Własności oddzielania zbiorów drzew definiowalnych przez automaty

Uniwersytet Warszawski Wydział Matematyki, Informatyki i Mechaniki Szczepan Hummel Nr albumu: 197865 Własności oddzielania zbiorów drzew definiowalnych przez automaty Praca magisterska na kierunku MATEMATYKA Praca wykonana pod kierunkiem dra hab. Damiana Niwińskiego Instytut Informatyki Sierpień 2008

Oświadczenie kierującego pracą Potwierdzam, że niniejsza praca została przygotowana pod moim kierunkiem i kwalifikuje się do przedstawienia jej w postępowaniu o nadanie tytułu zawodowego. Data Podpis kierującego pracą Oświadczenie autora (autorów) pracy Świadom odpowiedzialności prawnej oświadczam, że niniejsza praca dyplomowa została napisana przeze mnie samodzielnie i nie zawiera treści uzyskanych w sposób niezgodny z obowiązującymi przepisami. Oświadczam również, że przedstawiona praca nie była wcześniej przedmiotem procedur związanych z uzyskaniem tytułu zawodowego w wyższej uczelni. Oświadczam ponadto, że niniejsza wersja pracy jest identyczna z załączoną wersją elektroniczną. Data Podpis autora (autorów) pracy

Streszczenie W pracy przedstawiony jest dowód borelowskiej nieoddzielalności pary zbiorów koanalitycznych. Rozważane zbiory pochodzą z teorii języków formalnych pojawiają się między innymi w dowodzie ścisłości hierarchii indeksów dla automatów alternujących na drzewach nieskończonych. Praca uzupełnia wynik A. Arnolda i L. Santocanale przedstawiony w [SA] dotyczący nieoddzielalności w hierarchii termów µ-rachunku. Słowa kluczowe borelowska oddzielalność, nieskończone drzewa etykietowane, automaty na drzewach, zbiory koanalityczne zupełne, języki formalne 11.1 Matematyka Dziedzina pracy (kody wg programu Socrates-Erasmus) 03 Mathematical logic and foundations 03E Set theory 03E15 Descriptive set theory Klasyfikacja tematyczna Tytuł pracy w języku angielskim Separation Properties of Tree Languages Definable by Automata

Spis treści Wprowadzenie....................................... 5 1. Podstawowe pojęcia.................................. 7 1.1. Oznaczenia..................................... 7 1.2. Drzewa....................................... 7 1.3. Gry i strategie................................... 8 2. Definicja problemu - kontekst........................... 11 2.1. Kontekst topologiczny............................... 11 2.2. Sformułowanie problemu.............................. 12 2.3. Determinacja gier rozważanego typu....................... 13 3. Złożoność topologiczna zbiorów A 0 i A 1..................... 15 3.1. A 0 Π 1 1....................................... 15 3.2. A 0 jest Π 1 1-trudny................................. 17 4. Borelowska nieoddzielalność............................ 19 4.1. Przeformułowanie problemu............................ 19 4.2. Kodowanie zbiorów borelowskich za pomocą gier................ 19 5. Uwagi dodatkowe................................... 23 5.1. Próba uproszczenia przykładu........................... 23 5.2. Pytanie otwarte................................... 24 3

Wprowadzenie Podstawowym wynikiem zawartym w tej pracy jest dowód borelowskiej nieoddzielalności pewnej pary zbiorów koanalitycznych. Jednak nie jest to po prostu jeszcze jeden przykład nieoddzialalnej pary. Istnieje kilka powodów, które czynią go ciekawym albo wręcz unikalnym. Pierwszym z nich jest jego pochodzenie. Nie wyrasta on wprost z deskryptywnej teorii mnogości. Zbiory składające się na naszą parę w naturalny sposób pojawiają się w teorii języków formalnych. Rozważany przez nas zbiór A 0 to jeden z klasy języków użytych do wykazania ścisłości hierarchii indeksów dla automatów alternujących na drzewach nieskończonych [Br, Ar]. Drugi zbiór z naszej nieoddzielalnej pary jest lustrzanym odbiciem pierwszego powstaje przez zamianę miejscami etykiet 0 z 1 oraz z. Ta symetria również wydaje się ważną cechą. Zgodnie z naszą wiedzą wszystkie dotychczas znane przykłady nieoddzielalnych par przypominały strukturą klasyczną parę zbiorów drzew W F (well founded) i UB (unique branch). Wszystkie były postaci: brak osobliwości dokładnie jedna osobliwość (patrz [Be]), a wszystkie dowody nieoddzielalności opierały się (pośrednio bądź bezpośrednio) na twierdzeniu o prezentacji dowolnego zbioru borelowskiego jako funkcji różnowartościowej (zob. np. [Ke], tw. 13.7). Nasz dowód używa niezależnej (choć podobnej) techniki patrz lemat 4.1.1. Wynik przedstawiony w pracy (twierdzenie 4.1.2) rozstrzyga przypadek pozostawiony bez odpowiedzi w pracy Arnolda i Santocanale [SA], którzy opisują wyniki dotyczące oddzielania termów µ-rachunku za pomocą złożenia termów niższego poziomu. Problem ma równoważne sformułowanie w języku automatów. Autorzy ci pokazali, że własność oddzielania nie zachodzi dla niedeterministycznych automatów typu Σ (µ ν µ...), począwszy od poziomu 3. Nasz wynik uzupełnia twierdzenie o przypadek dla poziomu 2. W pierwszym rozdziale pracy wprowadzone są podstawowe używane później oznaczenia i definicje. Drugi rozdział zawiera dokładny opis postawionego problemu wraz z jego osadzeniem w realiach topologicznych. Udowodniona jest również wykorzystywana później determinacja używanych przez nas gier. Trzeci rozdział rozwija wątek topologiczny dotyczący rozważanych zbiorów. Udowadniamy, że ich dokładna złożoność topologiczna jest Π 1 1, co potwierdza zasadność zadanego pytania o borelowską nieoddzielalność. Rozdział czwarty jest centralnym punktem pracy zawiera dowód nieoddzielalności. W rozdziale piątym przedstawione są pewne oboczne zagadnienia oraz są wyjaśnione pytania, które mogą pojawić się podczas lektury pracy oraz które pojawiły się w trakcie rozwiązywania problemu. W pracy nie są przywołane definicje związane z teorią automatów, ponieważ nie są one potrzebne do zrozumienia zawartych w niej dowodów, a jedynie do pełnego zrozumienia kontekstu i wniosków wynikających z pracy. W tej materii odwołujemy się do definicji zawartych w [Th], sekcje 3.2 i 6.1. Jeżeli nie będzie wyraźnie zaznaczone inaczej, automat na drzewach nieskończonych będzie zawsze automatem z warunkiem parzystości. 5

