Kredytowe instrumenty pochodne

Kredytowe instrumenty pochodne Dr. Andrzej Kulik MiNI PW 13 grudnia 2013

Jak działa CDS? Commerzbank kupuje 5-letnią protekcję na BASF od Deutsche Bank na nominał $10 mln płacąc premię 50 bp p.a. (kwartalnie, ACT/360) Płatności Commerzbanku kończą się z chwilą: bankructwa BASF albo zakończenia kontraktu 2 / 71

Płatności przy CDS Jeśli BASF działa podczas życia CDS Commerzbank płaci premię Jeśli BASF bankrutuje podczas życia CDS Commerzbank otrzymuje nominał obligacji Deutsche Bank traci LGD 3 / 71

Zabezpieczenie ryzyka kredytowego przy wykorzystaniu CDS W systemie informacyjnym Bloomberg obserwujesz następujące kwotowania CDS spółki Stroik Maturity CDS spread (bpa) DF 1 rok 52 0.9865 2 lata 68 0.9580 3 lata 80 0.9220 Kwotowania CDS oznaczają możliwość zawarcia kontraktu na spot przy założeniu rocznych płatności na koniec okresu (in arreas). W ćwiczeniu należy pominąć naliczone odsetki. 4 / 71

Co należy obliczyć? 1. Oblicz prawdopodobieństwo niewypłacalności dla jednego roku zakładając LGD=60% 2. Używając rozwiązania z (1) wyznacz cenę dwuletniej obligacji zerokuponowej Stroik o nominale 1000 przy założeniu LGD=60% 3. Zakładając, że kupiłeś trzyletnią protekcję CDS na nominał $10 mio. Krzywa CDS przesunęła się do góry o 1bp (roczne kwotowanie jest teraz 53bpa). Jaka będzie wartość: 3.1 kupionej wcześniej pozycji w trzyletnim CDS? 3.2 obligacji zerokuponowej, której cenę wyznaczyłeś w (2)? 5 / 71

Co należy obliczyć c.d.? 1. Posiadając powyższe informacje ile protekcji należy dokupić dla 3-letniego CDS o wartości $10 mion jeśli posiadasz pozycję w dwuletniej obligacji o wartości nominalnej $10 mio w celu zabezpieczenia pozycji przed zmianą spreadu 2. Skomentuj powyższą odpowiedź w przypadku zabezpieczenia pozycji zarówno jeśli chodzi o zabezpiecznie spreadu i ryzyka niewypłacalności przy wykorzystaniu CDS-ów 6 / 71

Rozwiązanie Roczny CDS jest kwotowany po 52 bpa, oznacza to: p 1 LGD DF 1 = (1 p 1 ) 0.0052 DF 1 Dla LGD=60% otrzymamy p 1 =0.86% Dwuletni CDS jest kwotowany po 68 bpa co oznacza: LGD (p 1 DF 1 + (1 p 1 )p 2 DF 2 ) = 0.0068 ((1 p 1 )DF 1 + (1 p 1 )(1 p 2 )DF 2 ) czyli p 2 =1.40%. W podobny sposób otrzymamy p 3 =1.73% 7 / 71

Cena obligacji Posiadając prawdopodobieństwa arbitrażowe cena obligacji wynosi: 1000(1 p 1 )(1 p 2 )DF 2 + 400 (p 1 DF 1 + (1 p 1 )p 2 DF 2 ) = 947.16 8 / 71

Zmiana ceny Po przesunięciu krzywej należy ponownie policzyć prawdopodobieństwa arbitrażowe: p 1 =0.88%, p 2 =1.42%, p 3 =1.74% Wartość CDS (Protection Buyer) to rożnica wartości dwóch stron transakcji: Protection: 0.6 3 i=1 DF i(s i 1 S i ) = 0.022674 Premium: 0.0080 3 i=1 DF i S i = 0.022394 Wartość pozycji: 10,000,000(0.022674-0.022394)=2,799.31 Cena obligacji to 946.97 9 / 71

