor. Jego kwiat posiada ró»yczki, które s½ podobne do caªo±ci warzywa, te z kolei posiadaj mniejsze podró»yczki, podobne do ich samych. Podobie«stwo ró»yczek kalaora do caªo±ci nie jest caªkowite. Wyró»ni mo»na wi c podobie«stwo statystyczne, które uwzgl dnia pewne odchylenia ksztaªtu fragmentów od caªo±ci np. wszystkie cumulusy statystycznie s podobne do siebie. Obiekt jest samopodobny w punkcie, je±li istnieje taki punkt tego obiektu,»e w jego otoczeniu obiekt ten jest samopodobny. Przykªadem obiektu samopodobnego w punkcie mo»e by obraz, który przedstawia ±cian, na której znajduje si ten wªa±nie obraz. Przypatruj c si temu przedstawionemu obrazowi wida maª kopi

2 obrazu, na której wida kolejn kopi... i tak do niesko«czono±ci. Poniewa» ka»da nast pna kopia obrazu jest mniejsza od poprzedniej, w niesko«czono±ci obrazy te zbiegaj si do jednego punktu. Punkt ten jako jedyny ma t wªasno±,»e w jego otoczeniu obraz jest samopodobny. Innym przykªadem obiektu samopodobnego jest spirala logarytmiczna. cisªe samopodobie«stwo wyst puje wtedy, gdy obiekt jest samopodobny w otoczeniu ka»dego punktu, który do tego obiektu nale»y. Przykªadem mo»e by trójk t Sierpi«skiego. Przeksztaªcenie aniczne to takie, które linie proste przeksztaªca w linie proste. W szczególno±ci przeksztaªcenie polegaj ce na przeskalowaniu obiektu w poziomie o czynnik k 1 i w pionie o czynnik k 2 k 1 jest aniczne i wynik takiego przeksztaªcenia nie jest podobny do obiektu pocz tkowego. Nie mo»na bowiem powtórzy tego przeksztaªcenia stosuj c jedynie obroty, przesuni cie o wektor i jednokªadno± (która to skaluje obiekt o ten sam czynnik zarówno w pionie jak i w poziomie). Ostatecznie obiekt samoaniczny to taki, którego cz ± po przeksztaªceniu anicznym daje obiekt pocz tkowy. Przykªadem mog½ by diabelskie schody. Mo»e si zdarzy,»e dany obiekt b dzie posiada tak cech,»e jego fragmenty b d podobne, czy te» aniczne do innych fragmentów tego obiektu. Cech tak nazywa si podobie«stwem lokalnym. Przez wieki czªowiek zadowalaª si intuicyjnym poj ciem wymiaru. Twierdziª,»e punkt ma wymiar 0, prosta 1, pªaszczyzna 2, a przestrze«, w której»yjemy 3. Z czasem ta intuicyjna denicja wymiaru okazaªa si niewystarczaj ca. Z biegiem lat wprowadzono wiele ró»nych denicji wymiaru. Bardzo skrótowo mo»na powiedzie,»e topologia jest dziedzin matematyki zajmuj c si tym, co nie zmienia si gdy dany obiekt b dziemy skr ca lub rozci ga. Wraz z rozwojem topologii nastapiªa potrzeba wprowadzenia takiego wymiaru (topologicznego), który nie zmieniaªby si gdy obiekt jest skr cany lub rozci gany. Wyró»- nia si kilka ró»nych wymiarów topologicznych. Dla przykªadu zastanie omówiony tylko jeden z nich: wymiar pokryciowy. Na poni»szym rysunku przedstawiono w jaki sposób mo»na pokry krzyw koªami. Podano te» liczb kóª, których wspólne przeci cie jest niepuste. Liczb kóª, których wzajemne przeci cie jest niepuste nazywa si rz dem pokrycia. Mo»na zauwa»y,»e dla krzywej minimalny rz d pokrycia wynosi 2.

3 Pªaszczyzn mo»na pokry kulami w taki sposób,»e niepuste przeci cia wyst powa b d w±ród trójek, czwórek,... kul, przy czym minimalny rz d pokrycia wynosi w takim przypadku 3. Wymiar pokryciowy mo»emy zdeniowa w nast puj cy sposób: je±li minimalny rz d pokrycia obiektu wynosi n + 1, to wymiar pokryciowy tego obiektu wynosi n. Zgodnie z t denicj zbiór rozª cznych punktów ma wymiar pokryciowy równy 0, wymiar pokryciowy krzywej lub ciaªa zªo»onego z krzywych mog cych si przecina wynosi 1, wymiar pokryciowy pªaszczyzny lub ciaªa zªo-»onego z przecinaj cych si pªaszczyzn wynosi 2. Warto zwróci uwag,»e wymiar pokryciowy musi by liczb caªkowit nieujemn. Czy pytanie o dªugo± granicy mi dzy pa«stwami ma sens? Przykªadowo encyklopedia hiszpa«ska podaje,»e granica pomi dzy Hiszpani a Portugali wynosi 991 km, za± portugalska, e 1220 km. Sk d taka rozbie»no±? Ma to zwi zek ze sposobem, w jaki przeprowadza si pomiar dªugo±ci granic. Mo»na go wykona u»ywaj c do tego mapy oraz cyrkla. Cyrkiel ustawia si w ten sposób, by mógª na mapie odmierzy pewn½ wcze±nie wybran½ odlegªo±, np. 10 km, a nast pnie odmierza si liczb kroczków, potrzebnych na przej±cie wzdªu» caªej granicy. Wynik, jaki otrzymamy na ko«cu ±ci±le zale»y od tego, jakie wybrali±my rozstawienie cyrkla oraz od tego, jak dokªadn map wybrali±my do pomiaru. Im bowiem wi ksza skala, tym wi cej jest widocznych zaªama«granicy i tym wi kszy mo»emy otrzyma wynik. Wyja±nia si wi c tym samym ró»nica, mi dzy dªugo±ci granicy portugalsko- hiszpa«skiej w ró»nych ¹ródªach. Portugalia, jako kraj mniejszy od Hiszpanii, zapewne u»yª podczas pomiaru dokªadniejszej mapy oraz mniejszego rozstawienia cyrkla. Mo»na zada sobie pytanie, czy zmniejszaj c rozstawienie cyrkla i zwi kszaj c dokªadno± mapy dojdziemy

