Funkcje arytmetyczne

Podróże po Imperium Liczb Część 5 Funkcje arytmetyczne Andrzej Nowicki Wydanie drugie, uzupełnione i rozszerzone Olsztyn, Toruń, 2012

FAR - 49(1010) - 10.05.2012

Spis treści Wstęp 1 1 Funkcje arytmetyczne i splot Dirichleta 5 1.1 Splot Dirichleta.................................. 6 1.2 Funkcje multyplikatywne............................. 10 1.3 Funkcje w pełni multyplikatywne......................... 13 1.4 Funkcje postaci f (m)................................ 15 1.5 Pewne algebraiczne własności pierścienia funkcji arytmetycznych....... 17 1.6 Różne fakty i zadania o funkcjach arytmetycznych............... 19 1.7 Splot Dirichleta i klasyczne funkcje arytmetyczne............... 21 1.8 Inne sploty..................................... 21 2 Funkcja Möbiusa 23 2.1 Definicja i podstawowe własności......................... 23 2.2 Własności splotowe funkcji Möbiusa....................... 25 2.3 Funkcja Möbiusa i funkcje z warunkiem n f(n)................ 28 2.4 Funkcja Möbiusa i część całkowita........................ 29 2.5 Funkcja Möbiusa i kolejne liczby naturalne................... 31 2.6 Funkcja Möbiusa i liczby nierozkładalnych wielomianów............ 31 3 Funkcja Eulera 35 3.1 Wzór na obliczanie wartości funkcji ϕ i multyplikatywność.......... 36 3.2 Funkcja ϕ i splot Dirichleta............................ 38 3.3 Własności funkcji ϕ................................ 41 3.4 Funkcja ϕ i cyfry................................. 44 3.5 Równanie ϕ(x) = m................................ 44 3.6 Równania z funkcją ϕ............................... 49 3.7 Podzielność n 1 przez ϕ(n)........................... 51 3.8 Funkcja ϕ i podzielność.............................. 52 3.9 Nierówności z funkcją ϕ.............................. 54 3.10 Iteracje funkcji ϕ................................. 55 3.11 Liczby postaci ϕ(n)/n lub n/ϕ(n)........................ 56 3.12 Różne fakty i zadania z funkcją ϕ........................ 56 3.13 Funkcja ψ..................................... 57 4 Liczba dzielników naturalnych 59 4.1 Podstawowe fakty o funkcji τ........................... 60 4.2 Przykłady i własności............................... 60 4.3 Funkcja τ i splot Dirichleta............................ 62 4.4 Liczby τ(n 2 ).................................... 64 4.5 Liczby τ(n s ).................................... 66 4.6 Liczby τ(n) s.................................... 66 4.7 Kolejne liczby naturalne.............................. 66 4.8 Nierówności i funkcja τ.............................. 68 4.9 Iteracje funkcji τ.................................. 69 i

4.10 Ciągi rekurencyjne z funkcją τ.......................... 70 4.11 Suma sześcianów i kwadrat sumy........................ 72 4.12 Liczba dzielników i szeregi............................ 74 4.13 Różne fakty i zadania dotyczące funkcji τ.................... 75 5 Liczby dzielników szczególnej postaci 77 5.1 Funkcje d 4,1 i d 4,3................................. 77 5.2 Funkcje d 3,1 i d 3,2................................. 79 5.3 Funkcje d 6,1 i d 6,5................................. 80 5.4 Liczba dzielników pierwszych........................... 81 5.5 Inne liczby dzielników szczególnej postaci.................... 84 6 Suma dzielników naturalnych 85 6.1 Własności funkcji σ................................ 86 6.2 Funkcja σ i splot Dirichleta............................ 87 6.3 Równanie σ(x) = k................................ 88 6.4 Nierówności z funkcją σ.............................. 92 6.5 Liczby postaci σ(n) n.............................. 93 6.6 Równanie σ(n + k) = σ(n) + k.......................... 95 6.7 Funkcja σ i kolejne liczby naturalne....................... 97 6.8 Funkcja σ i podzielność.............................. 98 6.9 Liczby potęgowe postaci σ(n)........................... 100 6.10 Liczby postaci σ(n)/n............................... 101 6.11 Różne fakty i zadania o sumie dzielników naturalnych............. 102 6.12 Funkcja σ s..................................... 103 7 Liczby doskonałe, nadmierne, deficytowe i inne 105 7.1 Liczby doskonałe.................................. 105 7.2 Liczby nadmierne i deficytowe.......................... 107 7.3 Równość σ(n) = sn................................ 108 7.4 Równość σ(n) = sn±r............................... 109 7.5 Równości postaci aσ(n) = bn........................... 111 7.6 Liczby zaprzyjaźnione............................... 111 7.7 Liczby praktyczne................................. 113 8 Różne funkcje arytmetyczne 115 8.1 Funkcje arytmetyczne zerowe od pewnego miejsca............... 115 8.2 Funkcja odwrotna do funkcji T a......................... 116 8.3 Funkcja odwrotna do funkcji g(n) = ( 1) n 1.................. 117 8.4 Funkcja Λ..................................... 118 8.5 Funkcje multyplikatywne stowarzyszone z nwd i nww............. 120 8.6 Funkcje multyplikatywne stowarzyszone z wielomianami............ 122 8.7 Iloczyn dzielników pierwszych.......................... 124 8.8 Iloczyn naturalnych dzielników.......................... 124 ii

9 Unitarne dzielniki i unitarny splot 127 9.1 Dzielniki unitarne................................. 127 9.2 Największy wspólny unitarny dzielnik...................... 128 9.3 Najmniejsza wspólna unitarna wielokrotność.................. 129 9.4 Splot unitarny................................... 130 9.5 Splot unitarny i funkcje multyplikatywne.................... 132 9.6 Unitarny odpowiednik funkcji Möbiusa..................... 134 9.7 Unitarny odpowiednik funkcji τ......................... 136 9.8 Unitarny odpowiednik funkcji σ......................... 137 9.9 Unitarny odpowiednik funkcji ϕ......................... 138 10 Formalne szeregi potęgowe 139 10.1 Splot Abela..................................... 139 10.2 Pierścień A 0 (R) jako przestrzeń metryczna................... 141 10.3 Pierścień szeregów formalnych.......................... 144 10.4 Zbieżne i sumowalne ciągi szeregów formalnych................. 147 10.5 Pochodna szeregów formalnych.......................... 151 10.6 Funkcje Log i Exp................................. 152 10.7 Początkowe przykłady............................... 153 10.8 Elementarne ciągi liczbowe i ich formalne szeregi generujące......... 155 10.9 Ciągi rekurencyjne i ich formalne szeregi generujące.............. 157 10.10 Pierwiastkowanie szeregów formalnych...................... 159 10.11 Iloczyny szeregów formalnych........................... 161 10.12 Szeregi formalne i funkcje arytmetyczne..................... 165 Spis cytowanej literatury 168 Skorowidz nazwisk 174 Skorowidz 177 iii

