Przykªady problemów optymalizacji kombinatorycznej
|
|
- Bernard Kaczor
- 7 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1
2
3 Przykªady problemów optymalizacji kombinatorycznej Problem Komiwoja»era (PK) Dane: n liczba miast, n Z +, c ji, i, j {1,..., n}, i j odlegªo± mi dzy miastem i a miastem j, c ji = c ij, c ji R +. Zadanie: Znale¹ permutacj miast π, dla której T C(π ) = n 1 j=1 c π (j)π (j+1) + c π (n)π (1) min. n, c ij (i, j {1,..., n}) parametry PK; permutacja π rozwi zanie PK (π rozwi zanie optymalne); T C funkcja celu.
4 Przykładowa instancja PK n = 5 2 c 12 (= c 21 ) = 9 1 c 13 = 7 c 34 = 6 c 14 = 6 c 23 = 4 c 25 = 10 3 c 35 = 8 4 c 45 = 10 5
5 Przykładowe rozwiązanie π 1 instancji PK π 1 = < 1, 2, 5, 4, 3 > c 12 = 9 1 c 13 = 7 c 34 = 6 c 14 = 6 2 c 23 = 4 c 25 = 10 3 c 35 = 8 4 c 45 = 10 5 TC(π 1 ) = = 42
6 Rozwiązanie π 2 π 2 = < 1, 3, 2, 5, 4 > c 12 = 9 1 c 13 = 7 c 34 = 6 c 14 = 6 2 c 23 = 4 c 25 = 10 3 c 35 = 8 TC(π 2 ) = 37 < TC(π 1 ) = 42 4 c 45 = 10 5
7 Problem Plecakowy (PP) Dane: A = {a 1, a 2,..., a n } zbiór n przedmiotów, n Z +, s j, j = 1,..., n rozmiar przedmiotu a j, s j Z +, w j, j = 1,..., n warto± przedmiotu a j, w j Z +, B rozmiar plecaka. Zadanie: Znale¹ podzbiór A A zbioru przedmiotów taki,»e T S = T W = j A s j B oraz j A w j max. n, A, s j, w j (j = 1,..., n) parametry PP; podzbiór A rozwi zanie PP; T W funkcja celu (T S dodatkowe ograniczenie).
8 Przykªadowa instancja PP n = 5, A = {a 1, a 2, a 3, a 4, a 5 }, j s j w j B = 10. Rozwi zanie (dopuszczalne) optymalne: A = {a 2, a 3, a 4 }, j A s j = 9 B = 10, j A w j = 12.
9 Problem szeregowania zada«1 r j C max Dane: J = {J 1, J 2,..., J n } zbiór n zada«, n Z +, pojedynczy procesor maj cy zrealizowa wszystkie zadania J 1,..., J n, p j, j = 1,..., n czas wykonywania (dªugo± ) zadania J j, p j R +, r j, j = 1,..., n termin dost pno±ci zadania J j, r j R + {0}, Zadanie: Znale¹ permutacj zada«π, dla której C max = max {C π j J (j)} min, gdzie C π (j) = S π (j) + p π (j) jest czasem zako«czenia wykonywania zadania zajmuj cego j-t pozycj w π ; S π (j) = max{c π (j 1), r π (j)} czas rozpocz cia wykonywania zadania π (j), C π (0) = 0, j = 1,..., n.
10
11 Na czym polega trudno± rozwi zania problemów optymalizacji kombinatorycznej? Liczno± zbioru rozwi za«x wi kszo±ci realnie istniej cych problemów jest tak du»a,»e: (a) procedura polegaj ca na sprawdzeniu wszystkich mo»liwych rozwi za«problemu (tzw. przegl d zupeªny), i wyznaczenie w±ród nich rozwi zania optymalnego, wymaga nieakceptowalnie dªugiego czasu (np. milionów lat); (b) skonstruowanie algorytmów wyznaczaj cych optymalne (b d¹ chocia» bliskie optymalnym) rozwi zania tych problemów w sensownym czasie jest zadaniem nietrywialnym.
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21 Funkcja zªo»ono±ci obliczeniowej algorytmu A f A (N(I)) = max{t : t ilo± operacji (jednostek czasu) potrzebnych do rozwi zania dowolnej instancji I problemu o rozmiarze N(I) przez algorytm A} (N(I) = n) W praktyce wa»ny jest tylko ksztaªt funkcji f A (N(I)) (tzn. jej zachownie dla rosn cych warto±ci rozmiaru problemu N(I)), a nie konkretny czas (konkretne warto±ci funkcji f A ). Notacja O( ) funkcja f(n) jest rz du O(g(n)) je±li c,n n N 0 f(n) c g(n), czyli f(n) c dla n, g(n) (tzn. dla n funkcje f(n) i g(n) zachowuj si podobnie).
22
23
24
25 Przykªady: f(n) O(g(n)) n 2 2n + 5 O(n 2 ) 1 2 n π log n 2 O(n log n) 1 2 nπ log n 2 O(n log n ) 2 3n 8 O(2 n ) n! 100n , 3n 0,3 O(n!)