4 wreszcie do ostatecznego wyniku, który b dzie prawdziwy. Okazuje si,»e w wi kszo±ci wypadków nie. Granice pa«stw cz sto biegn wzdªu» pewnych charakterystycznych obiektów geogracznych, jak linia brzegowa, rzeka, grzbiet górski itp. Z powodu jednak pªywów morskich, erozji, akumulacji materiaªu niesionego przez wod i innych czynników, wymienione obiekty zmieniaj si. Poni»ej wi c pewnej skali pomiary dªugo±ci granicy trac sens, poniewa» nie sposób z niesko«czon precyzj wyznaczy jej przebiegu. Wymiar fraktalny Okazaªo si,»e istniej obiekty, dla których poj cie dªugo±ci nabiera zupeªnie innego sensu. Stykaj c si z nimi powinni±my zmieni pytanie ile na jak zmienia si zmierzona wielko± wraz ze wzrostem dokªadno±ci jej mierzenia. Dzi ki temu zyskujemy mo»liwo± zbadania stopnia zªo»ono±ci rozpatrywanego obiektu. Okazuje si,»e ze zªo»ono±c ½ obiektu mo»na powi za jego wymiar. Spostrze»enie to pozwoliªo na zdeniowanie wymiaru fraktalnego, który pozwala w sposób liczbowy opisa stopie«skomplikowania danego obiektu. Jednym z wymiarów fraktalnych jest wymiar samopodobie«stwa oznaczany D s. Denicja jego opiera si na zaªo»eniu,»e wspóªczynnik redukcji s oraz liczba cz ±ci a, która tworzy kopiarka wielokrotnie redukuj ca, zwi zania jest wzorem: a = 1 s Ds Przykªad 1. Omówi poj cie wymiaru samopodobie«stwa na przykªadzie odcinka, kwadratu i krzywej Kocha. Okazuje si,»e w przypadku takich obiektów jak odcinek, kwadrat czy sze±cian, wymiar ten jest zgodny z wymiarem topologicznym - przyjmuje wtedy warto± caªkowit. W przypadku fraktali wymiar samopodobie«stwa jest ró»ny od wymiaru topologiczniego - przyjmuje wtedy najcz ±ciej warto±ci niecaªkowite. Wymiar samopodny mo»emy wyznaczy jedynie w przypadku obiektów samopodobnych (niezale»- nie jak skal s we¹miemy, wymiar D s powinnie«by taki sam). Je±li mamy doczynienia z obiektami, które nie s samopodobne, wtedy pomocny okazuje si wymiar cyrklowy. Do jego zdeniowania b dzie nam potrzebne jeszcze prawo pot gowe Przykªad 2. Prawo pot gowe opiszemy na przykªadzie swopodnego spadku ciaªa. Zwi zek mi dzy wysoko±ci, z której spada ciaªo a czasem spadku nie jest liniowy. Natomiast wykres logarytmów danych eksperymentarnych wskazuje na istnienie prawa, które rz dzi zale»no±ci mi dzy tymi wielko±ciami. Relacja ta wyra»a si prawem pot gowym nast puj cej postaci: t = ch d Logarytmuj c obustronnie dostajemy: log t = d log h + log c. Je±li pomiary na wykresie logarytmicznym le» w przybli»eniu na linii prostej, to jest sens poszuka prawa pot gowego. Dodatkowo z wykresu mo»emy odczyta pot g d - nachylenie otrzymanej prostej. Wymiar cyrklowy D C = 1 + d, gdzie d odpowiada nachyleniu wykresu logarytmów mierzonej dªugo±ci u w zale»no±ci od logarytmu dokªadno±ci pomiaru 1 s tzn. u = c s d. Poni»szy przykªad opisuje wyznaczenie wymiaru cyrklowego dla wybrze»a Wielkiej Brytanii. Do wyników zostaªa dopasowana prosta za pomoc regresji liniowej (metoda najmniejszych kwadratów). Jej równanie to: y = 0, 3619x + 10, Interesuje nas wspóªczynnik kierunkowy tej prostej: d = 0, Wymiar cyrklowy wybrze»a wielkiej Brytanii wynosi zatem D C = 1 + 0, 3619 = 1, 3619.

5 Przykªad 3. Wyznaczy wymiar cyrklowy krzywej Kocha.