Rysunek 1. Piramida obrazów

Transkrypt

1 ZASTOSOWANIE PIRAMIDY OBRAZÓW DO ODSZUMIANIA MGR IN. G. SARWAS 1. Wst p Otaczaj cy nas ±wiat ma struktur wieloskalow. To co widzimy zale»y od tego w jakim powi kszeniu oraz rozdzielczo±ci ogl damy dany obraz. Aby komputer mógª dokona analizy obrazu cyfrowego, musi dokona pewnej dekompozycji, która zachodzi tak»e w mózgu czªowieka, podczas analizy zarejestrowanego obrazu. Czªowiek, analizuj c dany obraz, zaczyna od rozpoznania rzeczy jak najbardziej ogólnych, a ko«czy na szczegóªach. Najpierw analizuje tªo, okre±la ilo± przedmiotów, a nast pnie przechodzi do analizy ksztaªtów, kolorów i faktur. Dla komputera obraz cyfrowy to nic innego jak macierz punków. Aby mógª go podzieli na pewne obszary musi tak»e zacz od zbiorów jednorodnych (tªa), by nast pnie doª czy wszystkie elementy znajduj ce si w pa±mie wysokich cz stotliwo±ci (szumy, tekstury). Taki sposób post powania staª si inspiracj do stworzenia piramidy obrazów, która dokonywaªaby wst pnej dekompozycji obrazu poprzez zmian jego rozdzielczo±ci i wydobycie z niego elementów jak najbardziej ogólnych, by nast pnie mo»na byªo zaj si analiz bardziej szczegóªow. 2. Zastosowanie piramidy obrazów do odszumiania Piramida obrazu jest zbiorem obrazów w ró»nej rozdzielczo±ci. Poprzez redukcj rozdzielczo±ci w obrazie wej±ciowym, otrzymuje si struktur hierarchiczn, w której jasno± ka»dego piksela znajduj cego si na danym poziomie piramidy jest funkcj pewnej liczby punktów z poziomu ni»szego. Rysunek 1. Piramida obrazów Ilo± poziomów piramidy ograniczona jest przede wszystkim poprzez rozmiar obrazu wej±ciowego. Kolejne poziomy mog by uzyskiwane, a» do otrzymania poziomu skªadaj cego si z jednego piksela. Nie ma jednak potrzeby tworzenia, a» tak wysokiej piramidy, poniewa» obraz skªadaj cy si z jednego piksela nie daje»adnej mo»liwo±ci analizy, dlatego te» ilo± poziomów okre±lana jest wcze±niej i zale»y od zastosowania konstrukcji piramidalnej. Date: Luty 17,

2 2 MGR IN. G. SARWAS Jak wida na rysunku 1 na samym dole piramidy znajduje si obraz oryginalny o najwi kszej rozdzielczo±ci. Obraz ten zawiera elementy zarówno o niskiej, jak i o wysokiej cz stotliwo±ci. Wyra¹nie widoczne s tekstury, wszelkie detale oraz szum. Podczas tworzenia kolejnych poziomów piramidy, oprócz redukcji liczby pikseli, cz sto stosuje si tak»e rozmaite ltry. W wyniku przeksztaªce«piramidalnych usuwa si informacje o szczegóªach obrazu. Ka»dy nast pny poziom piramidy b dzie wi c zawieraª elementy bardziej ogólne, znajduj ce si w pa±mie niskich cz stotliwo±ci. B d to jednorodne, rozmazane obszary Rodzaje piramidy obrazów. Poszczególne piramidy ró»ni mi dzy sob sposób otrzymywania kolejnego poziomu. Ze wzgl du na rodzaj przeksztaªcenia, daj cy obraz o ni»szej rozdzielczo±ci, mo»na wyró»ni piramidy liniowe i nieliniowe. Najcz ±ciej stosowanymi piramidami niefalkowymi s : (1) Liniowe: (a) Piramida u±redniaj ca (b) Piramida Gaussa (2) Nieliniowe: (a) Piramida oparta na metodzie najbli»szego s siada (ang. nearest neighbour) (b) Piramida medianowa (c) Piramida morfologiczna Rysunek 2. Schemat dekompozycji i rekonstrukcji piramidalnej 2.2. Dekompozycja piramidalna obrazu. Dowoln dekompozycj piramidaln obrazu f mo»na opisa za pomoc algorytmu [1]: (1) Niech g k = f dla k = 0. (2) Poddanie obrazu g k P rzeksztaªceniu P iramidalnemu w celu uzyskania nast pnego poziomu piramidy g k+1 : g k+1 = REDUKCJA(g k ) (3) Interpolacja obraz g k+1 w celu powrotu do rozmiaru obrazu z poziomu ni»szego: g k = INT ERP OLACJA(g k+1 ) (4) Wyliczenie macierzy wspóªczynników, zdeniowanej jako: ε k = g k g k

