Mikro II: Krzywe kosztów, Poda» rmy i Poda» gaª zi.
|
|
- Tomasz Olejnik
- 8 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 Mikro II: Krzywe kosztów, Poda» rmy i Poda» gaª zi. Krzysztof Makarski 22 Krzywe kosztów Wst p Celem jest wyprowadzenie funkcji poda»y i jej wªasno±ci. Funkcj poda»y wyprowadzamy z decyzji maksymalizuj cych zysk rm. Problem maksymalizacji zysku rozwi zujemy dwustopniowo. Krok 1: Minimalizacja kosztów (wyprowadzenie funkcji kosztów c(y)) Krok 2: Maksymalizacja zysków przy u»yciu funkcji kosztów c(y). Na poprzednim wykªadzie w procesie minimalizacji kosztów wyprowadzili±my funkcj kosztów c(y). Teraz sobie o niej porozmawiamy (koszty staªe, zmienne, przeci tne itp.) Koszty przeci tne. Caªkowite koszty mog by zapisane jako suma kosztów staªych i zmiennych c(y) = c v (y) + F Koszt przeci tny to koszt caªkowity podzielony przez produkt AC(y) = c(y) y. Koszt przeci tny jest sum przeci tnych kosztów zmiennych AV C(y) = cv(y) y staªych AF C(y) = F y oraz przeci tnych kosztów AC(y) = c(y) y = c v(y) y + F y = AV C(y) + T F C(y) Patrz Rysunek 21.1 Koszty kra«cowe. Koszt kra«cowy mówi nam o ile zmieni si koszt je»eli produkt zwi kszy si o jednostk poniewa» c(y) = c v (y) + F Zauwa»: MC(0) = AV C(0) MC(y) dc(y) dy MC(y) = dc v(y) dy krzywa MC przecina krzyw AC i AV C w minimum (udowodnij to). Patrz Rysunek
2 Rysunek 21.1: Konstrukcja krzywej kosztu przeci tnego (AC). Koszty kra«cowe i koszty zmienne. Korzystaj c z twierdze«matematycznych wiemy c v (y) = y 0 c (t)dt a zatem powierzchnia pod krzyw MC jest równa AV C. Rysunek Intuicja: M C mierzy koszt ka»dej dodatkowej jednostki produktu, wi c dodaj c (czyli caªkuj c) te wszystkie jednostki dostajemy AV C produkcji y jednostek produktu. Przykªad Maj c funkcj kosztów c(y) = y zapisz i narysuj V C, F C, AV C, AF C, AC, i MC. V C : c v (y) = y 2 F C : c f (y) = 1 AV C : AV C(y) = y 2 /y = y AF C : AF C(y) = 1/y AC : AC(y) = y 2 /y + 1/y = y + 1/y MC : MC(y) = 2y Patrz Rysunek
3 Rysunek 21.2: Krzywe kosztów. Rysunek 21.3: Koszt kra«cowy i koszt zmienny. 3
4 Rysunek 21.4: Krzywe kosztów w krótkim okresie. Dªugookresowe krzywe kosztów. Dªugookresowa krzywa kosztów jest doln obwiedni krótkookresowych krzywych kosztów. Patrz Rysunek Patrz Rysunek Nieci gªo± rozmiarów aparatu wytwórczego. Dªugookresowa krzywa kosztów jest doln obwiedni krótkookresowych krzywych kosztów. Ró»nica polega na tym,»e teraz czynniki staªe zmieniaj si skokowo, zatem nie mamy a» tylu krzywych krótkookresowych kosztów przeci tnych. Patrz Rysunek Intuicja: M C mierzy koszt ka»dej dodatkowej jednostki produktu, wi c dodaj c (czyli caªkuj c) te wszystkie jednostki dostajemy AV C produkcji y jednostek produktu. 4
5 Rysunek 21.5: Krótko- i dªugo- okresowa krzywa kosztów przeci tnych. Rysunek 21.6: Krótko- i dªugo- okresowa krzywa kosztów przeci tnych. 5
6 Rysunek 21.7: Koszt kra«cowy i koszt zmienny. Dªugookresowe koszty kra«cowe. Gdy czynniki staªe zmieniaj si skokowo, patrz Rysunek Gdy czynniki staªe zmieniaj si ci gle, patrz Rysunek Podsumowanie. Koszty przeci tne i kra«cowe. Koszty kra«cowe a koszty zmienne. Krzywe kosztów krótkim okresie. Dªugookresowe krzywe kosztów. Lektura: Varian, rozdziaª 21. 6
7 Rysunek 21.8: Dªugookresowe koszty kra«cowe. Rysunek 21.9: Dªugookresowe koszty kra«cowe. 7
8 22 Poda» rmy Wst p. Celem jest wyprowadzenie funkcji poda»y i jej wªasno±ci. Funkcj poda»y wyprowadzamy z decyzji maksymalizuj cych zysk rm. Problem maksymalizacji zysku rozwi zujemy dwustopniowo. Krok 1: Minimalizacja kosztów (wyprowadzenie funkcji kosztów c(y)) Krok 2: Maksymalizacja zysków przy u»yciu funkcji kosztów c(y). Wyprowadzili±my w procesie minimalizacji kosztów wyprowadzili±my funkcj kosztów c(y) oraz o niej porozmawiali±my. Teraz wyprowadzimy funkcj poda»y rmy. Otoczenie rynkowe. Firmy maja do czynienia z dwoma typami ogranicze«: ograniczenia techniczne - uj te w funkcji produkcji, które prowadz do ogranicze«ekonomicznych, które wyra»a funkcja kosztów. ograniczenia rynkowe - okre±laj mo»liwo±ci sprzeda»y dóbr (zale» od zachowa«innych podmiotów na rynku). Konkurencja doskonaªa.. Rynek jest doskonale konkurencyjny, je»eli przedsi biorcy przyjmuj cen rynkow jako niezale»n od wªasnego poziomu produkcji. Kiedy taka sytuacja wyst puje? Wielu maªych producentów, identyczny produkt i brak barier wej±cia i wyj±cia. Krzywa popytu rmy doskonale konkurencyjnej, patrz Rysunek Decyzje poda»owe rmy konkurencyjnej. Z denicji rma konkurencyjna nie ma