Przeksztaªcenia punktowe i geometryczne

Podobne dokumenty
Przekształcenia punktowe i geometryczne

Proste metody przetwarzania obrazu

Komputerowe przetwarzanie obrazu Laboratorium 2 Przykład 1 Informacja na temat obrazu: imfinfo( portret.jpg )

Zygmunt Wróbel i Robert Koprowski. Praktyka przetwarzania obrazów w programie Matlab

Ukªady równa«liniowych

Macierze i Wyznaczniki

Wykªad 4. Funkcje wielu zmiennych.

Dyskretyzacja i kwantyzacja obrazów

1 Bª dy i arytmetyka zmiennopozycyjna

Grafika Komputerowa Wykład 2. Przetwarzanie obrazów. mgr inż. Michał Chwesiuk 1/38

Aproksymacja funkcji metod najmniejszych kwadratów

Macierze. 1 Podstawowe denicje. 2 Rodzaje macierzy. Denicja

Macierze i Wyznaczniki

Lekcja 8 - ANIMACJA. 1 Polecenia. 2 Typy animacji. 3 Pierwsza animacja - Mrugaj ca twarz

stopie szaro ci piksela ( x, y)

Proste metody segmentacji

PRAKTYKA PRZETWARZANIA OBRAZU W PROGRAMIE MATLAB

2 Liczby rzeczywiste - cz. 2

Przetwarzanie sygnaªów

Operacje przetwarzania obrazów monochromatycznych

1 Granice funkcji wielu zmiennych.

Zagadnienia na wej±ciówki z matematyki Technologia Chemiczna

ANALIZA NUMERYCZNA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2014/15

istnienie elementu neutralnego dodawania (zera): 0 K a K a + 0 = a, istnienie elementu neutralnego mno»enia (jedynki): 1 K a K a 1 = a,

2. L(a u) = al( u) dla dowolnych u U i a R. Uwaga 1. Warunki 1., 2. mo»na zast pi jednym warunkiem: L(a u + b v) = al( u) + bl( v)

3. OPERACJE BEZKONTEKSTOWE

Ekonometria. wiczenia 1 Regresja liniowa i MNK. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej

Metodydowodzenia twierdzeń

Zadania z z matematyki dla studentów gospodarki przestrzennej UŠ. Marek Majewski Aktualizacja: 31 pa¹dziernika 2006

Funkcje, wielomiany. Informacje pomocnicze

Rozwi zanie równania ró»niczkowego metod operatorow (zastosowanie transformaty Laplace'a).

Przeksztaªcenia liniowe

1 Metody iteracyjne rozwi zywania równania f(x)=0

1. Odcienie szaro±ci. Materiaªy na wiczenia z Wprowadzenia do graki maszynowej dla kierunku Informatyka, rok III, sem. 5, rok akadem.

1 0 Je»eli wybierzemy baz A = ((1, 1), (2, 1)) to M(f) A A =. 0 2 Daje to znacznie lepszy opis endomorzmu f.

Cyfrowe przetwarzanie obrazów i sygnałów Wykład 3 AiR III

Operacje morfologiczne

Liniowe zadania najmniejszych kwadratów

Wykªad 7. Ekstrema lokalne funkcji dwóch zmiennych.

Podstawy matematyki dla informatyków

1 Przeksztaªcenia morfologiczne

Materiaªy do Repetytorium z matematyki

KLASYCZNE ZDANIA KATEGORYCZNE. ogólne - orzekaj co± o wszystkich desygnatach podmiotu szczegóªowe - orzekaj co± o niektórych desygnatach podmiotu

1 Trochoidalny selektor elektronów

x y x y x y x + y x y

Informacje pomocnicze

Elementy geometrii w przestrzeni R 3

Ciaªa i wielomiany. 1 Denicja ciaªa. Ciaªa i wielomiany 1

Pochodna funkcji jednej zmiennej

7. OPRACOWYWANIE DANYCH I PROWADZENIE OBLICZEŃ powtórka

Rachunek caªkowy funkcji wielu zmiennych

Matematyka wykªad 1. Macierze (1) Andrzej Torój. 17 wrze±nia Wy»sza Szkoªa Zarz dzania i Prawa im. H. Chodkowskiej

Ekonometria - wykªad 8

Zbiory i odwzorowania

7. REZONANS W OBWODACH ELEKTRYCZNYCH

PRAWA ZACHOWANIA. Podstawowe terminy. Cia a tworz ce uk ad mechaniczny oddzia ywuj mi dzy sob i z cia ami nie nale cymi do uk adu za pomoc

gdzie wektory α i tworz baz ortonormaln przestrzeni E n

Matematyka 1. Šukasz Dawidowski. Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski

Statystyka opisowa. Wykªad II. Elementy statystyki opisowej. Edward Kozªowski.

