Temat:Termodynamika fotonów. I Wstę Jak już sam temat sugeruje ostaram się rzedstawić 'termodynamikę' fotonów. Skąd taki omysł? Przez ewien zas hodziłem śieżki termodynamiki gazu doskonałego, lizyłem srawnośi różnyh ykli, tworzyłem własne rzemiany nie 'izo-', jednak o ewnym zasie hiałem oś zmienić, oś z głównyh założeni termodynamiki. No i adło na zmianę 'gaz robozy' aby zastąić zwykłe ząstki na fotony. Ten omysł narodził się głównie z jednego owodu: zwykłe ząstki nie mogą 'znikać', zaś fotony tak. Koruskularna natura ozwoliła wyrowadzić mi teorię tak samo jak w rzyadku zwykłego gazu, jednak fotony to kwanty energii i wraz z dostarzaniem/odbieraniem energii rzybywa/ubywa ih. Rozważania w tym artykule będą zysto teoretyzne. II Główne założenia gazu W modelu klasyznej termodynamiki, gaz doskonały osiada nastęująe ehy: ząstki między sobą nie oddziałują z wyjątkiem momentu zderzeni- nie lizą zderzeni oruszają się ruhem jednostajnym rostoliniowym wszystkie zderzenia ząstka-ząstka i ząstka-nazynie są idealnie srężyste objętośi ząstek są omijalne małe względem wolnej rzestrzeni otazająyh je ząstki ały zas oruszają się ruhem haotyznym A teraz ostaram się wymienić założenia gazu fotonowego: składa się tylko z fotonów fotony oruszają się haotyznie, nie działają na nie żadne zynniki zewnętrzne, n. ole magnetyzne, elektrostatyzne fotony oddziałują ze sobą tylko w trakie zderzeni, są to albo zderzenia idealnie srężyste albo owstawanie nowyh fotonów takih by ęd i energia była zahowana fotony uderzająe w śiany nazynia są ohłaniane, zaś śiany nazynia emitują fotony śiany nazynia są iałem doskonale zarnym III Ois budowy modelu Cały gaz fotonowy znajduje się w sześianie o długośi krawędzi a (mogła by być też kula, ale łatwiej jest mi raować z sześianem. Jak już wiemy z założeni gazu, sześian jest iałem doskonale zarnym, wewnątrz którego nie ma żadnyh ząstek, róz naszyh fotonów. Wszystkie śiany mają temeraturę T, zaś gaz fotonowy jest ały zas w równowadze termiznej. I Wyrowadzenie głównyh równani Gdy już mamy oisane założenia i ogólny zarys budowy modelu możemy zaząć owoli wyrowadzać równania. Rozważmy jedną śianę (a*a, zahodzi na niej zmiana ędu od ohłoniętyh fotonów i od wyemitowanyh fotonów. W konsekwenji owe fotony wytwarzają iśnienie: z 7
= Δęd Δt a Teraz trzeba wyznazyć ile ędu zmienia się w jednoste zasu. Za jednostkę zasu rzyjmijmy zas równy Δt= a, (wymiar sześianu to a, zaś rędkośi fotonów to jest to zas w którym 'wszystkie fotony' owinny raz uderzyć w śianę (hodzi o wartość statystyzną. Jeśli energia wszystkih fotonów wynosi U, to w tym zasie w jedną śianę uderzy taka ilość fotonów, któryh suma energii wynosi U (gdyż jest 6 śian a łąznie na wszystkih śianah ma wyjść ałe U. 6 Szybko wyrowadźmy jaki ęd ma foton o energii E. Dla ząstek relatywistyznyh słuszne jest równanie: E =m +, m-to masa sozynkowa fotonu która wynosi 0. Tak wię: = E Tak wię ałkowity ęd od ohłoniętyh fotonów na jedną śianę wynosi: Δęd ohłoniętyh = U 6 Gaz fotonowy jest w równowadze, wię śiana musi wyemitować fotony o tej samej energii jaką ohłonęła, o owoduje drugą zmianę ędu o tej samej wartośi, tak wię zmian ędu na jednej śianie wynosi Δęd= U. Podstawiają owyższe wzory otrzymujemy: = U. a Wrowadzimy ojęie gęstośi energii, jest to energia dzielona rzez objętość: u= U, wtedy. mamy końową zależnośi: = u (lub = U. Postaram się wyznazyć