Symulacje kinetyczne Par2cle In Cell w astrofizyce wysokich energii Wykład 1 dr Jacek Niemiec Instytut Fizyki Jądrowej PAN, Kraków Jacek.Niemiec@ifj.edu.pl www.oa.uj.edu.pl/j.niemiec/symulacjenumeryczne 1
Symulacje Par2cle In Cell Metoda ab ini.o w fizyce plazmy bezzderzeniowej: rozwiązywanie równań Maxwella na siatce numerycznej rozwiązywanie relatywistycznych równań ruchu cząstek w samouzgodnionym polu EM Zastosowanie procesy mikrofizyczne w plazmie: relatywistyczne i nierelatywistyczne fale uderzeniowe formacja struktury szoku generacja pola magnetycznego przyspieszanie cząstek promieniowanie rekoneksja magnetyczna magnetosfery pulsarów, Ziemi Skale mikro << rozmiarów układów fizycznych: symulacje PIC wymagają użycia olbrzymich mocy obliczeniowych (superkomputery) badania wymagają współpracy grup naukowych W astrofizyce wysokich energii dziedzina stosunkowo młoda (2003 ) 2
Plazma Układ złożony z naładowanych cząstek (elektrony, protony, jony), globalnie neutralny ładunkowo. Wytworzenie plazmy wymaga wysokiej temperatury lub istnienia promieniowania jonizującego (np. wnętrze gwiazd, obszary H II) Plazma stanowi 99% materii we Wszechświecie Różnice z gazem nienaładowanych cząstek: nawet w plazmie neutralnej ładunkowo mogą istnieć silne prądy generujące stabilne pola magetyczne długozasięgowe oddziaływania EM pomiędzy cząstkami prowadzą do ruchów kolektywnych oraz nieliniowych sprzężeń z falami w plazmie Badanie plazmy wymaga metod innych niż stosowane w teorii płynów neutralnych 3
Plazma bezzderzeniowa w obiektach astronomicznych Supernowa Keplera szok nierel. The image cannot be displayed. Your computer may not have enough memory to open the image, or the image may have been corrupted. Restart your computer, and then open the file again. If the red x still appears, you may have to delete the image and then insert it again. Cyg A gorące plamy (szoki rel.) Krab szok terminalny wiatru z pulsara (rel.) Błyski Gamma wewnętrzne i zewnętrze szoki rel. 4
Lista zagadnień wprowadzenie do fizyki plazmy symulacje Par2cle In Cell ogólne zasady stosowania metody procedury numeryczne (kod TRISTAN) wizualizacja wyników eksperymentów numerycznych niestabilności numeryczne symulacje prostych układów fizycznych (ćwiczenia) programowanie równoległe z Message Passing Interface (MPI) systemy komputerowe użyteczne do symulacji PIC metody równoleglizacji kodów PIC zastosowanie metody PIC do modelowania procesów związanych z falami uderzeniowymi w plazmie bezzderzeniowej obecny stan badań wyzwania natury numerycznej związane z tematyką szoków metoda wyznaczania widma promieniowania cząstek z symulacji PIC 5
Użyteczne podręczniki Symulacje PIC Plasma Physics Via Computer Simula.on, C.K. Birdsall, A. B. Langdon Computer simula2on using par2cles, R.W. Hockney, J.W. Eastwood J.M. Dawson, Reviews of Modern Physics, 55, 403, 1983 0. Buneman, TRISTAN, hmp://www.terrapub.co.jp/e library/cspp/pdf/03.pdf Fizyka plazmy: The physics of fluids and plasmas, A.R. Choudhuri The physics of astrophysics, F. Shu Introduc.on to plasma physics with space and laboratory applica.ons, D.A. Gurnem, A. Bhamacharjee inne 6
Modele układu N cząstek teorie dynamiczne Teoria dynamiczna: zbiór zmiennych opisujących stan układu fizycznego + układ równań opisujących ewulucję tych zmiennych w czasie a. teoria kwantowa: funkcja falowa ψ + równanie Schrödingera gaz zdegenerowany (gaz elektronowy w metalach, białe karły, gwiazdy neutronowe) b. teoria klasyczna układu N cząstek: + prawa Newtona (równania Hamiltona) przejście a >b: pakiety falowe związane z każdą cząstką muszą być rozdzielone aby nie zachodziły zjawiska interferencyjne (tw. Ehrenfesta) długość fali de Broglie a: średnia odległość międzycząsteczkowa: 7