wpªywu na cen rynkow. Cena jest dana i rma doskonale produkcyjna mo»e sprzeda dowoln wielko± produkcji po tej cenie. Problem rmy doskonale konkurencyjnej ma posta max[py c(y)] y Zauwa»,»e funkcja kosztów c(y) jest otrzymana z problemu maksymalizacji kosztów przedstawionego uprzednio. Problem ten jest taki sam bez wzgl du czy rynek produktu jest doskonale konkurencyjny, zmonopolizowany czy oligopolistyczny. Po optymalizacji otrzymujemy warunek optymalno±ci p = MC(y) Warunek powy»szy, nie ko«czy oblicze«. Nale»y jeszcze sprawdzi jakie s zyski. Patrz nast pne sekcje. Zauwa»,»e poniewa» rma doskonale konkurencyjna nie ma kontroli nad cen, przychód kra«cowy w przypadku rmy doskonale konkurencyjnej jest równy cenie, M R = p. 8
9 Rysunek 22.1: Krzywa popytu rmy doskonale konkurencyjnej. Pewien wyj tek. Bierzmy pod uwag tylko rosn c cz ± kosztów kra«cowych. (wynika to z warunku drugiego rz du c (y) 0). Patrz Rysunek Inny wyj tek. Czy produkowanie jest bardziej zyskowne ni» nieprodukowanie? porównaj zysk z produkcji π = max y py c v (y) F z zyskiem z nieprodukowania F. zyski z produkowania s wi ksze ni» zyski z nieprodukowania (w krótkim okresie) je»eli p > AV C. je»eli dla ka»dego y, p < AV C, wówczas rma powinna si zamkn. rma operuje je»eli cena pokrywana koszty zmienne. Zatem krzywa poda»y to rosn ca cz ± krzywej MC, poªo»ona powy»ej krzywej AV C. Patrz Rysunek Odwrócona krzywa poda»y. p = c (y) daje nam odwrócon funkcj poda»y. 9
10 Rysunek 22.2: Koszt kra«cowy a poda». Rysunek 22.3: Przeci tny koszt zmienny a poda». 10
11 Zyski i nadwy»ka producenta. Zyski dane s nast puj c formuª π = max y py c v (y) F. Patrz Rysunek Nadwy»ka producenta dana jest za pomoc py c v (y). Nadwy»k producenta mo»na mierzy na trzy sposoby: przychody - koszty zmienne. Patrz Rysunek 22.5(a). pole nad krzyw M C. Patrz Rysunek 22.5(b). pole na lewo nad krzyw poda»y. Patrz Rysunek 22.5(c). Zmiana nadwy»ki producenta. Patrz Rysunek Poniewa» nadwy»ka wyra»ona jest w jednostkach pieni»nych mo»na je dodawa pomi dzy rmami. Rysunek 22.4: Zyski. 11
12 Rysunek 22.5: Nadwy»ka producenta. Rysunek 22.6: Zmiana nadwy»ki producenta. 12
13 Przykªad. 1. Maj c dan funkcj kosztów c(y) = y znajd¹ krzyw poda»y znajd¹ optymaln produkcj przy cenie p = 10. policz zysk przy cenie p = 10. policz nadwy»k producenta przy cenie p = 10 korzystaj c z denicji oraz jako pole nad krzyw poda»y. poka» krzyw poda»y oraz nadwy»k producenta na rysunku (patrz Rysunek Rysunek 22.7: Przykªad krzywej poda»y. Dªugookresowa krzywa poda»y rmy. Dªugookresowa krzywa poda»y - skorzystaj z dªugookresowej krzywej M C. W dªugim okresie cena musi pokrywa koszty przeci tne AC (je»eli dla ka»dego y, p < LMC rma wychodzi z rynku). Patrz Rysunek
14 Rysunek 22.9: Krzywa popytu rmy doskonale konkurencyjnej. Dªugookresowe staªe koszty przeci tne. Staªe koszty przeci tne mamy je»eli technologi cechuj staªe korzy±ci skali, wówczas krzywa poda»y jest pªaska. Patrz Rysunek Podsumowanie. Konkurencja doskonaªa. Maksymalizacja zysku w warunkach doskonaªej konkurencji (krótkookresowa krzywa poda»y rmy). Nadwy»ka producenta. Dªugookresowa krzywa poda»y rmy Lektura: Varian, rozdziaª
15 Rysunek 22.10: Krzywa popytu rmy doskonale konkurencyjnej. 15
16 23 Poda» gaª zi Wst p Mamy funkcj poda»y rmy i nadwy»k producenta. Zostaªa tylko agregacja z poziomu rmy na poziom gaª zi.. Krótkookresowa krzywa poda»y. Suma indywidualnych n S(p) = S i (p) i=1 Patrz Rysunek 23.1 Rysunek 23.1: Krótkookresowa krzywa poda»y gaª zi. Równowaga gaª zi w krótkim okresie. Warunek równo±ci popytu i poda»y wyznacza nam cen równowagi. Maj c cen równowagi mo»na wyznaczy produkcj poszczególnych rm. W krótkim okresie zyski mog by ujemne (pod warunkiem»e cena pokrywa AF C). Patrz Rysunek
17 Rysunek 23.2: Równowaga gaª zi w krótkim okresie. Równowaga gaª zi w dªugim okresie. My skupimy si tylko na sytuacji gdy jest ci gªa liczba rm (w ksi»ce rozwa»aj te» przykªad gdy liczba rm jest naturalna, ale to tylko zaciemnia obraz). W dªugim okresie rmy mog wchodzi i wychodzi z rynku (w doskonaªej konkurencji jest swoboda wej±cia i wyj±cia). Zatem dªugookresowe zyski b d zero, a cena b dzie równa p = min y AC(y). Patrz Rysunek 23.4 Przybli»enie dªugookresowej krzywej poda»y b dzie pªaskie i b dzie przecina o± y w p. Patrz Rysunek 23.5 Opodatkowanie w dªugim i krótkim okresie patrz Rysunek 23.6, w krótkim okresie podatek obci»y zarówno konsumentów jak i producentów, w dªugim okresie obci»y tylko konsumentów. 17
