Wykład 17: Elementy fizyki współczesnej

Transkrypt

1 Wykład 17: Elementy fizyki współczesnej Dr inż. Zbigniew Szklarski Katedra Elektroniki, paw. C-1, pok.31

2 Promieniowanie ciała doskonale czarnego W 180 roku William Wollaston zauważył ciemne prążki w widmie słonecznym, ale nie przywiązał wagi do tego spostrzeżenia. W 1814 roku Joseph von Fraunhofer podjął badania widma słonecznego - najważniejsze linie oznaczył literami od A do G (od czerwieni do fioletu). W 1859 roku Gustav Kirchhoff sformułował prawo mówiące, że atom może pochłaniać (absorbować) promieniowanie takich długości, jaki jest sam wstanie emitować.

3 Dla każdej substancji istnieje rodzina takich krzywych, odpowiednich w różnych temperaturach. Własności emitowanego promieniowania nie zależą od rodzaju substancji. Model idealnego ciała stałego - ciało doskonale czarne. Całkowita intensywność promieniowania u tot u tot T 4 Odbicie i absorpcja Ludwig Boltzmann ( ) [u tot ]Wm stała Stefana-Boltzmanna σ W/(m K 4 )

4 Prawo przesunięć Wien a maxt m K Przykłady Dwie jednakowe planety krążą (jako ciała doskonale czarne) w odległościach r oraz r od swojego słońca. Na planecie bliższej słońca średnia temperatura wynosi 350 K. Jaka średnia temperatura panuje na planecie o większym promieniu orbity? (Odp.: 47,5 K ) 4

5 Temperatura powierzchni Słońca wynosi ok K. Jaki kolor ma więc Słońce (dla jakiej długości fali przypada maksimum promieniowania)? maxt m K m K max 0, 57m 5500K Dla jakiej długości fali przypada maksimum promieniowania ciała doskonale czarnego, którego temperatura odpowiada temperaturze ludzkiego ciała (37 0 C)? t 37 0 C T 310K m K max 9, 35m 310K (zakres IR: 0, μm) 5

6 Temperatura powierzchni Słońca wynosi ok K, jego promień 695, km, a odległość od Ziemi jest równa ok. 1, km. Oblicz jaką energię wysyła Słońce w ciągu 1 minuty i jaką ilość energii otrzymuje w tym czasie powierzchnia 1 m w górnej warstwie atmosfery Ziemi. Moc emitowanaintens.promieniowania*powierzchnia Słońca P u S T 4 4 r tot energia emitowana w 1 min. 8 E Pt T 4 4 r ( 3 ) 4 ( 6 ) ,57 695, , J E 5,6810 t energia otrzymana w 1 min. przez 1m E r 4 5 E' T t E' 1,0810 J 4R R m (żarówka 100 W z odległości 1 m: E 476 J/m ) 6

7 Wyjaśnienie widma promieniowania W opisie widma promieniowania termicznego opartego na klasycznych teoriach termodynamiki i elektromagnetyzmu (Rayleigh Jeans) pojawiła się zasadnicza rozbieżność dla fal krótkich. Wynik ten znany jest jako katastrofa w nadfiolecie bowiem w obszarze tym gęstość promieniowania rośnie w myśl tych rozważań do nieskończoności. 7

8 Wilhelm Wien ( ) W 1896 Wien zaproponował: b e W ien (, T) exp( a / T) 5 Posłużył się analogią do rozkładu Boltzmanna, który dotyczy rozkładu energii klasycznego gazu w równowadze. W 1900 Max Planck zaproponował empiryczny wzór: e b 1 (, T) 5 exp( a / T) 1 Max Planck zaproponował model ciała doskonale czarnego zakładając, że atomy ścian wnęki zachowują się jak oscylatory elektromagnetyczne, z których każdy ma charakterystyczną częstotliwość drgań. 8