26 Czasy dziaªania algorytmów o okre±lonych funkcjach zªo»ono±ci obliczeniowej, przy zaªo»eniu,»e jedna operacja matematyczna zajmuje 1µs. f A (n) n O(n) 0,00001 s 0,00002 s 0,00003 s 0,00004 s 0,00005 s 0,00006 s O(n 2 ) 0,0001 s 0,0004 s 0,0009 s 0,0016 s 0,0025 s 0,0036 s O(n 5 ) 0,1 s 3,2 s 24,3 s 1,7 min 5,2 min 13 min O(n 10 ) 2,7 h 118,5 dni 18,7 lat 3,3 30,9 192 wieków wieków wieki O(2 n ) 0,001 s 1,0 s 17,9 min 12,7 dni 35,7 lat 366 wieków O(3 n ) 0,59 s 58 min 6,5 roku * ,3 * wieków wieków wieków O(n!) 3,6 s 770 8,4 * ,5 * ,6 * ,6 * wieków wieków wieków wieków wieków
27 Wpªyw wzrostu szybko±ci komputerów na czasy dziaªania algorytmów o okre±lonych funkcjach zªo»ono±ci obliczeniowej. f A (n) Rozmiar instancji rozwi zywany Rozmiar instancji rozwi zywany w okre±lonym czasie przez w tym samym czasie przez wolny komputer komputer 1000 razy szybszy O(n) n n 1 O(n 2 ) n 2 31, 62 n 2 O(n 5 ) n 3 3, 98 n 3 O(n 10 ) n 4 1, 99 n 4 O(2 n ) n 5 n O(3 n ) n 6 n 6 +6 n 7 +3 dla n 7 10 O(n!) n 7 n 7 +2 dla 10 < n 7 30 n 7 +1 dla 30 < n7 1000
28 Rodzaje algorytmów ze wzgl du na zªo»ono± obliczeniow : Algorytmy wielomianowe algorytmy, których funkcja zªo»ono±ci obliczeniowej f(n) jest rz du O(p(n)), gdzie p(n) jest pewnym wielomianem zale»nym od rozmiaru problemu n, np. O(n), O(n 2 ), O(n log n) (algorytmy efektywne obliczeniowo). Algorytmy wykªadnicze (ponadwielomianowe) algorytmy, których funkcji zªo»ono±ci obliczeniowej f(n) nie da si ograniczy»adnym wielomianem p(n), np. O(2 n ), O(n log n ), O(n!) (algorytmy nieefektywne obliczeniowo).
29 Klasy zªo»ono±ci algorytmów: 1. Klasa P zawiera wszystkie problemy, dla których skonstruowano wielomianowe algorytmy optymalne. 2. Klasa NP zawiera wszystkie problemy, dla których skonstruowano wykªadnicze algorytmy optymalne. P NP, poniewa» je±li dla pewnego problemu mamy alg. wielomianowy, zawsze mo»emy skonstruowa alg. mniej efektywny (wykªadniczy), np. przegl d zupeªny. 3. Klasa problemów NP-trudnych podklasa NP problemów wielomianowo ekwiwalentnych, dla których (najprawdopodobniej) nie mo»naskonstruowa algorytmów wielomianowych. NP trudne NP, ale P NP trudne=. 4. Klasa problemów silnie NP-trudnych podklasa problemów NPtrudnych, których nie mo»na rozwi za optymalnie w czasie pseudowielomianowym.
30 Dokªadne okre±lenie przynale»no±ci danego problemu do klasy zªo»ono±ci pozwala skonstruowa najodpowiedniejsze algorytmy jego rozwi zania. W tym celu: (i) albo szukamy dla danego problemu optymalnego algorytmu wielomianowego (klasa P), (ii) albo udowadniamy jego (siln ) NP-trudno±, przy czym nie ma reguªy, od którego z punktów nale»y zacz analiz. Problemy, dla których nie skonstruowano algorytmów wielomianowych (i) ani nie udowodniono (silnej) NP-trudno±ci (ii), tworz klas tymczasow (tzw. problemów otwartych).
31 W praktyce: 9% istniej cych problemów nale»y do klasy P, 84% nale»y do klasy problemów NP-trudnych, z czego 79% nale»y do klasy problemów silnie NP-trudnych, 7% to problemy otwarte.
32 klasa NP klasa P probl. NP-trudne probl. silnie NP-trudne probl. otwarte
33 Rodzaje algorytmów (metod) optymalnych: Wielomianowe algorytmy dokªadne (dedykowane) tylko dla problemów z klasy P. Programowanie dynamiczne gªównie dla problemów NP-trudnych w zwykªym sensie (tzn. nie silnie NP-trudnych). Programowanie caªkowitoliczbowe. Metoda podziaªu i ogranicze«gªównie dla problemów (silnie) NPtrudnych. Przegl d zupeªny.
34 Rodzaje algorytmów (metod) przybli»onych: Algorytmy konstrukcyjne i zachªanne gªównie dla problemów NPtrudnych. Algorytmy typu popraw gªównie dla problemów (silnie) NP-trudnych: lokalnego poszukiwania (np. poszukiwanie zst puj ce, poszukiwanie losowe), metaheurystyczne (np. poszukiwanie z zabronieniami (tabu search), symulowane wy»arzanie, poszukiwanie genetyczne (ewolucyjne), poszukiwanie mrówkowe). Wielomianowe i w peªni wielomianowe schematy aproksymacyjne gªównie dla problemów NP-trudnych.
Lab. 02: Algorytm Schrage
Lab. 02: Algorytm Schrage Andrzej Gnatowski 5 kwietnia 2015 1 Opis zadania Celem zadania laboratoryjnego jest zapoznanie si z jednym z przybli»onych algorytmów sªu» cych do szukania rozwi za«znanego z
Bardziej szczegółowoProblem decyzyjny naley do klasy NP. (Polynomial), jeeli moe by rozwizany w czasie conajwyej wielomianowym przez algorytm A dla DTM.