3 PIRAMIDA OBRAZÓW 3 (5) Niech k = k + 1. Je±li k < S, gdzie S - ilo± poziomów piramidy, id¹ do kroku 2. Macierz wspóªczynników jest ró»nic pomi dzy obrazem z ni»szego poziomu piramidy, a obrazem z poziomu wy»szego, zinterpolowanym do rozmiarów obrazu wej±ciowego. Macierz ta nie mo»e by jednak nazwana obrazem, poniewa» obrazem nazywamy macierz dwuwymiarow o wspóªczynnikach wi kszych b d¹ równych zero. W przypadku dekompozycji piramidalnej nie ma mo»liwo±ci okre±lenia, czy macierz wspóªczynników b dzie obrazem. Wi kszo± przeksztaªce«piramidalnych nie jest bowiem antyekstensywna. Sposobem na otrzymanie obrazu ró»nicowego z macierzy wspóªczynników jest policzenia jej warto±ci bezwzgl dnej O ró»nicowy = ε k 1. Obraz taki znakomicie przedstawia wszystkie elementy, które zostaªy usuni te z obrazu w procesie powstawania piramidy. Ró»nice te nie wynikaj jednak tylko z transformaty piramidalnej ale s tak»e zale»ne od rodzaju interpolacji obrazu, która dopasowuj cej jego rozmiar do wykonania operacji odejmowania. Obraz taki pozwala znale¹ sposoby zastosowa«ró»nych przeksztaªce«piramidalnych. Nale»y jednak pami ta,»e wykonanie rekonstrukcji przy pomocy obrazu ró»nicowego mo»e doprowadzi do powstania artefaktów Rekonstrukcja obrazu. Jak wida na rysunku 2 wystarczaj c wiedz do rekonstrukcji obrazu g S, znajduj cego si na S-owym poziomie piramidy, do obrazu oryginalnego, jest dany obraz oraz macierze wspóªczynników ε k, gdzie k {0,..., S 1}. Rekonstrukcj obrazu mo»na przedstawi za pomoc algorytmu [1]: (1) Niech g k = g S, dla k = S (2) Interpolacja obrazu z poziomu g k do wielko±ci obrazu na poziomie k 1 : g k 1 = INT ERP OLACJA(g k ) (3) Wyliczenie obrazu na poziomie piramidy k 1 : g k 1 = g k 1 + ε k 1 (4) Niech k = k 1. Je±li k > 0 id¹ do kroku 2. Aby mo»liwy byª powrót z dowolnego poziomu piramidy, do obrazu oryginalnego nale»y w procesie restauracji u»y takiego samego algorytmu interpolacji, jak ten który zostaª u»yty w procesie dekompozycji Zmodykowany algorytm dekompozycji. Inn metod znalezienia obrazu ró»nicowego jest niewielka modykacja algorytmu dekompozycji i podziaª przeksztaªcenia piramidalnego na dwie operacje. Pierwasz operacj jest przeltrowanie obrazu ltrem zale»nym od rodzaju piramidy. W wyniku otrzymuje si obraz b d cy obrazem przeltrowanym lecz o rozmiarze równym rozmiarowi obrazu wej±ciowego. Nast pnie posiadaj c dwa obrazy tych samych rozmiarów mo»na dokona odejmowania otrzymuj c macierz wspóªczynników. Przej±cie do nast pnego poziomu piramidy wi»e si z u»yciem piramidy opartej na metodzie najbli»szego s siada, czyli wybraniu co drugiego piksela w wierszu i kolumnie. W przypadku zmodykowanego algorytmu dekompozycji, macierz wspóªczynników jest obrazem ró»nicowym pod warunkiem,»e ltr u»yty w tym procesie byª antyekstensywny. Filtrem takim jest ltr otwarcia u»ywany w piramidzie morfologicznej. Podstawow wad zastosowania zmodykowanego algorytmu dekompozycji jest niedokªadno± rekonstrukcji, wynikaj ca z faktu, i» macierz wspóªczynników nie uwzgl dnia bª du wprowadzonego poprzez interpolacj obrazu.

