Matematyka dyskretna Andrzej Łachwa, UJ, 2014 andrzej.lachwa@uj.edu.pl 2/15
Funkcje Funkcja o dziedzinie X i przeciwdziedzinie Y to dowolna relacja f XG Y taka, że: Dziedzinę i przeciwdziedzinę funkcji oznaczamy przez Dom(f) i Im(f).
Przykłady długość słowa słowa na końcu słowa., gdzie oznacza słowo (krotkę) powstałe z doklejenia
Surjekcja to funkcja spełniająca warunek. Piszemy wtedy, czytamy X na Y. Injekcja to funkcja spełniająca warunek. Piszemy. Injekcje często są nazywane funkcjami różnowartościowymi. Bijekcja to funkcja, która jest jednocześnie surjekcją i injekcją. Nazywamy ją również przekształceniem wzajemnie jednoznacznym. Obcięciem funkcji f: A B do zbioru C nazywamy funkcję f C : C B; f C (x) = f(x) dla x C.
Traktując funkcję jako relację (zbiór par), możemy rozważać relację odwrotną do. Kiedy ta relacja jest funkcją? Funkcja posiada funkcję odwrotną, wtedy i tylko wtedy, gdy jest bijekcją. W takim przypadku funkcja odwrotna to relacja odwrotna. Przykład konstrukcji funkcji odwrotnej:,
Wartość bezwzględna to funkcja : R R; x =x dla x0, x wpp Własności: x y = x y, x+y x + y Oznaczenia niektórych funkcji: o log x to logarytm z liczby x przy podstawie 10, o lg x to logarytm z liczby x przy podstawie 2, o ln x to logarytm z liczby x przy podstawie e.
Złożenie f g funkcji i funkcji to funkcja określona dla wszystkich argumentów jako Zwykle nie zachodzi.. Dla funkcji zachodzi. Dla mamy: jeśli f, g są surjekcjami, to gf jest surjekcją, jeśli f, g są injekcjami to gf jest injekcją, jeśli f, g są bijekcjami to gf jest bijekcją. Czy dziedzina funkcji g może być większa niż przeciwdziedzina funkcji f w złożeniu f g?
Niech f: X Y, ATX, BTY. Wtedy f(a) nazywamy obrazem zbioru A. f ˉ(B) nazywamy przeciwobrazem zbioru B względem f. f ˉ(y) nazywamy przeciwobrazem elementu y względem f i jest to fˉ({y}) Czy f ˉ(y) to f 1 (y)?
Podłoga i sufit Lematy Dla n całkowitej i x rzeczywistej n n = n x x 1 gdy x nie jest całkowita x 1 x x x x 1 x x
x n wtw n x < n 1 x n wtw x 1 < n x x n wtw n 1 < x n x n wtw x n < x+1 x+n x + n x<n wtw x n n<x wtw n < x x n wtw x n n x wtw n x
Definicja części ułamkowej {x} = x x Przykłady { 5.23} = 5.23 ( 6) = 0.77 {6.14} = 6.14 6 = 0.14
Twierdzenie Dla każdej x 0 podłoga z pierwiastka z podłogi z x to podłoga z pierwiastka z x. I podobnie dla sufitu. Dowód dla podłogi niech m = x wtedy m x < m+1 podnosimy do kwadratu i mamy m 2 x < (m+1) 2 teraz stosujemy dwa lematy i mamy m 2 x < (m+1) 2 pierwiastkujemy m x < m+1 i stosujemy lemat, co daje m = x Twierdzenie możemy uogólnić na dowolne funkcje rosnące, ciągłe i spełniające zależność jeżeli f(x) całkowita to x całkowita.
Twierdzenie Dla każdych x, y rzeczywistych, x y, przedział [x, y) zawiera dokładnie y x liczb całkowitych przedział (x, y] zawiera dokładnie y x liczb całkowitych Udowodnić i sformułować twierdzenia dla przedziałów obustronnie domkniętych i obustronnie otwartych.
Funkcji podłogi z logarytmu można użyć do wyliczenia liczby cyfr liczby naturalnej k (k>0): w układzie dziesiętnym jest to log (k) +1 cyfr w układzie dwójkowym jest to lg (k) +1 cyfr log (1048575) = 6,020599499 7 cyfr lg (1048575) = 19,9999 2 20 = 1048576 10 = 100000000000000000000 2 ma 21 cyfr 2 20 1 = 1048575 10 = 11111111111111111111 2 ma 20 cyfr
34203 5 = 3+0+2*25+4*125+3*625 = 2428 10 log 5 (2428) +1 = 4,843 = 5 cyfr log 5083495 = 6,706... 7 log (5083495) +1
lg(n) N log(n) 0 1 0 1 2 0,301 1,585 3 0,477 2 4 0,602 2,322 5 0,699 2,585 6 0,778 2,807 7 0,845 3 8 0,903 3,170 9 0,954 3,322 10 1 6,644 100 2 9,966 1000 3 13,288 10000 4 16,610 100000 5 19,932 1000000 6
Definicja Widmem liczby rzeczywistej x nazywamy nieskończony zbiór liczb całkowitych z powtórzeniami: Spec(x) = { x, 2 x, 3 x, 4 x, 5 x,...} Przykłady Spec(⅖) = {0, 0, 1, 1, 2, 2, 2, 3, 3, 4, 4, 4,...} Spec( 2 ) = {1, 2, 4, 5, 7, 8, 9, 11, 12, 14, 15, 16, 18, 19, 21, 22,...} Spec(2+ 2 ) = {3, 6, 10, 13, 17, 20, 23, 27, 30, 34,...}
Ciągi Ciągiem liczb rzeczywistych s(n) nazywamy funkcję s: N R i oznaczamy go stosując notację z indeksami (s n ) n N, albo notację informatyczną s[n]; s n nazywamy n tym wyrazem ciągu s. Często definiujemy ciąg jako funkcję o dziedzinie {m, m+1, m+2, }, gdzie m jest liczbą całkowitą. Nie ograniczamy się również do wartości rzeczywistych, np. d n = {m Z: m jest wielokrotnością n} n = {w *: n jest długością słowa w} f n = k=1..n k 2, np. f 10 = k=1..10 k 2 = 1+4+9+16+25+36+49+64+81+100 = 385
Zadania różne Uzasadnij n Z: n/2 + n/2 = n Narysuj funkcję x x/2 + x/2 dla x R Narysuj funkcję x x x dla x R Rozwiąż równania: (3x 2)/4 = (2x 1)/5, (3x 4)/5 = (2x 1)/3. Zapisz przy użyciu symboli sumy skończonej: 1 + (1 + ½) + + (1 + ½ + + 1 / n ). Jak wygląda funkcja podłogi funkcji f(x)=x?