Wstęp Głównym tematem prezentowanej serii książek są liczby i ich przeróżne własności. Autor od najmłodszych lat zbierał wszelkie fakty i ciekawostki dotyczące najpierw liczb całkowitych i wielomianów o współczynnikach całkowitych, a następnie dotyczące również liczb wymiernych, rzeczywistych, zespolonych oraz wielomianów nad tymi zbiorami liczbowymi. Nazbierało się sporo interesującego materiału, którego wybrane fragmenty będą tu przedstawione. Materiał pochodzi z wielu różnych źródeł. Są tu zadania i problemy, które znajdziemy w popularnych czasopismach matematycznych. Wśród tych czasopism jest wychodzące od 1894 roku (przeważnie 10 numerów w roku) The American Mathematical Monthly. Są wśród tych czasopism również: angielskie czasopismo Mathematical Gazette,, kanadyjskie Crux Mathematicorum, rosyjskie Kwant, chińskie Mathematical Excalibur, itp. Godnymi uwagi są również polskie czasopisma popularnonaukowe: Delta, czasopismo dla nauczycieli Matematyka oraz inne. Istotną rolę w prezentowanym materiale odegrały zadania z olimpiad i konkursów matematycznych całego świata. Każdego roku pojawiają się opracowania, książki oraz artykuły dotyczące zadań z różnych zawodów matematycznych. Wspomnijmy tylko o prestiżowych seriach książek z zawodów International Mathematical Olympiad (IMO) oraz Putnam Mathematical Competition. Sporo oryginalnych zadań znajduje się w opracowaniach dotyczących olimpiad matematycznych w Rosji lub w państwach byłego Związku Radzieckiego. Polska również ma wartościowe serie tego rodzaju książek. Zebrany materiał pochodzi również z różnych starych oraz współczesnych podręczników i książek z teorii liczb. Wykorzystano liczne książki popularnonaukowe oraz prace naukowe publikowane w różnych czasopismach specjalistycznych. Są tu też pewne teksty pochodzące z internetu. Większość prezentowanych faktów ma swoje odnośniki do odpowiedniej literatury. Odnośniki te wskazują tylko wybrane miejsca, w których można znaleźć albo informacje o danym zagadnieniu, albo rozwiązanie zadania, albo odpowiedni dowód. Bardzo często omawiany temat jest powtarzany w różnych pozycjach literatury i często trudno jest wskazać oryginalne źródła. Jeśli przy danym zagadnieniu nie ma żadnego odnośnika do literatury, to oznacza to, że albo omawiany fakt jest oczywisty i powszechnie znany, albo jest to własny wymysł autora. Elementarna teoria liczb jest wspaniałym źródłem tematów zachęcających do pisania własnych programów komputerowych, dzięki którym można dokładniej poznać badane problemy. Można wykorzystać znane komputerowe pakiety matematyczne: MuPad, Mathematica, CoCoA, Derive, Maple i inne. W prezentowanej serii książek znajdziemy sporo wyników i tabel uzyskanych głównie dzięki pakietowi Maple. We wszystkich książkach z serii Podróże po Imperium Liczb stosować będziemy jednolite oznaczenia. Zakładamy, że zero nie jest liczbą naturalną i zbiór {1, 2, 3,... }, wszystkich liczb naturalnych, oznaczamy przez N. Przez N 0 oznaczamy zbiór wszystkich nieujemnych liczb całkowitych, czyli zbiór N wzbogacony o zero. Zbiory liczb całkowitych, wymiernych, rzeczywistych i zespolonych oznaczamy odpowiednio przez Z, Q, R oraz C. Zbiór wszystkich liczb pierwszych oznaczamy przez P. 1

Największy wspólny dzielnik liczb całkowitych a 1,..., a n oznaczamy przez nwd(a 1,..., a n ) lub, w przypadkach gdy to nie prowadzi do nieporozumienia, przez (a 1,..., a n ). Natomiast najmniejszą wspólną wielokrotność tych liczb oznaczamy przez nww(a 1,..., a n ) lub [a 1,..., a n ]. Zapis a b oznacza, że liczba a dzieli liczbę b. Piszemy a b w przypadku, gdy a nie dzieli b. Część całkowitą liczby rzeczywistej x oznaczamy przez [x]. Mówimy, że n = p α 1 1 pα 2 2 pαs s jest rozkładem kanonicznym liczby naturalnej n 2, jeśli p 1,..., p s są parami różnymi liczbami pierwszymi oraz α 1,..., α s są liczbami naturalnymi. Liczbę elementów skończonego zbioru A oznaczamy przez A. Pewne zamieszczone tutaj fakty przedstawione są wraz z ich dowodami. Początek dowodu oznaczono przez D.. Pojawiają się również symbole R., U., W. oraz O. informujące odpowiednio o początku rozwiązania, uwagi, wskazówki i odpowiedzi. Wszystkie tego rodzaju teksty zakończone są symbolem. Skrót Odp. również oznacza odpowiedź. Spis cytowanej literatury znajduje się na końcu tej książki (przed skorowidzami). Liczby pomiędzy nawiasami oraz, występujące w tym spisie, oznaczają strony, na których dana pozycja jest cytowana. W pewnych podrozdziałach podano również literaturę dodatkową lub uzupełniającą. Informuje o tym symbol. Seria Podróże po Imperium Liczb składa się z piętnastu nastpujących książek. 01. Liczby wymierne; 02. Cyfry liczb naturalnych; 03. Liczby kwadratowe; 04. Liczby pierwsze; 05. Funkcje arytmetyczne; 06. Podzielność w zbiorze liczb całkowitych; 07. Ciągi rekurencyjne; 08. Liczby Mersenne a, Fermata i inne liczby; 09. Sześciany, bikwadraty i wyższe potęgi; 10. Liczby i funkcje rzeczywiste; 11. Silnie i symbole Newtona; 12. Wielomiany; 13. Nierówności; 14. Równanie Pella; 15. Liczby, funkcje, zbiory, geometria. Wszystkie książki z serii Podróże po Imperium Liczb napisano w edytorze L A TEX. Spisy treści tych książek oraz pewne wybrane rozdziały moża znaleźć na internetowej stronie autora: http://www.mat.uni.torun.pl/~anow. Wszystkie książki z serii Podróże po Imperium Liczb zostały wydane przez Wydawnictwo Naukowe Olsztyńskiej Wyższej Szkoły Informatyki i Zarządzania im. prof. Tadeusza Kotarbińskiego. Pierwsze wydania tych książek pojawiły się w latach 2008 2011. Autor otrzymał sporo interesujących listów z uwagami i komentarzami dotyczącymi omawianych zagadnień. Były też listy, w których wytknięto szereg pomyłek, błędów i niedokładności. Autorom tych wszystkich listów należą się szczere i serdeczne podziękowania. Teraz, w tym drugim wydaniu książek serii Podróże po Imperium Liczb, przesłane uwagi zostały uwzględnione. Naprawiono błędy, dołączono pewne dowody oraz podano nową aktualną literaturę. Wydanie to jest rozszerzone, uzupełnione i wzbogacone o pewne nowe rozdziały lub podrozdziały. 2

o o o o o W piątej książce z serii Podróże po Imperium Liczb zajmujemy się funkcjami arytmetycznymi, czyli zwykłymi funkcjami działającymi ze zbioru liczb naturalnych i przyjmującymi liczbowe wartości. Funkcje arytmetyczne, to nic innego jak nieskończone ciągi o wyrazach będących liczbami. Zajmujemy się więc nieskończonymi ciągami liczbowymi. W wielu przypadkach wyrazy rozpatrywanych ciągów, czyli wartości rozpatrywanych funkcji arytmetycznych, będą liczbami naturalnymi lub liczbami całkowitymi. Pojawią się też funkcje arytmetyczne o wartościach należących do innych zbiorów liczbowych, ale wszystkie te zbiory liczbowe będą podzbiorami zbioru liczb rzeczywistych i czasami zbioru liczb zespolonych. Istotną rolę w tej książce odgrywać będą funkcje: I, T, e, µ, ϕ, τ, σ oraz σ k. Definiuje się te funkcje następująco. Jeśli n jest dowolną liczbą naturalną, to: I(n) = 1, T (n) = n, [ { 1 1, gdy n = 1, e(n) = = n] 0, gdy n 1, 1, gdy n = 1, ( 1) k, gdy n = p 1 p 2 p k, gdzie p 1,..., p k µ(n) = są parami różnymi liczbami pierwszymi, 0, w pozostałych przypadkach, ϕ(n) = liczba tych wszystkich liczb ze zbioru {1, 2,..., n}, które są względnie pierwsze z n τ(n) = liczba wszystkich naturalnych dzielników liczby n, σ(n) = suma wszystkich naturalnych dzielników liczby n, σ s (n) = suma s-tych potęg wszystkich naturalnych dzielników liczby n. Funkcje µ i ϕ nazywamy odpowiednio funkcją Möbiusa i funkcją Eulera. Książka ta składa się z dziesięciu rozdziałów. Rozdziały od drugiego do siódmego przeznaczone są na dokładne omówienie wybranych własności i zastosowań funkcji µ, ϕ, τ, σ oraz ich uogólnień. Inne, znane lub mniej znane, funkcje arytmetyczne rozważane są w rozdziale ósmym. Rozdział pierwszy ma charakter wprowadzający. Mówimy w nim o zbiorze wszystkich funkcji arytmetycznych. Zbiór ten w tej książce oznaczamy przez A. Rozważamy również specjalny podzbiór zbioru A, składający się z funkcji multyplikatywnych. Mówimy, że funkcja arytmetyczna f jest multyplikatywna, jeśli f(1) = 1 oraz f(nm) = f(n)f(m), dla wszystkich względnie pierwszych liczb naturalnych n i m. Wszystkie powyżej wspomniane funkcje są multyplikatywne. Jeśli f i g są funkcjami arytmetycznymi, to przez f g oznaczamy nową funkcję arytmetyczną zdefiniowaną wzorem (f g)(n) = k n f(k)g(n/k), 3

dla n N. Działanie, zwane splotem Dirichleta, pojawiać się tu będzie bardzo często. Podstawowe własności tego splotu opisane są w rozdziale pierwszym. Niech a, b będą liczbami naturalnymi takimi, że a dzieli b. Mówimy, że dzielnik a jest b unitarny, jeśli liczby a i a są względnie pierwsze. Piszemy wówczas: a b. Dzielnikami unitarnymi zajmujemy się w rozdziale dziewiątym. Jeśli f i g są funkcjami arytmetycznymi, to przez f g oznaczamy nową funkcję arytmetyczną zdefiniowaną wzorem (f g)(n) = k n f(k)g(n/k), dla n N. Działanie nazywamy splotem unitarnym. Przy pomocy tego splotu definiuje się odpowiedniki podstawowych funkcji arytmetycznych. Takim odpowiednikiem funkcji Möbiusa jest funkcja, którą oznacza się przez µ. Pojawią się również funkcje τ, σ i ϕ. Poznamy definicje i własności tych funkcji. Poznamy dokładniej splot unitarny. O tym wszystkim przeczytamy w rozdziale dziewiątym. Bardzo często mówi się w tej książce o splocie Dirichleta. Pojawią się również informacje o innych splotach. W ostatnim rozdziale omówiono szczegółowo splot Abela oraz stowarzyszony z tym splotem pierścień formalnych szeregów potęgowych. 4

1 Funkcje arytmetyczne i splot Dirichleta Wspominaliśmy już we Wstępie, że we wszystkich książkach z serii Podróże po Imperium Liczb stosujemy jednolite oznaczenia. Zakładamy, że zero nie jest liczbą naturalną i zbiór {1, 2, 3,... }, wszystkich liczb naturalnych, oznaczamy przez N. Przez N 0 oznaczamy zbiór wszystkich nieujemnych liczb całkowitych, czyli zbiór N wzbogacony o zero. Zbiory liczb całkowitych, wymiernych, rzeczywistych i zespolonych oznaczamy odpowiednio przez Z, Q, R oraz C. Zbiór wszystkich liczb pierwszych oznaczamy przez P. Każdą funkcję ze zbioru liczb naturalnych do zbioru liczb zespolonych nazywać będziemy funkcją arytmetyczną. Przykładów takich funkcji jest bardzo dużo. Mamy, na przykład, funkcje T, g, h, M określone odpowiednio równościami T (n) = n, g(n) = n 2, h(n) = log ( 1 + n ), M(n) = 2 n 1, dla wszystkich n N. Są to funkcje arytmetyczne. Innymi słowy, funkcja arytmetyczna, to nic innego jak zwykły ciąg nieskończony o wyrazach będących liczbami, najogólniej mówiąc, zespolonymi. Ciągi arytmetyczne, ciągi geometryczne, ciąg Fibonacciego (1, 1, 2, 3, 5, 8,... ), ciąg stały (a, a, a,... ), ciąg liczb trójkątnych (1, 3, 6, 10, 15,... ) itp., wszystkie te ciągi są funkcjami arytmetycznymi. Zbiór wszystkich funkcji arytmetycznych oznaczać będziemy przez A. Zapis f A oznacza więc tylko to, że f : N C czyli, że f jest funkcją ze zbioru N do zbioru C. Do zbioru A należy w szczególności funkcja zerowa czyli funkcja stała (0, 0, 0,... ), którą oznaczać będziemy przez 0. Funkcję stałą (1, 1, 1,... ), która też oczywiście należy do A, oznaczać będziemy przez I. Jeśli f A, to przez f oznaczać będziemy funkcję przeciwną do f, tzn. funkcję arytmeryczną określoną wzorem ( f)(n) = f(n), dla n N. Jeśli f i g są funkcjami arytmetycznymi, to przez f + g oznaczamy funkcję arytmetyczną określoną wzorem (f + g)(n) = f(n) + g(n), dla wszystkich n N. Nazywamy ją sumą funkcji arytmetycznych f i g. W zbiorze A można więc dodawać i jest oczywiste, że to dodawanie jest przemienne i łączne (tzn. f + g = g + f oraz (f +g)+h = f +(g+h), dla wszystkich f, g, h A). Ponadto, f +0 = f oraz f +( f) = 0, dla wszystkich f A. Powyższe zdania wysławia się krótko jednym zdaniem: zbiór A jest grupą abelową ze względu na dodawanie. W zbiorze A mamy również drugie działanie, które nazywamy mnożeniem i które oznacza się przez kropkę przy czym tej kropki się często nie pisze. Jeśli f i g są funkcjami arytmetycznymi, to fg lub f g jest funkcją arytmetyczną, zwaną iloczynem funkcji f i g, określoną wzorem (fg)(n) = f(n)g(n), dla wszystkich n N. To mnożenie jest działaniem łącznym, przemiennym oraz jest rozdzielność mnożenia względem dodawania (tzn. (f + g)h = fh + gh dla wszystkich f, g, h A). Ponadto, f I = f dla f A. Te z kolei wszystkie zdania, włącznie ze zdaniami o dodawaniu, 5

6 Funkcje arytmetyczne. 1. Funkcje arytmetyczne i splot Dirichleta wysławia się krótko jednym zdaniem: zbiór A jest pierścieniem przemiennym z jedynką ze względu na powyższe dodawanie i mnożenie. Jedynką jest funkcja stała I. To mnożenie ma jednak pewien defekt. Może się tak zdarzyć, że iloczyn dwóch niezerowych funkcji jest funkcją zerową. Jeśli, dla przykładu, f = (1, 0, 1, 0, 1, 0, 1,... ) i g = (0, 1, 0, 1, 0, 1, 0,... ), to f i g są funkcjami niezerowymi, natomiast fg jest funkcją zerową. Tę sytuację wysławia się krótko: pierścień A ma dzielniki zera. W zbiorze A istnieje jeszcze inne mnożenie, które zwykle oznacza się przez i nazywa splotem Dirichleta. Wyjaśnimy to dokładniej w niniejszym rozdziale. Wspomnijmy tylko, że zbiór A jest pierścieniem przemiennym z jedynką ze względu na dodawanie, to samo co poprzednio, oraz to nowe mnożenie. Ten nowy pierścień nie ma dzielników zera, (tzn. jeśli f, g A oraz f 0 i g 0, to f g 0). Jego jedynką jest funkcja e : N C, określona wzorem [ { 1 1, dla n = 1, e(n) = =, n] 0, dla n 1. dla n N. Podstawowymi funkcjami arytmetycznymi rozpatrywanymi w tej ksążce są następujące funkcje: I, T, e, ϕ, τ, σ oraz funkcja Möbiusa µ. Przypomnijmy, że jeśli n jest liczbą naturalną, to I(n) = 1, T (n) = n, e(1) = 0 i e(n) = 0 dla n 2. Ponadto, τ(n) jest liczbą wszystkich dzielników naturalnych liczby n, σ(n) jest sumą wszystkich dzielników naturalnych liczby n oraz ϕ(n) jest liczbą wszystkich tych liczb ze zbioru {1, 2,..., n}, które są względnie pierwsze z liczbą n. 1.1 Splot Dirichleta Jeśli f i g są funkcjami arytmetycznymi (czyli elementami zbioru A), to przez f g oznaczamy funkcję, należącą do A, określoną wzorem: (f g)(n) = f(k)g(n/k) = f(a)g(b), k n ab=n dla wszystkich n N. Symbol informuje, że sumowanie przebiega wszystkie naturalne k n dzielniki liczby n. Natomiast symbol oznajmia, że sumowanie przebiega wszystkie pary ab=n (a, b) takie, że a i b są liczbami naturalnymi spełniającymi równość ab = n. W szczególności: (f g)(12) = f(1)g(12) + f(2)g(6) + f(3)g(4) + f(4)g(3) + f(6)g(2) + f(12)g(1). Jeśli p jest liczbą pierwszą, to (f g)(p) = f(1)g(p) + f(p)g(1) i ogólniej: 1.1.1. (f g)(p n ) = n f(p k )g(p n k ) dla n N. k=0

Funkcje arytmetyczne. 1. Funkcje arytmetyczne i splot Dirichleta 7 Działanie nazywa się splotem Dirichleta. Jest to działanie łączne: 1.1.2. (f g) h = f (g h). Dokładniej, jeśli f, g, h A, to dla wszystkich n N zachodzą równości ((f g) h)(n) = (f (g h))(n) = f(a)g(b)h(c). Symbol abc=n abc=n oznajmia, że sumowanie przebiega wszystkie trójki (a, b, c) takie, że a, b, c są liczbami naturalnymi spełniającymi równość abc = n. Powyższa łączność jest łatwa do sprawdzenia. Z łatwością sprawdzamy również następne stwierdzenie. 1.1.3. Dla dowolnych funkcji arytmetycznych f, g, h zachodzą równości: f g = g f, (f + g) h = (f h) + (g h), f e = f. 1.1.4. Niech f, g A. Jeśli f g = 0, to f = 0 lub g = 0. D. Przypuśćmy, że f 0 i g 0. Niech a, b będą najmniejszymi liczbami naturalnymi takimi, że f(a) 0 i g(b) 0. Wtedy mamy sprzeczność: 0 = (f g)(ab) = f(a)g(b) 0. 1.1.5. Niech f A. Następujące warunki są równoważne. (1) Istnieje g A takie, że f g = e. (2) f(1) 0. D. (1) (2). 1 = e(1) = (f g)(1) = f(1)g(1), więc f(1) 0. (2) (1). Niech f(1) 0. Oznaczmy: t = f(1) 1. Definiujemy g A w następujący indukcyjny sposób: g(1) = t i jeśli n > 1, to g(n) = t f(a)g(b), gdzie sumowanie przebiega po wszystkich parach (a, b) takich, że ab = n oraz a 1. oczywiście spełnia równość f g = e. Funkcja g Z powyższych faktów otrzymujemy następujące stwierdzenie. 1.1.6. Zbiór A jest pierścieniem przemiennym ze względu na zwykłe dodawanie funkcji i mnożenie będące splotem Dirichleta. Jedynką tego pierścienia jest funkcja e. Jest to pierścień bez dzielników zera. Element f A jest odwracalny w A wtedy i tylko wtedy, gdy f(1) 0.

8 Funkcje arytmetyczne. 1. Funkcje arytmetyczne i splot Dirichleta Spójrzmy jeszcze raz na fakt 1.1.5. Załóżmy, że f jest funkcją arytmetyczną spełniającą warunek f(1) 0. Istnieje wtedy funkcja arytmetyczna g taka, że f g = e. Taka funkcja g istnieje oczywiście tylko jedna. Będziemy ją w dalszym ciągu oznaczać przez f 1 i nazywać funkcją odwrotną do funkcji f względem splotu Dirichleta. Mamy więc równość f f 1 = e. W szczególności, jeśli f(1) = 1, to f 1 (1) = 1 oraz gdy p jest liczbą pierwszą. f 1 (p) = f(p), 1.1.7. Niech f A, f(1) 1, p P, n N. Wtedy f 1 (p n ) = 1 n 1 f 1 (p k )f(p n k ). f(1) k=0 1.1.8. Niech f A. Załóżmy, że wszystkie liczby f(n), dla n N, są całkowite i f(1) = ±1. Wtedy istnieje funkcja odwrotna f 1 (względem splotu Dirichleta) i jej wszystkie liczby f 1 (n), dla n N, są całkowite. D. Dowodzimy to dokładnie tak samo jak 1.1.5. Jeśli f A, z C, to przez zf oznaczamy funkcję arytmetyczną taką, że (zf)(n) = z f(n), dla n N. 1.1.9. Jeśli z C oraz f, g A, to z(f g) = zf g = f zg. 1.1.10. Niech f A, 0 z C. Jeśli f 1 istnieje, to istnieje (zf) 1 oraz (zf) 1 = z 1 f 1. Przypomnijmy, że przez I oznaczamy funkcję stałą (1, 1, 1,... ), tzn. I(n) = 1 dla n N. 1.1.11. Dla każdej funkcji arytmetycznej f zachodzi równość: gdzie n N. ([Nagl] 43 z.21). n n [ ] n (f I)(i) = f(i), i i=1 i=1 D. Skorzystamy z następującego oczywistego faktu zachodzącego dla n, k N. [ n ] [ ] { n 1 1, gdy k n, = k k 0, gdy k n.

Funkcje arytmetyczne. 1. Funkcje arytmetyczne i splot Dirichleta 9 Niech F (n) = n [ n i i=1 ] f(i) oraz G(n) = (f I)(n) = f(k). Wtedy k n F (n) F (n 1) = = n [ n i i=1 ] f(i) n ( [n ] i i=1 n 1 [ n 1 i i=1 [ n 1 i ] f(i) = n [ n i i=1 ] f(i) ]) f(i) = f(k) = G(n), k n n [ ] n 1 f(i) i i=1 czyli G(n) = F (n) F (n 1). Zatem n (f I)(i) = F (1) + (F (2) F (1)) + (F (3) F (2)) + + (F (n) F (n 1)) = F (n) = 1.1.12 (Cesáro). Jeśli f A, to n=1 i=1 gdzie F = f I. ([Dic1] 127, dowód patrz 10.12.2). f(n)x n 1 x n = n=1 n G(i) = G(1) + G(2) + + G(n) = i=1 F (n)x n, n [ n i i=1 ] f(i). 1.1.13. Niech f A. Definiujemy ciąg (f n ), funkcji arytmetycznych, przyjmując f 1 = f oraz f n+1 = f n I. Jeśli f m = f 1 dla pewnego m 2, to f = 0. ([Mon] 93(10)(1986) E2957). J. D. Baum, A number-theoretic sum, [MM] 55(2)(1982) 111-113. P. G. Brown, Some comments on inverse arithmetic functions, [MG] 89(516)(2005) 403-408. H. Cohen, Arithmetic functions and Dirichlet series, [Coh2] 151-162. M. Erickson, A. Vazzana, The group of arithmetic functions, [ErV] 169-177. M. Karpińska, Splot Dirichleta w pierścieniu funkcji arytmetycznych, [Pmgr] 2001. M. B. Nathanson, The ring of arithmetic functions, [Nath] 301-302. J. Rutkowski, O funkcjach arytmetycznych i splocie Dirichleta, [Dlt] 3/89 10-11.

10 Funkcje arytmetyczne. 1. Funkcje arytmetyczne i splot Dirichleta 1.2 Funkcje multyplikatywne Mówimy, że funkcja arytmetyczna f jest multyplikatywna, jeśli f 0 oraz f(ab) = f(a)f(b) dla wszystkich a, b N takich, że (a, b) = 1. Funkcje I, T, e są multyplikatywne. Zanotujmy dwa oczywiste stwierdzenia. 1.2.1. Jeśli f A jest funkcją multyplikatywną, to f(1) = 1. 1.2.2. Niezerowa funkcja arytmetyczna f jest multyplikatywna wtedy i tylko wtedy, gdy dla dowolnych, parami różnych liczb pierwszych p 1,..., p s i dowolnych nieujemnych liczb całkowitych α 1,..., α s, zachodzi równość ( ) ( f p α 1 1 pαs = f p α 1 1 ) ( f p αs s ). 1.2.3. Splot Dirichleta funkcji multyplikatywnych jest funkcją multyplikatywną. D. Niech f, g A będą funkcjami multyplikatywnymi i niech h = f g. Oczywiście h 0. Multyplikatywność funkcji h wykażemy przy pomocy równości 1.2.2. Załóżmy, że p 1,..., p s są parami różnymi liczbami pierwszymi i α 1,..., α s są nieujemnymi liczbami całkowitymi. Mamy wtedy h (p α1 1 pαs ) = (f g) (p α1 1 pαs ) = = = α 1 α 2 i 1=0 i 2=0 α 1 α 2 i 1=0 i 2=0 ( α1 i 1=0 f ( p i1 1 = (f g) (p α1 1 α s i s=0 α s i s=0 f ( p i1 1 ) ( pis s g p α 1 i 1 ) 1 p αs is s f ( ) ( p i1 1 f p i s ) ( s g p α 1 i 1 1 ) ( g p α 1 i 1 ) ) ( α 2 1 i 2=0 f ( p i2 2 ) (f g) (pα2 2 ) (f g) (pαs s ) = h (p α1 1 ) h (pα2 2 ) h (pαs s ). ) ( g p α s i s ) s ) ( g p α 2 i 2 ) ) ( αs 2 i s=0 f ( p is s ) ( g p α s i s ) ) s Zatem h (p α1 1 pαs ) = h (p α1 1 ) h (pαs s ). Stąd wynika, na mocy 1.2.2, że funkcja h = f g jest multyplikatywna. U. Inne dowody powyższego faktu znajdziemy na przykład w: [Nar77], [Berb], [Gio] 18. 1.2.4. Niech f będzie funkcją arytmetyczną posiadającą funkcję odwrotną f 1 względem splotu Dirichleta. Jeśli funkcja f jest multyplikatywna, to funkcja f 1 również jest multyplikatywna. D. ([Berb]). Rozpatrzmy funkcję h A zdefiniowaną następująco: h(1) = 1 i jeśli n 2, to h(n) = f 1 (p α1 1 ) f 1 (p αs s ),

Funkcje arytmetyczne. 1. Funkcje arytmetyczne i splot Dirichleta 11 gdzie n = p α1 1 pαs s jest rozkładem kanonicznym liczby n. Jest oczywiste, że funkcja h jest multyplikatywna. Pokażemy, że h f = e. Ponieważ funkcje f i h są multyplikatywne więc, na mocy 1.2.3, funkcja h f jest również multyplikatywna. Dla wykazania równości h f = e wystarczy więc sprawdzić, że (h f)(p n ) = 0 dla p P oraz n N. Sprawdzamy: (h f)(p n ) = n h(p k )f(p n k ) = k=0 n f 1 (p k )f(p n k ) = (f 1 f)(p n ) = e(p n ) = 0. k=0 Zatem istotnie h f = e. Mamy teraz równość h f = f 1 f, z której wynika, że f 1 = h i stąd wynika, że funkcja f 1 jest multyplikatywna. Konsekwencją powyższych faktów jest następujące stwierdzenie. 1.2.5. Zbiór wszystkich funkcji multyplikatywnych jest grupą abelową ze względu na splot Dirichleta. 1.2.6. Niech f, g, h A. Załóżmy, że h = f g. Jeśli dwie spośród funkcji f, g, h są multyplikatywne, to trzecia również. D. Jeśli funkcje f i g są multyplikatywne, to funkcja h = f g jest multyplikatywna na mocy 1.2.3. Założmy, że funkcje h, f są multyplikatywne. Wtedy z twierdzeń 1.2.4 i 1.2.3 wynika, że funkcja g jest multyplikatywna, gdyż g = h f 1. Podobnie postępujemy w przypadku, gdy funkcje h i g są multyplikatywne. 1.2.7 (Bell 1933). Niech f, g A. Jeśli funkcja h = f g jest multyplikatywna, to obie funkcje f, g są multyplikatywne lub też żadna z niech. ([Nar03] 109). D. Założmy, że funkcja f jest multyplikatywna. Wtedy z 1.2.4 i 1.2.3 wynika, że funkcja g jest multyplikatywna, gdyż g = h f 1. Jeśli funkcja f nie jest multyplikatywna, to funkcja g również nie jest multyplikatywna, gdyż w przeciwnym wypadku z równości f = h g 1 wynikałaby multyplikatywność funkcji f. 1.2.8. Niech F (n) = k n f(k). Funkcja f jest multyplikatywna wtedy i tylko wtedy, gdy funkcja F jest multyplikatywna. ([Wino] 36, [DoC] 339, 340). D. Wynika to z 1.2.6, gdyż F = f I. 1.2.9. Jeśli f, g są funkcjami multyplikatywnymi, to funkcja h zdefiniowana wzorem h(n) = k n f(k)g(k) też jest multyplikatywna. D. Wynika to z 1.2.6, gdyż h = (f g) I. Funkcja f g jest oczywiście multyplikatywna.

12 Funkcje arytmetyczne. 1. Funkcje arytmetyczne i splot Dirichleta 1.2.10. Jeśli f jest funkcją multyplikatywną, to ( ) ( ) f [a, b] f (a, b) = f(a)f(b) dla wszystkich a, b N. ([Nath] 308). D. Niech a, b N. Niech a = p α1 1 pαn n i b = p β1 1 pβn n, gdzie p 1,..., p n są parami różnymi liczbami pierwszymi oraz α 1,..., α n, β 1,..., β n są nieujemnymi ) liczbami całkowitymi. ) Wtedy (a, b) = (α i, β i (α i, β i p γ1 1 pγn n i [a, b] = p δ1 1 pδn n, gdzie γ i = min oraz δ i = max dla i = 1,..., n. Wystarczy zatem sprawdzić, że jeśli p jest liczbą pierwszą oraz s, t są nieujemnymi liczbami całkowitymi, to ale to jest oczywiste. ( f p s) ( f p t) ( = f p min(s,t)) ( f p max(s,t)), 1.2.11. Jeśli f jest funkcją multyplikatywną oraz d jest liczbą naturalną taką, że f(d) 0, to funkcja g(n) = f(dn) f(d), n N, również jest multyplikatywna. ([K-Me] z.464). D. Niech a, b N, (a, b) = 1. Wtedy dab = d[a, b] = [da, db], (da, db) = d i mamy: g(ab) = f(dab) f(b) Wykorzystaliśmy fakt 1.2.10. = f([da, db]) f(d) = f(ad)f(bd) f((a, b))f(d) = f(da f(d) f(db) f(d) = g(a)g(b). 1.2.12. Niech f A będzie funkcją multyplikatywną. Wtedy dla każdej liczby pierwszej p zachodzi równość f 1 (p 2 ) = f(p) 2 f(p 2 ). ([Mon] 78(3)(1971) 267). 1.2.13. Niech f : N N będzie funkcją multyplikatywną ściśle rosnącą. Jeśli f(2) = 2, to f(n) = n, dla wszystkich n N. ([DoC] 337, [Fom] D41). 1.2.14. Niech f : N N będzie funkcją multyplikatywną taką, że f(2) > 2. Znaleźć możliwie najmniejszą wartość f(3). Odp. f(3) = 9, dla f(n) = n 2. ([Zw] 2005). 1.2.15. Funkcja f(n) = [ n ] [ ] n 1 jest multyplikatywna. ([K-Me] z.456). D. Zauważmy, że dla każdej liczby naturalnej n zachodzi równość f(n) = [ n ] [ n 1 ] { 1, gdy n jest liczbą kwadratową, = 0, w przeciwnym przypadku. Stąd już łatwo wynika multyplikatywność funkcji f. J. J. Tattersall, Multiplicative functions, [Tatt] 103-108.

Funkcje arytmetyczne. 1. Funkcje arytmetyczne i splot Dirichleta 13 1.3 Funkcje w pełni multyplikatywne Mówimy, że funkcja f : N C jest w pełni multyplikatywna jeśli f(1) = 1 oraz f(ab) = f(a)f(b) dla wszystkich a, b N. Przypominamy, że przez P oznaczamy zbiór wszystkich liczb pierwszych. 1.3.1. Dla każdej funkcji γ : P C istnieje dokładnie jedna funkcja w pełni multyplikatywna f : N C taka, że f(p) = γ(p) dla wszystkich p P. Ta jedyna funkcja f jest określona następująco: f(1) = 1, jeśli n = p α 1 1 pαs s jest rozkładem kanonicznym liczby naturalnej n 2, to f(n) = γ(p 1 ) α1 γ(p s ) αs. 1.3.2. Z oczywistego faktu 1.3.1 otrzymujemy liczne przykłady funkcji w pełni multyplikatywnych. Dla przykładu, jeśli γ(2) = 2 oraz γ(p) = 0 dla wszystkich nieparzystych liczb pierwszych p, to funkcja f : N N jest określona równościami f(n) = Funkcja f jest w pełni multyplikatywna. { n, gdy n jest potęgą dwójki, 0, w przeciwnym przypadku. 1.3.3. Splot Dirichleta funkcji w pełni multyplikatywnych nie musi być funkcją w pełni multyplikatywną. Dla przykładu, I I = τ, I jest funkcją w pełni multyplikatywną, natomiast τ taką funkcją nie jest. Przypomnijmy, że τ(n) jest liczbą wszystkich naturalnych dzielników liczby n. 1.3.4. Funkcja odwrotna (względem splotu Dirichleta) do funkcji w pełni multyplikatywnej nie musi być funkcją w pełni multyplikatywną. Mamy na przykład: I 1 = µ, I jest funkcją w pełni multyplikatywną, a µ taką funkcją nie jest. Tutaj µ oznacza funkcję Möbiusa, którą będziemy się zajmować w jednym z następnych rozdziałów. 1.3.5. Niech f : N C będzie funkcją. Następujące warunki są równoważne. (1) Funkcja f jest w pełni multyplikatywna. (2) (Lambek) f (g h) = (f g) (f h), dla wszystkich funkcji arytmetycznych g, h. (3) (f f) = f τ (gdzie τ(n) oznacza liczbę dzielników naturalnych liczby n). ([Mon] 73(1966) 969-973, [Mon] 78(10)(1971) E2268, [Nar03] s.121). D. Implikacje (1) (2) i (1) (3) są oczywiste.

14 Funkcje arytmetyczne. 1. Funkcje arytmetyczne i splot Dirichleta (2) (1). Dla danej liczy naturalnej a oznaczmy przez e a funkcję z N do C taką, że e a (n) = 1 dla n = a oraz e a (n) = 0 dla n a. Zauważmy, że e a e b = e ab dla a, b N. Niech a, b N. Mamy wtedy: f(ab) = f(ab) 1 = f(ab)e ab (ab) = f(ab)(e a e b )(ab) = (f (e a e b )) (ab) = ((f e a ) (f e b )) (ab) = (f e a )(a)(f e b )(b) = f(a)e a (a)f(b)e b (b) = f(a)f(b). Funkcja f jest więc w pełni multyplikatywna. (3) (1) (H. Niederreiter, [Mon] 78(10)(1971) s.1140). Załóżmy, że (f f)(n) = f(n)τ(n) dla n N. Podstawiając n = 1 widzimy, że f(1) = 0 lub f(1) = 0. Niech n 2 i niech n = p α1 1 pαs s będzie rozkładem kanonicznym liczby n. Oznaczmy: γ(n) = α 1 + + α s. Wystarczy udowodnić, że ( ) f(n) = f(1)f(p 1 ) α1 f(p s ) αs, dla wszystkich n 2. Wykażemy to metodą indukcji matematycznej ze względu na γ(n). Jeśli γ(n) = 1, to n = p jest liczbą pierwszą i mamy: 2f(p) = τ(p)f(p) = (f f)(p) = f(1)f(p) + f(p)f(1) = 2f(1)f(p); więc f(p) = f(1)f(p). Załóżmy teraz, że równość ( ) zachodzi dla wszystkich liczb naturalnych n takich, że γ(n) k, gdzie k 1. Rozpatrzmy liczbę naturalną n spełniającą równość γ(n) = k + 1. Wtedy τ(n)f(n) = 2f(1)f(n) + f(a)f(b), gdzie sumowanie przebiega wszystkie pary liczb naturalnych (a, b) takie, że ab = n, 1 < a, b < n. Dla każdej takiej pary mamy: γ(a) k, γ(b) k. Z założenia indukcyjnego wynika zatem, że τ(n)f(n) = 2f(1)f(n) + (τ(n) 2)f(1) 2 f(p 1 ) α1 f(p s ) αs. Oczywiście n nie jest liczbą pierwszą. Zatem τ(n) > 2 i w każdym z dwóch przypadków, gdy f(1) = 0 i gdy f(1) = 1, otrzymujemy równość ( ). 1.3.6. Jeśli f : N C jest taką funkcją w pełni multyplikatywną, że funkcja F, określona wzorem n F (n) = f(k), k=1 też jest w pełni multyplikatywna, to f = I lub f = e. Przypomnijmy, że e(1) = 1 i e(n) = 0 dla n > 1. ([Mon] 108(8)(2001) z.10760). T. M. Apostol, Some properties of completely multiplicat. functions, [Mon] 78(1971) 266-271. J. Lambek, Arithmetical functions and distributivity, [Mon] 73(1966) 969-973.

Funkcje arytmetyczne. 1. Funkcje arytmetyczne i splot Dirichleta 15 1.4 Funkcje postaci f (m) Dla dowolnej liczby naturalnej m przez f (m) oznaczamy m-tą potęgę funkcji arytmetycznej f, względem splotu Dirichleta, tzn. W szczególności, f (1) = f, f (2) = f f oraz f (m) = f f f. }{{} m f (n+1) = f (n) f dla n N. Przyjmujemy ponadto, że f (0) = e. Przypomnijmy, że funkcja e (określona równościami e(1) = 1 i e(n) = 0 dla n N) jest jedynką pierścienia A. W przypadku gdy f(1) 0, określamy ujemną potęgę: f ( n) = (f 1) (n) dla n N. Jeśli f jest funkcją multyplikatywną, to każda funkcja postaci f (m), gdzie m Z, jest również multyplikatywna. 1.4.1. Rozważmy funkcję f : N C określoną wzorem { 1 dla n = 1, f(n) = 0 dla n 0. Wtedy f (2) = e, czyli funkcja f (2) jest multyplikatywna, natomiast funkcja f nie jest multyplikatywna. 1.4.2. Niech f : N C będzie funkcją taką, że f(1) = 1. Jeśli f (2) jest funkcją multyplikatywną, to funkcja f jest również multyplikatywna. ([Mon] 74(10)(1967) E1891, 75(5)(1968) 543). 1.4.3. Niech f : N C będzie funkcją taką, że f(1) = 1. Czy prawdą jest, że jeśli f (3) jest funkcją multyplikatywną, to funkcja f jest również multyplikatywna? 1.4.4. Niech f : N C będzie funkcją taką, że f(1) = 1. Jeśli f (4) jest funkcją multyplikatywną, to funkcja f jest również multyplikatywna. D. Wynika z 1.4.2. 1.4.5. Niech f : N C będzie funkcją taką, że f(1) = 1 i niech n N. Jeśli funkcja f (2n ) jest multyplikatywna, to funkcja f jest również multyplikatywna. (Wynika z 1.4.2). 1.4.6. Załóżmy, że p jest liczbą pierwszą i f jest funkcją arytmetyczną spełniającą równość f(1) = 1. Wtedy f (m) (p) = mf(p), dla każdej liczby całkowitej m. ([Berb]).

16 Funkcje arytmetyczne. 1. Funkcje arytmetyczne i splot Dirichleta D. ([Berb]). Rozważmy funkcję λ : Z C określoną wzorem λ(m) = f (m) (p) dla m Z. Mamy wtedy λ(0) = f (0) (p) = e(p) = 0 oraz λ(a + b) = f (a+b) (p) = (f (a) f (b) )(p) = f (a) (1)f (b) (p) + f (a) (p)f (b) (1)f (b) (p) + f (a) (p) = λ(a) + λ(b), dla wszystkich a, b Z. Funkcja λ jest więc homomorfizmem grup abelowych. Zatem λ(m) = mλ(1) (dla wszystkich m Z) i stąd otrzymujemy żądaną równość. Spójrzmy na funkcje arytmetyczne I i T. Przypomnijmy, że I(n) = 1 oraz T (n) = n dla wszystkich n N. Oznaczmy przez I, T podgrupę multyplikatywnej grupy pierścienia A, generowaną przez te dwie funkcje. Jest oczywiste, że { } I, T = I (a) T (b) ; a, b Z. 1.4.7. Grupy I, T i Z Z są izomorficzne. ([Berb]). D. ([Berb]). Funkcja Z Z I, T, (a, b) I (a) T (b) jest surjekcją grup abelowych. Wystarczy pokazać, że jej jądro jest zerowe. W tym celu załóżmy, że I (a) T (b) = e, dla pewnych liczb całkowitych a, b. Pokażemy, że a = b = 0. Niech p będzie dowolną liczbą pierwszą. Mamy wtedy (patrz 1.4.6): ( 0 = e(p) = I (a) T (b)) (p) = I (a) (p) + T (b) (p) = ai(p) + bt (p) = a + bp. Zatem dla każdej liczby pierwszej p mamy równość a+bp = 0. To jest oczywiście możliwe tylko wtedy, gdy a = b = 0. Rozważana surjekcja grup jest więc izomorfizmem. więc: Spójrzmy na funkcje postaci I (m), gdzie m N. Ponieważ I (m) (n) = I(d 1 )I(d 2 ) I(d s ) = d 1 d 2 d m=n d 1 d 2 d m=n 1.4.8. I (m) (n) jest liczbą wszystkich ciągów (d 1,..., d m ), liczb naturalnych takich, że d 1 d 2 d m = n. ([Dela]). Następne stwierdzenia są łatwymi do udowodnienia konsekwencjami faktu 1.4.8. ( ) m + k 1 1.4.9. I (m) (p k ) =, dla p P, k N 0. ([DoC] 347, [Dela]). k 1.4.10. Jeśli n = p a 1 1 pas s jest rozkładem kanonicznym liczby naturalne n 2, to ( )( ) ( ) I (m) a1 + m 1 a2 + m 1 as + m 1 (n) =. ([DoC] 347, [Dela]). a 1 a 2 a s 1,

Funkcje arytmetyczne. 1. Funkcje arytmetyczne i splot Dirichleta 17 1.4.11. Jeśli p 1,..., p s są parami różnymi liczbami pierwszymi, to ([Wino] 36). Zanotujmy również: I (m)( p 1 p s ) = m s. 1.4.12. Jeśli f A jest funkcją w pełni multyplikatywną, to dla m N. ([Dela]). f (m) = I (m) f 1.5 Pewne algebraiczne własności pierścienia funkcji arytmetycznych Mówimy, że dany pierścień R jest noetherowski, jeśli każdy jego ideał jest skończenie generowany. 1.5.1. Pierścień A (ze splotem Dirichleta) nie jest noetherowski. ([CasE]). D. Niech (p n ) będzie ciągiem (nieskończonym!) kolejnych liczb pierwszych. Definiujemy funkcje arytmetyczne f 1, f 2,..., przyjmując { 1, gdy n = pi ; f i (n) = 0, gdy n p i. Niech B będzie ideałem w A generowanym przez zbiór {f 1, f 2,... }. Wykażemy, że ideał B nie jest skończenie generowany. Przypuśćmy, że jest. Istnieje wtedy s N takie, że B = (f 1, f 2,..., f s ). Ponieważ f s+1 B, więc f s+1 = g 1 f 1 + + g s f s dla pewnych g 1,..., g s A. Mamy wówczas sprzeczność: 1 = f s+1 (p s+1 ) = (g 1 f 1 )(p s+1 ) + + (g s f s )(p s+1 ) = 0. 1.5.2. Pierścień A (ze splotem Dirichleta) jest lokalny, tzn. ma tylko jeden ideał maksymalny. Tym jedynym ideałem maksymalnym jest M = { } f A; f(a) = 0. 1.5.3. Pierścień A (ze splotem Dirichleta) jest pierścieniem z jednoznacznością rozkładu. ([CasE]). 1.5.4. Pierścień A (ze splotem Dirichleta) jest izomorficzny z pierścieniem szeregów nad C przeliczalnej liczby zmiennych. ([CasE], [Nar77] 66 zad.6).

