Kolorowanie wierzchołków

Kolorowanie wierzchołków Mając dany graf, pokolorować jego wierzchołki w taki sposób, aby każde dwa wierzchołki sąsiednie miały inny kolor. Każda krawędź łączy wierzchołki różnych kolorów. Takie pokolorowanie nazywać będziemy właściwym. Czy pewne grafy mogą być pokolorowane za pomocą danej liczby kolorów? Jaka jest najmniejsza liczba kolorów potrzebna do pokolorowania grafu? Na ile sposobów można dany graf pokolorować przy użyciu zadanej liczby kolorów? Barbara Głut

Definicja: Graf jest k-kolorowalnykolorowalny (wierzchołkowo), jeśli każdemu wierzchołkowi możemy przypisać jeden z k kolorów tak, że żadne dwa wierzchołki sąsiednie nie mają tego samego koloru. Definicja: Jeśli G jest k-kolorowalny, ale nie jest (k-)-kolorowalny to mówimy, że graf jest k-chromatyczny. Definicja: Liczbą chromatyczną grafu χ(g) nazywamy najmniejszą liczbę kolorów niezbędną do właściwego pokolorowania wierzchołków grafu. Graf -chromatyczny Do pokolorowania grafu pełnego K n potrzeba n kolorów (wszystkie jego wierzchołki są sąsiednie). Graf zawierający graf pełny o r wierzchołkach jest co najmniej r-chromatyczny. Barbara Głut

Grafy cykliczne: χ(g)= χ(g)= parzysta liczba wierzchołków nieparzysta liczba wierzchołków Grafy dwudzielne (niepuste): χ(g)= Drzewa: Każde drzewo o dwóch lub więcej wierzchołkach jest -chromatyczne. Twierdzenie: Jeśli G jest grafem prostym, w którym największy stopień wierzchołka wynosi d, to graf G jest (d+)-kolorowalny. χ(g) d+ górne ograniczenie liczby chromatycznej Twierdzenie: Jeśli G jest spójnym grafem prostym, nie będącym grafem pełnym i jeśli największy stopień wierzchołka grafu G wynosi d (d ), to graf G jest d-kolorowalny (tzn. χ(g) d). Gdy wszystkie stopnie wierzchołków są w przybliżeniu takie same - można mieć korzyść z twierdzenia. Ale np. K,s - z twierdzenia wynika, że graf ten jest s-kolorowalny, a naprawdę jest -kolorowalny dla każdego s. Barbara Głut

Jeśli ograniczymy rozważania do grafów planarnych, to: Twierdzenie o czterech barwach (Appel, Haken,, 976): KAŻDY PLANARNY GRAF PROSTY JEST -KOLOROWALNY. Przykład zastosowania: Potrzeba przechować substancji chemicznych a, b, c, d, e Niektóre z tych substancji reagują gwałtownie w przypadku zetknięcia - powinny być przechowywane w odległych miejscach. a b c d e a b c d e pary substancji, które muszą być rozdzielone W ilu oddzielnych częściach magazynu możemy przechowywać te substancje? b Dwa wierzchołki sąsiednie, gdy substancje muszą być oddzielnie a c e Potrzebne są części magazynu. d Barbara Głut

Przykład zastosowania - rozkład godzin wykładów: Niektóre wykłady nie mogą się odbywać jednocześnie. Czy jest możliwe ułożenie planu zajęć? Graf wierzchołki wykłady krawędzie łączą te pary wykładów, które nie mogą być zaplanowane w tym samym czasie kolor wierzchołka godzina Pokolorowanie wierzchołków zaplanowanie zajęć Przykład - słowa kodowe Niektóre słowa kodowe są tak do siebie zbliżone, że można je pomylić. Pary takich słów łączy się krawędzią. Znaleźć największy zbiór słów kodowych dla niezawodnej łączności. Niezależny zbiór wierzchołków żadne dwa wierzchołki nie są sąsiednie. Problem znajdowania maksymalnego zbioru niezależnego o największej liczbie wierzchołków (dla przykładu { a, c, d, f } ) Liczba wierzchołków w największym zbiorze niezależnym grafu G o n wierzchołkach n/χ(g) a b c d e f g Barbara Głut