Co i czym mo»na skonstruowa

Opis programu do wizualizacji algorytmów z zakresu arytmetyki komputerowej

Zadania z analizy matematycznej - sem. II Ekstrema funkcji wielu zmiennych, twierdzenia o funkcji odwrotnej i funkcji uwikªanej

Filtracja w domenie przestrzeni

WYKŁAD 8. Postacie obrazów na różnych etapach procesu przetwarzania

Oba zbiory s uporz dkowane liniowo. Badamy funkcj w pobli»u kresów dziedziny. Pewne punkty szczególne (np. zmiana denicji funkcji).

Wektory w przestrzeni

Podstawowe działania w rachunku macierzowym

1 Przypomnienie wiadomo±ci ze szkoªy ±redniej. Rozwi zywanie prostych równa«i nierówno±ci

WST P DO TEORII INFORMACJI I KODOWANIA. Grzegorz Szkibiel. Wiosna 2013/14

Metody dowodzenia twierdze«

Statystyka. Šukasz Dawidowski. Instytut Matematyki, Uniwersytet l ski

AM II /2019 (gr. 2 i 3) zadania przygotowawcze do I kolokwium

Zarządzanie Zasobami by CTI. Instrukcja

Wska¹niki, tablice dynamiczne wielowymiarowe

3. (8 punktów) EGZAMIN MAGISTERSKI, Biomatematyka

Ekonometria Bayesowska

Macierz A: macierz problemów liniowych (IIII); Macierz rozszerzona problemów liniowych (IIII): a 11 a 1m b 1 B = a n1 a nm b n

Ekonometria. wiczenia 2 Werykacja modelu liniowego. Andrzej Torój. Instytut Ekonometrii Zakªad Ekonometrii Stosowanej

Metody numeryczne i statystyka dla in»ynierów

LXV OLIMPIADA FIZYCZNA ZAWODY III STOPNIA

Rysunek 1. Piramida obrazów

XVII Warmi«sko-Mazurskie Zawody Matematyczne

Laboratorium nr 4 - Jeszcze troch o zaznaczeniach. Tryby nakªadania i tryby koloru

Wykorzystanie lokalnej geometrii danych w Maszynie Wektorów No±nych

Numeryczne zadanie wªasne

JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1. JAO - J zyki, Automaty i Obliczenia - Wykªad 1

Implementacja filtru Canny ego

X WARMI SKO-MAZURSKIE ZAWODY MATEMATYCZNE 18 maja 2012 (szkoªy ponadgimnazjalne)

Geomagic Design X jest najbardziej wszechstronnym oprogramowaniem, które umożliwia:

Model obiektu w JavaScript

Kurs wyrównawczy dla kandydatów i studentów UTP

Opis matematyczny ukªadów liniowych

Rozdziaª 13. Przykªadowe projekty zaliczeniowe

Bash i algorytmy. Elwira Wachowicz. 20 lutego

Interpolacja Lagrange'a, bazy wielomianów

Elementy typografii. Technologia Informacyjna Lekcja 22

Metody opracowywania dokumentów wielostronicowych. Technologia Informacyjna Lekcja 28

Przetwarzanie sygnaªów

Elementy geometrii analitycznej w przestrzeni

Lekcja 3 Banki i nowe przedmioty

Transkrypt:

Przeksztaªcenia punktowe i geometryczne 1 Przeksztaªcenia punktowe Przeksztaªcenia punktowe (bezkontekstowe) s to przeksztaªcenia dotycz ce stopnia szaro±ci lub nasycenia barwy dla ka»dego punktu oddzielnie, dla których nie maj wpªywu warto±ci w punktach s siednich. 1.1 Liniowe przeksztaªcenia obrazu Liniowe przeksztaªcenie polega na zmianie warto±ci piksela przy u»yciu przeksztaªcenia liniowego. Zaliczamy do nich mi dzy innymi operacje dodawania, negacji czy mno»enia przez pewn liczb. Sªu» one np. do rozja±niania obrazu. Nale»y pami ta,»e przy stosowaniu kodowania uint8 dozwolone warto±ci s z przedziaªu 0-255, a dla kodowania double dozwolone s warto±ci z przedziaªu 0-1. 1.2 Nieliniowe przeksztaªcenia obrazu Do nieliniowcych przeksztaªce«zaliczamy np. pierwiastkowanie, pot gowanie logarytmowanie. W niektórych przypadkach jest to znacznie skuteczniejsze ni» liniowe korekcje. Szczególne znaczenie ma korekcja gamma γ dana wzorem eq.1. Idee dziaªania wspóªczynnika γ na obraz przedstawia rys.1. Nowy(m, n) = Stary(m, n) γ (1) Rysunek 1: Idea dziaªania korekcji γ. Dla γ < 1 zwi kszony jest kontrast dla "ciemnej" cz ±ci obrazu kosztem "jasnej" cz ±ci. Dla γ > 1 efekt jest odwrotny: zyskujemy kontrast w cz ±ci "jasnej' kosztem "ciemnej". 1