9 Atomy te emitują do wnęki i absorbują z niej energię. Własności powstałego promieniowania we wnęce wynikają z własności oscylatorów, z którymi wnęka jest w równowadze. Zastosował fizykę statystyczną Boltzmanna i wprowadził dwa radykalne założenia: oscylator ma tylko energię opisaną wzorem: E nh oscylatory nie wypromieniowują energii w sposób ciągły lecz porcjami kwantami E n h Dopóki oscylator pozostaje w jednym ze stanów kwantowych nie emituje ani nie absorbuje energii. W 1905, Albert Einstein doszedł do wniosku, że nie można wyprowadzić wzoru Planck a z praw klasycznej fizyki. Słuszność wzoru Plancka oznacza koniec fizyki klasycznej. 9

10 Dualizm korpuskularno-falowy Radykalna propozycja kwantyzacji energii: w limicie małych częstości - obraz falowy (Maxwell), w limicie dużych częstości - o promieniowaniu należy myśleć jak o gazie kwantów E h energia cząstki częstotliwość fali Promieniowanie należy w pewnych przypadkach traktować jak fale a w innych eksperymentach jak cząstki 10

11 Przykłady 1. Astronauta pozostawił w przestrzeni świecącą latarkę o masie 100g zasilaną akumulatorem o pojemności 1 Ah i napięciu V. Latarka emituje przez 10 godzin światło o średniej długości 600 nm. Oblicz o jaki odcinek przesunie się, początkowo nieruchoma względem statku kosmicznego latarka, od miejsca jej porzucenia. 4,3m. Stuwatowa żarówka emituje izotropowo 3% swojej energii jako światło widzialne (o średniej długości 550 nm). Oblicz ile fotonów na sekundę trafia do źrenicy (o średnicy 4 mm) oka człowieka znajdującego się w odległości 1 km od żarówki. N/t fotonów/s 11

12 Fale materii 194- Louis de Broglie teoria fal materii, 199- nagroda Nobla Hipoteza de Broglie głosi, że dwoiste korpuskularno falowe zachowanie jest cechą nie tylko promieniowania, lecz również materii. W przypadku materii i promieniowania całkowita energia E dowolnego obiektu fizycznego jest związaną z częstotliwością fali stowarzyszonej, opisującej jego ruch, następującą relacją: E h 1

13 Pęd tego obiektu związany jest z długością p ( 1) przypisanej mu fali następującą relacją: stąd: cząsteczce o pędzie p i całkowitej energii E odpowiada fala płaska o częstotliwości Definiujemy: k h c p k E h i długości E c h c h p gdzie jest wektorem falowym o kierunku zgodnym z kierunkiem propagacji fali o długości. Wówczas związek (1) ma postać: p k h h mv 13

14 Wielkości charakterystyczne dla cząstki : energia E, oraz pęd p są związane poprzez stałą Plancka h z wielkościami które są charakterystyczne dla ruchu falowego: częstotliwość, oraz długość fali. Wyrażenie: opisuje długość fali de Broglie. czyli długość fali materii stowarzyszonej z ruchem cząstki o pędzie p. h p 14

15 Przykłady Obiekt mikroskopowy: Elektron o masie 9, kg, przyspieszony różnicą potencjałów U 150 V: m v 7 eu Ue v 10 m h 10 m s a zatem 10 m emu Obiekt makroskopowy: Piłka o pędzie 10kgm/s: p m mv 10kg s h p 6, m 15

16 W pewnym mikroskopie elektronowym korzysta się z wiązki elektronów o energii 0 kev. Jeżeli zdolność rozdzielcza mikroskopu jest równa długości fali elektronu, oblicz rozmiar najmniejszego obiektu jaki można przez ten mikroskop obserwować. Porównaj zdolność rozdzielczą mikroskopu elektronowego i optycznego. Rozwiązanie E k E mv h p e p E m h h p Em e stąd p Em 8,67 10 e 1 m W mikroskopie optycznym zdolność rozdzielcza min zatem opt 500 nm m e 8, m 5 rzędów wielkości lepsza rozdzielczość!!! 16

17 Długość fali stowarzyszonej z ruchem piłki jest tak mała, że nie istnieje układ fizyczny, który umożliwiłby zaobserwowanie aspektów falowych (interferencja, dyfrakcja) związanych z tym ruchem. Natomiast aby zaobserwować fale związane z elektronem należy dysponować układem o przesłonach posiadających rozmiary porównywalne z λ 0.1 nm Takim układem jest sieć krystaliczna. diament 17

18 Doświadczenie Davissona Germera

19 warunek Bragga: d sin dla niklu d 0,091 nm Ni φ 50 więc zatem 0,165nm ze wzoru de Broglie a, dla napięcia przyspieszającego 54 V: h mue 0,165nm 0,165 nm Zgodność wyników potwierdzająca falową naturę elektronów! 19

20 Ruch elektronu w atomie Ruch elektronów w wiązce nie jest niczym ograniczony. Natomiast w przypadku elektronów związanych z atomami, ruch elektronów może być opisany przez stojące fale materii. Ruch ten jest kwantowany energia elektronów może przyjmować tylko określone wartości. 0

21 Falę materii (stojącą), związaną z orbitą o promieniu r można przedstawić następująco: Długość fali musi być tak dobrana, aby orbita o promieniu r zawierała całkowitą liczbę fal materii: r n r A więc moment pędu: n h p L r p n h gdzie n 1,,.. jest to warunek kwantyzacji Bohra! 1

22 Korpuskularna natura promieniowania Doświadczalnie : Efekt fotoelektryczny (uwalnianie elektronów z metalicznej powierzchni pod wpływem promieniowania o określonej długości) Efekt Comptona (rozpraszanie promieniowania X i zmiana częstotliwości) Te zjawiska, podobnie jak promieniowanie ciała doskonale czarnego, nie mogą być wyjaśnione przy użyciu modelu falowego.

23 Efekt fotoelektryczny 1887 Hertz; 1888 Stoletow 190 von Lenard Metal plate Collector e - Vacuum chamber Photoelectrons A 3

24 I c b Inny metal c katody niż a i b, Natężenie oświetlenia jak b Silniejsze b oświetlenie niż a a Różnica potencjałów U [V] Elektrony emitowane z metalu pod wpływem promieniowania elektromagnetycznego noszą nazwę fotoelektronów. Jest to zjawisko fotoelektryczne zewnętrzne. Jak zbadać energię kinetyczną fotoelektronów? Fotoelektrony wyhamuje pole wytworzone przez przeciwnie przyłożone napięcie U h 4

25 W zjawisku fotoelektrycznym, wybijane z metalu elektrony są hamowane polem elektrycznym. Jak obliczyć ich energię kinetyczną? W U df e Tak jak energię rozpędzanych cząsteczek w akceleratorze - tam energię nadaje elektronom pole elektryczne. E k U h e Podsumujmy: Światło (fala elektromagnetyczna?) padając na metal wybija z niego elektrony (fotoelektrony) i nadaje im określoną energię kinetyczną. 5

26 Co się nie zgadza z teorią falową? 1. Energia kinetyczna fotoelektronu jest niezależna od natężenia padającego promieniowania. Dla danej częstości światła, silny strumień i słaba wiązka dostarczają wybijanym elektronom tyle samo energii.. Zjawisko fotoelektryczne nie występuje, jeżeli częstość światła jest niższa od częstości progowej (lub długości granicznej) bez względu na to jak intensywne jest światło padające na tarczę. 3. Nie obserwuje się żadnego upływu czasu pomiędzy oświetleniem metalu i emisją fotoelektronu. Klasycznie, energia jest gromadzona i dostarczana w sposób ciągły. Efekt nie zachodzi na swobodnych elektronach. 6