Zabezpieczenie ryzyka spreadu Aby się zabezpieczyć przed zmianą ceny obligacji należy obliczyć zmianę wartości obligacji przy przesunięciu spreadu o 1 bp: Wartośc nominalna pozycji to 10,000,000, czyli 10,000 obligacji po 1,000 Zmiana ceny to: 10,000(945.23-945.04)=1,860.67 Ponieważ zmiana ceny CDS wyniosła 2,812.6 należy kupić 1,860.67/2,799.31 10 mio = 6.65 mio (66.5% wartości nominalnej obligacji) 10 / 71

Zabezpieczenie niewypłacalności i spreadu Kupno protekcji na zmianę spreadu wyklucza możliwość zabezpieczenia ryzyka niewypłacalności. Odwrotna sytuacja jest również prawdziwa. 11 / 71

Zastosowania w inwestycjach CDS stwarzają nową możliwość inwestycji na rynku kredytowym można mieć pogląd na polepszenie/pogorszenie sytuacji kredytowej nie ma ekspozycji na ryzyko stopy procentowej nie ma konieczności inwestycji na początku transakcji można mieć ekspozycje na podmioty, których obligacje nie zawsze są łatwo dostępne na rynku 12 / 71

Najprostsze strategie oczekujesz pogorszenia się sytuacji kredytowej zajmujesz długą pozycję (kupujesz protekcję) oczekujesz polepszenia się sytuacji kredytowej zajmujesz krótką pozycję (sprzedajesz protekcję) kupujesz obligację 13 / 71

CDS vs Equity put option Firma Krzak ma instrumenty kwotowane następująco: 1Y CDS @ 70 bp 1Y put option ze strike $10 i ceną $0.10 Która strategia oferuje tańsze ubezpieczenie bankructwa? (Recovery rate = 40%) 14 / 71

CDS vs Equity put option Niech nominał obligacji wynosi $1000, a RR=40%. W przypadku default zyskamy 600 (dostarczamy obligację o wartości rynkowej 400, a otrzymujemy z powrotem nominał czyli 1000). Koszt tej operacji to $7 1 put to $10, aby otrzymać $600 musimy kupić 60 opcji za $6 Jest to używana strategia wykorzystująca różnice w cenie Buy the puts and sell protection (odwrotna strategia działa gorzej) 15 / 71

Niewypłacalność Prawdopodobieństwo niewypłacalności firmy zależy od: wartości aktywów, najczęściej jest to mierzone jako zdyskontowana wartość przyszłych przepływów finansowych, ryzyka aktywów, które mierzy ryzyko biznesowe i ogólnoekonomiczne. Wartość aktywów jest przybliżeniem, które jest determinowane właśnie przez ryzyko aktywów, zadłużenia firmy. Wartość zadłużenia firmy względem wartości rynkowej aktywów jest dobrym wskaźnikiem ponieważ, zadłużenie firma zawsze musi spłacić. 16 / 71

Aktywa firmy, wartość kapitału i bankructwo 17 / 71

Firma i spłata długu 1. Firma emituje obligację zerokuponową o wartości nominalnej F oraz okresie do zapadalności T 2. V T jest wartością aktywów firmy w czasie T (majątek obrotowy i trwały) Co się stanie w czasie T jeśli: V T V T > F < F Co robi firma? Posiadacze obligacji otrzymują Akcjonariusze otrzymują 18 / 71

Firma i spłata długu (1) 1. Firma emituje obligację zerokuponową o wartości nominalnej F oraz okresie do zapadalności T 2. V T jest wartością aktywów firmy w czasie T (majątek obrotowy i trwały) Co się stanie w czasie T jeśli: Co robi firma? V T > F Normalnie funkcjonuje V T < F Bankrutuje Posiadacze obligacji otrzymują Akcjonariusze otrzymują 19 / 71

Firma i spłata długu (2) 1. Firma emituje obligację zerokuponową o wartości nominalnej F oraz okresie do zapadalności T 2. V T jest wartością aktywów firmy w czasie T (majątek obrotowy i trwały) Co się stanie w czasie T jeśli: Co robi firma? Posiadacze obligacji otrzymują V T > F Normalnie funkcjonuje Nominał obligacji (F ) V T < F Bankrutuje Recovery Rate (RR) 0 Akcjonariusze otrzymują V T F 20 / 71