Rozdział 1 Podstawowe pojęcia 1.1. Oznaczenia Zbiór liczb naturalnych będziemy oznaczać przez ω. Zakładamy, że 0 ω. Tradycyjnie, tego samego symbolu będziemy również używać na oznaczenie najmniejszej nieskończonej liczby porządkowej. Niech Σ będzie dowolnym zbiorem (alfabetem). Zbiór wszystkich słów skończonych nad alfabetem Σ (czyli skończonych ciągów elementów z Σ) będziemy oznaczać przez Σ <ω. Pusty ciąg przez ε. Dla s Σ <ω przez s oznaczymy długość słowa s (liczbę symboli). Konkatenację słów będziemy oznaczać używając notacji multiplikatywnej, czyli s t lub st oznacza konkatenację słów s, t Σ <ω. Przez A ω będziemy oznaczać zbiór wszystkich ciągów nieskończonych (o długości ω) elementów z A. 1.2. Drzewa Definicja 1.2.1 Drzewem (nieetykietowanym) nad alfabetem A (inaczej o rozgałęzieniu A ) nazywamy dowolny podzbiór t zbioru A <ω zamknięty na prefiksy. Elementy tego podzbioru nazywamy wierzchołkami drzewa. Wierzchołek ε nazywamy korzeniem drzewa. Dla a A oraz v, va t wierzchołek va nazywamy następnikiem (synem) wierzchołka v, a wierzchołek v poprzednikiem (ojcem) wierzchołka va. Ilekroć będziemy mówili o porządku na wierzchołkach drzewa, będzie chodziło o porządek prefiksowy. Czyli: dla v, w t v w s A <ω w = v s Przez T r (A) będziemy oznaczać zbiór wszystkich drzew o rozgałęzieniu A. Definicja 1.2.2 Powiemy, że drzewo t jest dobrze przycięte jeżeli: v t w t v < w Definicja 1.2.3 Gałęzią drzewa t o rozgałęzieniu A nazywamy dowolne x A ω takie, że n ω x n t Przez [t] oznaczamy zbiór wszystkich gałęzi drzewa. 7

Definicja 1.2.4 Drzewem etykietowanym alfabetem Σ będziemy nazywać funkcję: t : dom(t) Σ gdzie dom(t) jest drzewem nieetykietowanym. Drzewa etykietowane dziedziczą więc z drzew etykietowanych pojęcia takie jak: wierzchołek, korzeń, porządek na wierzchołkach. Wartość t(v) nazywamy etykietą wierzchołka v (jeżeli v dom(t)). 1.3. Gry i strategie W tej pracy będziemy zajmowali się specyficznym rodzajem gier. Będą to gry na drzewach (czyli podklasa klasy gier na grafach). Standardowo będziemy rozważać gry, w których uczestniczy dwóch graczy, egzystencjalny ( ) i uniwersalny ( ). Tak więc będziemy używać następującej definicji: Definicja 1.3.1 Niech T będzie drzewem (nieskończonym, dobrze przyciętym) etykietowanym alfabetem {, } Σ. Grą na drzewie T nazwiemy parę: gdzie : T nazywamy planszą gry G, G = (T, W ) W Σ ω jest warunkiem wygrywającym dla gracza. Wprowadzimy od razu dodatkowe oznaczenia, które ułatwią nam dalsze opisy: Przez P os T będziemy oznaczać zbiór wierzchołków v dom(t ) takich, że T (v) ma na pierwszej współrzędnej. Będą to pozycje gracza egzystencjalnego w grze G. Analogicznie przez P os T będziemy oznaczać zbiór pozycji gracza, czyli zbiór wierzchołków v dom(t ) takich, że T (v) ma na pierwszej współrzędnej. Łatwo zauważyć, że zbiory P os T, P ost dom(t ) tworzą podział zbioru wszystkich wierzchołków drzewa T. Przez t T będziemy oznaczać złożenie funkcji T z rzutowaniem na drugą współrzędną. Czyli t T będzie drzewem etykietowanym alfabetem Σ. Oczywiście dom(t T ) = dom(t ). Etykiety ze zbioru Σ będziemy nazywali etykietami priorytetów, a i etykietami graczy. Czyli t T jest drzewem T, w którym wymazano etykiety graczy. Rozgrywką ρ w grze G nazwiemy dowolną gałąź drzewa t T. Rozgrywka jest wygrana przez gracza jeżeli ciąg złożony z etykiet kolejnych wierzchołków gałęzi ρ należy do W. W przeciwnym wypadku rozgrywka jest wygrana przez gracza (w grze nie ma remisów). Intuicyjnie rozgrywka w grze G wygląda następująco: Pozycją startową jest ε (korzeń drzewa T ), Jeżeli gra jest w pozycji v dom(t ) to gracz, którego pozycją jest v (zależy to od tego czy v P os T czy v P ost ) wybiera syna wierzchołka v. Następną pozycją w grze jest wybrany syn. 8

