PODSTAWY MECHANIKI KWANTOWEJ Za dzień narodzenia mechaniki kwantowej jest uważany 14 grudnia roku 1900. Tego dnia, na posiedzeniu Niemieckiego Towarzystwa Fizycznego w Instytucie Fizyki Uniwersytetu Berlińskiego czterdziestodwuletni profesor zwyczajny tego uniwersytetu, Max Planck wygłosił referat pt O teorii prawa rozkładu energii w widmie normalnym". K. Zalewski Mały wykład z mechaniki kwantowej, 2004
Całą mechanikę kwantową da się wyprowadzić z doświadczenia z dwiema szczelinami Mechanika kwantowa opisuje przyrodę jako absurdalną z punktu widzenia zdrowego rozsądku i w pełni zgadza się z doświadczeniem. Mam więc nadzieję, że zaakceptujecie naturę taką, jaka jest absurdalną Jeśli sądzisz, że rozumiesz mechanikę kwantową, to nie rozumiesz mechaniki kwantowej Richard Phillips Feynman (1918 1988)
1900 Planck - promieniowanie ciała doskonale czarnego 1905 Einstein - zjawisko fotoelektryczne 1913 Bohr - kwantowa teoria widm 1922 Compton - rozpraszanie fotonów na elektronach 1924 Pauli - zakaz Pauliego 1925 de Broglie - fale materii 1926 Schrodinger- równanie falowe 1927 Heisenberg - zasada nieoznaczoności 1927 Davisson i Germer - dowód własności falowych elektronu 1927 Born - interpretacja funkcji falowej
ν 1 = 3 cykle/1s= 3Hz 1s λν= c λ 1 mała długość fali (λ 1 ) duża częstość ( 1 ) duża długość fali (λ 2 ) mała częstość (ν 2 ) długość fali i częstość są odwrotnie proporcjonalne
barwa promieniowania elektromagnetycznego
widmo promieniowania elektromagnetycznego
widmo promieniowania ciała doskonale czarnego promieniowanie obserwowane wnęka o temperaturze T obszar widzialny
prawo przesunięć Wiena Tλ max = 1/5 c 2 c 2 = 1.44 cmk druga stała promieniowania Prawo Stefana-Boltzmanna ε= E/V= at 4 obszar widzialny Prawo Rayleigha-Jeansa pole elektromagnetyczne jako zbiór oscylatorów dε= ρdλ ρ= 8πkT/λ 4 katastrofa nadfioletowa
doświadczenie Davissona-Germerra rozpraszanie elektonów na krysztale Ni falowa natura cząstek wiązka e- kryształ Ni
efekt fotoelektryczny (A. Einstein, 1905) wybijanie e- pod wpływem naświetlania promieniowaniem UV korpuskularny charakter promieniowania energia kinetyczna fotoelektronu, E k hν < Φ wzrost Φ Rb K Na 1mv 2 2 e = hν Φ częstość padającego promieniowania, ν
EFEKT COMPTONA E m = 2 c hv m = c 2 = hν p = c h p = λ h cλ relacja de Broglie 1923 λ = λ c ( 1 cosθ) λ c = h mc e =2,426pm
cząstce materialnej możemy przypisać falę o długości: λ= h/mv gdzie:m-masacząstki,v prędkośćcząstki falę przypisaną cząstce nazywamy falą de Broglie a
Dla makroskopowych obiektów fali de Broglie'a nie jesteśmy w stanie zaobserwować. Przykładowo człowiek o masie 100 kg pędzący z prędkością 10 m/s (ok. 36 km/h) ma przypisaną falę o długości: λ=6.63 10-34 /100 10=6.63 10-37 m Dlakulikarabinowejom=10giprędkości1000m/s λ= 6.63 10-35 m Dla elektronu o m = 9.11 10-31 kg i prędkości 1 10 7 m/s λ=7.27 10-11 m (rząd odległości pomiędzy atomami w kryształach)
Usain Bolt 9,58 s
widma promieniowania pierwiastków składają się z serii linii o określonych λ np. widmo atomów He długość fali, λ/ nm Podczas całkowitego zaćmienia Słońca, (1868) P. Janssen, badając widmo korony słonecznej, zaobserwował pomarańczowy prążek odpowiadający długości fali 5876 Å, którego nie można było przypisać do żadnego spośród znanych wówczas pierwiastków. Heliumod greckiego boga słońca Heliosa.
kwantowanie energii (Max Planck) rewolucyjne założenie wyjaśniało wyniki eksperymentów E =nhν h = 6,626 10 34 J s
ANALOGIA Woda płynie nieprzerwanym strumieniem i wydaje się, że można wlać jej dowolną ilość. Jednak najmniejsza ilość wody, którąmożnaprzenieść,tojednacząsteczkah 2 O. Podobnie wydaje się, że energia jest przenoszona w sposób ciągły, w rzeczywistości jednak może być przekazywana tylko pewnymi porcjami.