4 4 MGR IN. G. SARWAS 2.5. Algorytm odszumiania. Dziaªanie algorytmu odszumiaj cego opiera si o podwójne progowanie macierzy wspóªczynników. Poprzez odpowiednie dobranie operacji REDU KCJI i IN T ERP OLACJI, w procesie dekompozycji piramidalnej, otrzymuje si macierze wspóªczynników zawieraj ce informacje o detalach obrazu oraz szum, który jest tak»e skªadnikiem wysokocz stotliwo±ciowym. Zaszumione piksele obrazu ró»nicowego odznaczaj si wysok luminancj. Poprzez u»ycie mi kkiego progowania mo»na z macierzy wspóªczynników wyeliminowa informacj o szumie, dzi ki czemu w procesie rekonstrukcji obrazu zostan przywrócone jego detale Algorytm progowania macierzy wspóªczynników. p ε k (i, j) p ε k (i, j) = p ε k (i, j) p ε k (i, j) w innym przypadku, gdzie p-próg W przypadku odszumiania obrazu wystarczy wykona dekompozycj piramidaln o wysoko±ci 3. Wy»sze poziomy nie zawieraj informacji o szumie. Dziaªanie algorytmu mo»na poprawi poprzez zró»nicowane progowanie. Im macierz wspóªczynników jest na wy»szym poziomie tym próg mo»e by wi kszy Filtr piramidalny. Bardzo dobre wªasno±ci ltrowania obrazu posiada ltr w dekompozycji którego zostaªa zastosowana piramida medianowa i interpolacja biliniowa Algorytm dekompozycji z zastosowaniem piramidy medianowej. (1) Niech g k = f, gdzie k = 0, f - obraz wej±ciowy. (2) Wyliczenie nast pnego poziomu: g k+1 (i, j) = med(g k (2i + m, 2j + n), s), gdzie 0 < i C k+1, 0 < j R k+1, a funkcja med(f(i, j), s) zdeniowana jest jako mediana otoczenia piksela o wspóªrz dnych i, j z j drem o wymiarach (2s + 1) (2s + 1) (3) g k = INT ERP OLACJA(g k+1 ) (4) Wyliczenie macierzy wspóªczynników: ε k = g k g k (5) k = k + 1. Je±li k < S, gdzie S - ilo± poziomów piramidy, to id¹ do kroku Zmodykowany algorytm dekompozycji. Algorytm ten opiera si o ltr medianowy i piramid opart na metodzie najbli»szego s siada. Na ka»dym poziomie piramidy nale»y napierw wykona ltracj obrazu za pomoc ltru medianowego. Nast pnie na przeltrowanym obrazie wykonuje si opracj REDU KCJI za pomoc algorytmu najbli»szego s siada: (1) Niech g k = f, gdzie k = 0, f - obraz wej±ciowy. (2) Filtracja obrazu g k na k-tym poziomie piramidy (3) Wyliczenie nast pnego poziomu: g k = med(g k ) g k+1 = dec(g k), gdzie dec jest operacj polegaj c na zast pieniu wszystkich czwórek pikseli, jednym z nich. (4) g k = INT ERP OLACJA(g k+1 ) (5) Wyliczenie macierzy wspóªczynników: ε k = g k g k

