Całki krzywoliniowe skierowane

Całki krzywoliniowe skierowane Zamiana całki krzywoliniowej skierowanej na całkę pojedyńcza. Twierdzenie Greena. Zastosowania całki krzywoliniowej skierowanej. Małgorzata Wyrwas Katedra Matematyki Wydział Informatyki Politechnika Białostocka Całki krzywoliniowe skierowane str. 1/25

Pola wektorowe na płaszczyźnie i w przestrzeni Polem wektorowym na obszarze D R 2 nazywamy funkcję wektorową F : D R 2 określoną wzorem: F (x, y) = [P (x, y), Q(x, y)], gdzie (x, y) D. Polem wektorowym na obszarze V R 3 nazywamy funkcję wektorową F : V R 3 określoną wzorem: F (x, y, z) = [P (x, y, z), Q(x, y, z), R(x, y, z)], gdzie (x, y, z) V. Y 2 6 O X F (x, y) F (x, y) O X Z Y Całki krzywoliniowe skierowane str. 2/25

Własności pól wektorowych Jeżeli funkcje P, Q lub P, Q, R są ciągłe na obszarach D lub V, to mówimy, że pole wektorowe F jest ciagłe na D lub V. Jeżeli funkcje P, Q lub P, Q, R mają ciągłe pochodne na D lub V, to mówimy, że pole wektorowe F jest różniczkowalne w sposób ciagły na D lub V. Całki krzywoliniowe skierowane str. 3/25

Łuki skierowane Łuk zwykły niezamknięty, na którym ustalono początek i koniec (kierunek), nazywamy łukiem skierowanym. Łuk skierowany oznaczamy tym samym symbolem co łuk. Łuk o skierowaniu przeciwnym do łuku będziemy oznaczamy przez. Jeżeli ze wzrostem parametru łuku skierowanego poruszamy się po nim w kierunku skierowania, to mówimy, że parametryzacja łuku jest zgodna ze skierowaniem (lub przedstawienie parametryczne łuku i nadany mu kierunek sa zgodne), w przeciwnym przypadku mówimy, że parametryzacja łuku jest przeciwna do skierowania (lub przedstawienie parametryczne łuku i nadany mu kierunek sa niezgodne). Całki krzywoliniowe skierowane str. 4/25

Rozważmy łuk gładki = { r(t) : t α, β } o przedstawieniu parametrycznym zgodnym z kierunkiem. A 0 A k t 1 t 2 t 3 t k t n α=t 0 t 1 t 2 t 3...... t k 1 t k t n 1 t n =β t 1 t 2 t 3 t k t n r A n Całki krzywoliniowe skierowane str. 5/25

Oznaczenia w definicji całki skierowanej: P = {t 0, t 1, t 2,..., t n }, gdzie α = t 0 < t 1 <... < t n 1 < t n = β podział odcinka α, β na n N odcinków; t k def = t k t k 1 długość k-tego odcinka podziału P, gdzie 1 k n; δ(p) = max 1 k n t k - średnica podziału P; T = {t 1, t 2,..., t n}, gdzie t k t k 1, t k dla 1 k n zbiór punktów pośrednich podziału P A k (x(t k ), y(t k )) (lub A k (x(t k ), y(t k ), z(t k ))) punkty podziału łuku indukowane przez podział P, gdzie 0 k n; A k = (x k, y k) = (x (t k ), y (t k )) (lub A k = (x k, y k, z k) = (x (t k ), y (t k ), z (t k ))) punkty pośrednie łuku A k 1 A k indukowane przez wybór punktów pośrednich podziału P, gdzie 1 k n; l k = t k t k 1 r (t) dt długość łuku A k 1 A k, gdzie 1 k n. Całki krzywoliniowe skierowane str. 6/25

Całka krzywoliniowa skierowana Niech F będzie polem wektorowym określonym na łuku skierowanym ( R 2 lub R 3 ). Całkę krzywoliniowa skierowana z pola wektorowego F po łuku definiujemy wzorem P (x, y) dx+q(x, y) dy def = lim n δ(p) 0 k=1 lub P (x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R(x, y, z) dz def = lim δ(p) 0 n k=1 (P (x k, y k) x k + Q(x k, y k) y k ), ( P (x k, y k, z k ) x k +Q(x k, y k, z k ) y k + R(x k, y k, z k ) z k) o ile granica po prawej stronie znaku równości jest właściwa i nie zależy od sposobu podziału P odcinka α, β ani od sposobu wyboru punktów pośrednich T. Całki krzywoliniowe skierowane str. 7/25

