Aaza współzaeżośc dwóch zaws Badae zborowośc ze wzgędu a dwe cech ma zazwcza a ceu poszuwae zaeżośc mędz tm cecham. Poszuwae to ma ses to wted, gd mędz cecham może steć ogcze uzasado zwąze przczowo-sutow. Aazuąc zwąze przczowo sutow mędz cecham ustaam, tóra z badach cech może bć tratowaa ao cecha ezaeża, a tórą uzam za cechę zaeżą, p. badaąc wpłw powerzch sepów (X) a wsoość utargu (Y) przmem, że cechą ezaeżą będze powerzcha sepów (X) zaś utarg będze cechą zaeżą. W etórch przpadach moża stwerdzć zarówo wpłw cech X a cechę Y a odwrote. Mówm wówczas o współzaeżośc cech, p. spożce curu mą w gospodarstwach domowch. Zaeżość mędz cecham może meć charater: a) fuc - poegaąc a tm, że ażde wartośc zmee X odpowada ścśe oreśoa to eda wartość zmee Y. Przładem est tu zaeżość mędz ceą a wartoścą towaru. b) stochastcz (defowa za pomocą poęć z rachuu prawdopodobeństwa). Zaeżość stochastcza (probabstcza) poega a tm, że zaeże są rozład prawdopodobeństwa zmech X Y. W pratce ozacza to, że wpłw ede zmee a drugą est zaeż róweż od czów osowch, wspóe dzałaącch a obe zmee, oprócz ch czów dzałaącch a ażdą z ch oddzee. zczegóm przpadem zaeżośc stochastcze est zaeżość statstcza (oreaca) wstępuąca mędz cecham merzam ub quas-merzam. Poega oa a tm, że oreśom wartoścom ede zmee przporządowae są ścśe oreśoe średe wartośc druge zmee. Pod wzgędem eruu wróżam oreacę dodatą uemą. Koreaca dodata wstępue wted, gd wzrostow wartośc ede cech odpowada wzrost średch wartośc druge cech. Koreaca uema wstępue wted, gd wzrostow wartośc ede cech odpowada spade średch wartośc druge cech. Rozład dwuwmarow, brzegow, waruow; tabca oreaca Putem wścowm do badaa współzaeżośc cech są dae, w tórch da ażde edost statstcze oreśoo wartośc dwóch cech: X Y. Mam węc zbór edoste przporządowae m par cech (, ), =,,.... Mam zatem szereg: Tabca. zereg szczegółow da dwóch obserwowach cech......... Źródło: Opracowae włase Jeże czebość zborowośc est duża zachodz potrzeba pogrupowaa dach w szereg rozdzecze, to ze wzgędu a dwa róże wmar grupowaa - a waratów da cech X waratów cech Y, otrzmuem wartośc -czebośc as da -tego waratu cech X (=,,...,) -tego waratu cech Y (=,,...,). Opsae przporządowae azwam dwuwmarowm rozładem emprczm cech (X,Y) da dae popuac. Dae pogrupowae umeszcza sę zwe w tzw. tabc oreace:
Tabca oreaca X d - g d - g... d - g d - g... d - g..................... d - g... Y Tabca... mboe d, g oraz d, g ozaczaą odpowedo doą górą gracę przedzału asowego da cech X Y. W ostatm werszu tabc oreace umeszczoe został sum czebośc wszstch as cech X da daego waratu Y, tworzące rozład emprcz cech Y w badae zborowośc, azwa tuta rozładem brzegowm te cech. Podobe w ostate oume tabc powstae rozład brzegow X. Możem też rozpatrwać rozład ede cech prz ustaoe wartośc druge, p. da częśc popuac posadaące cechę X w perwszm warace d - g ( edoste) mam rozład: Tabca Warat Y Lczebość as d - g d - g...... d - g Ta rozład azwam rozładem waruowm cech Y. Zatem w werszach tabc oreace mam rozład waruowe da cech Y, a w oumach - da cech X. Przład trutura meszań pewe spółdze meszaowe pod wzgędem weośc czb zameszuącch e osób została podaa w poższe tabe: Lp. Powerzcha użtowa (w m ) Lczba meszańców...... 7. 8. 9. 8 7 0 7. 7. 8. 9. 0..... 7 8 7 8 0 9 0.. 8. 7. 9. 8... 7. 8. 9. 0. 9 0 9 Tabca Źródło: Dae umowe Dae te pogrupowae w tabe oreace wgądaą astępuąco:
0-0 0-70 70-90 90-0 Lczba meszań Tabca Lczba osób ( ) Raze Pow. uż.( ) m 0-0 - 0-70 - 9 70-90 - 90-0 - - - Razem 7 8 0 Rsue przedstawa dae z tabe a hstograme trówmarowm: 0 Pow erzcha meszań Lczba meszańców Dae przedstawoe w przładze zdaą sę bć zaeże stochastcze, oreace. Wdać bowem, że me cze rodz zameszuą a ogół mesze meszaa. Moża sobe eda wobrazć cech zaeże oreace, ae ezaeże stochastcze, tz. posadaące stałą średą waruową mmo stote różch rozładów waruowch, p. pod wzgędem warac - da różch waratów ede cech możem otrzmwać rozład bardze rówomere ub bardze socetrowae, chocaż posadaące wcąż tą samą średą. Jeda a ogół poęca zaeżośc stochastcze oreace są ze sobą zwązae. W dasze częśc zamem sę merzeem sł współzaeżośc cech. Podstawowe mar współzaeżośc cech Podam teraz a aczęśce stosowach wsaźów merzącch słę oreac dwóch cech (współcz oreac owe Pearsoa, stosue oreac, współcz oreac rag pearmaa) oraz marę zaeżośc stochastcze - współcz zbeżośc Czuprowa. Prz badau współzaeżośc cech przmue sę zwe edą cechę za ezaeżą, tóre zmeość est uwaruowaa czam zewętrzm, a drugą za zaeżą, tz. e wahaa próbue sę waść (przame częścowo) zmeoścą cech ezaeże. Naczęśce stosowam merem współzaeżośc cech est współcz oreac owe Pearsoa (oreśa w teraturze róweż ao współcz oreac prostoowe) opart a poęcu owarac: cov, ( )( ) () cov ( ) da szeregu szczegółowego ( )( ) ( ) ub rówoważe, oraz cov, ub cov, ( )
da szeregu pogrupowaego w tabc oreace. Współcz oreac owe da est wzorem cov, r r, ( ) gdze, ozaczaą odchea stadardowe zmech X Y. Jest to, a wdać, mara smetrcza. Współcz oreac owe przmue wartośc z przedzału <-,> formue o se oraz eruu oreac owe mędz zmem, tz. r = 0 śwadcz o brau oreac owe mędz badam cecham (możwe, że stee mędz m oreaca rzwoowa!), r > 0 formue as, że mam do czea z oreacą dodatą (wraz ze wzrostem wartośc ede cech wzrasta średa waruowa druge), da r < 0 oreaca est uema (wzrostow wartośc ede cech towarzsz spade druge). Prz r = ub - mam ową zaeżość fucą, tz. =a+b. Przład W Gazece Motorzace /97 zaduą sę astępuące dae o ceach samochodów pewe mar: Tabca We atach 7 0 w Cea w ts. zł 7 7 8 Źródło: Dae umowe Obczm współcz oreac owe da podach cech. W tm przładze podao dae da = samochodów. Śred we samochodu to,8 ata, średa cea wosła,7 ts. Tabca We ( ) Cea ( ) ( )( ) ( ) ( ) 7 -,8,8 -,9, 8,0 7 7,7-7,7 -,,9, 0 8,7 -,7-8,,9, -0,8,8 -, 0,9, -,8 0,8-0,9 8,0 7, -,8 7,8 -,,, 9-0,8,8 0,8 Ja wdać w tabe, otrzmao: 9 0,8,8,, 7, cov,,,8 0,8,,79, 9,.tąd r 0, 98,,79 9, a to ozacza, że podae cech są bardzo se soreowae.powśm zatem powedzeć, ze we samochodu ma bardzo s wpłw a ego ceę. Uem za współcza oreac wsazue a to, że eś rośe we to spodzewam sę spadu ego ce. Przład Obczm teraz współcz oreac owe da dach z przładu. Tabca oreaca, uzupełoa o dae oecze do obczea, oraz cov, została przedstawoa w tabc 7.
Średe artmetcze cech a podstawe przedstawoch dach obczam ao: 80 0,7, 98, 7. 0 0 Kowaraca została obczoa wg wzoru (): cov 80 0, 0,7,7, 9 \ = ( ) ( ) 0 0-0 80-0,7 7,, 0 0-70 9 0-0,7 0,,00 80 70-90 00 9, 7,78 88,89 0 0 90-0 00 9, 7, 88, = 7 8 0 80 8,7 0 98 -,7 -,7-0,7 0,7,7 ( ),, 0,07 0, ( ), 9, 0,9, 8 7,87 0 00 80 80 0 0 00 0 0 0 80 0 Odchea stadardowe obczam, podobe a średe, a podstawe rozładów waruowch: 8,7 ( ) 0,97, 0 7,87 ( ),0. 0 I wreszce współcz oreac owe est rów: cov,,9 r r 0,. 0,97, Mam w tm przpadu cech wraźe soreowae, choć e ta se, a w poprzedm przładze. Kwadrat współcza oreac owe r azwać będzem współczem determac owe, tór podae, aa część zmeośc cech zaeże est waśoa zmeoścą cech ezaeże. Podobe wprowadzm poęce współcza determac owe ao = = - r, () tór wraża, aa część zmeośc zmee zaeże e została waśoa. W przładze mam zatem r = 0, = 0,0 = 0,70 co ozacza, że weość meszaa, merzoa ego powerzchą, zostało w 0% waśoa czbą zameszuącch e osób, a w 70% przez e przcz.
Ią marą oreac est stosue oreac (wsaź sł oreac) Pearsoa e e, azwa też współczem oreac eowe, poeważ merz o słę oreac cech ezaeże od ształtu te zaeżośc. Merz sę go da dach pogrupowach, prz czm cecha zaeża mus bć cechą merzaą. tosue oreac cech Y do X est da wzorem gdze e, (7) est waracą średch waruowch cech Y, cz ( ), ( 8) atomast est średą waruową cech Y da -tego waratu cech X, cz,,,... ( 9) est waracą ogóą cech Y. Aaogcze ostruue sę stosue e oreac X do Y. Przład W pewm przedsęborstwe stee zwąze pomędz weoścą part wrobów gotowch a osztem edostowm produc. Na podstawe obserwac z ostatch u mesęc stwerdzoo, że da part wrobów weośc 0-0 sztu śred oszt edostow wosł, zł, da part 0-0 sztu śred oszt wosł, zł, w partach o weośc 0-00, zł, w partach 00-0 szt., zł, a w partach awęszch, 0-00 sztu wrobów śred oszt edostow wosł zł. Wadomo poadto, że odchee stadardowe osztu edostowego w badam orese wosło, zł. Rozład czb part o poszczegóch czeboścach podao w poższe tabe: Weość part Lczba part o te (szt.) weośc 0-0 0-0 0-00 0 00-0 0-00 0 Źródło: Dae umowe. Oreść słę zwązu mędz weoścą part wrobów gotowch a osztem edostowm produc. Rozwązae: Obczm weość stosuu oreac. Średe waruowe osztu edostowego dae są w treśc zadaa. Na ch podstawe moża też obczć średą ogóą ao średą ważoą:,,, 0, 0 0 0 7,7 zł. Waracę średch waruowch obczm, zgode ze wzorem (8), ao: ( ) (,,7) (,,7) (,,7) 0 (,,7) (,7) 0 8,98 0,07 tosue oreac est zatem rów