5 PIRAMIDA OBRAZÓW 5 (6) k = k + 1. Je±li k < S, gdzie S - ilo± poziomów piramidy, to id¹ do kroku Interpolacja dwuliniowa. Interpolacja dwuliniowa jest podstawow, liniow metod interpolacji obrazów. Nowy piksel wyliczany jest na podstawie czterech s siaduj cych ze sob pikseli [2]. Rysunek 3. Siatka interpolacji dwuliniowej Aby wyliczy warto± piksela f(p ) w punkcie P = (x, y), najpierw trzeba wykona interpolacj wzdªu» osi x, w efekcie której otrzymuje si warto±ci obrazu w punktach R 1 i R 2. Warto± tych punktów wylicza si ze wzoru: (1) f(r 1 ) x 2 x f(q 11 ) + x x 1 f(q 21 ), gdzie R 1 = (x, y 1 ), (2) f(r 2 ) x 2 x f(q 12 ) + x x 1 f(q 22 ), gdzie R 2 = (x, y 2 ). Nast pnie dokonuje si interpolacji wzdªu» osi y: (3) f(p ) y 2 y y 2 y 1 f(r 1 ) + y y 1 y 2 y 1 f(r 2 ). (4) Ostatecznie podstawiaj c wzory na f(r 1 ) i f(r 2 ) otrzymujemy: f(q 11) f(x, y) (x (x 2 x 1)(y 2 y 1) 2 x)(y 2 y) f(q + 21) (x (x x 2 x 1)(y 2 y 1) 1)(y 2 y) f(q + 12) (x (x 2 x 1)(y 2 y 1) 2 x)(y y 1 ) f(q + 22) (x (x x 2 x 1)(y 2 y 1) 1)(y y 1 ). Interpolacja dwuliniowa jest najmniej zªo»on obliczeniowo interpolacj. U±redniaj c piksele s siednie powoduje ona rozmycie obrazu. Interpolacji obrazu zawieraj cego szum o rozkªadzie Gaussa spowoduje jego usuni cie Opis algorytmu. (1) Wykonanie piramidy medianowej z interpolacj dwuliniow (3 poziomy) (2) Wykonanie progowania mecierzy wspóªczynników (3) Rekonstrukcja obrazu

6 6 MGR IN. G. SARWAS 3. wiczenie laboratoryjne Celem wiczenia jest napisanie algorytmu dekompozycji i rekonstrukcji piramidalnej w oparciu o piramid medianow i interpolacj dwuliniow. Nast pn cz ±ci wiczenia jest zastosowanie algorytmu ltracji piramidalnej do usuwania szumu impulsowego oraz szumu o rozkªadzie Gaussa. Wyniki dziaªania ltru nale»y porówna z wynikami otrzymanymi przy zastosowaniu ltra Gaussa oraz medianowego Plan wiczenia. (1) Napisanie algorytmu interpolacji biliniowej. (2) Napisanie algorytmu REDU KCJI w oparciu o metod najbli»szego s - siada. (3) Stworzenie algorytmu dekompozycji piramidalnej opartej o piramid medianow i interpolacj dwuliniow. (4) Stworzenie algorytmu rekonstrukcji piramidalnej. (5) Wy±wietlenie obrazów ró»nicowych. (6) Wykonanie algorytmu progowania macierzy wspóªczynników. (7) Przetestowanie dziaªania algorytmu odszumiaj cego w przypadku szumu impulsowego oraz o rozkªadzie Gaussa dla ró»nych progów. (8) Porównanie dziaªania ltru piramidalnego z ltrem medianowym i u±redniaj cym. (9) Sprawozdanie z wiczenia (Do wykonania w domu). Literatura [1] J.-L. Starck, F. Murtagh, A. Bijaoui: Image Processing and Data Analysis: The Multiscale Approach, Cambridge University Press, (1998). [2] M. Jiang from School of Mathematical Sciences: Digital Image Processing, Peking University, ( ). [3] M. Kraus, M. Strengert: Pyramid Filters Based On Bilinear Interpolation. [4] J.M. Ogden, E.H. Adelson, J R. Bergen, P.J. Burt Pyramid-based computer graphics, RCA Engineer, (Nov 1985). [5] K.G. Derpanis: The Gaussian Pyramid, Version 1.0, (5 Feb 2005). [6] G. Sarwas: Zastosowania piramidy niefalkowej w przetwarzaniu obrazów, Praca Magisterska broniona w Zakªadzie Sterowania PW, (Sep 2007). address, G. Sarwas: sarwasg@isep.pw.edu.pl URL: