Fraktale i ich zastosowanie

Transkrypt

1 WFAIS UJ w Krakowie 20 listopada 2008

2 Denicja Wst p Denicja Samopodobie«stwo Wymiar fraktalny Fraktal to obiekt, który speªnia wi kszo± z poni»szych warunków: jest samopodobny; jego wymiar fraktalny jest ró»ny od wymiaru topologicznego (cz sto wyra»a si liczb niecaªkowit ); algorytm prowadz cy do jego konstrukcji jest prosty w porównaniu do skomplikowania jego ksztaªtu; jego ksztaªt jest nietrywialny w ka»dej ze skal (jest skª biony).

3 Samopodobie«stwo Wst p Denicja Samopodobie«stwo Wymiar fraktalny Denicja Samopodobie«stwo, to cecha obiektu, mówi ca,»e istnieje taki fragment obiektu, nie b d cy caªo±ci,»e po zastosowaniu na nim jednokªadno±ci, obrotu i translacji mo»na uzyska obiekt identyczny z pocz tkowym.

4 Samopodobie«stwo Przykªad Denicja Samopodobie«stwo Wymiar fraktalny

5 Rodzaje samopodobie«stwa Denicja Samopodobie«stwo Wymiar fraktalny samopodobie«stwo statystyczne; samopodobie«stwo w punkcie; ±cisªe samopodobie«stwo; samoaniczno± ;

6 Rodzaje samopodobie«stwa Denicja Samopodobie«stwo Wymiar fraktalny samopodobie«stwo statystyczne; samopodobie«stwo w punkcie; ±cisªe samopodobie«stwo; samoaniczno± ;

7 Rodzaje samopodobie«stwa Denicja Samopodobie«stwo Wymiar fraktalny samopodobie«stwo statystyczne; samopodobie«stwo w punkcie; ±cisªe samopodobie«stwo; samoaniczno± ;

8 Rodzaje samopodobie«stwa Denicja Samopodobie«stwo Wymiar fraktalny samopodobie«stwo statystyczne; samopodobie«stwo w punkcie; ±cisªe samopodobie«stwo; samoaniczno± ;

9 Denicja Samopodobie«stwo Wymiar fraktalny Samopodobie«stwo w punkcie (a) i ±cisªe (b)

10 Samoaniczno± Wst p Denicja Samopodobie«stwo Wymiar fraktalny

11 Wymiar ró»ne denicje Denicja Samopodobie«stwo Wymiar fraktalny wymiar euklidesowy; wymiar topologiczny; wymiar pokryciowy; wymiar samopodobie«stwa; wymiar cyrklowy; wymiar pudeªkowy; wymiar Hausdorfa;...

12 Wymiar topologiczny Wst p Denicja Samopodobie«stwo Wymiar fraktalny Denicja (intuicyjna) Wymiar topologiczny obiektu, to minimalna liczba zmiennych, potrzebnych do jednoznacznego okre±lenia poªo»enia punktu, nale» cego do tego obiektu.

13 Denicja Samopodobie«stwo Wymiar fraktalny Wymiar samopodobie«stwa przykªad

14 Denicja Samopodobie«stwo Wymiar fraktalny Wymiar samopodobie«stwa denicja Denicja Je±li kopiarka wielokrotnie redukuj ca w pojedynczym kroku zmniejsza obiekt z razy, a nast pnie kopiuje go k razy, to wymiar samopodobie«stwa obiektu powstaªego po niesko«czenie wielu krokach kopiarki b dzie wynosi D, przy czym zachodzi zwi zek: k = z D Wymiar samopodobie«stwa ln k = D ln z D = ln k ln z