Sprawiedliwe kolorowanie grafów Kolorowanie klasyczne wierzchołków z ograniczeniem, aby krotności użycia kolorów różniły się co najwyżej o jeden Zastosowanie: np. problem optymalnego podziału zbioru zawierającego konflikty na równoliczne podzbiory bezkonfliktowe. Przykład: W problemie dostaw wierzchołki grafu reprezentują miejsca dostaw. Dwa wierzchołki są połączone krawędzią, gdy miejsca dostaw nie mogą być obsłużone tego samego dnia. Problem przydziału jednego z 6 dni pracy każdemu miejscu pokolorowanie grafu sześcioma kolorami. Z uwagi na ograniczenie taboru w każdym dniu chcemy obsłużyć możliwie taką samą liczbę miejsc. Kontrastowe kolorowanie grafów Dodatkowy warunek wierzchołki sąsiadujące otrzymują kolory, których odległość nie należy do pewnego ustalonego zbioru T. Zastosowanie: problem przydziału częstotliwości, układanie rozkładów zajęć itd. Inne: sumacyjne (minimalna suma kolorów ), listowe (dla każdego wierzchołka zbiór dopuszczalnych kolorów jest ograniczony przez pewien podzbiór)... Barbara Głut 6

G graf prosty Wielomiany chromatyczne Funkcja chromatyczna P G (k) liczba sposobów pokolorowania właściwego wierzchołków grafu G dysponując k kolorami. Twierdzenie: Funkcja chromatyczna grafu prostego jest wielomianem. P G (k) - wielomian chromatyczny grafu G Jeśli graf G ma n wierzchołków, to wielomian P G (k) ma stopień n ze współczynnikiem przy k n. Wyraz wolny dowolnego wielomianu chromatycznego jest równy 0 (grafu nie można pokolorować, gdy k = 0, czyli nie mamy żadnego koloru). Wielomiany chromatyczne Np. jeśli G jest drzewem o wierzchołkach k- k k- P G ( k) = k ( k ) Jeśli G jest dowolnym drzewem o n wierzchołkach, to P n G ( k) = k ( k ) Barbara Głut 7

Wielomiany chromatyczne Np. G graf pełny o wierzchołkach k PG ( k) = k ( k ) ( k ) k- k- Dla grafu K n : PG ( k) = k ( k ) ( k ) K ( k n + ) Kolorowanie krawędzi Graf G jest k-barwny krawędziowo (k-barwny(e)), gdy jego krawędzie można tak pokolorować k barwami, aby żadne dwie krawędzie sąsiednie nie miały tego samego koloru. Gdy graf G jest k-barwny(e), lecz nie jest (k-)-barwny(e), to jego liczba chromatyczna krawędziowa - indeks chromatyczny χ (G) - wynosi k. χ (G) = Barbara Głut 8

Twierdzenie: Jeśli G jest grafem prostym, którego największy stopień wierzchołka wynosi d, to d χ (G) d+. Dokładne określenie, które grafy mają χ (G)=d, a które χ (G)= d+, jest problemem. Np. χ (C n ) =, gdy n jest parzyste lub χ (C n ) =, gdy n jest nieparzyste. Np. χ (K n ) = n, gdy n jest nieparzyste, χ (K n ) = n-, gdy n jest parzyste. Twierdzenie: Jeśli G jest grafem dwudzielnym z maksymalnym stopniem wierzchołka d, to χ (G) = d. Kolorowanie map Iloma kolorami można pokolorować mapę tych państw tak, aby żadne dwa państwa mające wspólną granicę nie były pomalowane tym samym kolorem? Co nazywamy mapą? Mapa - graf planarny -spójny. Nie zawiera rozcięć mających lub dwie krawędzie. Nie ma wierzchołków stopnia i. Barbara Głut 9

Mapa jest k-kolorowalna (f), jeśli jej ściany można pokolorować k kolorami tak, by żadne dwie ściany ograniczone wspólną krawędzią nie były pomalowane tym samym kolorem. () () () () () -kolorowalny(v) -kolorowalny(f) Twierdzenie: Niech G będzie grafem planarnym bez pętli i niech G* będzie grafem geometrycznie dualnym do grafu G. Graf G jest k kolorowalny(v) wtedy i tylko wtedy, gdy graf G* jest k kolorowalny(f). Dla dowolnego twierdzenia dotyczącego kolorowania wierzchołków grafu planarnego możemy utworzyć twierdzenie dualne mówiące o kolorowaniu ścian mapy. Twierdzenie o czterech barwach dla map jest równoważne z twierdzeniem o czterech barwach dla grafów planarnych. Barbara Głut 0

