MODELOWANIE INśYNIERSKIE ISSN 1896-771X 34, s. 85-92, Gliwice 2007 BADANIA SYMULACYJNE WPŁYWU DRGAŃ KONAKOWYCH SYCZNYCH NA SIŁĘ ARCIA W RUCHU ŚLIZGOWYM MARIUSZ LEUS, PAWEŁ GUOWSKI Katedra Mechaniki i Podstaw Konstrukcji Maszyn, Politechnika Szczecińska e-mail: mariusz.leus@ps.pl, pawel.gutowski@ps.pl Streszczenie. W pracy przedstawiono wyniki analizy wpływu drgań kontaktowych stycznych wzdłuŝnych na siłę tarcia w ruchu ślizgowym. Badania symulacyjne przeprowadzono przy wykorzystaniu dwóch modeli tarcia: klasycznego modelu Coulomba pomijającego spręŝysto-plastyczne charakterystyki styku oraz modelu Dahla uwzględniającego zarówno podatność kontaktową styczną styku, jak i zjawisko tzw. przesunięcia wstępnego. Uzyskane wyniki porównano z danymi doświadczalnymi zawartymi w cytowanej literaturze. Znacznie lepszą zgodność z tymi danymi uzyskano przy prowadzeniu obliczeń z wykorzystaniem modelu Dahla. 1. WSĘP Zagadnienie wpływu drgań kontaktowych na siłę tarcia jest przedmiotem licznych prac teoretycznych i doświadczalnych prowadzonych w okresie ostatnich kilkudziesięciu lat w wielu ośrodkach naukowo-badawczych w kraju i zagranicą. Z prac tych wynika, Ŝe siła tarcia moŝe zostać w istotny sposób zmniejszona przez wzbudzenie mikrodrgań zarówno w kierunku normalnym [5,6], jak i stycznym do płaszczyzny styku [7-14]. W przypadku drgań w kierunku stycznym liczną grupę stanowią prace badawcze przeprowadzone w zakresie drgań ultradźwiękowych. Drgania te wykorzystywane są między innymi w obróbce skrawaniem w celu zmniejszenia oporów skrawania [8,9,14]. W wielu prowadzonych w ostatnim dziesięcioleciu pracach [7-9] opisujących wpływ mikrodrgań stycznych wzdłuŝnych na siłę tarcia wykorzystywane są jeszcze modele bazujące na klasycznym modelu tarcia Coulomba, który nie uwzględnia mikrodeformacji nierówności powierzchni stykających się ciał, tzn. nie uwzględnia podatności kontaktowej styku. Zgodnie z załoŝeniem tych modeli obniŝenie siły tarcia związane jest z cykliczną, chwilową zmianą znaku wektora tej siły, występującą w kaŝdym okresie drgań pod warunkiem, Ŝe amplituda prędkości drgań jest większa od składowej stałej prędkości ruchu ślizgowego. Zjawisko to, określane z ang. jako friction vector effect, jest powszechnie uwaŝane za jeden z głównych mechanizmów obniŝenia siły tarcia w ruchu ślizgowym przy wymuszonych mikrodrganiach stycznych wzdłuŝnych [7-10,13,14]. Wyniki obliczeń siły tarcia przy wykorzystaniu tych modeli wykazują jednak dość znaczne rozbieŝności w porównaniu z wynikami badań doświadczalnych [7-9]. Znacznie lepszą zgodność moŝna uzyskać, wykorzystując tzw. dynamiczne modele tarcia, uwzględniające