Sytuacja akcjonariuszy 21 / 71

Sytuacja akcjonariuszy Opcja: Long call na aktywa firmy, strike to wartość nominalna długu 21 / 71

Sytuacja posiadaczy długu 22 / 71

Sytuacja posiadaczy długu Opcja: Short put na aktywa firmy, strike to wartość nominalna długu 22 / 71

Interpretacja opcjonalności Kapitał i dług firmy można traktować jako pochodną wartości aktywów: Kapitał - opcja call na aktywa firmy ze strike równym wartości długu Dług - obligacja wolna od ryzyka o wartości nominalnej F pomniejszona o opcję put ze strike równym wartości długu 23 / 71

Model Mertona Dane wejściowe: Wartość aktywów: 60 Zmienność aktywów: 22.3% Wartość nominalna długu: 50 Zapadalność długu: 2 lata Stopa wolna od ryzyka: 10% Wartość kapitału akcyjnego ze wzoru Blacka-Scholesa: E t =19.58 Wartość długu firmy to: 24 / 71

Model Mertona Dane wejściowe: Wartość aktywów: 60 Zmienność aktywów: 22.3% Wartość nominalna długu: 50 Zapadalność długu: 2 lata Stopa wolna od ryzyka: 10% Wartość kapitału akcyjnego ze wzoru Blacka-Scholesa: E t =19.58 Wartość długu firmy to: 40.42 Rentowność długu to: 24 / 71

Model Mertona Dane wejściowe: Wartość aktywów: 60 Zmienność aktywów: 22.3% Wartość nominalna długu: 50 Zapadalność długu: 2 lata Stopa wolna od ryzyka: 10% Wartość kapitału akcyjnego ze wzoru Blacka-Scholesa: E t =19.58 Wartość długu firmy to: 40.42 Rentowność długu to: 50 (1+y) 2 = 40.42 y = 11.22% Spread kredytowy to: 24 / 71

Model Mertona Dane wejściowe: Wartość aktywów: 60 Zmienność aktywów: 22.3% Wartość nominalna długu: 50 Zapadalność długu: 2 lata Stopa wolna od ryzyka: 10% Wartość kapitału akcyjnego ze wzoru Blacka-Scholesa: E t =19.58 Wartość długu firmy to: 40.42 Rentowność długu to: 50 (1+y) 2 = 40.42 y = 11.22% Spread kredytowy to: 122 bp 24 / 71

Wzór Blacka-Scholesa gdzie: d 1 = ln C t = S t N(d 1 ) X exp r(t t) N(d 2 ) S t +(r+0.5σ 2 )(T t) X σ T t C t : wartość opcji call S t : obecna wartość akcji X : cena wykonania (strike) T t: czas do wykonania w latach σ: zmienność ceny akcji (roczna) i d 2 = d 1 σ T t oraz: N(.): skumulowane odchylenie standardowe X exp r(t t) : bieżąca wartość strike 25 / 71

Wzór Blacka-Scholesa - jak go zmodyfikować D t = F exp r(t t) [( 1 L t ) ] N( d 1 ) + N(d 2 ) gdzie: d 1 = ln L t+0.5σ 2 (T t) V σ V T t i d 2 = d 1 σ V T t oraz: D t : obecna wartość długu t) exp r(t L t = V t : bieżące zadłużenie σ V : zmienność aktywów (roczna) 26 / 71

Warunki stosowania modelu Mertona Zmiany wartości aktywów nie mają rozkładu normalnego (nie jest to prawda dla długu) Zakłada się stałą zmienność Zakłada się stałe stopy procentowe Zakłada się, że wartość rynkowa jest odzwierciedla wartość firmy Zakłada się prostą strukturę kapitałową Nie ma możliwości niewypłacalności przed okresem zapadlności długu Struktura terminowa spreadów kredytowych nie może być zreplikowana 27 / 71