WŁAŚCIWOŚCI FOTONÓW E f =hν m f = hν 2 c hν p f = = c h λ energia masa pęd h-stała Plancka = 6,62. 10-34 J. s ν-częstość λ-długość fali c prędkość światła 3. 10 8 m/s
Fakty doświadczalne, a zwłaszcza możliwość zachodzenia zderzeń nie tylko pomiędzy cząsteczkami, ale również pomiędzy cząsteczkami a falami prowadzi do wniosku wyprowadzonego przez Heisenberga zasada nieoznaczoności Heisenberga iloczyn niepewności położenia( x)ipędu( p)musibyćwiększylub równy wartości h/4π: x p h/4π ( x p x h, x p x ½h)
Fizyka klasyczna: ruchu po ściśle określonej trajektorii, ostro określone współrzędne Mechanika kwantowa: cząstka rozmyta w przestrzeni jak fala Zamiast określać ostro położenie cząstki zajmuje się prawdopodobieństwem jej napotkania w danej przestrzeni P prawdopodobieństwo napotkania cząstki w objętości dv ρ = P/dV gęstość prawdopodobieństwa ρ= ρ(x, y, z) ρdv =1
Równanie Schrödingera 2 h 2m 2 d Ψ 2 dx + V ( x)ψ = E Ψ niezależne od czasu dla cząstki o masie mi energii E poruszającej się w jednym wymiarze E energia cząstki V(x) energia potencjalna w punkcie x funkcja falowa (psi) Ψ h = h 2π
Ogólna postać równania Schrodingera HΨ = EΨ gdzie H oznacza tzw. operator Hamiltona (czyli szereg operacji matematycznych jakie należy wykonać na funkcji falowej Ψ). Interpretacja Borna funkcji Ψ Kwadrat amplitudy fali de Broglie a, a zatem i gęstość prawdopodobieństwa znalezienia cząstki są dane przez Ψ 2 ρ= ρ(x, y, z) = Ψ(x, y, z) 2 P= ρ(x, y, z) dv = Ψ(x, y, z) 2 dv 2 Ψ( x, y, z) dv = 1
Rozwiązaniem równania Schrödingera jest funkcja o następujących właściwościach: jeśli opisujemy zachowanie się elektronu to prawdopodobieństwo napotkania tego elektronu w opisywanym atomie musi wynosić 1 kwadrat amplitudy fali de Broglie'a musi wynosić 1 dodatkowo znalezione funkcje muszą być jednoznaczne (tzn. elektron nie może znajdować się w danej chwili w dwóch różnych miejscach) ponadto funkcje opisujące ruch elektronu muszą być ciągłe (elektron nie może zanikać).
Cząstka w jednowymiarowym pudle potencjału x = 0 x = L Ψ(0)=0 Ψ(L) = 0
Ogólne rozwiązania równania ma postać: Ψ(x) = Asin kx + B cos kx, E k = k 2 h/ 2m Warunekbrzegowydla x=0 Ψ(x)=0 sin kx= 0 cos kx= 1 Ψ(x) x=0 = B= 0 Ψ(x) = Asin kx Warunekbrzegowydla x=l Ψ(L)=0 Ψ(L)=AsinkL=0 a zatem albo A= 0 albo sin kl= 0 Przypadek A=0 wykluczamy gdyż prowadzi on do wniosku, że cząstka nie istnieje (Ψ(x)= 0 dla 0 < x< L)
azatem sin kl= 0 kl= nπ n liczba całkowita 1 2 L ( 2mE) h 2 2 n h E = 8mL = nπ 2
Energia jest kwantowana, a jej wartość zależy od liczby kwantowej n Dla stanu podstawowego n = 1 Dla stanu wzbudzonego n > 1 Można wykazać, że z warunku wynika wzór Ψ n L 2 Ψ ( x) dx = 1 0 ( x) = 2 L 1 2 sin nπx L określający funkcję własną dla n-tego poziomu energetycznego.
Funkcja falowa w interpretacji Borna. Prawdopodobieństwo znalezienia elektronu w danym punkcie jest proporcjonalne do kwadratu funkcji falowej (Ψ 2 ): prawdopodobieństwo to jest wyrażone przez stopień zaczernienia paska u dołu. Zauważ, że gęstość prawdopodobieństwa w węźle wynosi 0. Węzeł jest punktem, w którym funkcja falowa przechodzi przez 0.