BADANIA SYMULACYJNE WPŁYWU DRGAŃ KONAKOWYCH SYCZNYCH NA SIŁĘ... 86 podatność kontaktową styku w kierunku stycznym, takie jak: model Dahla [3], model LuGre [2], czy teŝ model Duponta [4]. W niniejszej pracy przedstawiono wyniki obliczeń symulacyjnych wpływu drgań kontaktowych stycznych wzdłuŝnych na siłę tarcia z zastosowaniem modelu Coulomba oraz modelu Dahla. Otrzymane wyniki porównano z wynikami badań eksperymentalnych przeprowadzonych przez Littmanna i in. [9] w zakresie drgań ultradźwiękowych o częstotliwości f = 60 khz. 2. PODSAWOWE ZALEśNOŚCI MAEMAYCZNE Klasyczny model tarcia Coulomba nie uwzględnia podatności kontaktowej styku. W pracach opisujących wpływ drgań kontaktowych stycznych wzdłuŝnych na siłę tarcia bazujących na tym modelu, siła ta podczas ruchu określana jest zaleŝnością: gdzie: C ( v ) = sgn (1) C N r =µ (2) Wielkość C jest siłą tarcia Coulomba, µ współczynnikiem tarcia, a N reakcją kontaktową normalną do powierzchni styku. Z zaleŝności (1) widać, Ŝe w modelu tym siła tarcia jest stała co do bezwzględnej wartości, a moŝe się zmieniać jedynie jej znak, w zaleŝności od znaku względnej prędkości ślizgania v r. W modelu Dahla uwzględniona jest podatność kontaktowa styczna styku i zjawisko przesunięcia wstępnego. Nierówności powierzchni tworzących styk (rys. 1) powstałe w wyniku obróbki mechanicznej modelowane są za pomocą mikrospręŝyn, które pod wpływem obciąŝenia stycznego odkształcają się w kierunku zgodnym z siłą oporu tarcia. Jeśli odkształcenie jest wystarczająco duŝe (siła tarcia osiągnie wartość siły tarcia rozwiniętego), następuje zerwanie więzi i poślizg. Zgodnie z załoŝeniem modelu Dahla przemieszczenie x sztywnego ciała ma charakter spręŝysto-plastyczny i moŝe być rozłoŝone na dwie składowe spręŝystą z i plastyczną w (rys. 1): x = z+ w (3) Rys. 1. Rzeczywisty styk i model Dahla ukazujący rozłoŝenie całkowitego przemieszczenia x ciała sztywnego na składową spręŝystą z i składową plastyczną w
87 M. LEUS, P. GUOWSKI Składowa spręŝysta związana jest ze spręŝystym odkształceniem nierówności powierzchni styku w kierunku stycznym. Odkształcenie to moŝna opisać równaniem róŝniczkowym [3]: dz dt α kt vr ( vr) z = 1 sgn (4) C Parametr α występujący w tym równaniu określa kształt krzywej zaleŝności przemieszczeń stycznych od siły stycznej. Bliman [1] podaje, Ŝe dla materiałów kruchych wartość tego parametru mieści się w przedziale 0 < α < 1, zaś dla materiałów spręŝysto-plastycznych α 1. Siłę tarcia w modelu Dahla wyznacza się z zaleŝności: gdzie: k t współczynnik sztywności kontaktowej stycznej. = k z (5) t 3. BADANIA SYMULACYJNE 3.1. Badany obiekt W obliczeniach symulacyjnych do opisu wpływu drgań kontaktowych stycznych wzdłuŝnych na siłę tarcia przyjęto model, w którym ciało A o masie m porusza się z prędkością względną v r względem podłoŝa B (rys. 2). Rys. 2. Model przyjęty do obliczeń Prędkość v r jest superpozycją dwóch prędkości składowych v c i v v : v = v + v (6) r gdzie: v c oznacza składową stałą (v c = const), związaną z ruchem w skali makroskopowej (bez drgań), zaś v v oznacza składową zmienną v v = v v (t) wywołaną wzbudzonymi drganiami kontaktowymi (ruch w skali mikroskopowej). Zakładając, Ŝe drgania wymuszone mają charakter harmoniczny, składową zmienną moŝna wyrazić w postaci: gdzie: v v c ( t) = v ( ω t) a v cos (7) v x ω (8) a = a v a amplituda prędkości drgań wymuszonych, x a amplituda drgań wymuszonych, ω częstość kołowa drgań wymuszonych (ω = 2πf ), t czas.