Modele układu N cząstek teorie dynamiczne c.d. c. teoria kinetyczna układu N >> 1 cząstek: funkcja rozkładu w przestrzeni fazowej + równanie Boltzmanna (gaz cząstek nienaładowanych) lub równanie Własowa (plazma) d. (magneto)hydrodynamika: + równania (M)HD Czy układy astrofizyczne mogą być opisane jako ośrodki ciągłe? Kiedy należy stosować teorię kinetyczną? 8
Funkcja rozkładu 6 wymiarowa przestrzeń fazowa : N cząstek > N punktów w p. f. zmienne niezależne, nie charakteryzujące poszczególnych cząstek liczba punktów w małej objętości p. f. Funkcja rozkładu: gęstość liczbowa (koncentracja): normalizacja: 9
Kinetyczna teoria rozrzedzonego gazu nienaładowanych cząstek Równanie Boltzmanna: opisuje dwuciałowe zderzenia elastyczne cząstek (oddziaływania krótkozasięgowe) siły zewnętrzne; siły oddziaływania międzycząsteczkowego zawarte w f c gaz cząstek nieoddziałujących: r. Boltzmanna wynika z twierdzenia Liouvilla Równanie Boltzmanna stosuje się tylko do gazów rozrzedzonych, dla których średnia droga swobodna na oddziaływanie gdzie a promień cząstek Przykładowa trajektoria cząstki rozrzedzonego gazu neutralnego 10
Wnioski z równania Boltzmanna Rozwiązaniem r. Boltzmanna dla gazów w równowadze termodynamicznej jest rozkład Maxwella Boltzmanna: energia całkowita energia potencjalna sił zewnętrznych Dla gazu jednorodnego pod słabym działaniem sił zewnętrznych rozkładem równowagowym jest rozkład Maxwella: Równowagowy rozkład przestrzenny cząstek (Boltzmanna): Proces dochodzenia do stanu równowagi opisanym rozkładem Maxwella jest procesem nieodwracalnym (tw. H Boltzmanna, strzałka czasu). Równowaga zapewniona jest dzięki oddziaływaniom krótkozasięgowym (zderzeniom binarnym), które są odwracalne. Równowaga zapewniona jest na skalach >> 11
Gaz rozrzedzony jako ośrodek ciągły hydrodynamika Funkcja rozkładu nie jest mierzalną wielkością fizyczną. Mierzyć można jedynie momenty funkcji rozkładu (wielkości makroskopowe) np.: gęstość: średnia prędkość: gęstość energii termicznej: Opierając się na założeniu, że w zderzeniach między cząstkami spełnione są zasady zachowania energii i pędu można obliczyć momenty równania Boltzmanna. Otrzymany w ten sposób układ równań (równania momentów) wiąże momenty funkcji rozkładu, lecz liczba tych równań jest mniejsza od liczby zmiennych. Teorię dynamiczną (hydrodynamikę) wyprowadza się z równań momentów zakładając: lokalną równowagę termodynamiczną opisaną rozkładem Maxwella w układzie odniesienia współporuszającym się z elementem płynu, możliwość występowania tylko małych lokalnych odstępstw od rozładu Maxwella, co pozwala uwzględnić zjawiska transportu (przewodnictwo cieplne, lepkość). Przy takich założeniach równania momentów prowadzą do równania stanu gazu doskonałego. 12
Równania hydrodynamiki równanie ciągłości: r. Naviera Stokesa: prawo zach. energii: prędkość elementu płynu w układzie LAB, ciśnienie, siła na jednostkę masy współczynnik lepkości, przewodności cieplnej Z faktu, że lokalna równowaga termodynamiczna zapewniona jest przez zderzenia pomiędzy cząstkami widać, że występowanie zderzeń jest konieczne aby gaz rozrzedzony zachowywał się jak ośrodek ciągły. Zatem opis HD ma zastosowanie gdy rozmiar układu Te same równania HD można także wyprowadzić w ramach makroskopowego modelu ośrodków ciągłych. Stosują się więc one także do płynów gęstych. Z modelu makroskopowego nie widać jednak jasno, że HD opisuje także gaz rozrzedzony. Hydrodynamika poprawnie opisuje układ bez oddziaływań długozasięgowych. 13