18 Funkcje arytmetyczne. 1. Funkcje arytmetyczne i splot Dirichleta 1.5.5. Niech L : N C będzie funkcją taką, że L(ab) = L(a) + L(b) dla a, b N (na przykład L(n) = log n). Niech D : A A będzie funkcją określoną wzorem D(f) = L f dla f A, to znaczy: D(f)(n) = L(n)f(n), dla f A, n N. Funkcja D jest różniczkowaniem pierścienia A, to znaczy: D(f + g) = D(f) + D(g) oraz D(f g) = D(f) g + f D(g) dla wszystkich f, g A. ([Nath] 302, 329). 1.5.6. Rozpatrzmy funkcję D : N N 0 określoną równościami: D(1) = 0 oraz gdy n 2 oraz n = p α 1 1 pαs s (1) Funkcja ta spełnia własności: (a) D(1) = 0, (b) D(p) = 1 dla p P, D(n) = n s i=1 α i p i, jest rozkładem kanonicznym. (c) D(ab) = ad(b) + D(a)b dla a, b N. (2) Jest to jedyna funkcja z N do C spełniająca własności (a), (b) i (c). (3) D(n) = n n = p p, gdzie p P. (4) D(ab) ab (5) lim n Dn (63) =. = D(a) a + D(b) b dla a, b N. (6) Jeśli n > 4 i 4 n, to D(n) > n i 4 D(n). ([Mon] 10(1950)). P. G. Brown, Some comments on inverse arithmetic functions, [MG] 89(516)(2005) 403-408. E. D. Schwab, G. Silberberg, A note on some discrete valuation rings of arithmetical functions, [Arch] 36(2000) 103-109. E. D. Schwab, G. Silberberg, The valued ring of the arithmetical functions as a power series ring, [Arch] 37(1)(2001) 77-80. H. N. Shapiro, On the convolution ring of arithmetical functions, [Cpam] 25(1972) 287-336.

Funkcje arytmetyczne. 1. Funkcje arytmetyczne i splot Dirichleta 19 1.6 Różne fakty i zadania o funkcjach arytmetycznych 1.6.1. Funkcja rosnąca f : N R spełnia warunek f(ab) = f(a) + f(b) dla a, b N. Istnieje wtedy liczba rzeczywista p > 1 taka, że dla wszystkich n N. ([Br83] 102). f(n) = log p n 1.6.2. Znaleźć wszystkie funkcje f : N Z takie, że dla wszystkich a, b N zachodzi równość ([S59] 358). f(ab) = f(a) + f(b). R. Dowolną funkcję g : P Z można jednoznacznie przedłużyć do funkcji f : N Z spełniającej podany warunek. Mamy wtedy: f(1) = 0 oraz f (p a1 1 par r ) = a 1 g(p 1 ) + + a r g(p r ). Uwaga. W ten sam sposób opisujemy wszystkie funkcje z N do G, spełniające podany warunek, gdzie G jest dowolną grupą abelową. 1.6.3. Nie istnieje ściśle rosnąca funkcja f : N N 0 taka, że dla a, b N. ([Kw] 5/77 25). f(ab) = f(a) + f(b) 1.6.4. Niech B a, gdzie a Z, będzie zbiorem wszystkich liczb całkowitych większych lub równych a. Wyznaczyć wszystkie funkcje f : B a R spełniające równanie funkcyjne ([Bryn] 6.5). f(x + y) = f(x)f(y). O. Jeśli a < 0, to jedynymi takimi funkcjami są funkcje stałe 0 i 1. Jeśli a > 0, to jedynymi takimi funkcjami są funkcje postaci f(x) = c x, gdzie c 0. Jeśli a = 0, to oprócz funkcji wymienionych wyżej mamy także funkcję: f(x) = 1 dla x 0, f(0) = 0. 1.6.5. Niech f : N N będzie funkcją taką, że f(n + 1) > f(f(n)) dla n N. Wtedy f jest funkcją tożsamościową. ([Br83] 93). 1.6.6. Jeśli funkcja f : N N jest taka, że f(f(n)) = f(n + 1) + f(n) dla n N, to jest różnowartościowa. ([Berk] 3c/93).

20 Funkcje arytmetyczne. 1. Funkcje arytmetyczne i splot Dirichleta 1.6.7. Nie istnieje funkcja f : N N taka, że dla n N. ([Berk] 2b/93). f(f(n)) = f(n + 1) f(n) 1.6.8. Jeśli n = p α 1 1 pαs s jest rozkładem kanonicznym liczby naturalnej n > 1, to definiujemy: f(n) := 1 + α 1 p 1 + α 2 p 2 + + α s p s. Wykazać, że jeśli n > 6, to w ciągu n, f(n), ff(n), fff(n),... od pewnego miejsca mamy 8, 7, 8, 7, 8, 7,.... ([B-zm] 72, [GaT] 11/73, [ME] 2/1 1996). 1.6.9. ([Zw] 1999). Znaleźć wszystkie surjekcje f : N N spełniające warunek n,m N n m f(m) f(n). R. Z równości f(n) = f(m) wynika, że n m i m n i stąd, że n = m. Badane funkcje są więc bijekcjami. Stąd wynika, że dla każdej liczby naturalnej n zachodzi równość τ(n) = τ(f(n)). W szczególności f(1) = 1 i f(p) jest liczbą pierwszą dokładnie wtedy, gdy p jest liczbą pierwszą. Każda szukana funkcja jest jednoznacznie wyznaczona przez dowolną bijekcję g : P P, gdzie P jest zbiorem wszystkich liczb pierwszych. Jeśli g jest taką bijekcją, to określamy f(n) jako f (p α1 1 pαs s ) = g(p 1 ) α1 g(p s ) αs, gdzie n = p α1 1 pαs s jest rozkładem kanonicznym. 1.6.10. Niech s n (x) = d n n d xd. Niech p 0 (x) = 1 oraz p n (x) = 1 n n s k (n)p n k (x), k=1 dla n N. Wszystkie współczynniki każdego wielomianu p n (x) są liczbami czałkowitymi. Innymi słowy, p n (x) Z[x] dla wszystkich n N 0. ([KoM] 2003 A310). A. A. Gioia, Arithmetic functions, [Gio] 13-30. E. M. Horadam, Arithmetical functions of generalized primes, [Mon] 68(7)(1961) 626-629. J.-M. De Koninck, A. Mercier, Arithmetical Functions, [K-Me] 53-77, 200-259. W. Marzantowicz, P. Zarzycki, Funkcje arytmetyczne, [Maza] 79-97. P. J. McCarthy, On a certain family of arithmetic functions, [Mon] 65(8)(1958) 586-590. A. Somayajulu, A property of arithmetic functions, [Mon] 75(5)(1968) 509-511. S. Y. Yan, Funkcje arytmetyczne, [Yan] 58-75.