18 Rysunek 23.3: Dªugookresowa krzywa poda»y. Rysunek 23.5: Przybli»anie dªugookresowej krzywej poda»y. 18
19 Rysunek 23.6: Krzywa popytu rmy doskonale konkurencyjnej. Przykªad. 1. Rozwa»my gaª ¹ doskonale konkurencyjn, z du» liczb rm, które maj jednakowe funkcje kosztów c(y) = y 2 + 1, dla y > 0 oraz c(0) = 0. Krzywa popytu na posta D(p) = 52 p. (Liczba rm jest liczb rzeczywist nieujemn ). (a) Znajd¹ krzyw poda» pojedynczego producenta. Je»eli mamy n producentów, znajd¹ rynkow krzyw poda»y. (b) Jaka jest minimalna cena po której produkt b dzie produkowany? (c) Znajd¹ cen, caªkowit produkcj, produkcj i zysk pojedynczej rmy i liczb rm w dªugookresowej równowadze. (d) Przypu± my,»e krzywa popytu przesuwa si do D(p) = 53 p. Znajd¹ cen, caªkowit produkcj, produkcj i zysk pojedynczej rmy i liczb rm w dªugookresowej równowadze. Znaczenie zysków zerowych. Zysk ekonomiczny równy zero oznacza,»e czynniki produkcji dostaj swoje rynkowe wynagrodzenie. Gaª zie rynkowe pozostaj ce w dªugookresowej równowadze o zyskach zerowych s gaª ziami dojrza- ªymi. Zysk ekonomiczny dostarcza prawidªowych sygnaªów, je»eli zyski na jakiej± dziaªalno±ci s dodatnie,to z punktu widzenia spoªecznego po» dane jest wej±cie nowych rm na rynek (co te» w konkurencji doskonaªej dzieje si ). Czynniki staªe i renta ekonomiczna. Co je»eli niektóre czynniki s staªe w dªugim okresie? Przyczyny 19
20 licencjonowanie (jak alkohol czy taksówki) zasoby naturalne, ziemia Wówczas w gaª zi mo»e istnie tylko okre±lona liczba rm, a czynniki które blokuj wej±cie uzyskuj rent. Zyski ekonomiczne i tak s zero pod warunkiem»e poprawnie policzymy rent na czynnik staªy blokuj cy wej±cie. Renty, podobnie jak zyski s strumieniem. Przykªad: Licencjonowanie taksówek w Nowym Jorku. Polityka renty. Renta to wynagrodzenie wªa±cicieli czynnika blokuj cego wej±cie na rynek (np. wªa±ciciela licencji) Ludzie konkuruj o te renty (poszukiwanie renty). W interesie wªa±cicieli (tych co ju» weszli) jest zwi kszania barier wej±cia. Przykªad: "Uprawianie rz du" Polityka energetyczna. Dwupoziomowa cena ropy. Patrz Rysunek 23.8 Regulacja cen. System upowa»nie«. Patrz Rysunek Nadwy»ka konsumenta - kontynuacja Wst p Krótka dygresja o korzy±ciach z nadwy»ki konsumenta i producenta.. Nadwy»ka producenta. Korzystaj c z rozwa»a«z poprzednich rozdziaªów (Rysunek 22.5) rozwin li±my koncept nadwy»ki producenta Patrz Rysunek 14.6 Obliczanie zysków i strat. Korzystaj c z koncepcji nadwy»ki konsumenta i producenta mo»emy szacowa korzy±ci i straty z wprowadzenia ró»nych polityk. 20
21 Rysunek 23.8: Dwupoziomowa cena ropy. Rysunek 23.9: System upowa»nie«. 21
22 Rysunek 14.1: Nadwy»ka producenta. Podsumowanie. Krótkookresowa krzywa poda»y. Dªugookresowa krzywa poda»y. Znaczenie zerowych zysków. Renta ekonomiczna. Nadwy»ka producenta oraz obliczanie zysków i strat. Lektura: Varian, rozdziaª 23 oraz rozdziaª
Mikro II: Krzywe kosztów, Podaż firmy i Podaż ga l
Mikro II: Krzywe kosztów, Podaż firmy i Podaż ga l ezi. Jacek Suda (slajdy: Krzysztof Makarski) 1 / 59 Krzywe kosztów Wst ep Celem jest wyprowadzenie funkcji podaży i jej w lasności. Funkcje podaży wyprowadzamy
Bardziej szczegółowoPrzyk ladowe Kolokwium II. Mikroekonomia II. 2. Na lożenie podatku na produkty produkowane przez monopol w wysokości 10 z l doprowadzi do
Przyk ladowe Kolokwium II Mikroekonomia II Imi e i nazwisko:...... nr albumu:... Instrukcje. Bez oszukiwania. Jeżeli masz pytanie podnieś r ek e. Cz eść I. Test wyboru. 1. W zmonopolizowanej branży cena
Bardziej szczegółowoA = n. 2. Ka»dy podzbiór zbioru sko«czonego jest zbiorem sko«czonym. Dowody tych twierdze«(elementarne, lecz nieco nu» ce) pominiemy.
Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 12 Teoria mocy, cz ± II Def. 12.1 Ka»demu zbiorowi X przyporz dkowujemy oznaczany symbolem X obiekt zwany liczb kardynaln (lub moc zbioru X) w taki sposób,»e ta
Bardziej szczegółowoXVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne
1 XVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne Kategoria: klasa VIII szkoªy podstawowej i III gimnazjum Olsztyn, 16 maja 2019r. Zad. 1. Udowodnij,»e dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y, z speªniaj cych
Bardziej szczegółowo2010 W. W. Norton & Company, Inc. Nadwyżka Konsumenta
2010 W. W. Norton & Company, Inc. Nadwyżka Konsumenta Pieniężny Pomiar Korzyści z Handlu Możesz kupić tyle benzyny ile chcesz, po cenie 2zł za litr. Jaka jest najwyższa cena, jaką zapłacisz za 1 litr benzyny?
Bardziej szczegółowoKONKURENCJA DOSKONA!A
KONKURENCJA OSKONA!A Bez wzgl"du na rodzaj konkurencji, w jakiej uczestniczy firma, jej celem gospodarowania jest maksymalizacja zysku (minimalizacja straty) w krótkim okresie i maksymalizacja warto"ci
Bardziej szczegółowoMIKROEKONOMIA I FORMY RYNKU CZĘŚĆ 1. Konkurencja doskonała i monopol - dwa skrajne przypadki struktury rynku
Dr hab. Ewa Freyberg Profesor w Katedrze Ekonomii II Kolegium Gospodarki Światowej MIKROEKONOMIA I Wykład 4 1 FORMY RYNKU CZĘŚĆ 1 Konkurencja doskonała i monopol - dwa skrajne przypadki struktury rynku
Bardziej szczegółowoMikroekonomia II Semestr Letni 2014/2015 Ćwiczenia 4, 5 & 6. Technologia
Mikroekonomia II 050-792 Semestr Letni 204/205 Ćwiczenia 4, 5 & 6 Technologia. Izokwanta produkcji to krzywa obrazująca różne kombinacje nakładu czynników produkcji, które przynoszą taki sam zysk. P/F
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoMonopolistyczna konkurencja
Monopolistyczna konkurencja Monopolistyczna konkurencja Wiele firm Brak barier wejścia / wyjścia rodukt zróżnicowany Siła rynkowa pojedynczej firmy zależy od stopnia zróżnicowania produktu Dobra bliskimi,
Bardziej szczegółowo2010 W. W. Norton & Company, Inc. Monopol
2010 W. W. Norton & Company, Inc. Monopol Monopol Jeden sprzedawca. Krzywa popytu jaką napotyka monopolista (opadająca) to krzywa popytu rynkowego. Monopolista może zmienić cenę rynkową produktu dostosowując
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoLekcja 9 - LICZBY LOSOWE, ZMIENNE
Lekcja 9 - LICZBY LOSOWE, ZMIENNE I STAŠE 1 Liczby losowe Czasami spotkamy si z tak sytuacj,»e b dziemy potrzebowa by program za nas wylosowaª jak ± liczb. U»yjemy do tego polecenia: - liczba losowa Sprawd¹my
Bardziej szczegółowoczyli: Rynek nansowy znajduje si w równowadze popyt na pieni dz równy jest poda»y pieni dza (L = M).
akroekonomia I, wiczenia 8-9 Jan Hagemejer odel IS-L Wst p Do tej pory analiza polityki gospodarczej abstraowaªa od sfery monetarnej. Analizowali±my wyª cznie polityk skaln. Co wi cej, uznawali±my,»e wszystkie
Bardziej szczegółowoModuł IV. Równowaga przedsiębiorstwa w warunkach konkurencji doskonałej i monopolu
Moduł IV. Równowaga przedsiębiorstwa w warunkach konkurencji doskonałej i monopolu Spis treści: Wstęp... 2 1. Klasyfikacja struktur rynku... 2 2. Kształtowanie się utargu całkowitego, przeciętnego i krańcowego...
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoWykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja
Bardziej szczegółowoUkªady równa«liniowych
dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I 0 in» 7 listopada 206 Ukªady równa«liniowych Informacje pomocnicze Denicja Ogólna posta ukªadu m równa«liniowych z n niewiadomymi x, x, x n, gdzie m, n N jest nast
Bardziej szczegółowoIndeksowane rodziny zbiorów
Logika i teoria mnogo±ci, konspekt wykªad 7 Indeksowane rodziny zbiorów Niech X b dzie przestrzeni zbiorem, którego podzbiorami b d wszystkie rozpatrywane zbiory, R rodzin wszystkich podzbiorów X za± T
Bardziej szczegółowoInterpolacja funkcjami sklejanymi
Interpolacja funkcjami sklejanymi Funkcje sklejane: Zaªó»my,»e mamy n + 1 w zªów t 0, t 1,, t n takich,»e t 0 < t 1 < < t n Dla danej liczby caªkowitej, nieujemnej k funkcj sklejan stopnia k nazywamy tak
Bardziej szczegółowoPodaż firmy. Zakładamy, że firmy maksymalizują zyski
odaż firmy Zakładamy, że firmy maksymalizują zyski Inne cele działalności firm: Maksymalizacja przychodów Maksymalizacja dywidendy Maksymalizacja zysków w krótkim okresie Maksymalizacja udziału w rynku
Bardziej szczegółowo2 Liczby rzeczywiste - cz. 2
2 Liczby rzeczywiste - cz. 2 W tej lekcji omówimy pozostaªe tematy zwi zane z liczbami rzeczywistymi. 2. Przedziaªy liczbowe Wyró»niamy nast puj ce rodzaje przedziaªów liczbowych: (a) przedziaªy ograniczone:
Bardziej szczegółowoTEST. [4] Grzyby w lesie to przykład: a. dobra prywatnego, b. wspólnych zasobów, c. monopolu naturalnego, d. dobra publicznego.