WYKŁAD : Teoria NP-zupełnoci. Problem decyzyjny naley do klasy P (Polynomial), jeeli moe by rozwizany w czasie conajwyej wielomianowym przez algorytm A dla DTM. (przynaleno ta jest zachowana równie dla
Bardziej szczegółowoProblemy optymalizacyjne - zastosowania
Problemy optymalizacyjne - zastosowania www.qed.pl/ai/nai2003 PLAN WYKŁADU Zło ono obliczeniowa - przypomnienie Problemy NP-zupełne klika jest NP-trudna inne problemy NP-trudne Inne zadania optymalizacyjne
Bardziej szczegółowoEwolucja Ró»nicowa - Wprowadzenie
15 grudnia 2016 Klasykacja Algorytmy Ewolucyjne Strategie Ewolucyjne Ewolucja Ró»nicowa Autorzy : Storn i Price [1994-97] Cechy charakterystyczne Algorytm oparty na populacji Osobniki s opisane za pomoc
Bardziej szczegółowoPrzykłady problemów optymalizacyjnych
Przykłady problemów optymalizacyjnych NAJKRÓTSZA ŚCIEŻKA W zadanym grafie G = (V, A) wyznacz najkrótsza ścieżkę od wierzchołka s do wierzchołka t. 2 7 5 5 3 9 5 s 8 3 1 t 2 2 5 5 1 5 4 Przykłady problemów
Bardziej szczegółowoSzeregowanie zada« Wykªad nr 5. dr Hanna Furma«czyk. 4 kwietnia 2013
Wykªad nr 5 4 kwietnia 2013 Procesory dedykowane Przypomnienie: zadania s podzielone na operacje (zadanie Z j skªada si z operacji O ij do wykonania na maszynach M i, o dªugo±ciach czasowych p ij ); zadanie
Bardziej szczegółowoStruktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 5. Prof. dr hab. inż. Jan Magott
Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 5 Prof. dr hab. inż. Jan Magott DMT rozwiązuje problem decyzyjny π przy kodowaniu e w co najwyżej wielomianowym czasie, jeśli dla wszystkich łańcuchów wejściowych
Bardziej szczegółowoSzeregowanie zada« Przedmiot fakultatywny 15h wykªadu + 15h wicze« dr Hanna Furma«czyk. 7 pa¹dziernika 2013
Przedmiot fakultatywny 15h wykªadu + 15h wicze«7 pa¹dziernika 2013 Zasady zaliczenia 1 wiczenia (ocena): kolokwium, zadania dodatkowe (implementacje algorytmów), praca na wiczeniach. 2 Wykªad (zal): zaliczone
Bardziej szczegółowoStruktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7. Prof. dr hab. inż. Jan Magott
Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 7 Prof. dr hab. inż. Jan Magott Problemy NP-zupełne Transformacją wielomianową problemu π 2 do problemu π 1 (π 2 π 1 ) jest funkcja f: D π2 D π1 spełniająca
Bardziej szczegółowoStruktury danych i złozoność obliczeniowa. Prof. dr hab. inż. Jan Magott
Struktury danych i złozoność obliczeniowa Prof. dr hab. inż. Jan Magott Formy zajęć: Wykład 1 godz., Ćwiczenia 1 godz., Projekt 2 godz.. Adres strony z materiałami do wykładu: http://www.zio.iiar.pwr.wroc.pl/sdizo.html
Bardziej szczegółowoSzeregowanie zada« Wykªad nr 6. dr Hanna Furma«czyk. 11 kwietnia 2013
Wykªad nr 6 11 kwietnia 2013 System otwarty - open shop O3 C max Problem O3 C max jest NP-trudny. System otwarty - open shop O3 C max Problem O3 C max jest NP-trudny. Dowód Redukcja PP O3 C max : bierzemy
Bardziej szczegółowo1 Stos: Stack i Stack<T>
1 Stos: Stack i Stack Przykªady z»ycia: Stos talerzy (aby wyci gn co± ze ±rodka, musimy wyci gn te z góry) Meble ªadowane do naczepy ci»arówki Osoby wsiadaj ce do samolotu i wysiadaj ce z niego. Piramida
Bardziej szczegółowoRozdział 6. Pakowanie plecaka. 6.1 Postawienie problemu
Rozdział 6 Pakowanie plecaka 6.1 Postawienie problemu Jak zauważyliśmy, szyfry oparte na rachunku macierzowym nie są przerażająco trudne do złamania. Zdecydowanie trudniejszy jest kryptosystem oparty na
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne. Wst p do metod numerycznych. Dawid Rasaªa. January 9, 2012. Dawid Rasaªa Metody numeryczne 1 / 9
Metody numeryczne Wst p do metod numerycznych Dawid Rasaªa January 9, 2012 Dawid Rasaªa Metody numeryczne 1 / 9 Metody numeryczne Czym s metody numeryczne? Istota metod numerycznych Metody numeryczne s
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoSzeregowanie zada« Wykªad nr 4. dr Hanna Furma«czyk. 21 marca 2013
Wykªad nr 4 21 marca 2013 Minimalizacja ª cznego czasu zako«czenia zadania C j. Zadania niezale»ne krótkie zadania umieszczamy na pocz tku - reguªa SPT (ang. shortest Processing Time) Minimalizacja ª cznego
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna dla informatyków
UNIWERSYTET IM. ADAMA MICKIEWICZA W POZNANIU Jerzy Jaworski, Zbigniew Palka, Jerzy Szyma«ski Matematyka dyskretna dla informatyków uzupeænienia Pozna«007 A Notacja asymptotyczna Badaj c du»e obiekty kombinatoryczne
Bardziej szczegółowoRachunek ró»niczkowy funkcji jednej zmiennej
Lista Nr 5 Rachunek ró»niczkowy funkcji jednej zmiennej 5.0. Obliczanie pochodnej funkcji Pochodne funkcji podstawowych. f() = α f () = α α. f() = log a f () = ln a '. f() = ln f () = 3. f() = a f () =
Bardziej szczegółowoListy i operacje pytania
Listy i operacje pytania Iwona Polak iwona.polak@us.edu.pl Uniwersytet l ski Instytut Informatyki pa¹dziernika 07 Który atrybut NIE wyst puje jako atrybut elementów listy? klucz elementu (key) wska¹nik
Bardziej szczegółowoOptymalizacja. Wybrane algorytmy
dr hab. inż. Instytut Informatyki Politechnika Poznańska www.cs.put.poznan.pl/mkomosinski, Andrzej Jaszkiewicz Problem optymalizacji kombinatorycznej Problem optymalizacji kombinatorycznej jest problemem
Bardziej szczegółowoALGORYTMY SORTOWANIA DANYCH
ALGORYTMY SORTOWANIA DANYCH W zagadnieniu sortowania danych rozpatrywa b dziemy n liczb caªkowitych, b d cych pierwotnie w losowej kolejno±ci, które nale»y uporz dkowa nierosn co. Oczywi±cie sortowa mo»emy
Bardziej szczegółowoWnioskowanie Boolowskie i teoria zbiorów przybli»onych
Wnioskowanie Boolowskie i teoria zbiorów przybli»onych 4 Zbiory przybli»one Wprowadzenie do teorii zbiorów przybli»onych Zªo»ono± problemu szukania reduktów 5 Wnioskowanie Boolowskie w obliczaniu reduktów
Bardziej szczegółowoWykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.