BADANIA SYMULACYJNE WPŁYWU DRGAŃ KONAKOWYCH SYCZNYCH NA SIŁĘ... 88 W obliczeniach przyjęto wartości parametrów drgań wymuszonych identyczne z tymi, jakie przyjął Littmann i in. [9] w badaniach doświadczalnych wpływu drgań kontaktowych stycznych wzdłuŝnych na siłę tarcia, a więc częstotliwość f = 60 khz i amplituda x a = 0.7 µm. Ponadto przyjęto następujące dane: masa kostki m = 0.02 kg, współczynnik tarcia kinetycznego µ = 0.1, parametr α = 1 oraz współczynnik sztywności kontaktowej stycznej k t = 0.056 N/µm. Dla przyjętych wartości częstotliwości f i amplitudy drgań x a, amplituda prędkości drgań wymuszonych wynosi v a = 0.264 m/s. Obliczenia siły tarcia przeprowadzono dla ciągu wartości prędkości względnej v r, w którym składowa stała v c była mniejsza, równa i większa od amplitudy prędkości drgań v a. W obliczeniach przyjęto następujące wartości składowej stałej v c : 0.324, 0.264, 0.230, 0.199, 0.146 i 0.095 m/s. Wartość siły w przypadku modelu Coulomba wyznaczano z zaleŝności (1), zaś w przypadku modelu Dahla z zaleŝności (4) i (5). Obliczenia numeryczne przeprowadzono na modelu sporządzonym w środowisku obliczeniowym MALAB/SIMULINK. 3.2. Wyniki obliczeń Przykładowe wyniki obliczeń dla przyjętych wartości parametrów przedstawiono w postaci graficznej na rys. 3 i 4. Na rys. 3 przedstawiono czasowe przebiegi przemieszczenia x, prędkości względnej v r i siły tarcia, gdy amplituda prędkości drgań v a jest mniejsza lub równa składowej stałej v c, natomiast na rys. 4 przedstawiono przebiegi czasowe tych parametrów, gdy v a > v c. Rys. 3. Czasowe przebiegi x, v r i, gdy amplituda prędkości drgań v a jest mniejsza lub równa składowej stałej v c ; a-c) v a = 0.264 m/s < v c = 0.324 m/s, d-f) v a = v c = 0.264 m/s Z wykresów przedstawionych na rys. 3 widać, Ŝe w przypadku ruchu, dla którego amplituda prędkości drgań wymuszonych v a jest mniejsza lub równa wartości stałej v c
89 M. LEUS, P. GUOWSKI prędkości ruchu ślizgowego, wyniki obliczeń siły tarcia z wykorzystaniem obydwu modeli są jednakowe (rys. 3c i 3f) siła ta nie ulega zmianie w czasie ruchu ( = const), co oznacza, Ŝe w takim przypadku drgania kontaktowe styczne nie mają wpływu na siłę tarcia. Odmienna sytuacja występuje w przypadku, gdy amplituda prędkości drgań kontaktowych stycznych v a jest większa od składowej stałej prędkości v c. Wtedy wyniki obliczeń siły tarcia zaleŝą wyraźnie od przyjętego modelu (rys. 4c i 4f). Rys. 4. Czasowe przebiegi x, v r i, gdy amplituda prędkości drgań v a = 0.264 m/s jest większa od składowej stałej v c ; a-c) v c = 0.230 m/s, d-f) v c = 0.095 m/s Dla modelu tarcia Coulomba, dla wszystkich przypadków, gdy spełniony jest warunek v a > v c, w wyniku zmiany znaku względnej prędkości ślizgania v r następuje natychmiastowa zmiana znaku siły tarcia. Wyniki obliczeń siły tarcia z wykorzystaniem modelu Dahla pokazują jednak, Ŝe zmiana chwilowej siły tarcia w obecności drgań kontaktowych stycznych, przy spełnionym warunku v a > v c, nie następuje w sposób skokowy. Przy małych róŝnicach między v a i v c wartość chwilowej siły tarcia ulega obniŝeniu bez zmiany jej znaku (rys. 4c). Przy duŝych róŝnicach między v a a v c chwilowa siła tarcia maleje stopniowo do zera, po czym następuje zmiana jej znaku i jej narastanie w kierunku przeciwnym (rys. 4f). Związane jest to ze zmianą kierunku odkształceń spręŝystych występów chropowatości względem toru ruchu ciała sztywnego (rys. 5). Dla obydwu analizowanych modeli, dla kaŝdej rozpatrywanej wartości prędkości v c przy drganiach wymuszonych stycznych o amplitudzie prędkości v a = 0.264 m/s, wyznaczono średnią siłę tarcia w jednym okresie drgań = 2π/ω. Siłę tę wyznaczono z zaleŝności:
BADANIA SYMULACYJNE WPŁYWU DRGAŃ KONAKOWYCH SYCZNYCH NA SIŁĘ... 90 Rys. 5. Wykresy ilustrujące związek siły tarcia z odkształceniem spręŝystym z chropowatości powierzchni styku; a) v a = 0.264 m/s < v c = 0.324 m/s, b) v a = 0.264 m/s > v c = 0.095 m/s gdzie: n liczba kroków czasowych, t długość kroku czasowego. ω t = 2 π n i= 1 ( t+ i t) (9) Wyniki obliczeń zestawiono w tabeli 1 w formie porównawczej z wynikami badań doświadczalnych przedstawionych przez Littmanna i in. [9]. abela 1. Porównanie wyników obliczeń z wynikami badań doświadczalnych przeprowadzonych przez Littmanna i in. [9] Prędkość v c, m/s 0.324 0.264 0.230 0.199 0.146 0.095 Średnia siła tarcia, N Doświadczenie, Model Coulomba Model Dahla na podstawie [9] 0.0196 0.0196 0.0131 0.0107 0.00724 0.00454 0.0196 0.0196 0.0181 0.0156 0.0109 0.00662 0.0197 0.0187 0.0179 0.0168 0.0112 0.00772
91 M. LEUS, P. GUOWSKI Z podanego zestawienia widać, Ŝe znacznie lepszą zgodność obliczeń średniej siły tarcia z wynikami badań doświadczalnych, przy wymuszonych drganiach kontaktowych stycznych wzdłuŝnych, uzyskuje się w przypadku analiz prowadzonych z wykorzystaniem modelu Dahla niŝ w przypadku klasycznego modelu tarcia Coulomba. Wartość siły tarcia wyznaczona z modelu Dahla jest funkcją sztywności styku w kierunku stycznym. Stąd teŝ ilościowe rozbieŝności między wynikami uzyskanymi z tego modelu a wynikami uzyskanymi z modelu Coulomba zaleŝą w sposób istotny od sztywności styku w tym kierunku i będą malały w miarę jej wzrostu. Problem ten zilustrowano w tabeli 2, w której zestawiono przykładowe wyniki obliczeń średniej siłę tarcia w jednym okresie drgań dla v a = 0.264 m/s i v c = 0.230 m/s, dla styków o róŝnej sztywności stycznej. Wartości pozostałych parametrów, w przedstawionym przykładzie obliczeniowym, przyjęto takie same jak w przykładzie poprzednim. abela 2. Wartości średniej siły tarcia według modelu Coulomba i modelu Dahla w zaleŝności od sztywności styku Współczynnik sztywności styku k t, N/µm 0.060 0.120 0.250 0.500 1.000 2.000 Średnia siła tarcia, N Model Dahla 0.0180 0.0172 0.0160 0.0147 0.0139 0.0135 Model Coulomba 0.0131 4. PODSUMOWANIE Z przeprowadzonej analizy widać, Ŝe wyniki obliczeń siły tarcia przy wymuszonych drganiach stycznych wzdłuŝnych wyraźnie zaleŝą od przyjętego modelu tarcia. Znacznie lepszą zgodność z danymi doświadczalnymi uzyskuje się, stosując model Dahla, który, w przeciwieństwie do modelu Coulomba, uwzględnia podatność kontaktową styku w kierunku stycznym. Wyniki obliczeń przeprowadzonych z wykorzystaniem tego modelu wskazują, Ŝe siła tarcia w ruchu ślizgowym przy wymuszonych drganiach kontaktowych stycznych wzdłuŝnych moŝe ulec zmianie bez wystąpienia zmiany znaku wektora tej siły. Na tej podstawie moŝna stwierdzić, Ŝe wynikający z prawa Coulomba i dotychczas jeszcze przyjmowany przez wielu autorów pogląd, Ŝe głównym mechanizmem zmniejszenia siły tarcia w ruchu ślizgowym w obecności drgań kontaktowych stycznych wzdłuŝnych jest zjawisko cyklicznej, chwilowej zmiany znaku tej siły w świetle uzyskanych wyników, nie został potwierdzony. LIERAURA 1. Bliman P.A.: Mathematical study of the Dahl s friction model. European Journal of Mechanics. A/Solids, 11, 1992, s. 835-848. 2. Canudas de Wit C., Olsson H., Aström K.: A new model for control of systems with friction.: IEEE ransactions on Automatic Control, 40, 3, 1995, s. 419-425.