Przykładowe zadania na kolokwium: TEST [1] Zmniejszenie przeciętnych kosztów stałych zostanie spowodowane przez: a. wzrost wielkości produkcji, b. spadek wielkości produkcji, c. wzrost kosztów zmiennych,
Bardziej szczegółowoX WARMI SKO-MAZURSKIE ZAWODY MATEMATYCZNE 18 maja 2012 (szkoªy ponadgimnazjalne)
X WARMI SKO-MAZURSKIE ZAWODY MATEMATYCZNE 18 maja 2012 (szkoªy ponadgimnazjalne) Zadanie 1 Obecnie u»ywane tablice rejestracyjne wydawane s od 1 maja 2000r. Numery rejestracyjne aut s tworzone ze zbioru
Bardziej szczegółowoMikroekonomia II: Kolokwium, grupa II
Mikroekonomia II: Kolokwium, grupa II Prowadząca: Martyna Kobus 2012-06-11 Piszemy 90 minut. Sprawdzian jest za 70 punktów. Jest 10 pytań testowych, każde za 2 punkty (łącznie 20 punktów za test) i 3 zadania,
Bardziej szczegółowoTEST. [2] Funkcja długookresowego kosztu przeciętnego przedsiębiorstwa
Przykładowe zadania na kolokwium: TEST [1] Zmniejszenie przeciętnych kosztów stałych zostanie spowodowane przez: a. wzrost wielkości produkcji, b. spadek wielkości produkcji, c. wzrost kosztów zmiennych,
Bardziej szczegółowoInformacje pomocnicze
Funkcje wymierne. Równania i nierówno±ci wymierne Denicja. (uªamki proste) Wyra»enia postaci Informacje pomocnicze A gdzie A d e R n N (dx e) n nazywamy uªamkami prostymi pierwszego rodzaju. Wyra»enia
Bardziej szczegółowoWektory w przestrzeni
Wektory w przestrzeni Informacje pomocnicze Denicja 1. Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów. Pierwszy z tych punktów nazywamy pocz tkiem wektora albo punktem zaczepienia wektora, a drugi - ko«cem
Bardziej szczegółowoMODELE STRUKTUR RYNKOWYCH
MODELE STRUKTUR RYNKOWYCH ZADANIE. Mamy trzech konsumentów, którzy zastanawiają się nad nabyciem trzech rożnych programów komputerowych. Właściwości popytu konsumentów przedstawiono w następującej tabeli:
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoEkonometria - wykªad 8
Ekonometria - wykªad 8 3.1 Specykacja i werykacja modelu liniowego dobór zmiennych obja±niaj cych - cz ± 1 Barbara Jasiulis-Goªdyn 11.04.2014, 25.04.2014 2013/2014 Wprowadzenie Ideologia Y zmienna obja±niana
Bardziej szczegółowo2 Model neo-keynsistowski (ze sztywnymi cenami).
1 Dane empiryczne wiczenia 5 i 6 Krzysztof Makarski Szoki popytowe i poda»owe jako ¹ródªa uktuacji. Wspóªczynnik korelacji Odchylenie standardowe (w stosunku do PKB) Cykliczno± Konsumpcja 0,76 75,6% procykliczna
Bardziej szczegółowox y x y x y x + y x y
Algebra logiki 1 W zbiorze {0, 1} okre±lamy dziaªania dwuargumentowe,, +, oraz dziaªanie jednoargumentowe ( ). Dziaªanie x + y nazywamy dodawaniem modulo 2, a dziaªanie x y nazywamy kresk Sheera. x x 0
Bardziej szczegółowoMacierze i Wyznaczniki
dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I.in». 5 pa¹dziernika 6 Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Denicja. Tablic nast puj cej postaci a a... a n a a... a n A =... a m a m...
Bardziej szczegółowoFunkcje, wielomiany. Informacje pomocnicze
Funkcje, wielomiany Informacje pomocnicze Przydatne wzory: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 a 2 b 2 = (a + b)(a
Bardziej szczegółowoANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ANALIZA NUMERYCZNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Metoda Eulera 3 1.1 zagadnienia brzegowe....................... 3 1.2 Zastosowanie ró»niczki...................... 4 1.3 Output do pliku
Bardziej szczegółowoMetody dowodzenia twierdze«
Metody dowodzenia twierdze«1 Metoda indukcji matematycznej Je±li T (n) jest form zdaniow okre±lon w zbiorze liczb naturalnych, to prawdziwe jest zdanie (T (0) n N (T (n) T (n + 1))) n N T (n). 2 W przypadku
Bardziej szczegółowoEkstremalnie fajne równania
Ekstremalnie fajne równania ELEMENTY RACHUNKU WARIACYJNEGO Zaczniemy od ogólnych uwag nt. rachunku wariacyjnego, który jest bardzo przydatnym narz dziem mog cym posªu»y do rozwi zywania wielu problemów
Bardziej szczegółowoZadania ćwiczeniowe do przedmiotu Makroekonomia I
Dr. Michał Gradzewicz Zadania ćwiczeniowe do przedmiotu Makroekonomia I Ćwiczenia 3 i 4 Wzrost gospodarczy w długim okresie. Oszczędności, inwestycje i wybrane zagadnienia finansów. Wzrost gospodarczy
Bardziej szczegółowoMODEL KONKURENCJI DOSKONAŁEJ.
Wykład 4 Konkurencja doskonała i monopol 1 MODEL KONKURENCJI DOSKONAŁEJ. EFEKTYWNOŚĆ RYNKU. MONOPOL CZYSTY. KONKURENCJA MONOPOLISTYCZNA. 1. MODEL KONKURENCJI DOSKONAŁEJ W modelu konkurencji doskonałej
Bardziej szczegółowoMetodydowodzenia twierdzeń
1 Metodydowodzenia twierdzeń Przez zdanie rozumiemy dowolne stwierdzenie, które jest albo prawdziwe, albo faªszywe (nie mo»e by ono jednocze±nie prawdziwe i faªszywe). Tradycyjnie b dziemy u»ywali maªych
Bardziej szczegółowo1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna
1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna Liczby w pami ci komputera przedstawiamy w ukªadzie dwójkowym w postaci zmiennopozycyjnej Oznacza to,»e s one postaci ±m c, 01 m < 1, c min c c max, (1) gdzie m nazywamy
Bardziej szczegółowo1) Granica możliwości produkcyjnych Krzywa transformacji jest to zbiór punktów reprezentujących różne kombinacje ilościowe dwóch produktów, które gospodarka narodowa może wytworzyć w danym okresie przy
Bardziej szczegółowoKonkurencja monopolistyczna
Konkurencja monopolistyczna Dr inż. Anna Kowalska-Pyzalska Prezentacja oparta na: http://www.swlearning.com/economics/mankiw/mankiw3e/powerpoint_micro.html Cechy: Wielu sprzedawców Zróżnicowane produkty
Bardziej szczegółowoZastosowania matematyki
Zastosowania matematyki Monika Bartkiewicz 1 / 126 ...czy«cie dobrze i po»yczajcie niczego si nie spodziewaj c(šk. 6,34-35) Zagadnienie pobierania procentu jest tak stare jak gospodarka pieni»na. Procent
Bardziej szczegółowoMacierze i Wyznaczniki
Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Denicja 1. Tablic nast puj cej postaci a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n A =... a m1 a m2... a mn nazywamy macierz o m wierszach i n kolumnach,
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoLekcja 9 Liczby losowe, zmienne, staªe
Lekcja 9 Liczby losowe, zmienne, staªe Akademia im. Jana Dªugosza w Cz stochowie Liczby losowe Czasami potrzebujemy by program za nas wylosowaª liczb. U»yjemy do tego polecenia liczba losowa: Liczby losowe
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Wainera. Marek Czarnecki. Warszawa, 3 lipca Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski
Twierdzenie Wainera Marek Czarnecki Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski Wydziaª Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski Warszawa, 3 lipca 2009 Motywacje Dla dowolnej
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
dr Krzysztof yjewski Informatyka I rok I 0 in» 12 stycznia 2016 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0 y 0 )
Bardziej szczegółowoWstęp: scenariusz. Przedsiębiorstwa na rynkach konkurencyjnych. W tym rozdziale szukaj odpowiedzi na pytania:
14 rzedsiębiorstwa na rynkach konkurencyjnych R I N C I L E S O F MICROECONOMICS F O U R T H E D I T I O N N. G R E G O R Y M A N K I W oweroint Slides by Ron Cronovich 2007 Thomson South-Western, all
Bardziej szczegółowoSurowiec Zużycie surowca Zapas A B C D S 1 0,5 0,4 0,4 0,2 2000 S 2 0,4 0,2 0 0,5 2800 Ceny 10 14 8 11 x
Przykład: Przedsiębiorstwo może produkować cztery wyroby A, B, C, i D. Ograniczeniami są zasoby dwóch surowców S 1 oraz S 2. Zużycie surowca na jednostkę produkcji każdego z wyrobów (w kg), zapas surowca
Bardziej szczegółowoProste modele o zªo»onej dynamice
Proste modele o zªo»onej dynamice czyli krótki wst p do teorii chaosu Tomasz Rodak Festiwal Nauki, Techniki i Sztuki 2018 April 17, 2018 Dyskretny model pojedynczej populacji Rozwa»my pojedyncz populacj
Bardziej szczegółowoO pewnym zadaniu olimpijskim
O pewnym zadaniu olimpijskim Michaª Seweryn, V LO w Krakowie opiekun pracy: dr Jacek Dymel Problem pocz tkowy Na drugim etapie LXII Olimpiady Matematycznej pojawiª si nast puj cy problem: Dla ka»dej liczby
Bardziej szczegółowoUniwersytet Warszawski Organizacja rynku dr Olga Kiuila LEKCJA 12
LEKCJA 12 KOSZTY WEJŚCIA NA RYNEK Inwestując w kapitał trwały zwiększamy pojemność produkcyjną (czyli maksymalną wielkość produkcji) i tym samym możemy próbować wpływać na decyzje konkurencyjnych firm.
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x, y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0, y 0 ) Pochodn cz stkow pierwszego rz du funkcji dwóch zmiennych wzgl
Bardziej szczegółowoRozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a).
Rozwi zania zada«z egzaminu podstawowego z Analizy matematycznej 2.3A (24/5). Rozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a). Zadanie P/4. Metod operatorow rozwi
Bardziej szczegółowoZbiory i odwzorowania
Zbiory i odwzorowania 1 Sposoby okre±lania zbiorów 1) Zbiór wszystkich elementów postaci f(t), gdzie t przebiega zbiór T : {f(t); t T }. 2) Zbiór wszystkich elementów x zbioru X speªniaj cych warunek ϕ(x):
Bardziej szczegółowoWybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb
Wybrane poj cia i twierdzenia z wykªadu z teorii liczb 1. Podzielno± Przedmiotem bada«teorii liczb s wªasno±ci liczb caªkowitych. Zbiór liczb caªkowitych oznacza b dziemy symbolem Z. Zbiór liczb naturalnych
Bardziej szczegółowoKONKURENCJA DOSKONAŁA. dr Sylwia Machowska
KONKURENCJA DOSKONAŁA dr Sylwia Machowska Definicja Konkurencja doskonała jest modelem teoretycznym opisującym jedną z form konkurencji na rynku; cechą charakterystyczną konkurencji doskonałej w odróŝnieniu
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna dla informatyków
UNIWERSYTET IM. ADAMA MICKIEWICZA W POZNANIU Jerzy Jaworski, Zbigniew Palka, Jerzy Szyma«ski Matematyka dyskretna dla informatyków uzupeænienia Pozna«007 A Notacja asymptotyczna Badaj c du»e obiekty kombinatoryczne
Bardziej szczegółowoTemat 1: Model Ricardo
Międzynarodowe Stosunki Ekonomiczne WNEUW Temat : Model Ricardo Zadanie Tabela przedstawia produktywność pracy w produkcji dwóch dóbr w kraju i zagranicą. Kraj Zagranica Masło(kg/godz.) 5 Płótno(m/godz.)
Bardziej szczegółowoTemat: Funkcje. Własności ogólne. A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1
Temat: Funkcje. Własności ogólne A n n a R a j f u r a, M a t e m a t y k a s e m e s t r 1, W S Z i M w S o c h a c z e w i e 1 Kody kolorów: pojęcie zwraca uwagę * materiał nieobowiązkowy A n n a R a
Bardziej szczegółowoModel Davida Ricardo
Model Davida Ricardo mgr eszek incenciak 15 lutego 2005 r. 1 Założenia modelu Analiza w modelu Ricardo opiera się na następujących założeniach: istnieje doskonała konkurencja na rynku dóbr i rynku pracy;
Bardziej szczegółowoMikro II: Technologia, Maksymalizacja zysku i Minimalizacja kosztów.
Mikro II: Technologia, Maksymalizacja zysku i Minimalizacja kosztów. Jacek Suda (slajdy: Krzysztof Makarski) 1 / 39 Technologia Wst ep. Przypomnijmy: Teoria konsumenta. w szczególności krzywa popytu. Teraz
Bardziej szczegółowoFunkcja kwadratowa, wielomiany oraz funkcje wymierne
Funkcja kwadratowa, wielomiany oraz funkcje wymierne Šukasz Dawidowski Nocne powtórki maturalne 28 kwietnia 2014 r. Troch teorii Funkcj f : R R dan wzorem: f (x) = ax 2 + bx + c gdzie a 0 nazywamy funkcj
Bardziej szczegółowoWST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14
WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA Grzegorz Szkibiel Wiosna 203/4 Spis tre±ci Kodowanie i dekodowanie 4. Kodowanie a szyfrowanie..................... 4.2 Podstawowe poj cia........................
Bardziej szczegółowoElementy geometrii w przestrzeni R 3
Elementy geometrii w przestrzeni R 3 Z.Šagodowski Politechnika Lubelska 29 maja 2016 Podstawowe denicje Wektorem nazywamy uporz dkowan par punktów (A,B) z których pierwszy nazywa si pocz tkiem a drugi
Bardziej szczegółowoRelacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór ϱ X X.
Relacje 1 Relacj n-argumentow nazywamy podzbiór ϱ X 1 X 2... X n. Je±li ϱ X Y jest relacj dwuargumentow (binarn ), to zamiast (x, y) ϱ piszemy xϱy. Relacj binarn okre±lon w zbiorze X nazywamy podzbiór
Bardziej szczegółowoMaksymalizacja zysku
Maksymalizacja zysku Na razie zakładamy, że rynki są doskonale konkurencyjne Firma konkurencyjna traktuje ceny (czynników produkcji oraz produktów jako stałe, czyli wszystkie ceny są ustalane przez rynek
Bardziej szczegółowo1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f(x)=0
1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f()=0 1.1 Metoda bisekcji Zaªó»my,»e funkcja f jest ci gªa w [a 0, b 0 ]. Pierwiastek jest w przedziale [a 0, b 0 ] gdy f(a 0 )f(b 0 ) < 0. (1) Ustalmy f(a 0
Bardziej szczegółowoRzut oka na zagadnienia zwi zane z projektowaniem list rozkazów
Rzut oka na zagadnienia zwi zane z projektowaniem list rozkazów 1 Wst p Przypomnijmy,»e komputer skªada si z procesora, pami ci, systemu wej±cia-wyj±cia oraz po- ª cze«mi dzy nimi. W procesorze mo»emy
Bardziej szczegółowoKOSZTY I OPTIMUM PRZEDSIĘBIORSTWA
PODSTAWOWE POJĘCIA KOSZTY I OPTIMUM PRZEDSIĘBIORSTWA Przedsiębiorstwo - wyodrębniona jednostka gospodarcza wytwarzająca dobra lub świadcząca usługi. Cel przedsiębiorstwa - maksymalizacja zysku Nakład czynniki
Bardziej szczegółowoHistoria ekonomii. Mgr Robert Mróz. Leon Walras
Historia ekonomii Mgr Robert Mróz Leon Walras 06.12.2016 Leon Walras (1834 1910) Jeden z dwóch ojców neoklasycznej mikroekonomii (drugim Marshall) Nie był tak dobrym matematykiem jak niektórzy inni ekonomiści
Bardziej szczegółowoŸ1 Oznaczenia, poj cia wst pne
Ÿ1 Oznaczenia, poj cia wst pne Symbol sumy, j, k Z, j k: k x i = x j + x j+1 + + x k. i=j Przykªad 1.1. Oblicz 5 i=1 2i. Odpowied¹ 1.1. 5 i=1 2i = 2 1 + 2 2 + 2 3 + 2 4 + 2 5 = 2 + 4 + 8 + 16 + 32 = 62.
Bardziej szczegółowoRachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych
Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych I. Malinowska, Z. Šagodowski Politechnika Lubelska 8 czerwca 2015 Caªka iterowana podwójna Denicja Je»eli funkcja f jest ci gªa na prostok cie P = {(x, y) : a x
Bardziej szczegółowoWojewódzki Konkurs Matematyczny
Wojewódzki Konkurs Matematyczny dla uczniów gimnazjów ETAP SZKOLNY 16 listopada 2012 Czas 90 minut Instrukcja dla Ucznia 1. Otrzymujesz do rozwi zania 10 zada«zamkni tych oraz 5 zada«otwartych. 2. Obok
Bardziej szczegółowoPodstawy matematyki dla informatyków
Podstawy matematyki dla informatyków Wykªad 6 10 listopada 2011 W poprzednim odcinku... Zbiory A i B s równoliczne (tej samej mocy ), gdy istnieje bijekcja f : A 1 1 B. Piszemy A B lub A = B. na Moc zbioru
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoMacierze. 1 Podstawowe denicje. 2 Rodzaje macierzy. Denicja
Macierze 1 Podstawowe denicje Macierz wymiaru m n, gdzie m, n N nazywamy tablic liczb rzeczywistych (lub zespolonych) postaci a 11 a 1j a 1n A = A m n = [a ij ] m n = a i1 a ij a in a m1 a mj a mn W macierzy
Bardziej szczegółowo6. Teoria Podaży Koszty stałe i zmienne
6. Teoria Podaży - 6.1 Koszty stałe i zmienne Koszty poniesione przez firmę zwykle są podzielone na dwie kategorie. 1. Koszty stałe - są niezależne od poziomu produkcji, e.g. stałe koszty energetyczne
Bardziej szczegółowoMikro II: Technologia, Maksymalizacja zysku i Minimalizacja
Mikro II: Technologia, Maksymalizacja zysku i Minimalizacja kosztów Krzysztof Makarski 18 Technologia Wst ep Przypomnijmy: Teoria konsumenta w szczególności krzywa popytu Teraz krzywa podaży (analogicznie)
Bardziej szczegółowoWST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14
WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2013/14 Spis tre±ci 1 Kodowanie i dekodowanie 4 1.1 Kodowanie a szyfrowanie..................... 4 1.2 Podstawowe poj cia........................