Funkcje arytmetyczne. 1. Funkcje arytmetyczne i splot Dirichleta 21 1.7 Splot Dirichleta i klasyczne funkcje arytmetyczne Zanotujmy podstawowe równości dotyczące splotu Dirichleta i klasycznych funkcji arytmetycznych. Wszystkie potrzebne dowody znajdziemy w dalszych rozdziałach tej książki. Przez klasyczne funkcje arytmetyczne rozumiemy następujące funkcje: e, e(1) = 1, e(n) = 0 dla n 2; I, I(n) = 1 dla n N; T, T (n) = n dla n N; µ, funkcja Möbiusa; ϕ, funkcja Eulera; τ, τ(n) = liczba dzielników naturalnych liczby n; σ, σ(n) = suma dzielników naturalnych liczby n. 1.7.1. Zachodzą następujące równości. (1) I 1 = µ; (2) T 1 = µt ; (3) ϕ 1 = I µt = I T 1 ; (4) τ 1 = µ µ; (5) σ 1 = T 1 µ = µt µ = ϕ 1 τ 1. (6) ϕ I = T ; (7) τ = I I; (8) σ = T I; (9) µ σ = T. (10) ϕ τ = σ. Z tych równości wynika, że wszystkie klasyczne funkcje arytmetyczne należą do wspomnianej wcześniej grupy I, T (patrz 1.4.7). W książkach z teorii liczb i artykułach o funkcjach arytmetycznych omawiane funkcje oznacza się różnymi innymi symbolami. Funkcje ϕ, µ i σ oznaczane są zwykle tak jak tutaj. Pozostałe funkcje nie mają jednolitych oznaczeń. Dla funkcji τ pojawiają się następujące oznaczenia: d ([Nar77], [Nar03], [Gy04]), Θ ([S50], [S59], [S68]), ν ([IrR]). 1.8 Inne sploty Mówiliśmy o splocie Dirichleta. Na zbiorze A, wszystkich funkcji arytmetycznych, rozważa się również inne sploty. W rozdziale dziewiątym mówić będziemy o splocie unitarnym, oznaczanym przez. Jeśli f, g są funkcjami arytmetycznymi, to ich splotem unitarnym f g jest funkcja arytmetyczna taka, że (f g)(n) = f(a)g(b), ab=n, (a,b)=1

22 Funkcje arytmetyczne. 1. Funkcje arytmetyczne i splot Dirichleta dla n N. Symbol ab=n, (a,b)=1 informuje, że sumowanie przebiega wszystkie pary (a, b), w których a, b są względnie pierwszymi liczbami naturalnymi i ich iloczyn jest równy n. W definicji tego splotu pojawił się największy wspólny dzielnik. Istnieje podobny splot, w którym wykorzystuje się najmniejszą wspólną wielokrotność. Splot ten, oznaczany przez, definiuje się wzorem (f g)(n) = f(a)g(b), [a,b]=n dla f, g A oraz n N. Teraz sumowanie przebiega wszystkie pary liczb naturalnych (a, b) takie, że nww(a, b) = n. 1.8.1 (D. H. Lehmer). Jeśli f i g są funkcjami multyplikatywnymi, to funkcja f g też jest multyplikatywna. ([K-Me] z.468, [Nar03] 122). 1.8.2 (von Sterneck). Jeśli F = 1 f, G = 1 g i H = 1 (f g), to H(n) = F (n)g(n) dla wszystkich n N. ([Nar03] 122). Istnieją również sploty zdefiniowane dla funkcji określonych na zbiorze N 0 (nieujemnych liczb całkowitych). O jednym takim splocie, zwanym splotem Abela, powiemy dokładnie w rozdziale dziesiątym. Przez A oznaczyliśmy zbiór wszystkich funkcji ze zbioru liczb naturalnych do zbioru liczb zespolonych. Ten zbiór liczb zespolonych nie jest tutaj szczególnie istotny. Spolt Dirichleta można zdefiniować w nieco ogólniejszej sytuacji. Ciało liczb zespolonych można zastąpić dowolnym pierścieniem przemiennym z jedynką. Załóżmy, że R jest pierścieniem przemiennym z jedynką i oznaczmy przez A(R) zbiór wszystkich funkcji z N do R. W szczególności A(C) = A. W zbiorze A(R) definiujemy dodawanie w zwykły sposób i definiujemy mnożenie tak samo jak zdefiniowaliḿy splot Dirichleta. Zbiór A(R) jest pierścieniem (przemiennym z jedynką) ze względu na te działania. Łatwo wykazuje się następujące dwa stwierdzenia. 1.8.3. Jeśli pierścień R jest bez dzielników zera, to pierścień A(R) również jest bez dzielników zera. 1.8.4. Niech f A(R). Funkcja f jest odwracalna w A(R) (względem splotu Dirichleta) wtedy i tylko wtedy, gdy element f(1) jest odwracalny w pierścieniu R, L. Carlitz, Arithmetic functions in an unusual setting, [Mon] 73(6)(1966) 582-590. T. M. K. Davison, On arithmetical convolutions, [CanB] 9(3)(1966) 287-296. M. I. Fredman, Arithm. convolution products and generalizations, [Duke] 37(2)(1970) 231-242. D. H. Lehmer, A new calculus of numerical functions, [AmJM] 53(1931) 843-854. W. Narkiewicz, On a class of arithmetical convolutions, [ColM] 10(1963) 81-94.

2 Funkcja Möbiusa 2.1 Definicja i podstawowe własności Funkcją Möbiusa nazywamy funkcję µ : N { 1, 0, 1} określoną następująco: 1, gdy n = 1, ( 1) k, µ(n) = gdy n = p 1 p 2 p k, gdzie p 1,..., p k są parami różnymi liczbami pierwszymi, 0, w pozostałych przypadkach, Tabelka przedstawia liczby postaci µ(n) dla n 360. 1 1 41 1 81 0 121 0 161 1 201 1 241 1 281 1 321 1 2 1 42 1 82 1 122 1 162 0 202 1 242 0 282 1 322 1 3 1 43 1 83 1 123 1 163 1 203 1 243 0 283 1 323 1 4 0 44 0 84 0 124 0 164 0 204 0 244 0 284 0 324 0 5 1 45 0 85 1 125 0 165 1 205 1 245 0 285 1 325 0 6 1 46 1 86 1 126 0 166 1 206 1 246 1 286 1 326 1 7 1 47 1 87 1 127 1 167 1 207 0 247 1 287 1 327 1 8 0 48 0 88 0 128 0 168 0 208 0 248 0 288 0 328 0 9 0 49 0 89 1 129 1 169 0 209 1 249 1 289 0 329 1 10 1 50 0 90 0 130 1 170 1 210 1 250 0 290 1 330 1 11 1 51 1 91 1 131 1 171 0 211 1 251 1 291 1 331 1 12 0 52 0 92 0 132 0 172 0 212 0 252 0 292 0 332 0 13 1 53 1 93 1 133 1 173 1 213 1 253 1 293 1 333 0 14 1 54 0 94 1 134 1 174 1 214 1 254 1 294 0 334 1 15 1 55 1 95 1 135 0 175 0 215 1 255 1 295 1 335 1 16 0 56 0 96 0 136 0 176 0 216 0 256 0 296 0 336 0 17 1 57 1 97 1 137 1 177 1 217 1 257 1 297 0 337 1 18 0 58 1 98 0 138 1 178 1 218 1 258 1 298 1 338 0 19 1 59 1 99 0 139 1 179 1 219 1 259 1 299 1 339 1 20 0 60 0 100 0 140 0 180 0 220 0 260 0 300 0 340 0 21 1 61 1 101 1 141 1 181 1 221 1 261 0 301 1 341 1 22 1 62 1 102 1 142 1 182 1 222 1 262 1 302 1 342 0 23 1 63 0 103 1 143 1 183 1 223 1 263 1 303 1 343 0 24 0 64 0 104 0 144 0 184 0 224 0 264 0 304 0 344 0 25 0 65 1 105 1 145 1 185 1 225 0 265 1 305 1 345 1 26 1 66 1 106 1 146 1 186 1 226 1 266 1 306 0 346 1 27 0 67 1 107 1 147 0 187 1 227 1 267 1 307 1 347 1 28 0 68 0 108 0 148 0 188 0 228 0 268 0 308 0 348 0 29 1 69 1 109 1 149 1 189 0 229 1 269 1 309 1 349 1 30 1 70 1 110 1 150 0 190 1 230 1 270 0 310 1 350 0 31 1 71 1 111 1 151 1 191 1 231 1 271 1 311 1 351 0 32 0 72 0 112 0 152 0 192 0 232 0 272 0 312 0 352 0 33 1 73 1 113 1 153 0 193 1 233 1 273 1 313 1 353 1 34 1 74 1 114 1 154 1 194 1 234 0 274 1 314 1 354 1 35 1 75 0 115 1 155 1 195 1 235 1 275 0 315 0 355 1 36 0 76 0 116 0 156 0 196 0 236 0 276 0 316 0 356 0 37 1 77 1 117 0 157 1 197 1 237 1 277 1 317 1 357 1 38 1 78 1 118 1 158 1 198 0 238 1 278 1 318 1 358 1 39 1 79 1 119 1 159 1 199 1 239 1 279 0 319 1 359 1 40 0 80 0 120 0 160 0 200 0 240 0 280 0 320 0 360 0 23