27 Na co jest zużywana energia padającego światła? Wiadomo, że metal zawiera dużą ilość prawie swobodnych elektronów, około 1 lub na atom. Te elektrony są quasiswobodne czyli nie są związane z atomami lecz mogą, po dostarczeniu pewnej energii, opuścić metal. Energia ta nosi nazwę pracy wyjścia W z metalu. Praca wyjścia jest różna dla różnych metali i zależy od stanu powierzchni. Typowe wartości W zmieniają się od ok J do J ( do 8 ev). 1eV1e 1 V 1, C 1V 1, J Jeżeli energia jest wystarczająco duża to nadaje jeszcze wybitym elektronom energię kinetyczną. 7

28 Wyjaśnienie Einsteina: W 1905 r. Einstein wysunął hipotezę, że światło jest skwantowane (pojęcie wprowadzone przez M.Plancka) i istnieje w porcjach zwanych fotonami. Energia kwantu zatem E f E f h c hν c ν częstotliwość promieniowania Einstein założył, że foton może zostać zaabsorbowany przez elektron jeżeli energia fotonu przekracza konkretną wartość pracy wyjścia z metalu: hν W długość tej fali 8 c praca wyjścia z metalu

29 Max. energia kinetyczna Zasada zachowania energii w zjawisku fotoelektrycznym: Energia fotonu praca wyjścia elektronu z metalu + energia kinetyczna elektronu E f W + E k h W + E k E k Li Na Pojedynczy foton jest absorbowany przez pojedynczy elektron, który może uzyskać energię kinetyczną 0 f 01 f 1 f częstotliwość E k hν W y ax b 9

30 Minimalna energia fotonu hf dla wybicia elektronu o energii kinetycznej E k ½ mv E E k ½ mv W Energia kinetyczna elektronu Padający foton wnętrze metalu na zewnątrz metalu Elektrony emitowane z metalu pod wpływem promieniowania elektromagnetycznego noszą nazwę fotoelektronów. Jest to zjawisko fotoelektryczne zewnętrzne. Efekt nie zachodzi na swobodnych elektronach. 30

31 Wykorzystanie zasady zachowania energii. h W + E k Jeżeli E k 0 to hc h gr W gr gr hc W jest to graniczna długość światła, przy której zachodzi zjawisko fotoelektryczne. E k E k U h e hν W U h h W e e U h Napięcie hamowania jest liniową Funkcją częstotliwości promieniowania h tg h e tg e W e o Jest to więc sposób wyznaczenia pracy wyjścia oraz wartości stałej Plancka. 31

32 Przykład 1: Eksperyment wykazał, że gdy promieniowanie elektromagnetyczne o długości fali 70 nm pada na powierzchnię Al, są emitowane fotoelektrony. Elektrony o największej energii kinetycznej są zatrzymywane przez przyłożenie odpowiedniego pola elektrycznego o różnicy potencjałów V. Oblicz pracę wyjścia z metalu. Rozwiązanie: E f hf hc 34 ( Js)( m/s) m 8 J E k eu ( C)(0.405 V) J W J E f Ek J J / ev ev 3

33 Przykład : Długość fali de Broglie a najszybszych elektronów emitowanych z powierzchni metalu w zjawisku fotoelektrycznym wynosi B, nm. Obliczyć długość fali padającego światła, jeżeli praca wyjścia z tego metalu wynosi W 1,75 ev. Rozwiązanie: hc mv W + E k E k h B V mv h m B E k mh h m hc 600nm B m B h W + m B 33