To, który gracz wygrywa rozgrywkę, zależy wyłącznie od etykiet priorytetów pojawiających się w rozgrywce (etykiet wierzchołków na gałęzi). Gracz p {, } podejmuje decyzje jedynie w wierzchołkach należących do P os T p. Dlatego: Definicja 1.3.2 Drzewo σ T nazwiemy strategią dla gracza p {, } w grze na planszy T jeżeli: ε dom(σ), jeżeli v dom(σ) i v P os T p to!a va dom(σ), jeżeli v dom(σ) i v / P os T p to a va dom(t ) va dom(σ). Powiemy, że strategia σ dla gracza p, w grze G = (T, W ), jest wygrywająca jeżeli każda rozgrywka zgodna z tą strategią (każda gałąź w drzewie σ) jest wygrana przez gracza p. 9

Rozdział 2 Definicja problemu - kontekst 2.1. Kontekst topologiczny Niech X będzie zbiorem nieskończonych, pełnych drzew binarnych etykietowanych alfabetem {, } {0, 1}, czyli zbiorem plansz gier z etykietami priorytetów 0 i 1. Będziemy traktowali X jako przestrzeń topologiczną. Zauważmy, że: X = ({, } {0, 1}) 2<ω Użyjemy więc, naturalnej dla tej przestrzeni, topologii Tichonowa (gdzie {, } {0, 1} traktujemy oczywiście jako przestrzeń dyskretną). Podbazę tej topologii na X tworzą zbiory postaci: Uwaga 2.1.1 U v,p,n = {T X : T (v) = (p, n)} gdzie v 2 <ω, (p, n) {, } {0, 1} 1. Zauważmy, że podbaza {U v,p,n } jest złożona ze zbiorów otwarto-domkniętych. Xjest więc przestrzenią zerowymiarową. 2. X jest przestrzenią metryzowalną. Standardowa metryka rozważana w przypadku przestrzeni drzew ma postać: { 2 min{ s :s 2 <ω,t 1 (s) T 2 (s)} gdy T d X (T 1, T 2 ) = 1 T 2 0 gdy T 1 = T 2 3. X jest zwarta. Dowód tutaj jest bardzo standardowy. Weźmy dowolny ciąg {T n } X. Znajdziemy jego zbieżny podciąg. Ponieważ zbiór etykiet jest skończony, istnieje taka etykieta, która występuje w korzeniach nieskończenie wielu wyrazów ciągu. Dalej rozważamy już tylko te wyrazy, poza pierwszym (o najmniejszym indeksie), który bierzemy jako pierwszy wyraz podciągu. Następnie patrzymy na drugi poziom drzewa. Ponieważ liczba wierzchołków na jednym poziomie jest skończona to jest też skończona liczba zestawów etykiet na poziomie. Istnieje więc taki zestaw, który występuje w nieskończenie wielu spośród wcześniej wybranych wyrazów. W dalszych rozważaniach uwzględniamy już tylko te wyrazy, poza pierwszym, który bierzemy jako drugi wyraz podciągu. Postępując dalej analogicznie, poziom po poziomie, wybieramy podciąg, który jest zbieżny do drzewa, które na każdym poziomie ma właśnie te zestawy etykiet, które były wybrane w czasie konstrukcji. 11

4. X jest przestrzenią doskonałą (niepustą, bez punktów izolowanych). Wystarczy pokazać, że wszystkie niepuste zbiory otwarte są więcej niż jednoelementowe. Jest tak dlatego, że wszystkie zbiory z podbazy {U v,p,n } mają nieskończenie wiele elementów, a ich skończone przecięcia są albo puste, albo też nieskończenie wielo elementowe. 5. Dzięki 1, 2, 3 i 4 przestrzeń X jest homeomorficzna z przestrzenią Cantora 2 ω (twierdzenie Brouwera zob. np. [Ke], twierdzenie 7.4). W szczególności X jest nieprzeliczalną przestrzenią polską. W dalszej części pracy będziemy rozważać też przestrzenie drzew nieetykietowanych. W przestrzeni drzew nieetykietowanych nad A podbazę tworzą zbiory dwóch postaci: U s = {drzewa, które zawierają wierzchołek s} dla s A <ω V s = {drzewa, które nie zawierają wierzchołka s} dla s A <ω 2.2. Sformułowanie problemu Niech T X. Będziemy rozważać dwa (dualne) warunki wygrywające w grze na planszy T : Gracz wygrywa wtw gdy w rozgrywce pojawiło się skończenie wiele etykiet 1. Formalnie: W 0 = {ρ [t T ] : prawie wszystkie pozycje z ρ są etykietowane 0} Gracz wygrywa wtw gdy w rozgrywce pojawiło się skończenie wiele etykiet 0. Czyli, inaczej mówiąc, wygrywa gdy w rozgrywce pojawiło się nieskończenie wiele 0. Tak więc formalnie: W 1 = {ρ [t T ] : istnieje nieskończenie wiele pozycji w ρ etykietowanych 0} bo warunek wygrywający zwyczajowo formułujemy z perspektywy gracza egzystencjalnego. Będziemy rozważać dwa podzbiory przestrzeni X. A 0 zbiór takich drzew T X, na których gracz ma strategię wygrywającą w grze z warunkiem W 0, A 1 zbiór takich drzew T X, na których gracz ma strategię wygrywającą w grze z warunkiem W 1. Uwaga 2.2.1 Zauważmy, że zbiór A 1 powstaje ze zbioru A 0 poprzez zamianę etykiet 0 z etykietami 1, oraz etykiet z etykietami. Tak więc z topologicznego punktu widzenia A 0 i A 1 to dwie kopie tego samego zbioru, ale zanurzone w przestrzeń X jako rozłączne podzbiory. Rozważania w pracy koncentrują się wokół pytania: Czy istnieje zbiór borelowski oddzielający zbiory A 0 i A 1. 12

2.3. Determinacja gier rozważanego typu Twierdzenie 2.3.1 Gra definiowana przez dowolne drzewo T X i dowolny z warunków W 0, W 1 jest zdeterminowana. Tzn. w każdej takiej grze albo gracz ma strategię wygrywającą, albo gracz ma strategię wygrywającą. Dowód: Udowodnimy twierdzenie przez sprowadzenie gry do równoważnej gry pasującej do definicji używanej w twierdzeniu Martina o borelowskiej determinacji [Ma]. W pracy Martina plansza gry jest dobrze przyciętym drzewem, a rozgrywka jest gałęzią tego drzewa. Natomiast gracze wykonują ruchy na zmianę. Gra na T X nie do końca pasuje do tego schematu, bo gracze nie koniecznie poruszają się na zmianę. Poradzimy sobie z tym problemem wprowadzając tam gdzie trzeba duplikaty wierzchołków. Skonstruujemy planszę T jako najmniejsze drzewo nad dom(t ) spełniające warunki: ε T (używam takiego oznaczenia na ciąg jednoelementowy złożony z ciągu pustego, czyli korzenia drzewa T ), dla każdego s 0 s 1... s 2k T jeżeli s 2k P os T to s 0s 1... s 2k s 2k T, wpp dla każdego s będącego następnikiem s 2k w dom(t ), s 0 s 1... s 2k s T, dla każdego s 0 s 1... s 2k+1 T jeżeli s 2k+1 P os T to dla każdego s będącego następnikiem s 2k+1 w dom(t ), s 0 s 1... s 2k+1 s T, wpp s 0 s 1... s 2k+1 s 2k+1 T. T jest drzewem z definicji. Łatwo też zauważyć, że T jest dobrze przycięte, ponieważ posiada dokładnie te same rozgałęzienia co T (a T jako pełne drzewo jest dobrze przycięte), jedynie w niektórych miejscach wstawione są unarne wierzchołki rozciągające drzewo w pionie. Jest więc T legalną planszą gry zgodną z definicją używaną w twierdzeniu Martina. Musimy teraz wprowadzić warunek wygrywający W0 taki, żeby gra G(T, W0 ) była równoważna grze G(T, W 0 ). To znaczy, żeby gracz I miał strategię wygrywającą w G(T, W0 ) dokładnie wtedy gdy gracz ma strategię wygrywającą w G(T, W 0 ) i analogicznie z graczami II i. Rozgrywką w grze na T jest ciąg ρ (2 <ω ) ω. Żeby skonstruować zbiór wygrywający W0 użyjemy funkcji t T, a dokładniej rozszerzenia tej funkcji na ciągi, e T : (2 <ω ) ω {0, 1} ω : e T (s 0 s 1 s 2...) = t T (s 0 )t T (s 1 )t T (s 2 )... Czyli funkcja e T rozgrywce w grze G(T, W0 ) przyporządkowuje ciąg etykiet priorytetów. Zauważmy, że rozgrywki w grze G(T, W0 ) odpowiadają rozgrywkom w grze G(T, W 0), jedyną różnicą jest to, że niektóre pozycje pojawiają się dwa razy pod rząd. Tak więc ciąg e T (ρ) zawiera skończenie wiele jedynek wtedy i tylko wtedy gdy ciąg etykiet pojawiający się w odpowiadającej ρ rozgrywce w G(T, W 0 ) zawiera skończenie wiele jedynek, czyli dokładnie wtedy gdy ta rozgrywka należy do W 0. Tak więc możemy wziąć: W 0 = {ρ ( 2 <ω) ω : e T (ρ) jest ciągiem prawie samych 0} 13