Całka krzywoliniowa skierowana Całkę krzywoliniową skierowaną z z pola wektorowego F po łuku oznaczamy też symbolem: P dx + Qdy lub P dx + Qdy + Rdz. UWAGA: W zapisie wektorowym całkę krzywoliniową skierowaną z pola wektorowego F po łuku oznaczamy też symbolem: F d r, gdzie d r def = [dx, dy] lub d r def = [dx, dy, dz]. Całki krzywoliniowe skierowane str. 8/25

Całka krzywoliniowa skierowana po sumie łuków skierowanych Niech łuk skierowany będzie sumą łuków skierowanych 1, 2,..., m, przy czym koniec łuku k jest początkiem łuku k+1, gdzie 1 k m 1. Ponadto niech F będzie polem wektorowym określonym na łuku. Całkę krzywoliniowa skierowana z pola F po łuku definiujemy wzorem: F d r def = 1 F d r + 2 F d r +... + o ile całki po prawej stronie znaku równości istnieją. m F d r, Całki krzywoliniowe skierowane str. 9/25

iniowość całki krzywoliniowej skierowanej Jeżeli istnieją całki krzywoliniowe skierowane z pól wektorowych F i G po kawałkami gładkim łuku skierowanym, to ( ) ( ) F + G d r = F d r+ G d r, c F d r = c F d r, gdzie c R. Ponadto F d r = F d r, gdzie jest łukiem przeciwnie skierowanym do łuku. UWAGA: Jeżeli łuk skierowany jest zamknięty, to wtedy piszemy: w miejsce. Całki krzywoliniowe skierowane str. 10/25

Zależność między całkami krzywoliniowymi Niech pole wektorowe F będzie ciągłe na łuku gładkim. Wtedy P (x, y) dx+q(x, y) dy = [P (x, y) cos α + Q(x, y) cos β] dl, lub P (x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R(x, y, z) dz = [P (x, y, z) cos α + Q(x, y, z) cos β + R(x, y, z) cos γ] dl. Całki krzywoliniowe skierowane str. 11/25

Zamiana całki krzywoliniowej skierowanej na całkę pojedyńcza Jeżeli pole wektorowe F jest ciągłe na łuku gładkim, którego skierowanie jest zgodne z parametryzacją, to β P (x, y) dx + Q(x, y) dy = [P (x, y)x (t) + Q(x, y)y (t)] dt, α gdy = {[x(t), y(t)] : α t β} oraz P (x, y, z) dx + Q(x, y, z) dy + R(x, y, z) dz = β α [P (x, y, z)x (t) + Q(x, y, z)y (t) + R(x, y, z)z (t)] dt gdy = {[x(t), y(t), z(t)] : α t β}. UWAGA: W zapisie wektorowym powyższe wzory mają postać: F ( r) d r = β [ F ( r(t)) r (t) ] dt. α Całki krzywoliniowe skierowane str. 12/25

Potencjalne pole wektorowe Pole wektorowe F określone na obszarze D R 2 lub V R 3 nazywamy potencjalnym, gdy istnieje funkcja u : D R lub u : V R, taka że F = grad u. Funkcję u nazywamy potencjałem pola wektorowego F. Całki krzywoliniowe skierowane str. 13/25

Całka krzywoliniowa z pola potencjalnego Niech pole wektorowe F będzie ciągłe i ma potencjał u na obszarze D R 2 lub V R 3. Wtedy P (x, y) dx + Q(x, y) dy = u(x B, y B ) u(x A, y A ), ÃB gdy ÃB dowolny skierowany kawałkami gładki łuk o początku A(x A, y A ) i końcu B(x B, y B ), całkowicie zawarty w obszarze D oraz P (x, y, z)dx+q(x, y, z)dy+r(x, y, z)dz =u(x B, y B, z B ) u(x A, y A, z A ), gdy ÃB dowolny skierowany kawałkami gładki łuk o początku A(x A, y A, z A ) i końcu B(x B, y B, z B ), całkowicie zawarty w obszarze V. Całki krzywoliniowe skierowane str. 14/25