1.3 Wyrównywanie histogramu Histogram wykre±la si poleceniem imhist(obraz). Histogram jest to wykres sªupkowy okre±laj cy ile punktów przybiera dan warto± (intensywno± ). Wyrównanie histogramu polega na "upodobnieniu" go do histogramu dla rozkªadu równomiernego (wszystkie intensywno±ci maj jednakow cz stotliwo± wyst powania). Do wyrównywania histogramu sªu»y polecenie histeq(obraz, ilo± _klas). Czasami stosuje si wyrównywanie lokalne, tzn. dzieli si obraz na kilka cz ±ci i ka»d wyrównuje oddzielnie. Do tego stosuje si funkcj adapthisteq(obraz, parametry). Do najwa»niejszych parametrów tego przeksztaªcenia zaliczamy: NumTiles - Wielko± elementu, dla którego wyrównujemy histogram ClipLimits - skalarna wielko± decyduj ca o kontra±cie (0,1) NBins - Ilo± klas histogramu Range - zakres wyrównywanych warto±ci Distribution - rodzaj histogramu, do którego b dzie normowany obraz: 'uniform' (pªaski), 'Rayleigh' (dzwonkowy) i 'Exponential' (krzywa eksponenty). Alpha - parametr rozkªadu histogramu, tylko dla Rayleigh i Exponential. 1.4 Normalizacja Normalizacja ma na celu rozci gni cie zakresu tonalnego obrazu. Je»eli intensywno± punktów na obrazie zajmuje tylko cz ± dozwolonej skali, to mo»liwe jest rozci gni cie intensywno±ci tak, by zajmowaªa peªn skal. Stosowana jest normalizacja zarówno w wymiarze globalnym, jak i lokalnym. Je»eli przez M oznaczamy minimum w normalizowanym obszarze, przez N maksimum, a przez L i U odpowiednio minimum i maksimum skali, to intensywno± punktu wynosi: ( ) L U Nowy(m, n) = M N (Stary(m, n) M) + L (2) Obraz metod globaln normalizuje si przy u»yciu funkcji: imadjust(obraz, [low_in; high_in], [low_out; high_out], gamma). 1.5 Binaryzacja Binaryzacja to zamiana dowolnego obrazu na obraz logiczny. Stosuje si kilka rodzajów binaryzacji: z dolnym progiem: wszystko poni»ej progu: 0, powy»ej 1 L(m, n) = { 0 gdy L(m, n) prg 1 gdy L(m, n) > prg z górnym progiem: negatyw binaryzacji z dolnym progiem z dwoma progami: przypomina funkcj bramkow lub jej negatyw wielokryterialna: kilka progów i tylko niektóre przedziaªy maj warto± prawda / faªsz. z histerez : wymaga podania 2 warto±ci progowych (próg1<próg2), warto± piksela (m,n) dana jest wzorem: L(m, n) = 0 gdy L(m, n) prg1 s gdy prg1 < L(m, n) prg2 1 gdy L(m, n) > prg2 2

s - warto± s siaduj cych punktów. automatyczne progowanie metod maksymalnej entropii Warto± entropii H dla obrazu A deniowana jest poprzez eq3. size(a) H = (A x,y ln A x,y ) (3) Binaryzacja metod maksymalnej entropii polega na znalezieniu takiej warto±ci progu k, dziel cej obraz na tªo (piksele o intensywno±ci mniejszej lub równej k) i obiekty (o intensywno±ci wi kszej ni» k), która maksymalizuje funkcj H(k) (eq.4). 1 N k (obiekt) H(k) = 1 N k (tlo) k (A x,y ln A x,y ) k (A x,y ln A x,y ) + ln N k(tlo) N k (obiekt) (4) gdzie N k (tlo) - ilo± elementów tªa, a N k (obiekt) - ilo± pikseli obiektów uzyskanych przy binaryzacji z progiem k. 2 Przeksztaªcenia geometryczne Do przeksztaªce«geometrycznych zaliczamy mi dzy innymi: przesuni cie, obrót, znieksztaªcenie, odbicia symetryczne, powielanie fragmentów. Maj one wpªyw na ksztaªt, wielko± lub wygl d obrazu. 2.1 Przesuni cie o wektor Mo»liwe s przesuni cia o wektor z dodaniem nowej powierzchni (zwi kszenie wymiarów obrazu wyj±ciowego o wektor) lub przesuni cie w sposób cykliczny z u»yciem funkcji circshift(obraz,wektor). 2.2 Obrót Obraz mo»na obraca przy u»yciu funkcji imrotate(obraz, k t w stopniach, opcje). Pierwsz opcj s metody interpolacji nowych danych: najbli»szego s siada ('nearest'); dwuliniowa ('bilinear'); bikubiczna ('bicubic'). Drug opcj jest rozmiar wyj±ciowy obrazu: 'crop': Obraz wyj±ciowy ma taki sam rozmiar jak wej±ciowy. Rogi s obci te, wolne miejsca wypeªnione zerami. 'loose': Obraz wyj±ciowy na ogóª jest powi kszony tak, by zmie±ciª si caªy obraz. Wolne miejsca wypeªnione zerami. Opcjami domy±lnymi jest 'nearest','loose'. U»ycie k ta dodatniego powoduje obrót przeciwnie do kierunku wskazówek zegara. 3