34 Przykład 3 A. Wiedząc, że natężenie oświetlenia jest odwrotnie proporcjonalne do kwadratu odległości od źródła światła, oszacuj jak zmieni się prędkość fotoelektronów gdy odległość źródła światła od powierzchni metalu zmniejszymy dwukrotnie. B. Jak wpłynie zwiększenie częstotliwości światła padającego na powierzchnię metalu emitującego fotoelektrony na: a. ilość wybijanych fotoelektronów; b. szybkość fotoelektronów Przykład 4 Obliczyć jak i ile razy zmieni się prędkość elektronów wybijanych z metalu jeżeli dwukrotnie zmniejszymy długość fali padającej. Praca wyjścia z tego metalu równa jest /3 energii padających fotonów. Przykład 5: Obliczyć jak zależy energia kinetyczna wybijanych elektronów od długości padającego światła. Naszkicować wykres tej zależności. 34

35 Efekt Comptona Jeżeli światło można traktować jak zbiór fotonów, należy spodziewać się zderzeń pomiędzy fotonami i cząstkami materii (np. elektronami). Compton (193) zaobserwował rozproszone promienie X o zmienionej długości fali. Klasyczna teoria fal elektromagnetycznych zjawisko rozproszenia tłumaczyła jako pobudzenie do drgań elektronów ośrodka rozpraszającego, które stają się wtórnym źródłem fal ale bez zmiany długości! 35

36 Efekt Comptona jest wynikiem rozpraszania fotonu na quasiswobodnym elektronie e w metalicznej próbce (folii): Załóżmy, że początkowo : elektron jest w spoczynku, pęd wynosi 0, ale energia spoczynkowa m e c foton ma: energię h oraz pęd o wartości h /c + Incident photon q e ' + e' Target electron at rest Recoil electron q p Scattered photon 36

37 Po zderzeniu foton ma energię h i pęd o wartości h /c Zasada zachowania energii: hc + Zasada zachowania pędu dla osi OX m 0 c h m0 c 1 c ( ) v ' m. elektronu m 0 v hc + ( ) v ' 1 c elektron cos + h cos foton Zasada zachowania pędu dla osi OY -foton v elektron -foton rozproszony 0 m 0 v ( ) v ' 1 c elektron sin h sin foton 37

38 Przesunięcie Comptona (długości) Δλλ`-λ czyli różnica pomiędzy długością fali przed (λ`) i po (λ) rozproszeniu: ' h m c 0 (1 cos) ( 1 cos) h m0c jest to tzw. comptonowska długość fali równa, m W zjawisku Cmptona zmiana długości fali nie zależy od energii fotonu padającego, a zależy jedynie od kąta jego rozproszenia. Dla 0 0 0; dla a dla 90 0 (rozproszenie wsteczne); 38

39 Obserwujemy dwa piki: jeden dla elektronów, drugi dla jonów dodatnich Ze wzrostem kąta rozpraszania, intensywność piku od elektronów rośnie 39

40 Przykład 1: Obliczyć kąt, pod jakim został rozproszony w zjawisku Comptona foton o energii początkowej 1, MeV, na elektronie swobodnym, jeżeli długość fali fotonu rozproszonego równa jest comptonowskiej długości fali Przykład : Promieniowanie X o długości fali jest rozpraszane pod kątem prostym na elektronie, który uzyskuje nie relatywistyczną prędkość V i zaczyna się poruszać pod kątem 30 0 do pierwotnego kierunku wiązki X. Zapisz zasady zachowania energii i pędu dla tego przypadku. 40

41 Zasada komplementarności Nielsa Bohra Modele falowy i korpuskularny wzajemnie się uzupełniają: jeżeli dany pomiar dostarcza dowodu falowego, to w tym samym pomiarze nie da się wykryć cech korpuskularnych i na odwrót. W obrazie falowym natężenie promieniowania: I E czyli średnia wartość wektora Poyntinga jest proporcjonalna do kwadratu amplitudy fali. W obrazie fotonowym korpuskularnym: I Nhv gdzie N jest średnią liczbą fotonów przechodzących w jednostce czasu przez jednostkowa powierzchnię prostopadłą do kierunku ruchu fotonów. 41