Czyli W 0 = (e T ) 1 ({ciągi prawie stałe równe 0}) Czyli W0 jest przeciwobrazem zbioru typu F σ przy funkcji e T. Zauważmy, że funkcja e T jest ciągła. Wynika to z faktu, że żeby rozstrzygnąć jaki jest n-ty wyraz ciągu e T (ρ) wystarczy znać n pierwszych wyrazów ρ. Czyli e T jest nawet lipschitzowska ze stałą 1. Otrzymujemy więc, że warunek W0 jest borelowski. Tak więc, na mocy twierdzenia Martina, gra G(T, W0 ) jest zdeterminowana. Ponieważ gry G(T, W 0) i G(T, W0 ) są równoważne, to gra G(T, W 0 ) jest również zdeterminowana. Oczywiście, dzięki symetrii, analogicznie dowodzimy determinacji gry G(T, W 1 ). Tym samym udowodniliśmy twierdzenie. 14

Rozdział 3 Złożoność topologiczna zbiorów A 0 i A 1 3.1. A 0 Π 1 1 Nasze rozważania rozpoczniemy od przyjrzenia się złożoności topologicznej wprowadzonych zbiorów. Zaczniemy od górnego ograniczenia złożoności zbioru A 0. Oczywiście, dzięki uwadze 2.2.1, od razu dostaniemy to samo ograniczenie dla zbioru A 1. Pierwsza przychodząca do głowy definicja topologiczna zbioru A 0 wygląda następująco: Istnieje strategia σ dla gracza taka, że dla każdej rozgrywki ρ zgodnej z tą strategią w rozgrywce ρ pojawia się skończenie wiele etykiet 1. Z powodu dwóch kwantyfikatorów drugiego rzędu, taka definicja daje nam klasę Σ 1 2. Drugi z kwantyfikatorów wyraża własność typu dla każdej gałęzi.... Żeby się go pozbyć musimy przeformułować tę własność na własność wyrażalną w logice pierwszego rzędu czyli możemy użyć tylko kwantyfikacji po wierzchołkach drzewa (a nie po ścieżkach). Własność na każdej gałęzi skończenie wiele 1 nie jest wyrażalna w ten sposób (patrz rozdział 5.1). Natomiast zauważmy, że zachodzi następujący fakt: Stwierdzenie 3.1.1 Własność: Na każdej gałęzi drzewa o skończonym rozgałęzieniu t jest nieskończenie wiele wierzchołków z etykietą 1 jest równoważna własności: Dla każdego wierzchołka v drzewa t istnieje skończony maksymalny antyłańcuch L v złożony z wierzchołków większych (położonych niżej w drzewie t) niż v, z których każdy ma etykietę 1. Nazwijmy ten antyłańcuch fastrygą dla wierzchołka v. Zauważmy, że fastryga przecina wszystkie gałęzie przechodzące przez wierzchołek v (dzięki maksymalności i skończoności). Dowód: ( ) Udowodnimy, że jeżeli dla drzewa t zachodzi drugi warunek to na każdej gałęzi t jest nieskończenie wiele etykiet 1. Niech w 2 ω będzie dowolną gałęzią drzewa t. Z założenia 15

implikacji dla v=ε, istnieje fastryga L ε, która, w szczególności, zawiera wierzchołek w 0 na gałęzi w taki, że t(w 0 )=1. Teraz zastosujmy założenie dla v=w 0. W ten sposób otrzymamy wierzchołek w 1 o etykiecie 1 położony na gałęzi w poniżej wierzchołka w 0. Postępując tak dalej otrzymamy nieskończony ciąg w 0, w 1, w 2,... różnych wierzchołków o etykiecie 1 położonych na gałęzi w, co kończy dowód tej implikacji. ( ) Przypuśćmy, że istnieje drzewo t z nieskończoną liczbą 1 na każdej gałęzi, które nie spełnia drugiego warunku. To znaczy, że istnieje wierzchołek v dla którego nie ma fastrygi. Rozważmy poddrzewo t v drzewa t złożone tylko z wierzchołków porównywalnych z v, a spośród wierzchołków większych od v zawierające tylko takie wierzchołki w, że pomiędzy v i w nie ma etykiet 1. Formalnie: dom(t v ) = { w dom(t) : t v (w) = t(w) w dom(tv) ( ) ( )} w v w>v u v<u<w t(u)=1 Zachodzi jeden z dwóch przypadków: Rysunek 3.1: Poddrzewo t v. Drzewo t v jest nieskończone. Wtedy, z lematu Königa, zawiera nieskończoną gałąź. Z konstrukcji t v widać, że na tej gałęzi od pewnego miejsca nie ma etykiet 1. No ale ta gałąź jest też gałęzią drzewa t. Sprzeczność z założeniem o t. Drzewo t v jest skończone. Wtedy liście tego drzewa tworzą fastrygę dla v. Sprzeczność z założeniem o v. Tym samym udowodniliśmy drugą implikację. Spróbujemy wykorzystać równoważność ze stwierdzenia 3.1.1. Rozważmy A 0, dopełnienie zbioru A 0. Z twierdzenia 2.3.1 dostajemy: A 0 = {Drzewa plansz, na których gracz ma strategię wygrywającą w grze z warunkiem W 0 } Czyli: A 0 = {T X : Istnieje strategia σ na planszy T, dla gracza taka, że (3.1) dla każdego wierzchołka v σ (3.2) istnieje fastryga L v dla wierzchołka v w σ (3.3) 16