Model KMV Robert Merton zauważył podobny profil wypłaty dla posiadaczy długu, jaki ma miejsce w przypadku sprzedaży opcji put na akcje Firma KMV wyznaczyła analityczny model dla aktywów firmy, oparty na przemyśleniach Mertona, który stosuje do analizy sytuacji kredytowej firm Rozwiązuje się dwa równania oparte na modelu wyceny opcji: 1. Wartość kapitału akcyjnego = funkcja opcyjna (wartość aktywów, zmienność aktywów, struktura kapitałowa, stopa procentowa) 2. Zmienność kapitału własnego = funkcja opcyjna (wartość aktywów, zmienność aktywów, struktura kapitałowa, stopa procentowa) 28 / 71

Model KMV Wartość rynkowa aktywów charakteryzujemy procesem stochastycznym dv A = µv A dt + σ A V A dz gdzie: V A, dv A to wartość aktywów firmy i zmiana wartości aktywów µ i σ A to dryft wartości aktywów firmy oraz zmienność aktywów firmy dz to proces Wienera 29 / 71

Model KMV Wykorzystując model BS gdzie X to wartość księgowa długu w czasie T V E = V A N(d 1 ) exp( rt )XN(d 2 ) gdzie: V E to wartość rynkowa kapitału akcyjnego (cena akcji liczba akcji) d 1 V = ln A X d 2 r to stopa wolna od ryzyka 30 / 71 + (r + σ 2 A )T 2 σ A T = d 1 T σ A

Model KMV Drugie równanie, łączące zmienność akcji i aktywów to: σ E = V A V E N(d 1 )σ A 31 / 71

Model KMV Drugie równanie, łączące zmienność akcji i aktywów to: σ E = V A V E N(d 1 )σ A Sprawdzenie: Firma ma rynkową wartość 3 (V E ), roczna zmienność akcji to 40% (σ E ) a wartość rynkowa długu to 10 (X ). Przyjmując czas 1 rok (T ) oraz stopę wolną od ryzyka 5% (r) otrzymamy: 31 / 71

Model KMV Drugie równanie, łączące zmienność akcji i aktywów to: σ E = V A V E N(d 1 )σ A Sprawdzenie: Firma ma rynkową wartość 3 (V E ), roczna zmienność akcji to 40% (σ E ) a wartość rynkowa długu to 10 (X ). Przyjmując czas 1 rok (T ) oraz stopę wolną od ryzyka 5% (r) otrzymamy: zmienność aktywów: σ A = 9.61% 31 / 71

Model KMV Drugie równanie, łączące zmienność akcji i aktywów to: σ E = V A V E N(d 1 )σ A Sprawdzenie: Firma ma rynkową wartość 3 (V E ), roczna zmienność akcji to 40% (σ E ) a wartość rynkowa długu to 10 (X ). Przyjmując czas 1 rok (T ) oraz stopę wolną od ryzyka 5% (r) otrzymamy: zmienność aktywów: σ A = 9.61% wartość aktywów: V A = 12.51 31 / 71

Default Point Empirycznie stwierdzono, że firmy stają się niewypłacalne jeśli wartość aktywów spada poniżej Default Point (DD) Default point = zobowiązania do roku + 1 pozostałe 2 zobowiązania Istotna jest różnica: V A DD Distance to Default = V A DD V A σ A 32 / 71

Distance to Default 33 / 71

Distance to Default Wielkość Wartość Uwagi V E 3 Cena akcji ilość akcji X 10 Wartość księgowa długu V A 12.51 Z modelu opcyjnego σ A 9.61% Z modelu opcyjnego Default Point 10 zobowiązania do roku + 1 pozostałe zobowiązania 2 12.51 10 Distance to Default 2.09 12.51 0.0961 34 / 71

Expected Default Frequency DD nie jest używany przez KMV do charakterystyki firm KMV używając swoich danych transformuje DD do EDF EDF można porównać (robi to KMV) z ratingami zewnętrznymi EDF mówi ile firm z tym samym DD weszło w default w ciągu jednego roku Przykład: Dla DD=4.19 historycznie w ciągu roku upadło 0.03% firm, czyli 1Y EDF=0.03% 35 / 71