Długość ekranowania Debye a Rozważmy wpływ na otoczenie ładunku Q umieszczonego w jednorodnej plazmie w równowadze termicznej gęstość ładunku: W nowym stanie równowagi mamy: r. Poissona rozkład ładunków (dla ) ( dla ) Stąd: długość Debye a (Debye length) Zatem: ładunek Q jest ekranowany na odległościach większych od. 14
Długość ekranowania Debye a c.d. Chociaż pole elektryczne związane z ładunkiem zasadniczo rozciąga się do nieskonczoności, wpływ ładunku w plazmie jest odczuwany przez inne cząstki tylko wewnątrz objętości rzędu λ D 3 objętość Debye a. Ilość cząstek wewnątrz objętości Debye a daje miarę liczby cząstek, które oddziałują jednocześnie i są odpowiedzialne za zjawiska kolektywne w plazmie. Na skalach plazma stanowi gaz neutralny ładunkowo. wiatr słoneczny, ISM: λ D =10 3 cm jonosfera: λ D =10 1 cm wyładowania w gazie: λ D =10 2 cm wnętrze Słońca: λ D =10 9 cm 15
Częstość plazmowa Rozważmy jednorodną plazmę, w której część elektrów została przesunięta względem równowagowych położeń na odległość Przesunięcie ładunków powoduje pojawienie się pola elektrycznego, które próbuje przywrócić stan równowagi Dla mamy: Pozwólmy teraz elektronom poruszać się; zgodnie z równaniem ruchu mamy: co daje równanie oscylatora harmonicznego z częstością: ω 2 pe = ne2 ɛ 0 m e częstość plazmowa (plasma frequency) oscylacje Langmuira, 16
Częstość plazmowa c.d. związek z λ D Numeryczna wartość częstości plazmowej zależy tylko od gęstości plazmy: Dla plazmy wieloskładnikowej definiuje się osobno dla każdej populacji s : ω 2 ps = n se 2 s ɛ 0 m s lecz poszczególne populacje nie oscylują niezależnie. Dla plazmy elektronowo protonowej:, ponieważ Tylko zaburzenia o częstości mogą powodować rozdzielenie ładunków w plazmie. W przeciwnym wypadku szybkie oscylacje elektrostatyczne przywrócą lokalną neutralność ładunkową. Wielkoskalowe zjawiska elektromagnetyczne w plazmie prowadzą zazwyczaj do zaburzeń o częstości co odpowiada reżimowi MHD. Częstość plazmowa i długość Debye a są związane formułą: gdzie jest prędkością termiczną cząstek. 17
Zderzenia cząstek naładowanych w plazmie Rozpraszanie kulombowskie: przekrój czynny na rozpraszanie rozbieżny dla małych kątów rozpraszania dużych parametrów zderzenia b wzór Rutherforda ekranowanie Debye a eliminuje ten problem a λ D zadaje b max cząstki w plazmie podlegać będą rozpraszaniu o małe kąty częściej niż rozpraszaniu o duży kąt (por. zderzenia neutralnych cząstek) zderzenia burzą kolektywne ruchy plazmy ponieważ zazwyczaj zachodzą pomiędzy parą cząstek częstość zderzeń elektron jon: Typowa trajektoria naładowanej cząstki w plazmie 18
Definicja plazmy parametr plazmowy g Długozasięgowe oddziaływania elektrostatyczne zapewniają neutralność ładunkową plazmy dla statystycznie reprezentatywnej ilości cząstek. Nierównomierności w rozkładzie ładunku dla plazmy w równowadze pojawić się mogą jedynie na skalach przestrzennych mniejszych od λ D i skalach czasowych krótszych od 1/ω pe. Plazma jest neutralna ładunkowo gdy: Parametr plazmowy: układ zdominowany przez oddziaływania kolektywne; definicja plazmy Stosunek energii kinetycznej do energii potencjalnej dla pary cząstek: gdy W tej samej granicy: plazma bezzderzeniowa (collisionless plasma) 19