Zauważmy, że kwantyfikator w linii 3.1 jest kwantyfikatorem drugiego rzędu. Reszta tworzy formułę borelowską. Czyli powyższa definicja daje nam złożoność Σ 1 1. Poniżej wyjaśnimy to bardziej formalnie. Musimy przede wszystkim oszacować złożoność topologiczną zbioru: S = {(σ, T ) : σ jest strategią dla gracza na planszy T } Taka zależność między σ a T jest określona przez formułę: ( ) x dom(σ) x dom(t ) σ(x) = T (x) (ε dom(σ)) ) ( x dom(σ) x P os T (x0 dom(σ) x1 / dom(σ)) ) ( x dom(σ) x P os T (x0 dom(σ) x1 dom(σ)) Powyższa formuła daje nam zbiór domknięty, gdyż jeżeli weźmiemy (σ, T ) takie, że σ nie jest strategią na T to niezgodność występuje na pewnym poziomie w tych drzewach. Czyli jeżeli ustalę do tej głębokości strategię i drzewo-planszę to dostanę zbiór otwarty zawierający (σ, T ) ale rozłączny z S. Zajmijmy się teraz resztą formuły (linie 3.2 i 3.3). Niech L v oznacza zbiór wszystkich potencjalnych fastryg czyli wszystkich skończonych maksymalnych antyłańcuchów złożonych z wierzchołków położonych w drzewie poniżej v. Zauważmy, że ten zbiór jest przeliczalny (skończone podzbiory zbioru przeliczalnego). Szukany zbiór można opisać następująco: F = { [ (σ, T ) : v 2 <ω } {{ } przel. Lv L } {{ v } przel. 0 1 0 1 { }} { { }} { ( w L } {{ v t T (w) = 1 ) L } v dom(σ) sk. ] 0 1 { }} { v / dom(σ) Ta formuła daje klasę Π 0 2. Zauważmy, że zbiór A 0 powstaje w wyniku następującego rzutowania na drugą współrzędną: A 0 = π 2 (S F ) Czyli zbiór A 0 jest analityczny, ponieważ S F jest borelowski. Tym samym udowodniliśmy twierdzenie: Twierdzenie 3.1.2 Zbiory A 0 i A 1 są koanalityczne. 3.2. A 0 jest Π 1 1-trudny Twierdzenie 3.2.1 Zbiór A 0 jest trudny w klasie zbiorów koanalitycznych. Dowód: Pokażemy, że zbiór W F drzew dobrze ufundowanych redukuje się w sensie Wadge a do zbioru A 0. Przypomnijmy, że W F jest zbiorem wszystkich drzew (nieetykietowanych) nad ω, które nie mają gałęzi nieskończonych. Zbiór W F rozpatrujemy jako podzbiór przestrzeni wszystkich drzew nad ω. Dowód Π 1 1-trudności zbioru W F można znaleźć na przykład w [Ke, sekcja 32.B]. Musimy więc pokazać funkcję F : T r (ω) X taką, że: W F = F 1 (A 0 ) (3.4) } 17

Żeby to zrealizować musimy przede wszystkim zakodować drzewo o rozgałęzieniu ω w drzewie binarnym. Zastosujemy tutaj jedno ze standardowych kodowań, mianowicie wierzchołkowi n 0 n 1 n 2... n k (3.5) będzie odpowiadał wierzchołek 1 n 0 01 n 1 01 n 2 0... 01 n k0 Użyjemy teraz etykietowania drzewa binarnego, żeby zapewnić warunek 3.4. Jeżeli chodzi o etykiety graczy to w konstruowanym kodowaniu będziemy używać tylko 1. Jeżeli chodzi o etykiety priorytetów to stosujemy następujące zasady. Niech t T r (ω): dla każdego n 1 n 2 n 3... n k t wierzchołek 1 n 1 01 n 2 01 n 3 0... 01 n k0 otrzymuje etykietę 1 w F (t), pozostałe wierzchołki w F (t) otrzymują etykietę 0. Rysunek 3.2 obrazuje przykład kodowania za pomocą funkcji F. Rysunek 3.2: Kodowanie prostego drzewa za pomocą funkcji F. Nie narysowane odnogi drzewa zawierają etykiety 0. W wynikowym drzewie nie narysowano etykiet gracza wszystkie te etykiety to. Zauważmy, że gałąź z nieskończoną liczbą jedynek pojawia się w drzewie F (t) dokładnie wtedy gdy w drzewie t jest nieskończona gałąź. Dzieje się tak dzięki temu, że opisana w 3.5 odpowiedniość pomiędzy wierzchołkami zachowuje porządek w drzewie oraz dzięki temu, że etykiety 1 pojawiają się w F (t) tylko w wierzchołkach odpowiadających pewnym wierzchołkom z t. Oczywiście udowodniliśmy jednocześnie, że zbiór A 1 jest koanalityczny-trudny. Ponieważ przestrzeń X jest nieprzeliczalną przestrzenią polską to z twierdzenia 3.2.1 wynika: Wniosek 3.2.2 Zbiory A 0 i A 1 nie są borelowskie. 1 Powrócimy do tego faktu w rozdziale 5.1. 18

Rozdział 4 Borelowska nieoddzielalność 4.1. Przeformułowanie problemu Żeby udowodnić, że zbiory A 0 i A 1 są nieoddzielalne zbiorem borelowskim skorzystamy z pewnej własności uniwersalności jaką ma ta para zbiorów. Koncepcja ta jest wzorowana na zadaniu 35.2 z książki [Ke], a raczej na zaproponowanym przez autora, w rozdziale Notes and Hints książki, rozwiązaniu tego zadania. Skorzystamy mianowicie z następującego lematu: Lemat 4.1.1 Niech B 2 ω będzie dowolnym zbiorem borelowskim. Istnieje funkcja ciągła F B : 2 ω X taka, że: F 1 B (A 0 ) = B F 1 B (A 1 ) = 2 ω \ B Udowodnimy główne twierdzenie tej pracy korzystając z powyższego lematu (lemat zostanie udowodniony w następnej sekcji). Twierdzenie 4.1.2 Nie istnieje zbiór borelowski oddzielający zbiory A 0 i A 1. Tzn. nie istnieje zbiór B Bor(X) taki, że A 0 B X \ A 1. Dowód twierdzenia 4.1.2: Przypuśćmy, że istnieje zbiór borelowski B X taki, że A 0 B X \A 1. Doprowadzimy do sprzeczności. Skorzystamy w tym celu z faktu, że dla nieprzeliczalnych przestrzeni polskich hierarchia borelowska jest ścisła. B jest zbiorem borelowskim, więc jest na jakimś poziomie hierarchii borelowskiej. Weźmy więc takie α, że B Π 0 α(x). Ponieważ 2 ω jest nieprzeliczalną przestrzenią polską to wiemy (z [Sr, wn. 3.6.8]), że istnieje zbiór C Σ 0 α(2 ω ), który nie należy do Π 0 α(2 ω ). Ponieważ zbiór C jest borelowski to istnieje funkcja ciągła F C, która koduje ten zbiór w sensie lematu 4.1.1. Czyli, w szczególności, F C 1 (B) = C (patrz rys. 4.1). Ale F C 1 (B) Π 0 α(2 ω ) ponieważ F C jest funkcją ciągłą, a B Π 0 α(x). Czyli C Π 0 α(2 ω ) i dochodzimy do sprzeczności. 4.2. Kodowanie zbiorów borelowskich za pomocą gier Pozostaje jeszcze tylko udowodnić lemat będący rdzeniem dowodu twierdzenia 4.1.2. 19

Rysunek 4.1: C jest przeciwobrazem B przy funkcji F C. Dowód lematu 4.1.1: Niech K będzie klasą tych podzbiorów B przestrzeni Cantora, dla których istnieje funkcja F B opisana w tezie lematu 4.1.1. Aby udowodnić, że klasa K zawiera wszystkie zbiory borelowskie pokażemy, że zawiera zbiory otwarto-domknięte oraz że jest zamknięta ze względu na dopełnienia i przeliczalne sumy 1. Zbiory otwarto-domknięte: Niech U 0 1 (2ω ). Weźmy dwa dowolne drzewa T, T X takie, że gracz ma strategię wygrywającą w grze na T z warunkiem W 0, a gracz ma strategię wygrywającą w grze na T z warunkiem W 2 1. Na przykład możemy wziąć T zawierające same etykiety (, 0) i T zawierające same etykiety (, 1). Definiujemy F U następująco: { T jeżeli x U F U (x) = T jeżeli x / U Oczywiście, ponieważ T A 0 i T A 1, to F U 1 (A 0 )=U oraz F U 1 (A 1 )=2 ω \U. Wystarczy jeszcze tylko pokazać, że funkcja F U jest ciągła. Przeciwobraz dowolnego zbioru przy funkcji F U jest albo pusty, albo równy U, albo równy 2 ω \U, albo równy całemu 2 ω. Wszystkie 4 z wymienionych zbiorów są otwarte więc funkcja F U jest ciągła. Czyli U K. Z dowolności wyboru U wynika, że klasa K zawiera wszystkie zbiory otwarto- -domknięte. Przeliczalne sumy: Teraz niech B= k ω B k, gdzie B k K. Dla każdego zbioru B k mamy odpowiednie funkcje F Bk. Wskażemy funkcję F B spełniającą tezę lematu. Konstrukcja drzewa F B (x) będzie realizacją następującej meta-gry. Celem gracza egzystencjalnego jest udowodnić, że x B. Na początku gracz egzystencjalny wybiera k takie, dla którego twierdzi, że x B k. Następnie, musi udowodnić to należenie, a gracz uniwersalny obalić je. Przejdźmy do konstrukcji F B (x), dla x 2 ω. Początkowa część drzewa F B (x) nie będzie w ogóle zależała od x. Wierzchołkom na najbardziej prawej gałęzi tego drzewa (wierzchołkom postaci 1 n ) dajemy etykiety (, 1) ta gałąź odpowiada wyborowi k przez gracza egzystencjalnego w meta-grze. Natomiast w każdej pozycji postaci 1 k 0 wstawiamy drzewo F Bk (x) (patrz rysunek 4.2). 1 Wystarczy wziąć zbiory otwarto-domknięte zamiast wszystkich zbiorów otwartych, ponieważ przestrzeń Cantora ma przeliczalną bazę złożoną ze zbiorów otwarto-domkniętych (jest ośrodkową przestrzenią zarowymiarową). 2 Pamiętajmy, że warunek wygrywający zdefiniowany jest z perspektywy gracza. 20

Rysunek 4.2: Konstrukcja planszy gry dla zbioru B= k B k i punktu x 2 ω. Udowodnimy teraz, że F B jest ciągła. Wystarczy pokazać, że dla każdego wierzchołka v wynikowego drzewa F B (x), wartość F B (x)(v) zależy tylko od prefiksu argumentu x. W naszym przypadku właśnie tak będzie ponieważ: etykiety wierzchołków na najbardziej prawej gałęzi nie zależą w ogóle od x, a etykiety wszystkich pozostałych wierzchołków drzewa pochodzą od funkcji F Bk, które są ciągłe z założenia, więc mają pożądaną własność. Weźmy teraz dowolny x B. Pokażemy strategię gracza w grze na F B (x) z warunkiem W 0. Jeżeli x B to x B k dla pewnego k. Tak więc strategia gracza polega na wybraniu k razy drogi w prawo (wierzchołki na najbardziej prawej gałęzi należą do ), a w k+1-szym ruchu wybraniu drogi w lewo. Potem (na poddrzewie zakorzenionym w wierzchołku 1 k 0) strategia gracza wygląda jak na drzewie F Bk (x). Z założenia wiemy, że na F Bk (x) gracz egzystencjalny ma strategię wygrywającą. Jeżeli x/ B to, dla każdego k, x/ B k. Czyli na każdym z drzew F Bk (x) gracz ma strategię wygrywającą w grze z warunkiem W 1. Więc jeżeli będzie stosował te strategie na odpowiednich poddrzewach drzewa F B (x) to wygra niezależnie od postępowania przeciwnika. Jeżeli gracz skręci w lewo z najbardziej prawej gałęzi to gracz wygra dzięki stosowanej strategii pasującej do odpowiedniego poddrzewa. Jeżeli natomiast gracz nie skręci z najbardziej prawej gałęzi to przegra ponieważ gałąź ta posiada same etykiety 1. Czyli B K. Tym samym skończyliśmy dowód zamkniętości klasy K na przeliczalne sumy. Dopełnienia: Dowód zamkniętości klasy K na dopełnienia dostajemy od razu dzięki symetrii jaka występuje między zbiorami A 0 i A 1. Żeby otrzymać funkcję dla dopełnienia zbioru B wystarczy w funkcji dla B zamienić etykiety z oraz 0 z 1. 21

Rozdział 5 Uwagi dodatkowe 5.1. Próba uproszczenia przykładu W niniejszej pracy pokazaliśmy naturalną parę regularnych zbiorów drzew nieoddzielalną zbiorem borelowskim. Można jednak zadać sobie pytanie czy nie da się tego przykładu trochę uprościć. Jeżeli przyjrzymy się dowodowi twierdzenia 3.2.1 zobaczymy, że tak naprawdę dowodzimy tam Π 1 1-trudność zbioru: A 0 = {na każdej gałęzi skończenie wiele 1}, ponieważ użyliśmy tylko etykiet gracza. Zbiór A 0 jest deterministyczny (definiowany przez automat deterministyczny). Można więc wysnuć hipotezę, że podobna do oryginalnej pary nieoddzielalnej, para języków deterministycznych też jest borelowsko nieoddzielalna. Mianowicie chodzi o parę: A 0 A 1 = {na każdej gałęzi skończenie wiele 0} Niestety jednak powyższa para okazuje się być oddzielana zbiorem borelowskim. Stwierdzenie 5.1.1 Istnieje zbiór borelowski B oddzielający A 0 i A 1. Dowód: Wybierzmy gałąź drzewa binarnego γ (na przykład najbardziej lewą gałąź). Rozważmy rodzinę zbiorów: B i = {Na gałęzi γ od poziomu i pojawiają się tylko etykiety 0} Zauważmy, że wszystkie zbiory B i są domknięte. Zbiór B = B i i ω zawiera A 0, ale oczywiście jest też rozłączny z A 1. Jest więc zbiorem borelowskim (dokładnie F σ ) spełniającym tezę stwierdzenia. 23

5.2. Pytanie otwarte Nie znany jest więc nam przykład dwóch rozłącznych zbiorów deterministycznych borelowsko nieoddzielalnych. Otwartym więc zostaje pytanie o prawdziwość hipotezy: Hipoteza 1 Każde dwa rozłączne deterministyczne zbiory nieskończonych drzew binarnych etykietowanych są oddzielane pewnym zbiorem borelowskim. 24

Bibliografia [Ar] Arnold, André, The µ-calculus alternation-depth hierarchy is strict on binary trees. RAIRO Theoretical Informatics and Applications, 33 (1999), 329-339. [Be] Becker, Howard, Some Examples of Borel-Inseparable Pairs of Coanalytic Sets. Mathematika, 33 (1986), 72-79. [Br] Bradfield, Julian C., Fixpoint alternation: Arithmetic, transition systems, and the binary tree. RAIRO Theoretical Informatics and Applications, 33 (1999), 341-356. [Ke] Kechris, Aleksander S., Classical Descriptive Set Theory. Graduate Texts in Mathematics, Vol. 156, Springer-Verlag 1995. [Ma] Martin, Donald A., Borel Determinacy. Annals of Mathematics, 102 (1975), 363 371. [SA] Santocanale, Luigi and Arnold, André, Ambiguous Classes in µ-calculi Hierarchies. Theoretical Computer Science, 333 (2005), 265-296. [Sr] Srivastava, Sashi M., A Course on Borel Sets. Graduate Texts in Mathematics, Vol. 180, Springer-Verlag 1998. [Th] Thomas, Wolfgang, Languages, Automata, and Logic. Handbook of Formal Languages, Vol. 3, Springer-Verlag 1997, 389-455. 25