15 Zbiór Cantora Wymiar samopodobie«stwa Zmniejszenie z = 3, liczba kopii k = 2, czyli: D = ln 2 ln 3 0, 63

16 Miotªa Cantora

17 Ser Cantora

18 Dywan Sierpi«skiego Wymiar samopodobie«stwa Zmniejszenie z = 3, liczba kopii k = 8, czyli: D = ln 8 ln 3 1, 89

19 G bka Sierpi«skiego Wymiar samopodobie«stwa Zmniejszenie z = 3, liczba kopii k = 20, czyli: D = ln 20 ln 3 2, 78

20 Krzywej Kocha Wymiar samopodobie«stwa Zmniejszenie z = 3, liczba kopii k = 4, czyli: D = ln 4 ln 3 1, 26

21 nie»ynka Kocha Wymiar samopodobie«stwa Zmniejszenie z = 3, liczba kopii k = 4, czyli: D = ln 4 ln 3 1, 26

22 Diabelskie schody Wymiar fraktalny Zmniejszenie z = 6, liczba kopii k = 3, czyli: D = ln 3 ln 3 = 1

23 Liczby pseudolosowe Wst p Liczby pseudolosowe Graka Biologia Sztuka

24 Liczby pseudolosowe Wst p Liczby pseudolosowe Graka Biologia Sztuka

25 Liczby pseudolosowe Wst p Liczby pseudolosowe Graka Biologia Sztuka

26 Cieniowanie 2 przykªady Liczby pseudolosowe Graka Biologia Sztuka

27 Krzywa Peana Wst p Liczby pseudolosowe Graka Biologia Sztuka

28 Krzywa Hilberta Wst p Liczby pseudolosowe Graka Biologia Sztuka

29 Liczby pseudolosowe Graka Biologia Sztuka Realistyczne ksztaªty paprotka kroki

30 Liczby pseudolosowe Graka Biologia Sztuka Realistyczne ksztaªty paprotka krok 5. i 10.

31 Liczby pseudolosowe Graka Biologia Sztuka Realistyczne ksztaªty paprotka caªa

32 Realistyczne ksztaªty drzewa Liczby pseudolosowe Graka Biologia Sztuka

33 Realistyczne ksztaªty drzewa Liczby pseudolosowe Graka Biologia Sztuka

34 Liczby pseudolosowe Graka Biologia Sztuka Zale»no± pr dko±ci metabolizmu do masy ciaªa ssaków

35 Liczby pseudolosowe Graka Biologia Sztuka Zale»no± pr dko±ci metabolizmu od masy ciaªa ssaków Masa jest proporcjonalna do obj to±ci, czyli do r 3. Tempo metabolizmu nie jest proporcjonalne do masy, tylko do r 2,25. Wniosek: ssaki zachowuj si tak, jakby skªadaªy si z bardzo popl tanej i poszarpanej na brzegach powierzchni (jak zwini ta kulka papieru). Wpªyw na to ma fakt,»e wydajno± wielu procesów zale»y od powierzchni danych organów (oddychanie, wchªanianie zwi zków od»ywczych w jelitach).

36 Jackson Pollock, Liczby pseudolosowe Graka Biologia Sztuka Jackson Pollock byª malarzem ameryka«skim, przedstawicielem ekspresjonizmu abstrakcyjnego. Rozwin ª swój wªasny styl tworzenia z charakterystycznym kapaniem farb na pªótno i rozpryskiwaniem jej (tzw. action painting - malarstwo gestu). U»ywaª w tym celu cz sto takich narz dzi jak drewniane trzonki, no»e lub szpachle.

37 Polloc przy pracy Wst p Liczby pseudolosowe Graka Biologia Sztuka

38 (1948) Painting Wst p Liczby pseudolosowe Graka Biologia Sztuka

39 (1949) Number 1 Wst p Liczby pseudolosowe Graka Biologia Sztuka

40 (1950) Number 32 Wst p Liczby pseudolosowe Graka Biologia Sztuka

41 Bibliograa H.-O. Peitgen, H. Jürgens, and D. Saupe, Granice chaosu Fraktale, cz ± 1 i cz ± 2, wydanie III, Warszawa, wyd. PWN, 2002, ISBN: i Ian Stewart, Czy bóg gra w ko±ci Nowa matematyka chaosu, Warszawa, wyd. PWN, 2001, ISBN: , Fraktale praca roczna 2007, Richard P. Taylor, Porz dek w chaosie Pollocka, miesi cznik wiat Nauki, luty 2003, str Wikipedia,