Warunek konieczny i wystarczajacy potencjalności pola (I) Niech pole wektorowe F = [P, Q] będzie różniczkowalne w sposób ciągły na obszarze wypukłym D R 2. Wówczas pole wektorowe F jest potencjalne na D wtedy i tylko wtedy, gdy P y (x, y) = Q x (x, y), dla każdego (x, y) D. (II) Niech pole wektorowe F = [P, Q, R] będzie różniczkowalne w sposób ciągły na obszarze wypukłym V R 3. Wówczas pole wektorowe F jest potencjalne na V wtedy i tylko wtedy, gdy P y Q P (x, y, z) = (x, y, z), x Q z (x, y, z) = R y z (x, y, z) = R x (x, y, z), (x, y, z), dla każdego (x, y, z) V. Całki krzywoliniowe skierowane str. 15/25

Rotacja pola wektorowego Niech pole wektorowe F = [P, Q, R] będzie różniczkowalne w sposób ciągły na obszarze wypukłym V R 3. Rotacja pola wektorowego F nazywamy pole wektorowe określone wzorem: rot F def = i j k x y z P Q R ( R y Q z = ) i + ( P z R ) j + x ( Q x P y ) k. Całki krzywoliniowe skierowane str. 16/25

Rotacja pola potencjalnego Pole wektorowe F = [P, Q, R] jest potencjalne na obszarsze wypukłym V R 3 wtedy i tylko wtedy, gdy rot F = 0. Całki krzywoliniowe skierowane str. 17/25

Skierowanie krzywej Niech będzie kawałkami gładkim łukiem zamkniętym (bez samoprzecięć) na R 2, tzn. krzywą Jordana. Mówimy, że krzywa jest skierowana dodatnio względem swego wnętrza D, gdy podczas ruchu po łuku w kierunku jego skierowania obszar D leży cały czas po lewej stronie łuku. W przeciwnym przypadku mówimy, że krzywa jest skierowana ujemne względem swego wnętrza D. Y 2 1 D D 2 1 Y O X 1 - dodatnio skierowany względem obszaru D 1 2 - ujemnie skierowany względem obszaru D 2 O X Całki krzywoliniowe skierowane str. 18/25

Twierdzenie Greena Jeżeli obszar domknięty D R 2 będzie będzie obszarem normalnym (wzgledem OX i OY ) brzeg tego obszaru jest skierowany dodatnio względem wnętrza pole wektorowe F = [P, Q] będzie różniczkowalne w sposób ciągły na D, to P (x, y) dx + Q(x, y) dy = D ( Q x P y ) dxdy UWAGA: Wzór Greena także jest prawdziwy dla obszaru D, który można podzielić na skończoną liczbę obszarów normalnych (względem obu osi). Całki krzywoliniowe skierowane str. 19/25

Cyrkulacja pola wektorowego Cyrkulacja pola wektorowego F po łuku zamkniętym skierowanym nazywamy F d r. Całki krzywoliniowe skierowane str. 20/25

Zastosowania całek krzywoliniowych skierowanych Pole obszaru Pole obszaru D R 2 ograniczonego łukiem zamknietym kawałkami gładkim, dodatnio skierowanym względem swego wnętrza D wyraża się wzorem: D = y dx = x dy = 1 x dy y dx. 2 Całki krzywoliniowe skierowane str. 21/25

Zastosowania całek krzywoliniowych skierowanych Praca w polu wektorowym Praca w polu wektorowym F wykonana wzdłuż łuku skierowanego od punktu początkowego do końcowego wyraża się wzorem: W = F d r. Całki krzywoliniowe skierowane str. 22/25

Zastosowania krzywoliniowych skierowanych Ilość umownej płaskiej cieczy" Ilość umownej płaskiej cieczy" przepływającej w jednostce czasu przez łuk skierowany wyraża się wzorem: A = Q(x, y)dx P (x, y)dy, gdzie v(x, y) = [P (x, y), Q(x, y)] oznacza prędkość przepływu cieczy w punkcie (x, y) tego łuku. Całki krzywoliniowe skierowane str. 23/25

Podsumowanie Pola wektorowe na płaszczyźnie i w przestrzeni. Całki krzywoliniowe skierowane. Zamiana całki krzywoliniowej skierowanej na całkę pojedyńczą. Pewne zastosowania całek krzywoliniowych skierowanych. Całki krzywoliniowe skierowane str. 24/25

Dziękuję za uwagę ;) Całki krzywoliniowe skierowane str. 25/25