Enron KMV i agencje ratingowe 36 / 71

Zastosowania modeli strukturalnych Modele strukturalne umożliwiają: znając wartość kapitału akcyjnego określenie wartości długu Equity-to-Credit 37 / 71

Zastosowania modeli strukturalnych Wykorzystanie EDF obok prawdopodobieństw niewypłacalności Ponieważ ceny akcji lepiej antycypują przyszłość można to wykorzystać do przewidywania trendów Nie ma potrzeby istnienia ratingu dla długu Codzienne zmiany z racji zmian w wartości kapitału Pomiar jest ściśle związany z wartością aktywów firmy 38 / 71

Ćwiczenie Firma Krzak wyemitowała zerokuponową obligację o wartości 400 mio i zapadalności trzy lata. Zakładając, że stopa wolna od ryzyka wynosi 5% oraz że: cena akcji firmy Krzak to 19.40 Ilość wyemitowanych akcji to 15 mio Zmienność akcji to 63% w skali roku 1. Oblicz cenę obligacji (za 100 nominału) 2. Ile wynosi spread ponad stopę wolną od ryzyka? 39 / 71

Ćwiczenie - cena obligacji i spread Wykorzystując wzór Mertona otrzymujemy: 1. zmienność aktywów: 33% 2. wartość aktywów: 614 mln Oznacza to, że wartość długu wynosi: 614-291=323 mln Ponieważ wartość nominalna długu to 400 mln, otrzymujemy cenę: cena = 323 = 0.8075 400 Rentowność trzyletniej obligacji zerokuponowej o cenie 0.8075: 3 1 0.8075 1 = 7.39% Spread (ponad risk-free): 239 bp (7.39%-5%) 40 / 71

Zastosowania dla modelu Mertona Dług i kapitał akcyjny firmy traktowany jest jako instrument pochodny aktywów firmy Można obliczać prawdopodobieństwa niewypłacalności poprzez DD i EDF Posiadając parametry z rynku akcji (cena, zmienność) oraz informacje o zadłużeniu można obliczyć rentowność długu Spread powyżej obligacji risk-free wskazuje na ryzyko kredytowe Umożliwia połączenie wartości długu względem wartości akcji (capital arbitrage) 41 / 71

Co to jest CDO? Collateralized Debt Obligation (CDO) zamienia przepływy finansowe z portfela obligacji lub pożyczek na przepływy finansowe z transz nowych instrumentów finansowych 42 / 71

Jak działa CDO? Zwykle obligacje/pożyczki są sprzedawane do SPV (Special Purpouse Vehicle) który emituje dług o nowym ratingu, który jest zabezpieczony przepływami finansowymi z aktywów (obligacje/pożyczki): nowe instrumenty są podzielone pod względem pierwszeństwa wypłat (seniority) transze, które nie mają ratingu (junior - equity, first loss) są najczęściej zatrzymywane 43 / 71

Strukturyzacja płatności z transz CDO (waterfall) 48 / 71

Przykład działania CLO W listopadzie 2005 roku HSBC przygotował CLO o nominale 2 miliardów: portfel składa się z 250 pożyczek, z czego 80% pochodzi z Wielkiej Brytanii maksymalna ekspozycja sektorowa 8% najniższy rating to Ba3/BB- 49 / 71

Sekurytyzacja kredytów CDO wykorzystują standardową technikę sekurytyzacji do nowej klasy aktywów kredytów korporacyjnych tradycyjne sekurytyzacje (ABS) obejmują: pożyczki hipoteczne, dochody z kart kredytowych, pożyczki samochodowe sekurytyzacja jest sposobem na finansowanie (otrzymujemy środki na początku transakcji) CDO rozpoczęły swoją karierę jako instrument do obniżania wymogów kapitałowych banków 53 / 71