Bardziej szczegółowo3. O czym mówi nam marginalna (krańcowa) produktywność:
Ʊ1. 诲眤诲眤眪 眪 Zbiór produkcyjny: a) to zbiór wszystkich nakładów czynników produkcji, b) wykazuje możliwe techniki wytwarzania, c) pokazuje techniczne możliwości, d) poprawne są odpowiedzi a, c, e) poprawne
Bardziej szczegółowoMakroekonomia Zaawansowana
Makroekonomia Zaawansowana wiczenia 1 Stan ustalony i log-linearyzacja MZ 1 / 27 Plan wicze«1 Praca z modelami DSGE 2 Stan ustalony 3 Log-linearyzacja 4 Zadania MZ 2 / 27 Plan prezentacji 1 Praca z modelami
Bardziej szczegółowoEkonometria. wiczenia 13 Metoda ±cie»ki krytycznej. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej
wiczenia 13 Metoda ±cie»ki krytycznej Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej Plan wicze«1 Przykªad: ubieranie choinki 2 3 Programowanie liniowe w analizie czasowej i czasowo-kosztowej projektu
Bardziej szczegółowox = (x 1, x 2,..., x n ), p = (p 1, p 2,..., p n )
*** Elementy teorii popytu *** II. Funkcja popytu konsumenta x = (x 1, x 2,..., x n ), p = (p 1, p 2,..., p n ) p, x = p 1 x 1 + p 2 x 2 + + p n x n cena koszyka x Zbiór wszystkich koszyków, na jakie sta
Bardziej szczegółowoListy Inne przykªady Rozwi zywanie problemów. Listy w Mathematice. Marcin Karcz. Wydziaª Matematyki, Fizyki i Informatyki.
Wydziaª Matematyki, Fizyki i Informatyki 10 marca 2008 Spis tre±ci Listy 1 Listy 2 3 Co to jest lista? Listy List w Mathematice jest wyra»enie oddzielone przecinkami i zamkni te w { klamrach }. Elementy
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna dla informatyków
Matematyka dyskretna dla informatyków Cz ± I: Elementy kombinatoryki Jerzy Jaworski Zbigniew Palka Jerzy Szyma«ski Uniwersytet im. Adama Mickiewicza Pozna«2007 4 Zależności rekurencyjne Wiele zale»no±ci
Bardziej szczegółowoZadania powtórzeniowe I. Ile wynosi eksport netto w gospodarce, w której oszczędności równają się inwestycjom, a deficyt budżetowy wynosi 300?
Zadania powtórzeniowe I Adam Narkiewicz Makroekonomia I Zadanie 1 (5 punktów) Ile wynosi eksport netto w gospodarce, w której oszczędności równają się inwestycjom, a deficyt budżetowy wynosi 300? Przypominamy
Bardziej szczegółowoWska¹niki, tablice dynamiczne wielowymiarowe
Rozdziaª 11 Wska¹niki, tablice dynamiczne wielowymiarowe 11.1 Wst p Identycznie, jak w przypadku tablic statycznych, tablica dynamiczna mo»e by tablic jedno-, dwu-, trójitd. wymiarow. Tablica dynamiczna
Bardziej szczegółowoLZNK. Rozkªad QR. Metoda Householdera
Rozdziaª 10 LZNK. Rozªad QR. Metoda Householdera W tym rozdziale zajmiemy si liniowym zadaniem najmniejszych wadratów (LZNK). Dla danej macierzy A wymiaru M N i wetora b wymiaru M chcemy znale¹ wetor x
Bardziej szczegółowo3. (8 punktów) EGZAMIN MAGISTERSKI, Biomatematyka
EGZAMIN MAGISTERSKI, 26.06.2017 Biomatematyka 1. (8 punktów) Rozwój wielko±ci pewnej populacji jest opisany równaniem: dn dt = rn(t) (1 + an(t), b gdzie N(t) jest wielko±ci populacji w chwili t, natomiast
Bardziej szczegółowoDB Schenker Rail Polska
DB Schenker Rail Polska Bariery rozwoju transportu kolejowego w Polsce DB Schenker Rail Polska Zbigniew Pucek Członek Zarządu ds. Bocznic i Kolei Przemysłowych Członek Zarządu ds. Sprzedaży, Sosnowiec,
Bardziej szczegółowoMierzalne liczby kardynalne
czyli o miarach mierz cych wszystko Instytut Matematyki Uniwersytetu Warszawskiego Grzegorzewice, 26 stycznia 2007 Ogólny problem miary Pytanie Czy na pewnym zbiorze X istnieje σ-addytywna miara probabilistyczna,
Bardziej szczegółowoRegulacje czasu pracy Regulacje zatrudniania i zwalniania
Regulacje czasu pracy Regulacje zatrudniania i zwalniania Iga Magda Ekonomia pracy SM 1 / 21 Regulacje prawa pracy 2 / 21 Wst p Regulacje prawa pracy okre±laj ce jego elastyczno± czas pracy 3 / 21 Wst
Bardziej szczegółowoRozdział 6. Pakowanie plecaka. 6.1 Postawienie problemu
Rozdział 6 Pakowanie plecaka 6.1 Postawienie problemu Jak zauważyliśmy, szyfry oparte na rachunku macierzowym nie są przerażająco trudne do złamania. Zdecydowanie trudniejszy jest kryptosystem oparty na
Bardziej szczegółowoMgr El"bieta Babula TEORIA KONSUMETA
TEORIA KONSUMETA Krzywa popytu jest rezultatem decyzji podejmowanych przez wszystkich ch!tnych i gotowych do nabycia danego dobra. Nale"y zatem wyja#ni$, w jaki sposób suma decyzji nabywców uk%ada si!
Bardziej szczegółowoStatystyka opisowa. Wykªad II. Elementy statystyki opisowej. Edward Kozªowski.
Statystyka opisowa. Wykªad II. e-mail:e.kozlovski@pollub.pl Spis tre±ci Mediana i moda 1 Mediana i moda 2 3 4 Mediana i moda Median m e (warto±ci ±rodkow ) próbki x 1,..., x n nazywamy ±rodkow liczb w
Bardziej szczegółowo