Liczba π Odkryta przez Archimedesa (225 p.n.e.) W 1768 Johann Lambert udowodnił, że jest niewymierna. W 1882 Ferdinand von Lindemann wykazał, że jest przestępna, tzn. nie jest pierwiastkiem żadnego równania algebraicznego, i tym samym rozwiązał problem kwadratury koła. Znane przybliżenia: 22 7 = 3,1428... 10 = 3,1622... (π 2 =9,8696...) 9801 4412 2 = 3,14159273...
Znane szeregi: π 4 = 1 1 3 + 1 5 1 7 + 1 9 1 11 + π 2 6 = 1+ 1 2 2+ 1 3 2+ 1 4 2 + 1 5 2 + Obliczenia: 1853 W.Shanks ogłosił π z dokładnością do 607 miejsc (527) 1949 ENIAC z dokładnością do 2037 miejsc (70 godzin obliczeń) 2002 znane 1,2 bln cyfr. [jeśli poprzedni wynik da się zapisać ręcznie na 14 metrach, to ostatni będzie 62 razy okrążał Ziemię]
Liczba e Wkładamy do banku 1 zł z odsetkami 100% rocznie. Po roku mamy 2 zł. Jeśli zmniejszymy odsetki do 50% ale będziemy je naliczać co pół roku, to otrzymamy 2,25 zł. Jeśli do 25% i naliczymy je kwartalnie, to 2,4141... Po doprowadzeniu tego rozumowania do granicy otrzymamy liczbę e, czyli około 2,72 zł. Jest to granica ciągu (1+ 1 n n ) e = 2,7 1828 1828 4590 4523
e = 87 32 = 2,71875 e = 878 323 = 2,71826 e = 2,(Andrew Jackson)(Andrew Jackson) 7 prezydent wybrany w 1828 Znany szereg: e = 1+ 1 1! + 1 2! + 1 3! + 1 4! + 1 5! + Niewymierność Leonard Euler 1737 Przestępność Charles Hermie 1873 (jego metodę dowodu wykorzystał 10 lat później Lindemann dla liczby π)
Ciekawe związki: stała eπ nazywa się liczbą Gelfonda i jest przestępna o liczbie π e nie wiadomo, czy jest przestępna π e < e π (22,4591... i 23,1406...) e iπ + 1 = 0 (równanie Eulera) n! ( n n 2πn e ) (wzór Stirlinga)
Liczby kwadratowe Liczby kwadratowe Pitagorejczyków to: 1, 4, 6, 16, 25, 36, 49,... Kolejne liczby otrzymuje się przez dodanie kropek na górze i po prawej: czyli 5 2 = 4 2 +4+5.
Liczby trójkątne... to 1, 3, 6, 10, 15, 21, 18, 36 Kolejna taka liczba powstaje przez dodanie kropek pod najniższym rzędem. Zatem piąta liczba trójkątna to suma czwartej i liczby 5: 15=10+5 Twierdzenie Dwie sąsiednie liczby trójkątne dają liczbę kwadratową.
Dowód
Geometria dyskretna Weźmy siatkę punktów o współrzędnych dodatnich całkowitych:
Promień przechodzący przez początek układu trafia w wybrane punkty siatki. Punkty te mają współrzędne będące liczbami względnie pierwszymi. Współrzędne punktów ukrytych za każdym takim punktem będę mieć współrzędne będące wielokrotnościami pary liczb względnie pierwszych, np. zaznaczone punkty czerwone to: (4,1) i (8,2), (12,3),... (2,1) i (4,2), (6,3), (2,3) i (4,6), (6,9), Oświetlając siatkę z początku układu oświetlimy wszystkie pary liczb względnie pierwszych, a w cieniu pozostaną ich wielokrotności.
Twierdzenie Picka W geometrii kratowej pole wielokąta, który ma k punktów na brzegu i n punktów we wnętrzu wynosi k/2+n 1 (brzeg nie może się przecinać).
666 liczba numerologów (liczba bestii) Jest to suma kwadratów pierwszych siedmiu liczb pierwszych: 2 2 + 3 2 + 5 2 + 7 2 + 11 2 + 13 2 + 17 2. Jest sumą sześcianów: 1 3 + 2 3 + 3 3 + 4 3 + 5 3 + 6 3 + 5 3 + 4 3 + 3 3 + 2 3 + 1 3 a jej środkowy składnik, to 6 6 6. Zachęcam to przeczytania książeczki: Tony Crilly: 50 teorii matematyki które powinieneś znać. WN PWN. Warszawa 2009