Reprezentatywne parametry plazmy astrofizycznej 20
Kinetyczna teoria plazmy bezzderzeniowej równanie Własowa Dla układu N cząstek oddziałujących poprzez siły długozasięgowe możliwe jest sformułowanie teorii kinetycznej, opisującej czasową ewolucję funkcji rozkładu cząstek, wychodząc z podstawowych twierdzeń mechaniki statystycznej. Ścisłe rozwiązanie tej teorii nie jest trywialne. Zaniedbując oddziaływania pomiędzy parami cząstek wyprowadza się równanie Własowa (Vlasov equa.on): siła działająca na cząstkę w położeniu pochodząca od oddziaływań długozasięgowych wszystkich innych cząstek Różnice z bezzderzeniowym równaniem Boltzmanna: r. Boltzmanna nie uwzględnia sił długozasięgowych, F tylko siła zewnętrzna, zderzenia binarne zaniedbane w teorii plazmy zderzenia pomiędzy cząstkami trudne do zdefiniowania, w odpowiedniku członu z f c z r. Boltzmanna znajduje się w równaniu Własowa dwucząstkowa funkcja korelacji, która opisuje oddziaływanie pomiędzy najbliższymi cząstkami zaniedbanie tej funkcji korelacji oznacza zaniedbanie zderzeń 21
Kinetyczna teoria plazmy bezzderzeniowej równanie Własowa Dla sił elektromagnetycznych równanie Własowa przybiera postać: Funkcje rozkładu zdefiniowane są oddzielnie dla każdej populacji cząstek (np. j=e, p itp.) Pola elektromagnetyczne generowane są przez ruchy kolektywne cząstek a także zewnętrzne ładunki i prądy. Ze względu na to nieliniowe sprzężenie pomiędzy polami EM a cząstkami do pełnego opisu plazmy używa się równania Własowa i równań Maxwella. Definiując gęstość ładunku i prądu mamy: Równania te najpełniej opisują dynamikę plazmy bezzderzeniowej. 22
Równanie Własowa c.d. Z równania Własowa nie da się wyprowadzić równowagowej funkcji rozkładu. Dowolna początkowa funkcja rozkładu nie wyewoluuje zgodnie z równaniem Własowa do rozkładu Maxwella. Ogólna teoria kinetyczna plazmy pokazuje jednak, że plazma osiągnie stan równowagi przy udziale dwucząstkowego rozpraszania (zderzeń) cząstek. Stan ten jest opisany rozkładem Maxwella. Ewolucję funkcji rozkładu w obecności rozpraszania o małe kąty opisuje równanie Fokkera Plancka. 23
Magnetohydrodynamika Równania MHD: Dwa ostatnie równania to równanie indukcji oraz uproszczone prawo Ohma. σ to współczynnik przewodności elektrycznej. Zaniedbuje się prąd przesunięcia i zakłada politropowe równanie stanu. 24
Zakres stosowalności MHD Nie da się rygorystycznie wyprowadzić MHD z teorii kinetycznej, stąd też nie można jednoznacznie wyznaczyć granic stosowalności opisu płynowego plazmy. Ogólnie równania MHD stosują się do zjawisk, w których reakcja elektronów i jonów jest taka sama (brak rozdzielności ładunkowej). Mamy więc L >> λ D i T >> 1/ω pe. Dla długich odcinków czasu T nie można pominąć zderzeń w układzie, stąd plazma będzie w stanie równowagi termodynamicznej. Pole magnetyczne może także utrzymywać cząstki plazmy w elemencie o rozmiarze promienia Larmora r L. Zatem dla L >> r L model ośrodka ciągłego może być zastosowany nawet dla plazmy bezzderzeniowej. Dla nierównowagowych funkcji rozkładu opis MHD może być nieadekwatny (np. tłumienie Landaua) wyprowadzając równania MHD oblicza się kilka pierwszych momentów funkcji rozkładu; dla niedostatecznie szybko malejących funkcji część informacji może nie zostać ujęta. Do układów opisanych takimi funkcjami należy stosować teorię kinetyczną (w niektórych przypadkach model dwupłynowy). 25