Wykªad jest prowadzony w oparciu o podr cznik Analiza matematyczna 2. Denicje, twierdzenia, wzory M. Gewerta i Z. Skoczylasa. Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych. Denicja Mówimy,»e funkcja
Bardziej szczegółowoXVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne
1 XVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne Kategoria: klasa VIII szkoªy podstawowej i III gimnazjum Olsztyn, 16 maja 2019r. Zad. 1. Udowodnij,»e dla dowolnych liczb rzeczywistych x, y, z speªniaj cych
Bardziej szczegółowoAnaliza Matematyczna MAT1317
Analiza Matematyczna MAT37 Wydziaª Informatyki i Zarz dzania Listy zada«nr -0 cz ±ciowo na podstawie skryptów: M.Gewert, Z Skoczylas, Analiza Matematyczna. Przykªady i zadania, GiS, Wrocªaw 008 M.Gewert,
Bardziej szczegółowo1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f(x)=0
1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f()=0 1.1 Metoda bisekcji Zaªó»my,»e funkcja f jest ci gªa w [a 0, b 0 ]. Pierwiastek jest w przedziale [a 0, b 0 ] gdy f(a 0 )f(b 0 ) < 0. (1) Ustalmy f(a 0
Bardziej szczegółowoStruktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 6. Prof. dr hab. inż. Jan Magott
Struktury danych i złożoność obliczeniowa Wykład 6. Prof. dr hab. inż. Jan Magott Problemy łatwe i trudne Problemy łatwe to problemy rozwiązywalne w czasie wielomianowym. Problemy trudne to takie, których
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoMETODY SZTUCZNEJ INTELIGENCJI
METODY SZTUCZNEJ INTELIGENCJI Pod powy»szym poj ciem b dziemy rozumieli ró»ne metody (algorytmy) z zakresu teorii gier, planowania, systemów ekspertowych, teorii algorytmów, itp. maj ce na celu symulowanie
Bardziej szczegółowoJanusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI Zastosowanie eliptycznych równa«ró»niczkowych
Janusz Adamowski METODY OBLICZENIOWE FIZYKI 1 Rozdziaª 9 RÓWNANIA ELIPTYCZNE 9.1 Zastosowanie eliptycznych równa«ró»niczkowych cz stkowych 9.1.1 Problemy z warunkami brzegowymi W przestrzeni dwuwymiarowej
Bardziej szczegółowo1 Granice funkcji wielu zmiennych.
AM WNE 008/009. Odpowiedzi do zada«przygotowawczych do czwartego kolokwium. Granice funkcji wielu zmiennych. Zadanie. Zadanie. Pochodne. (a) 0, Granica nie istnieje, (c) Granica nie istnieje, (d) Granica
Bardziej szczegółowoWykład na Politechnice Krakowskiej w dniu 18 stycznia 2012 r. ZADAŃ I ALGORYTMÓW W OPTYMALIZACJI DYSKRETNEJ
Wykład na Politechnice Krakowskiej w dniu 18 stycznia 2012 r. ZŁOŻONOŚĆ OBLICZENIOWA ZADAŃ I ALGORYTMÓW W OPTYMALIZACJI DYSKRETNEJ dr hab. Krzysztof SZKATUŁA, prof. PAN Instytut Badań Systemowych PAN Uniwersytet
Bardziej szczegółowoProgramowanie wspóªbie»ne
1 Programowanie wspóªbie»ne wiczenia 5 monitory cz. 1 Zadanie 1: Stolik dwuosobowy raz jeszcze W systemie dziaªa N par procesów. Procesy z pary s nierozró»nialne. Ka»dy proces cyklicznie wykonuje wªasnesprawy,
Bardziej szczegółowo2 Liczby rzeczywiste - cz. 2
2 Liczby rzeczywiste - cz. 2 W tej lekcji omówimy pozostaªe tematy zwi zane z liczbami rzeczywistymi. 2. Przedziaªy liczbowe Wyró»niamy nast puj ce rodzaje przedziaªów liczbowych: (a) przedziaªy ograniczone:
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne i statystyka dla in»ynierów
Kierunek: Automatyka i Robotyka, II rok Interpolacja PWSZ Gªogów, 2009 Interpolacja Okre±lenie zale»no±ci pomi dzy interesuj cymi nas wielko±ciami, Umo»liwia uproszczenie skomplikowanych funkcji (np. wykorzystywana
Bardziej szczegółowoMateriaªy do Repetytorium z matematyki
Materiaªy do Repetytorium z matematyki 0/0 Dziaªania na liczbach wymiernych i niewymiernych wiczenie Obliczy + 4 + 4 5. ( + ) ( 4 + 4 5). ( : ) ( : 4) 4 5 6. 7. { [ 7 4 ( 0 7) ] ( } : 5) : 0 75 ( 8) (
Bardziej szczegółowoRozdziaª 13. Przykªadowe projekty zaliczeniowe
Rozdziaª 13 Przykªadowe projekty zaliczeniowe W tej cz ±ci skryptu przedstawimy przykªady projektów na zaliczenia zaj z laboratorium komputerowego z matematyki obliczeniowej. Projekty mo»na potraktowa
Bardziej szczegółowoMetody numeryczne i statystyka dla in»ynierów
Kierunek: Automatyka i Robotyka, II rok Wprowadzenie PWSZ Gªogów, 2009 Plan wykªadów Wprowadzenie, podanie zagadnie«, poj cie metody numerycznej i algorytmu numerycznego, obszar zainteresowa«i stosowalno±ci