Graf G( V, E ) Pokrycia w grafach Pokryciem krawędziowym grafu nazywamy taki podzbiór jego krawędzi, że każdy wierzchołek grafu jest incydentny z przynajmniej jedną krawędzią tego podzbioru. Pokryciem wierzchołkowym grafu nazywamy taki podzbiór jego wierzchołków, że każda krawędź grafu jest incydentna z przynajmniej jednym wierzchołkiem z tego podzbioru. Zbiory wewnętrznie stabilne Wierzchołki v, v nazywamy niezależnymi, gdy nie są wierzchołkami sąsiednimi. Zbiorem wewnętrznie stabilnym Zbiorem wewnętrznie stabilnym wierzchołków grafu G nazywamy dowolny podzbiór wierzchołków parami niezależnych. Barbara Głut

Skojarzenia Krawędzie e, e grafu nazywamy niezależnymi, jeśli nie są incydentne ze wspólnym wierzchołkiem. Skojarzeniem w grafie nazywamy dowolny podzbiór krawędzi parami niezależnych. Skojarzenia w grafach dwudzielnych Graf dwudzielny G( V V, E ) Skojarzeniem całkowitym ze zbioru V w zbiór V grafu dwudzielnego G(V V, E) nazywamy takie skojarzenie w grafie G, że dla każdego wierzchołka v V istnieje w skojarzeniu krawędź incydentna z tym wierzchołkiem. istnieje skojarzenie całkowite nie istnieje skojarzenie całkowite Barbara Głut

G = G(V V, E) graf dwudzielny A podzbiór zbioru V zbiór ϕ(a) zbiór tych wierzchołków należących do V, które sąsiadują z co najmniej jednym wierzchołkiem ze zbioru A. A ϕ( A) Problem kojarzenia małżeństw Przykład: W grupie złożonej z siedmiu panów i sześciu pań w wieku małżeńskim: pani zna panów `, `, ` pani zna panów `, ` pani zna panów `, `, 7` pani zna panów `, ` pani zna panów `, `, ` pani 6 zna panów `, `, 6` Czy możliwe jest znalezienie męża dla każdej z pań (tj. dla każdej innego pana spośród tych, których zna)? NIE Cztery panie,,, znają tylko trzech panów `, `, ` Aby zaistniała szansa znalezienia męża dla każdej z pań, musi zachodzić taka sytuacja, że dowolny podzbiór r pań zna co najmniej r panów (warunek konieczny). Barbara Głut

Przykład: pani zna panów `, ` pani zna panów `, ` pani zna panów `, `, `, ` pani zna panów `, `, 6`, 7` pani zna panów `, `` pani 6 zna panów `, ` Każdy zbiór pań zna co najmniej tylu panów, ile jest w nim pań Np. panie {,, 6 } znają panów { `, `, ` } Czy możemy dla każdej pani znaleźć męża? Zaczynamy dla każdej pani wybierać różnych panów tak długo, jak długo nie znajdzie się pani, dla której nie został do wyboru żaden pan. Np. ` ` ` ` ` 6 zna tylko `, `, którzy są już zaangażowani Pani 6 urządza przyjęcie. Zaprasza wszystkich panów, których zna. Ci zapraszają swoje narzeczone. Panie te zapraszają wszystkich znajomych panów, którzy nie zostali jeszcze zaproszeni. Ci panowie zapraszają swoje narzeczone.... W końcu zostaje zaproszony pan C`, który nie jest zaręczony. C` = 6` nie jest zaręczony { } - { `, ` } - {, } - { ` } - { } - { `, ` } - {, } - { 6`, } (, ` ) (, ` ) (, ` ) (, 6` ) (, ` ) ( 6, ` ) Twierdzenie Halla ( wersja małżeńska): W grupie pań każda może wybrać męża spośród panów, których zna, wtedy i tylko wtedy, gdy w każdym podzbiorze r pań, panie te znają co najmniej r panów. Barbara Głut

Panie {d, d, d, d } znają panów { c, c, c, c, c } zgodnie z tabelą: d d d d c c c c c c c c c co daje graf dwudzielny: Problem kojarzenia małżeństw w języku teorii grafów: Jeżeli G = G(V V, E) jest grafem dwudzielnym, to kiedy istnieje skojarzenia całkowite z V do V w grafie G? Twierdzenie Halla ( wersja grafowa): Niech G = G(V V, E) będzie grafem dwudzielnym i niech dla każdego podzbioru A zbioru V zbiór ϕ(a) będzie zbiorem tych wierzchołków należących do V, które sąsiadują z co najmniej jednym wierzchołkiem ze zbioru A. Istnieje skojarzenie całkowite z V do V wtedy i tylko wtedy, gdy dla każdego podzbioru A zbioru V zachodzi nierówność A ϕ(a) Barbara Głut