ile wynosi ałkowita energia układu. Każda ze śiana romieniuje fotony o moy: P=a σ T, zas zanim doleą z jednej śiany do drugiej to: t= a takih śian jest 6, wię: 6 σ T, jednak energia ałego układu jest mniejsza, wynika to z faktu że fotony nie wydostają się rostoadle ze śian lez od różnym kontami i średni zas żyia jest inny, tak wię różni się o jakiś wsółzynnik, niestety wyrowadzenie jest bardzo skomlikowanie i ozwoliłem sobie skorzystać z zasobów PWN (htt://aneksy.wn.l/, tak wię: u= σ T. Otrzymuję nastęująe równania: = σ T T Jak widzimy wraz ze zmiana temeratury musi zmieniać się iśnienie, tak wię rzemiana izobaryzna będzie zarazem rzemianą izotermizną i odwrotnie. Wyrowadzenie rzemian Wyrowadzę teraz wzory na energie obraną rzez układ, i raę jaką wykonał gaz (klasyznie lizy się rae wykonaną nad gazem, różni się tylko znakiem, a łatwiej jest mi oerować raą wykonaną rzez gaz niż raą wykonaną nad gazem. z 7
Zaznijmy od rzemiany izohoryznej. W tej rzemianie nie ma zmiany objętośi, wię nie jest wykonana żadna raa. Zależnośi w tej rzemianie wyglądają nastęująo: =onst W=0 ΔU = σ T Q= ΔU wykres rzemiany: izotermizna i izobaryzna, jak już wiemy obie rzemiany okrywają się ze sobą, mamy nastęująe zależnośi: T =onst =onst W=( σ T -raa wykonana rzez gaz, a nie nad gazem ΔU =( σ T Q=( 5 σ T wykres rzemiany: z 7
No i zas na rzemianę adiabatyzną, w której to nie ma wymiany ieła z otozeniem. Q=0 wię: W +ΔU =0 (raa wykonana rzez gaz, a nie nad gazem z tego wynika że: dw +du=0 zaś: dw = d U= z tego wynika: du = d + d o odstawieniah mamy: d + d =0 o zlogarytmowaniu i sałkowaniu mamy: =onst o rzekształamy do ostai: =onst możemy też zaisać: T =onst. Przekształają dalej otrzymujemy: ΔU = σ T T W= σ T T (raa wykonana rzez gaz, a nie nad gazem wykres rzemiany: No i to już konie rzemian odstawowyh, iekawym faktem jest to że rzemiana izotermizna jest za razem rzemianą izobaryzną, rzez to mamy jedną rzemianę mniej niż w klasyznym gazie. I Cykl Carnota No jak by inazej zaząć lizenie srawnośi różnyh ykli, jak nie od yklu Carnota. Na odstawie tego yklu możemy stwierdzić zy nasza teoria nie jest błędna, gdyż srawność takiego yklu jest znana. Niezależnie od zynnika robozego nie owinna się różnić (w szzególnośi być większa od η= T T ( T <T. z 7
No dobra starzy rozważani, zaznijmy lizyć. No to ierwszy krok to narysowanie yklu na wykresie ( : B C A D teraz zaiszemy o kolei każdą z rzemian: srężanie adiabatyzne. Nieh w unkie A będzie temeratura T i objętość:. Po zakońzeniu srężania temeratura wynosi: T (w unkie B. Wtedy objętość w unkie B wynosi: B = ( T T jest to zarazem najmniejsza objętość w ałym yklu. Układ w tej rzemianie nie obiera ieła ( Q =0. Gaz wykonuje raę: W = σ T T (jest ona ujemna o świadzy że nad gazem jest wykonywana raa ogrzewanie izotermizne (zarazem izobaryzne. W tej rzemianie iśnienie i temeratura są stałe Nieh gaz o zakońzeniu rzemiany ma objętość: gaz wykonuje raę: W =( ( T T σ T w tym zasie obiera ieło: Q =( ( T 5 T σ T rozrężanie adiabatyzne: Q =0 W = σ T T (jest dodatnia, zyli gaz wykonuje raę objętość o zakońzeniu rzemiany: C = ( T (jest to maksymalna objętość T ohładzanie izotermizne (zarazem izobaryzne. W tej rzemianie iśnienie i temeratura są stałe. Ta rzemiana zamyka ykl, wię musi na końu rzemiany osiągnąć objętość:. W =( ( T T σ T (raa jest ujemna wię nad gazem jest wykonywana raa 5 z 7