2.3 Odbicia symetryczne Odbicia symetryczne mog by wzgl dem prostej pionowej (fliplr (obraz)) lub poziomej (flipud (obraz)). Odbicia te (a zwªaszcza odbicie poziome) maj zastosowanie podczas kalibracji (ang. registering) zdj cia (przypisania wspóªrz dnych, np. geogracznych, do poszczególnych pikseli obrazu). 2.4 Dodawanie wierszy, kolumn do obrazu Dodawanie kolumn i wierszy do obrazu ma na celu gªównie podczas ltracji w celu zmniejszenia efektów brzegowych. Sªu»y do tego polecenie padarray (obraz, rozmiar, metoda, kierunek); Rozmiar w formie wektora [x y] mówi, ile wersów x i ile kolumn y nale»y doda. Do metod zaliczamy: 'circular' - doklejanie cykliczne 'replicate' - doklejanie poprzez kopiowanie skrajnych wersów / kolumn 'symmetric' - odbicie symetryczne. Istniej 3 kierunki: 'pre': doklejanie z góry i z lewej; 'post': zdoªu i z prawej; 'both': z obu jednocze±nie. 2.5 Zmiana ksztaªtu i wymiarów obrazu Zmiana wymiarów obrazu odbywa si przy wykorzystaniu polecenia reshape (obraz, [nowy rozmiar], 'opcja');. Do poprawnego dziaªania funkcji musi by speªniony warunek zachowania powierzchni: (x old y old = x new y new ) Do zmiany ksztaªtu, bez konieczno±ci speªnienia powy»szego warunku mo»e sªu»y polecenie imresize(obraz, [nowy rozmiar], 'opcja'). Zmiana ksztaªtu mo»e odbywa si przy wykorzystaniu dwóch polece«: maketform (typ, parametry) do tworzenia maski przeksztaªcaj cej i imtransform (obraz, forma);" do zastosowania maski. W nowszych wersjach polecenie maketform zostaªo zast pione poleceniami: affine2d([ macierz 3x3 ]) i projective2d([ macierz 3x3 ]). W przypadku anicznym, ostatnia kolumna musi mie warto±ci [0; 0; 1], a dane w trzecim wierszu nie maj wpªywu na obraz. Polecenie imtransform zostaªo zast pione natomiast poleceniem imwarp(obraz, maska). Wyró»niamy nast puj ce typy transformacji: ('ane',[t A T B ; T C T D ; T E T F ]) - przeksztaªcenie aniczne: ka»de ró»nowarto±ciowe przeksztaªcenie geometryczne, które wszystkie proste zawarte w dziedzinie tego odwzorowania przeksztaªca na proste (rys.2). Przeksztaªcenie aniczne dane jest wzorem: [x new y new ] = [x y 1] T (5) ('projective',[t A T D T G ; T B T E T H ; T C T F T I ]): takie przeksztaªcenie, gdzie ka»- de punkty le» ce na jednej prostej przechodz w punkty le» ce na drugiej prostej (rys.3). Projekcja dane jest wzorem: [x new y new z new ] = [x y w] T (6) 4

Rysunek 2: Parametry przeksztaªcenia anicznego (¹ródªo:Wróbel & Koprowski, 2004). W przypadku obrazów 2D, powy»sze równania mo»na zapisa w nast puj cy sposób: x new = T A x + T B y + T C T G x + T H y + T I y new = T D x + T E y + T F T G x + T H y + T I (7) Rysunek 3: Parametry projekcji (¹ródªo:Wróbel & Koprowski, 2004) 'custom' 'box' 'composite' 5