BADANIA SYMULACYJNE WPŁYWU DRGAŃ KONAKOWYCH SYCZNYCH NA SIŁĘ... 92 3. Dahl P.R.: Solid friction damping of mechanical vibrations. AIAA Journal, 14, 12, 1976, s. 1675-1682. 4. Dupont P., Hayward V., Armstrong B., Altpeter.: Single state elasto-plastic friction models. IEEE ransactions on Automatic Control, 47, 5, 2002, s. 787-792. 5. Grudziński K., Kostek R.: Influence of normal micro-vibrations in contact on sliding motion of solid body. Journal of heoretical and Applied Mechanics, 43, 1, 2005, s. 37-49. 6. Hess D.P., Soom A.: Normal vibrations and friction under harmonic loads: Part I -hertzian contacts. Journal of ribology, 113, 1991, s. 80-86. 7. Kumar V.C., Hutchings I.M.: Reduction of the sliding friction of metals by the application of longitudinal or transverse ultrasonic vibration. ribology International, 37, 2004. s. 833-840. 8. Littmann W., Storck H., Wallaschek J.: Sliding friction in the presence of ultrasonic oscillations: superposition of longitudinal oscillations, Archive of Applied Mechanics, 71, 2001, s. 549-554. 9. Littmann W., Storck H., Wallaschek J.: Reduction of friction using piezoelectrically excited ultrasonic vibrations. Proceedings of SPIE s 8th Annual International Symposium on Smart Structures and Materials, Washington, 2001, s. 302-311. 10. Mitskevich A.M.: Motion of a body over a tangentially vibrating surface, taking into account of friction. Soviet Physics Acoustics, 13, 1968, s. 348-351. 11. Sase N., Chandy M., Suzuki K., Kumagai., ujii H.: Reduction of friction without lubrication. Proceedings of the International Conference AMP 95, III, 1995, s. 1298-1304. 12. Sase N., Kurahashi., urii M., Kutomi H., ujii H.: Control of friction coefficient between metal surfaces. Proceedings of the International Conference AMP 97, II, 1997, s. 609-615. 13. Siegert K., Ulmer J.: Reduction of sliding friction by ultrasonic waves. Production Engineering, 5, 1998, s. 9-12. 14. Skare., Stahl J.E.: Static and dynamic friction processes under the influence of external vibrations. Wear, 154, 1992, s. 177-192. SIMULAION ANALYSIS O HE INLUENCE O HE ANGENIAL CONAC VIBRAIONS ON RICION ORCE IN SLIDING MOION Summary. In the paper the results of the analysis of the influence of the longitudinal tangential vibrations on the friction force in sliding motion are presented. he simulation investigations were carried out with the use of two various models of friction: the classical Coulomb s model and the Dahl s model. he first of them omits the elasto-plastic properties of contact of the interacting surfaces, and the second one takes into account the deformability of the contact and the presliding phenomenon. he obtained results were compared with experimental data which were found in cited literature. A much better consistency with these data was obtained when the calculations had been carried out with the use of Dahl s model.