układ oddaje ieło: Q =( ( T T 5 σ T Gdy już oisaliśmy oszzególne rzemiany możemy rzejść do lizenia srawnośi: rzyjmijmy że: x= T T η= Q +Q =+ Q ( + ( T T T = Q Q ( ( T T T oraz k= max min o odstawieniah mamy: η= k x o jest równe η= k x x x = T T wię dla yklu Carnota srawność zależy tylko od temeratury, i wynosi tyle samo o w normalnym gazie, wię teoria tu wyrowadzona nie rzezy II zasadzie termodynamiki, wię jest słuszna. II Cykl Otta Nie będę już oisywał dokładanie rzemian tak jak z rzemianą Carnota, gdyż lizy się tak samo, zostaną umieszzone same rezultaty oblizeni. Jest to ykl do którego rzybliża się silnik zterosuwowy. Wykres yklu wygląda nastęująo: C B D srężanie adiabatyzne ogrzewanie izohoryzne rozrężanie adiabatyzne ohładzanie izohoryzne A Minimalna temeratura: T A Maksymalna temeratura: T C Minimalna objętość: B Maksymalna objętość: A nieh k= A B wtedy srawność wynosi: η= k dla zwykłego gazu wynosi: η= k ϰ. 6 z 7
Srawność gazu fotonowego jest mniejsza niż normalnego gazu doskonałego (doskonały gaz ma najleszą srawność, zaś zym większa lizba atomów w ząste tym srawność mniejsza, aż dla gazu wieloatomowego o ząstezkah nieliniowyh wynosi tyle samo o dla gazu fotonowego. III Wielkośi lizbowe Srawnośi są w miarę orównywalne, to zas na oblizenie ile moy rodukują takie silniki. Wzór na iśnienie to: = σ T o odstawieniu stałyh mamy: =.5 0 6 T jest to dość małe iśnienie, aby osiągnąć wartośi iśnienia atmosferyznego temeratura musi wynosić onad 0 000K (zyli bardzo dużo. Prae to w rzybliżeniu iśnienie omnożone rzez zmianę objętośi, jeśli temeratura wynosi 000K, zmiana objętośi m^ to rząd wielkośi ray to 0 J, rzy zym normalny silnik rzy takiej zmianie objętośi wytwarza raę o jakieś 9~0 rzędy wielkośi większą. IX Wszehświat Jeśli by założyć, że w wszehświeie jest ały zas uwolniona taka sama ilość energii, to rozszerzanie wszehświata możemy otraktować jako rozrężanie adiabatyzne. Jeśli R to romień wszehświata wtedy: R T =onst. Tak wię temeratura maleje wraz ze wzrostem wymiarów. X Podsumowanie Fotony możemy otraktować jako gaz (gaz fotonowy, dla którego możemy zaisać rzemiany termodynamizne. Ciekawym faktem jest to że iśnienie zależy tylko od temeratury, tak wię rzemiana izobaryzna jest też rzemianą izotermizną. Wartośi energii są bardzo małe w orównaniu z normalnym gazem. Srawnośi są orównywalne dla zwykłyh gazów, w szzególnośi dla yklu Carnota są takie same (o także wynika z II zasady dynamiki. Owa termodynamika może nadawać się do oisywania wszehświata, gdyż oisuje ona rzemiany zahodząe w różni (nie ma ni róz fotonów. Autor: Marek Mystkowski, uzeń I Lieum Ogólnokształąego im. Adama Mikiewiza w Białymstoku. Bibliografia: htt://aneksy.wn.l/ -zazernięty wsółzynnik (na ozątku wstawiłem literę k, ale udało mi się znaleźć jego wartość Tablie fizyzno-astronomizne, wydawnitwo Adamantan, raa zbiorowa od kierownitwem Witolda Mizerskiego- wzory na srawnośi różnyh ykli Fizyka i Astronomia, Marian Kozielski- odręznik liealny - wzory i teoria z termodynamiki Nauzyiele: Ta raa nie mogłaby owstać gdyby nie starania włożone w trud nauzania fizyki na zajęiah, a także na kółkah z fizyki. Nauzyielem uząym mnie fizyki na zajęiah lekyjnyh jest: mgr Mirosława Żuber (bardzo wyrozumiała,zawsze służy omoą,ale i wymagająa, a także odziękowania należą się mgr Sławomirowi Żuber, który zawsze służy omoą i dobrymi radami. 7 z 7