42 Uogólnienie hipotezy de Broglie przez Schrödingera dało początek mechanice kwantowej. Fala de Broglie jest reprezentowana przez funkcje falową, która dla przypadku jednowymiarowego ma postać: x ( x, t) Asin ( t) Asin( kx t) Wyrażenie to jest analogiczne do wyrażenia na natężenie pola elektrycznego fali elektromagnetycznej E( x, t) Eo sin( kx t) podstawiając otrzymujemy k p E 1 ( x, t) Asin ( px Et) 4

43 1 ( x, t) Asin ( px Et) Czy można, przeprowadzając odpowiedni pomiar, jednocześnie określić zarówno pęd p jak i położenie x cząstki? Albo w danym momencie określić dokładnie jej energię? Nie można ich określić dokładniej niż na to pozwala zasada nieoznaczoności Heisenberga. 43

44 Zasada nieoznaczoności Heisenberga Pomiar w większości przypadków zmienia stan układu. Aby obserwować dany obiekt oświetlamy go fotonami. Im dokładniej chcemy zbadać położenie obiektu, tym krótsza musi być długość fali fotonów używanych do obserwacji. Fotony o krótszej długości fali niosą większą energię i pęd, a przez to bardziej zaburzają badany układ. Dla przypadku jednowymiarowego: p x x Zasada ta nie jest wynikiem niedokładności przyrządów pomiarowych, ale odnosi się do samego procesu pomiaru. Uwzględnia ona oddziaływanie między obserwatorem i mierzonym obiektem 44

45 Przykłady Znając czas otwarcia migawki i przesunięcie obliczymy szybkość ale nie podamy dokładnego położenia bo obraz jest rozmyty. Dla krótszego czasu migawki - ostre zdjęcie znane położenie auta ale nie znana jest jego prędkość. 45

46 Rozpatrzmy dwa obiekty poruszające się z taką samą prędkością v 300 m/s, wyznaczoną z dokładnością 0,01%. Z jaką dokładnością możemy wyznaczyć ich położenie? Obiekt makroskopowy; kula o masie m50 g p 15 kg m/s, p 0, , kg m/s x p m nm Wielkość ta stanowi średnicy jądra atomowego, jest więc wielkością niemierzalną. Dla obiektów makroskopowych istnienie zasady nieoznaczoności Heisenberga nie nakłada na procedurę pomiarową żadnych ograniczeń. 46

47 Obiekt mikroskopowy; elektron o masie m9, g p, kg m/s p m v, kg m/s x p 0,cm 10 6 nm Wielkość ta stanowi ok. 107 średnicy jądra atomu. Dla obiektów mikroskopowych występują w praktyce zawsze ograniczenia w procedurze pomiarowej. 47

48 Nieoznaczoność czasu i energii Hipoteza de Broglie odnosi się również do pomiaru energii i czasu życia na danym poziomie energetycznym Skoro dp m dv więc dv dpdx mdv dx m dxdt madxdt F dxdt dt Stąd px Et Et dedt Stan o określonym czasie życia Δt nie może mieć dokładnie określonej energii. 48

49 Jeżeli stan wzbudzony atomu ma czas życia τ, to nieoznaczoność energii ujawnia się gdy podczas przejścia do stanu podstawowego o energii E 0 Częstotliwość promieniowania emitowanego w wyniku tego procesu: E Eo f 1 h nie jest dokładnie określona f E h 1 1 Poszerzenie linii spektralnych jest zjawiskiem wynikającym z mechaniki kwantowej 49

50 50

51 Energia stanu podstawowego W pobliżu najniższej energii, gdzie klasycznie p0 Energia oscylatora p p; więc x x E E k + U E p m + 1 mω x ( p) E( x) 1 + m m x p ħ x E x ( ) ħ 8m x + 1 mω x Najmniejsza energia nie jest zerowa E( x) E min Konsekwencją zasady Heisenberga jest występowanie resztkowego ruchu w każdym systemie fizycznym. E min 1 x E quantum x E classic x 51