Arbitraż regulacyjny pod obecną umową kapitałową Kapitał potrzebny na pokrycie pożyczek wynosi 8% wartości nominalnej, a inwestycji kapitałowych 100% wartości nominalnej Kapitał regulacyjny potrzebny na pokrycie ekspozycji na pożyczki Matrix wynosi: 2 mld 8% = 160 mln Kapitał regulacyjny potrzebny na pokrycie ekspozycji na transzę equity: 40 mln Bank uwalnia 120 mln kapitału! 54 / 71

Regulatory Capital Arbitrage - Alan Greenspan 1998 Regulatory capital arbitrage, I should emphasize, is not necessarily undesirable. In many cases, regulatory capital arbitrage acts as a safety valve for attenuating the adverse effects of those regulatory capital requirements that are well in excess of the levels warranted by a specific activity s underlying economic risk 55 / 71

Rodzaje CDO indeksy: z najbardziej płynnych CDS tworzy się hipotetyczne CDO, które są normalnie kwotowane na rynku. bespoke: CDO składające się z dowolnych obligacji/pożyczek 56 / 71

Wycena CDO Załóżmy, że posiadamy CDO składający się ze 100 ekspozycji CDS (każda o nominale 10 mln) Dla każdego CDS znamy spread LGD dla każdej ekspozycji wynosi 60% Transze są następujące: Senior 10%-100% Mezzanine 3%-10% Equity 0%-3% Ile powinien wynosić spread dla każdej transzy? 57 / 71

Wycena CDO Dla każdej transzy wartość kupna/sprzedaży protekcji powinna wynosić zero na początku transakcji: wartość premium leg = spread transzy PV I wartość protection leg= 100 PV I q(i) strata transzy jeśli i zbankrutuje gdzie q(i) to i=0 prawdopodobieństwa bankructwa i kredytów 58 / 71

Jak wyglądają straty dla każdej z transz? 59 / 71

Od czego zależą przepływy finansowe dla każdej z transz? Przepływy finansowe z CDO zależą od: prawdopodobieństw niewypłacalności poszczególnych kredytów/pożyczek (to znamy z kwotowań CDS) wartości strat w momencie niewypłacalności (tu można przyjąć 60%) korelacji niewypłacalności (tego nie wiemy) można szukać korelacji pomiędzy poszczególnymi kredytami (pairwise) można uprościć obliczenia przyjmując jedną wspólną korelację 60 / 71

Wspólna korelacja pomiędzy niewypłacalnościami 61 / 71

Metoda kopuli Standardem do wyceny CDO jest metoda kopuli: obliczenie dystrybucji niewypłacalności portfela opiera się na znajomości jednej korelacji oraz poszczególnych prawdopodobieństw niewypłacalności 62 / 71

Algorytm Wyznacz n zmiennych losowych Y 1, Y 2, Y 3,..., Y n z wielowymiarowego rozkładu normalnego z macierzą korelacji R (Cholesky) Oblicz czas niewypłacalności τ i poprzez τ i = 1 h i ln [1 N(y i )] spread h i 1-recovery rate Dla całego portfela (transzy) wyznacz wartości oczekiwanych przepływów finansowych Powtórz cały algorytm wielokrotnie 63 / 71

Zależność strat od korelacji Korelacja 2.5% bardzo niskie prawdopodobieństwo dużych strat bardzo niskie prawdopodobieństwo małych strat 64 / 71

Zależność strat od korelacji Korelacja 10% wyższe prawdopodobieństwo braku strat wyższe prawdopodobieństwo dużych strat 65 / 71

Jak stworzyć papier o ratingu AAA? Musimy stworzyć instrument o PD 0.29% dla 5 lat 66 / 71

Jak to się robi w praktyce? Ustalamy szerokość niższych transz CDO, tak aby straty nie dotknęły transzy Senior 67 / 71

Rozkład strat dla CDO CDO składa się ze 125 kredytów o ratingu BBB 68 / 71

Skumulowane straty CDO Na podstawie skumulowanych strat ustala się szerokość transzy Senior 69 / 71

Transza Senior jest bardzo czuła na zmiany korelacji Gdy wzrasta korelacja, wzrastają też straty dla wszystkich transz 70 / 71

Wpływ korelacji na transze Z transzy o ratingu AAA zrobiła się transza BBB! 71 / 71