Bardziej szczegółowoPodstawy modelowania w j zyku UML
Podstawy modelowania w j zyku UML dr hab. Bo»ena Wo¹na-Szcze±niak Akademia im. Jan Dªugosza bwozna@gmail.com Wykªad 8 Diagram pakietów I Diagram pakietów (ang. package diagram) jest diagramem strukturalnym,
Bardziej szczegółowoX WARMI SKO-MAZURSKIE ZAWODY MATEMATYCZNE 18 maja 2012 (szkoªy ponadgimnazjalne)
X WARMI SKO-MAZURSKIE ZAWODY MATEMATYCZNE 18 maja 2012 (szkoªy ponadgimnazjalne) Zadanie 1 Obecnie u»ywane tablice rejestracyjne wydawane s od 1 maja 2000r. Numery rejestracyjne aut s tworzone ze zbioru
Bardziej szczegółowoDokªadna arytmetyka liczb rzeczywistych w j zyku Python
Dokªadna arytmetyka liczb rzeczywistych w j zyku Python Marcin Ciura Zakªad Oprogramowania 28 marca 2007 Marcin Ciura (Zakªad Oprogramowania) Dokªadna arytmetyka liczb rzeczywistych 28 marca 2007 1 / 24
Bardziej szczegółowoAlgorytmy metaheurystyczne podsumowanie
dr hab. inż. Instytut Informatyki Politechnika Poznańska www.cs.put.poznan.pl/mkomosinski, Andrzej Jaszkiewicz Problem optymalizacji kombinatorycznej Problem optymalizacji kombinatorycznej jest problemem
Bardziej szczegółowoUkªady równa«liniowych
dr Krzysztof yjewski Mechatronika; S-I 0 in» 7 listopada 206 Ukªady równa«liniowych Informacje pomocnicze Denicja Ogólna posta ukªadu m równa«liniowych z n niewiadomymi x, x, x n, gdzie m, n N jest nast
Bardziej szczegółowoNotatki z AiSD. Nr 2. 4 marca 2010 Algorytmy Zachªanne.
Notatki z AiSD. Nr 2. 4 marca 2010 Algorytmy Zachªanne. IIUWr. II rok informatyki. Przygotowaª: Krzysztof Lory± 1 Schemat ogólny. Typowe zadanie rozwi zywane metod zachªann ma charakter optymalizacyjny.
Bardziej szczegółowoMetodydowodzenia twierdzeń
1 Metodydowodzenia twierdzeń Przez zdanie rozumiemy dowolne stwierdzenie, które jest albo prawdziwe, albo faªszywe (nie mo»e by ono jednocze±nie prawdziwe i faªszywe). Tradycyjnie b dziemy u»ywali maªych
Bardziej szczegółowoPodstawy Informatyki. Sprawność algorytmów
Podstawy Informatyki Sprawność algorytmów Sprawność algorytmów Kryteria oceny oszczędności Miara złożoności rozmiaru pamięci (złożoność pamięciowa): Liczba zmiennych + liczba i rozmiar struktur danych
Bardziej szczegółowoZadania z z matematyki dla studentów gospodarki przestrzennej UŠ. Marek Majewski Aktualizacja: 31 pa¹dziernika 2006
Zadania z z matematyki dla studentów gospodarki przestrzennej UŠ Marek Majewski Aktualizacja: 1 pa¹dziernika 006 Spis tre±ci 1 Macierze dziaªania na macierzach. Wyznaczniki 1 Macierz odwrotna. Rz d macierzy
Bardziej szczegółowoWykªad 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona
Wykªad 4. Droga i cykl Eulera i Hamiltona 1 / 92 Grafy Eulera Droga i cykl Eulera Niech G b dzie grafem spójnym. Denicja Je»eli w grae G istnieje zamkni ta droga prosta zawieraj ca wszystkie kraw dzie
Bardziej szczegółowoALGORYTMIKA Wprowadzenie do algorytmów
ALGORYTMIKA Wprowadzenie do algorytmów Popularne denicje algorytmu przepis opisuj cy krok po kroku rozwi zanie problemu lub osi gni cie jakiego± celu. (M. Sysªo, Algorytmy, ±ci±lejszej denicji w ksi»ce
Bardziej szczegółowoTwierdzenie Wainera. Marek Czarnecki. Warszawa, 3 lipca Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski
Twierdzenie Wainera Marek Czarnecki Wydziaª Filozoi i Socjologii Uniwersytet Warszawski Wydziaª Matematyki, Informatyki i Mechaniki Uniwersytet Warszawski Warszawa, 3 lipca 2009 Motywacje Dla dowolnej
Bardziej szczegółowoEkonometria. wiczenia 1 Regresja liniowa i MNK. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej
Ekonometria wiczenia 1 Regresja liniowa i MNK (1) Ekonometria 1 / 25 Plan wicze«1 Ekonometria czyli...? 2 Obja±niamy ceny wina 3 Zadania z podr cznika (1) Ekonometria 2 / 25 Plan prezentacji 1 Ekonometria
Bardziej szczegółowoJAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1. JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1
J zyki formalne i operacje na j zykach J zyki formalne s abstrakcyjnie zbiorami sªów nad alfabetem sko«czonym Σ. J zyk formalny L to opis pewnego problemu decyzyjnego: sªowa to kody instancji (wej±cia)
Bardziej szczegółowoMacierze i Wyznaczniki