Transwersale Rodzina zbiorów pewna uporządkowana lista zbiorów F = ( S,..., S m ) Niech A niepusty zbiór skończony S i niepuste podzbiory A Transwersalą rodziny F (systemem różnych reprezentantów) nazywamy zbiór m różnych elementów zbioru A, wybranych po jednym z każdego zbioru S i. Np. A = {,,,,, 6, 7 } S = {, } S = {, } S = {,,, } S = {,, 6, 7 } S = {, } S 6 = {, } Transwersala X = {,,, 7,, } Jakie warunki powinna spełniać rodzina zbiorów, aby miała transwersalę? Związek z problemem kojarzenia małżeństw: zbiór A reprezentuje zbiór panów S i zbiór tych panów, których zna pani d i dla i =,..., m Transwersala jest zbiorem panów, z których każdy jest narzeczonym kolejnej pani. Twierdzenie Halla ( wersja transwersalowa): Niech A będzie niepustym zbiorem skończonym i niech F = ( S,..., S m ) będzie rodzina niepustych podzbiorów zbioru A. Rodzina F ma transwersalę wtedy i tylko wtedy, gdy suma dowolnych k podzbiorów S i ma co najmniej k elementów ( dla k m). Barbara Głut 6

Np. A = {,,,,, 6 } S = S = {, } S = S = {, } S = {,,, 6 } Nie jest możliwe znalezienie pięciu różnych elementów zbioru A, po jednym z każdego podzbioru. Rodzina F nie ma transwersali. Ale: podrodzina F` = ( S, S, S, S ) ma transwersalę X` = {,,, } Transwersala podrodziny F nazywa się Twierdzenie: transwersalą częściową rodziny F. Rodzina F ma transwersalę częściową mającą t elementów wtedy i tylko wtedy, gdy suma dowolnych k podzbiorów S i ma co najmniej k+t m elementów. Kwadraty łacińskie Prostokątem tem łacińskim wymiaru mxn nazywamy macierz M = (m ij ) mxn, której wyrazy są liczbami całkowitymi spełniającymi następujące warunki: () m ij n () żadne dwa wyrazy stojące w tym samym wierszu lub w tej samej kolumnie nie są równe. Uwaga: m n Przykład: Barbara Głut 7

Barbara Głut 8 Jeśli m = n, to prostokąt nazywamy kwadratem kwadratem łaci acińskim skim. Mamy dany prostokąt łaciński wymiaru mxn (m < n). Kiedy można dołączyć do niego n m nowych wierszy tak, by powstał kwadrat łaciński? Przykład: Dodanie wiersza w celu utworzenia prostokąta łacińskiego x o elementach ze zbioru {,,,, } oznacza wyznaczenie różnych reprezentantów ze zbiorów: {,, } {,, } {,, } {,, } {,, } Następny wiersz: [ ] Kontynuując możemy rozszerzyć prostokąt do kwadratu x.

Barbara Głut 9 Twierdzenie: Twierdzenie: Każdy prostokąt łaciński wymiaru m x n (m < n) o elementach ze zbioru {,,..., n } może być rozszerzony do kwadratu łacińskiego n x n. (konsekwencja twierdzenia Halla) Przykład: Czy można rozszerzyć do kwadratu łacińskiego x? Korzystamy z transwersali, żeby rozszerzyć do prostokąta x. Ale uważnie! Ale uważnie! Wybieramy np.: co daje: Nie możemy wybrać np.: Nie możemy wybrać np.: { } { } { }

Przykład: x Czy można rozszerzyć do kwadratu łacińskiego x? NIE. W zadanym prostokącie nie występuje wystarczającą liczbę razy. q nq - p np - Twierdzenie: Prostokąt łaciński wymiaru p x q (p, q < n) o elementach ze zbioru {,,..., n } może być rozszerzony do kwadratu łacińskiego n x n wtedy i tylko wtedy, gdy K(i) oznaczające liczbę wystąpień elementu i w K, spełnia warunek: K(i) p+q n dla każdego i =,,..., n. Barbara Głut 0