Macierze i Wyznaczniki Kilka wzorów i informacji pomocniczych: Denicja 1. Tablic nast puj cej postaci a 11 a 12... a 1n a 21 a 22... a 2n A =... a m1 a m2... a mn nazywamy macierz o m wierszach i n kolumnach,
Bardziej szczegółowoMetody optymalizacji dyskretnej. Metody przybliżone
Metody optymalizacji dyskretnej Metody przybliżone Metody optymalizacji dyskretnej Większość problemów optymalizacji dyskretnej pochodzących z praktyki (szeregowanie, harmonogramowanie, transport, plany
Bardziej szczegółowoWstęp do programowania
Wstęp do programowania Złożoność obliczeniowa, poprawność programów Paweł Daniluk Wydział Fizyki Jesień 2013 P. Daniluk(Wydział Fizyki) WP w. XII Jesień 2013 1 / 20 Złożoność obliczeniowa Problem Ile czasu
Bardziej szczegółowoMaszyny Turinga i problemy nierozstrzygalne. Maszyny Turinga i problemy nierozstrzygalne
Maszyny Turinga Maszyna Turinga jest automatem ta±mowym, skª da si z ta±my (tablicy symboli) potencjalnie niesko«czonej w prawo, zakªadamy,»e w prawie wszystkich (tzn. wszystkich poza sko«czon liczb )
Bardziej szczegółowoProgramowanie wspóªbie»ne
1 Zadanie 1: Bar Programowanie wspóªbie»ne wiczenia 6 monitory cz. 2 Napisz monitor Bar synchronizuj cy prac barmana obsªuguj cego klientów przy kolistym barze z N stoªkami. Ka»dy klient realizuje nast
Bardziej szczegółowoModel obiektu w JavaScript
16 marca 2009 E4X Paradygmat klasowy Klasa Deniuje wszystkie wªa±ciwo±ci charakterystyczne dla wybranego zbioru obiektów. Klasa jest poj ciem abstrakcyjnym odnosz cym si do zbioru, a nie do pojedynczego
Bardziej szczegółowoSZTUCZNA INTELIGENCJA
SZTUCZNA INTELIGENCJA WYKŁAD 13. PROBLEMY OPTYMALIZACYJNE Częstochowa 2014 Dr hab. inż. Grzegorz Dudek Wydział Elektryczny Politechnika Częstochowska PROBLEMY OPTYMALIZACYJNE Optymalizacja poszukiwanie
Bardziej szczegółowoMetody Optymalizacji: Przeszukiwanie z listą tabu
Metody Optymalizacji: Przeszukiwanie z listą tabu Wojciech Kotłowski Instytut Informatyki Politechniki Poznańskiej email: imię.nazwisko@cs.put.poznan.pl pok. 2 (CW) tel. (61)665-2936 konsultacje: wtorek
Bardziej szczegółowox y x y x y x + y x y
Algebra logiki 1 W zbiorze {0, 1} okre±lamy dziaªania dwuargumentowe,, +, oraz dziaªanie jednoargumentowe ( ). Dziaªanie x + y nazywamy dodawaniem modulo 2, a dziaªanie x y nazywamy kresk Sheera. x x 0
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoWST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14
WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2013/14 Spis tre±ci 1 Kodowanie i dekodowanie 4 1.1 Kodowanie a szyfrowanie..................... 4 1.2 Podstawowe poj cia........................
Bardziej szczegółowoWprowadzenie do złożoności obliczeniowej
problemów Katedra Informatyki Politechniki Świętokrzyskiej Kielce, 16 stycznia 2007 problemów Plan wykładu 1 2 algorytmów 3 4 5 6 problemów problemów Plan wykładu 1 2 algorytmów 3 4 5 6 problemów problemów
Bardziej szczegółowo1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna
1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna Liczby w pami ci komputera przedstawiamy w ukªadzie dwójkowym w postaci zmiennopozycyjnej Oznacza to,»e s one postaci ±m c, 01 m < 1, c min c c max, (1) gdzie m nazywamy
Bardziej szczegółowoPlan. Zakres badań teorii optymalizacji. Teoria optymalizacji. Teoria optymalizacji a badania operacyjne. Badania operacyjne i teoria optymalizacji
Badania operacyjne i teoria optymalizacji Instytut Informatyki Poznań, 2011/2012 1 2 3 Teoria optymalizacji Teoria optymalizacji a badania operacyjne Teoria optymalizacji zajmuje się badaniem metod optymalizacji
Bardziej szczegółowoANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ANALIZA NUMERYCZNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Metoda Eulera 3 1.1 zagadnienia brzegowe....................... 3 1.2 Zastosowanie ró»niczki...................... 4 1.3 Output do pliku
Bardziej szczegółowoAlgorytmika Problemów Trudnych
Algorytmika Problemów Trudnych Wykład 9 Tomasz Krawczyk krawczyk@tcs.uj.edu.pl Kraków, semestr letni 2016/17 plan wykładu Algorytmy aproksymacyjne: Pojęcie algorytmu aproksymacyjnego i współczynnika aproksymowalności.
Bardziej szczegółowoARYTMETYKA MODULARNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15
ARYTMETYKA MODULARNA Grzegorz Szkibiel Wiosna 2014/15 Spis tre±ci 1 Denicja kongruencji i jej podstawowe wªasno±ci 3 2 Systemy pozycyjne 8 3 Elementy odwrotne 12 4 Pewne zastosowania elementów odwrotnych
Bardziej szczegółowoArytmetyka zmiennopozycyjna
Rozdziaª 4 Arytmetyka zmiennopozycyjna Wszystkie obliczenia w octavie s wykonywane w arytmetyce zmiennopozycyjnej (inaczej - arytmetyce ) podwójnej precyzji (double) - cho w najnowszych wersjach octave'a
Bardziej szczegółowoPrzekroje Dedekinda 1
Przekroje Dedekinda 1 O liczbach wymiernych (tj. zbiorze Q) wiemy,»e: 1. zbiór Q jest uporz dkowany relacj mniejszo±ci < ; 2. zbiór liczb wymiernych jest g sty, tzn.: p, q Q : p < q w : p < w < q 3. 2
Bardziej szczegółowoMiASI. Modelowanie systemów informatycznych. Piotr Fulma«ski. 18 stycznia Wydziaª Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Šódzki, Polska
MiASI Modelowanie systemów informatycznych Piotr Fulma«ski Wydziaª Matematyki i Informatyki, Uniwersytet Šódzki, Polska 18 stycznia 2010 Spis tre±ci 1 Analiza systemu informatycznego Poziomy analizy 2
Bardziej szczegółowo2004 Goodrich, Tamassia
PROJEKTOWANIE ALGORYTMÓW I METODY SZTUCZNEJ INTELIGENCJI INFORMACJE PODSTAWOWE Kontakt pok. 230 C-3, tel.: 071 320 4226 Wykład 1 dr inż. Łukasz Jeleń Na podstawie wykładów dr. T. Fevensa e-mail: lukasz.jelen@pwr.edu.pl
Bardziej szczegółowoProste modele o zªo»onej dynamice
Proste modele o zªo»onej dynamice czyli krótki wst p do teorii chaosu Tomasz Rodak Festiwal Nauki, Techniki i Sztuki 2018 April 17, 2018 Dyskretny model pojedynczej populacji Rozwa»my pojedyncz populacj
Bardziej szczegółowoZadania z kolokwiów ze Wst pu do Informatyki. Semestr II.
Zadania z kolokwiów ze Wst pu do Informatyki. Semestr II. Poni»sze zadania s wyborem zada«z kolokwiów ze Wst pu do Informatyki jakie przeprowadziªem w ci gu ostatnich lat. Marek Zawadowski Zadanie 1 Napisz
Bardziej szczegółowoVincent Van GOGH: M»czyzna pij cy li»ank kawy. Radosªaw Klimek. J zyk programowania Java
J zyk programowania JAVA c 2011 Vincent Van GOGH: M»czyzna pij cy li»ank kawy Zadanie 6. Napisz program, który tworzy tablic 30 liczb wstawia do tej tablicy liczby od 0 do 29 sumuje te elementy tablicy,
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x, y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0, y 0 ) Pochodn cz stkow pierwszego rz du funkcji dwóch zmiennych wzgl
Bardziej szczegółowoFunkcje wielu zmiennych
dr Krzysztof yjewski Informatyka I rok I 0 in» 12 stycznia 2016 Funkcje wielu zmiennych Informacje pomocnicze Denicja 1 Niech funkcja f(x y) b dzie okre±lona przynajmniej na otoczeniu punktu (x 0 y 0 )
Bardziej szczegółowo9. Schematy aproksymacyjne
9. Schematy aproksymacyjne T.H. Cormen, C.E. Leiserson, R.L. Rivest, C. Stein Wprowadzenie do algorytmów, WNT (2004) O.H. Ibarra, C.E. Kim Fast approximation algorithms for the knapsack and sum of subset
Bardziej szczegółowoMacierze. 1 Podstawowe denicje. 2 Rodzaje macierzy. Denicja
Macierze 1 Podstawowe denicje Macierz wymiaru m n, gdzie m, n N nazywamy tablic liczb rzeczywistych (lub zespolonych) postaci a 11 a 1j a 1n A = A m n = [a ij ] m n = a i1 a ij a in a m1 a mj a mn W macierzy
Bardziej szczegółowo1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej. Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci
Zebraª do celów edukacyjnych od wykªadowców PK, z ró»nych podr czników Maciej Zakarczemny 1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci dotycz cych funkcji elementarnych,
Bardziej szczegółowoRys.2 N = H (N cos = N) : (1) H y = q x2. y = q x2 2 H : (3) Warto± siªy H, która mo»e by uto»samiana z siª naci gu kabla, jest równa: z (3) przy
XXXV OLIMPIADA WIEDZY TECHNICZNEJ Zawody III stopnia Rozwi zania zada«dla grupy mechaniczno-budowlanej Rozwi zanie zadania Tzw. maªy zwis, a wi c cos. W zwi zku z tym mo»na przyj,»e Rys. N H (N cos N)
Bardziej szczegółowoRzut oka na zagadnienia zwi zane z projektowaniem list rozkazów
Rzut oka na zagadnienia zwi zane z projektowaniem list rozkazów 1 Wst p Przypomnijmy,»e komputer skªada si z procesora, pami ci, systemu wej±cia-wyj±cia oraz po- ª cze«mi dzy nimi. W procesorze mo»emy
Bardziej szczegółowoSkrypt do Algorytmów i Struktur Danych
Skrypt do Algorytmów i Struktur Danych K. Kleczkowski M. Pietrek 14 marca 2018 2 Spis tre±ci I Algorytmy 5 1. Algorytmy sortowania 7 1.1. Wprowadzenie...................................... 7 1.2. Sortowanie
Bardziej szczegółowoBazy danych. Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl www.uj.edu.pl/web/zpgk/materialy 9/15
Bazy danych Andrzej Łachwa, UJ, 2013 andrzej.lachwa@uj.edu.pl www.uj.edu.pl/web/zpgk/materialy 9/15 Przechowywanie danych Wykorzystanie systemu plików, dostępu do plików za pośrednictwem systemu operacyjnego
Bardziej szczegółowodet A := a 11, ( 1) 1+j a 1j det A 1j, a 11 a 12 a 21 a 22 Wn. 1 (Wyznacznik macierzy stopnia 2:). = a 11a 22 a 33 +a 12 a 23 a 31 +a 13 a 21 a 32
Wyznacznik Def Wyznacznikiem macierzy kwadratowej nazywamy funkcj, która ka»dej macierzy A = (a ij ) przyporz dkowuje liczb det A zgodnie z nast puj cym schematem indukcyjnym: Dla macierzy A = (a ) stopnia
Bardziej szczegółowo*** Teoria popytu konsumenta *** I. Pole preferencji konsumenta 1. Przestrze«towarów 2. Relacja preferencji konsumenta 3. Optymalny koszyk towarów
*** Teoria popytu konsumenta *** I. Pole preferencji konsumenta 1. Przestrze«towarów 2. Relacja preferencji konsumenta 3. Optymalny koszyk towarów I.1 Przestrze«towarów Podstawowe poj cia Rynek towarów
Bardziej szczegółowoMODEL HAHNFELDTA I IN. ANGIOGENEZY NOWOTWOROWEJ Z UWZGL DNIENIEM LEKOOPORNO CI KOMÓREK NOWOTWOROWYCH
MODEL HAHNFELDTA I IN. ANGIOGENEZY NOWOTWOROWEJ Z UWZGL DNIENIEM LEKOOPORNO CI KOMÓREK NOWOTWOROWYCH Urszula Fory± Zakªad Biomatematyki i Teorii Gier, Instytut Matematyki Stosowanej i Mechaniki, Wydziaª
Bardziej szczegółowoCOLT - Obliczeniowa teoria uczenia si
Hung Son Nguyen (UW) COLT - Obliczeniowa teoria uczenia si 2007 1 / 32 COLT - Obliczeniowa teoria uczenia si Hung Son Nguyen Institute of Mathematics, Warsaw University son@mimuw.edu.pl 2007 Hung Son Nguyen
Bardziej szczegółowoO seminarium Algorytmika
O seminarium Algorytmika Šukasz Kowalik http://www.mimuw.edu.pl/~kowalik/semstud Pa¹dziernik 2012 Šukasz Kowalik () O seminarium Algorytmika Pa¹dziernik 2012 1 / 43 Plan 1 Wst p. 2 Przegl d dziedzin algorytmiki:
Bardziej szczegółowoInformatyka 1. Złożoność obliczeniowa
Informatyka 1 Wykład XI Złożoność obliczeniowa Robert Muszyński ZPCiR ICT PWr Zagadnienia: efektywność programów/algorytmów, sposoby zwiększania efektywności algorytmów, zasada 80 20, ocena efektywności
Bardziej szczegółowoFunkcje, wielomiany. Informacje pomocnicze
Funkcje, wielomiany Informacje pomocnicze Przydatne wzory: (a + b) 2 = a 2 + 2ab + b 2 (a b) 2 = a 2 2ab + b 2 (a + b) 3 = a 3 + 3a 2 b + 3ab 2 + b 3 (a b) 3 = a 3 3a 2 b + 3ab 2 b 3 a 2 b 2 = (a + b)(a
Bardziej szczegółowoTechniki optymalizacji
Techniki optymalizacji Wprowadzenie Maciej Hapke maciej.hapke at put.poznan.pl Literatura D.E. Goldberg Algorytmy genetyczne i zastosowania, WNT, 1995 Z. Michalewicz Algorytmy genetyczne + struktury danych
Bardziej szczegółowoPROBLEM: SORTOWANIE PRZEZ ODWRÓCENIA METODA: ALGORYTMY ZACHŁANNE
D: PROBLEM: SORTOWANIE PRZEZ ODWRÓCENIA METODA: ALGORYTMY ZACHŁANNE I. Strategia zachłanna II. Problem przetasowań w genomie III. Sortowanie przez odwrócenia IV. Algorytmy przybliżone V. Algorytm zachłanny
Bardziej szczegółowoMacierze. Dziaªania na macierzach. 1. Niech b d dane macierze , D = , C = , B = 4 12 A = , F = , G = , H = E = a) Obliczy A + B, 2A 3B,
Macierze Dziaªania na macierzach Niech b d dane macierze A = E = [ 2 3 0 3 2 3 2 0 [ 0 8, B = 4 2, F = [ 2 3, C = 3 2 2 3 0 0 0 4 0 6 3 0, G =, D = 0 2 0 2 0 3 0 3 0 2 0 0 2 2 0 0 5 0 2,, H = 0 0 4 0 0
Bardziej szczegółowo2004 Goodrich, Tamassia
PROJEKTOWANIE ALGORYTMÓW I METODY SZTUCZNEJ INTELIGENCJI INFORMACJE PODSTAWOWE Kontakt pok. 230 C-3, tel.: 071 320 4226 e-mail: lukasz.jelen@pwr.edu.pl www: lukasz.jelen.staff.iiar.pwr.wroc.pl Wykład 1
Bardziej szczegółowoRozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a).
Rozwi zania zada«z egzaminu podstawowego z Analizy matematycznej 2.3A (24/5). Rozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a). Zadanie P/4. Metod operatorow rozwi
Bardziej szczegółowoMatematyka dyskretna - wykład - część Podstawowe algorytmy kombinatoryczne
A. Permutacja losowa Matematyka dyskretna - wykład - część 2 9. Podstawowe algorytmy kombinatoryczne Załóżmy, że mamy tablice p złożoną z n liczb (ponumerowanych od 0 do n 1). Aby wygenerować losową permutację
Bardziej szczegółowoOptymalizacja. Algorytmy dokładne
dr hab. inż. Instytut Informatyki Politechnika Poznańska www.cs.put.poznan.pl/mkomosinski, Maciej Hapke Organizacja zbioru rozwiązań w problemie SAT Wielokrotny podział na dwia podzbiory: x 1 = T, x 1
Bardziej szczegółowoINFORMATOR TECHNICZNY WONDERWARE
Informator techniczny nr 95 04-06-2007 INFORMATOR TECHNICZNY WONDERWARE Synchronizacja czasu systemowego na zdalnych komputerach względem czasu systemowego na komputerze z serwerem Wonderware Historian
Bardziej szczegółowo