e 0,07 0,09.,8 Moża w tm przpadu mówć o wraźm, choć ezbt sm zwązu oreacm. tosue oreac może przmować wartośc z przedzału <0,>. Na ogół est to mara esmetrcza, tz. e e poza dwoma przpadam: e = e = 0 (bra oreac) oraz e = e = (zaeżość fuca mędz Y a X). Istee zaeżość mędz e r : r e, ( 0) tóra stała sę podstawą do utworzea mar rzwoowośc zwązu zmech, tzw. mera rzwoowośc: m e r ( ) oczwśce, prz badau zaeżośc cech X od Y: m e r. ( ) Przład Zbadać, cz zaeżość mędz powerzchą meszaa a czbą zameszuącch e osób z przładu moża uzać za ową. Rozwązae: Obczm stosue oreac eowe e zaeżośc powerzch meszaa od czb człoów gospodarstwa domowego, a astępe weość mera rzwoowośc (m ego wartość est mesza, tm bardze zaeżość moża uzać za ową). Na podstawe tabe.8 moża obczć wartośc średch waruowch cech - powerzch meszaa da poszczegóch waratów cech czb osób. I ta, w grupe gospodarstw edoosobowch są to trz edost wszste maą powerzchę meszań w przedzae 0-0 m, zatem 0 0 0 80 0 00 0 0 W astępe grupe gospodarstw dwuosobowch średa powerzcha meszań 0 0 80 00 0 wos 0 aaogcze,87, 7,, 7,. Poeważ obczoa w przładze średa wos 0,7 zatem waracę średch waruowch obczam ao ( ) (0 0,7) (0 0,7) (,87 0,7) 7 0 (7, 0,7) 0 8 (7, 0,7) 8, 8,7 8,09 0, 9,7,98 8,7 Waraca cech a podstawe obczeń z przładu wos 9,7. 0 Zatem stosue oreac eowe aaogcze do wzoru (7) est rów e,98 9,7 0,7,
atomast mer rzwoowośc w tm przpadu m e r 0, - 0,0 0,0 poeważ est to wartość bardzo bsa zera, zaeżość z przładu moża uzać za ową. Koeą marą oreac, wgodą użteczą da ezbt długch szeregów szczegółowch z dwoma cecham merzam (ub przame posadaącm pewe atura porząde pozwaaąc a ustawee wartośc rosąco ub maeąco) est współcz oreac oeoścowe (rag) pearmaa R : N N d d R R, () gdze d są różcam mędz oem umeram (ragam) adawam w oeośc emaeące (ub erosące) osobo da ażde cech od do. Jeże a eemetów w szeregu ma taą samą wartość ede cech, to adae m sę rag będące średą artmetczą przpadaącch a te eemet rag. Wartość R aeż do przedzału <-,> mów o se oraz eruu oreac. Ostata z przedstawach tu mar, współcz zbeżośc Czuprowa est marą zaeżośc stochastcze cech. Porówue o bowem dwuwmarow rozład emprcz z rozładem uzsam a podstawe rozładów brzegowch cech załadaącm ezaeżość cech (tz. rówomerość rozładów waruowch). Kostruue sę go w oparcu o wartość testu ezaeżośc w postac: gdze ( ˆ ), ( ) ˆ ˆ est czeboścą as (,) prz teoretczm założeu ezaeżośc cech X,Y. Współcz zbeżośc Czuprowa est da wzorem T T ( )( ). ( ) Jest to mara często stosowaa da cech emerzach, da tórch trudo błob merzć zaeżość oreacą. Wmaga oa dach pogrupowach. wartośc współcza zbeżośc aeżą do przedzału T 0;
Le regres. Po ustaeu, że mędz badam cecham stee owa zaeżość oreaca, moża oszacować parametr owe fuc regres tz tae fuc, tóre wres est mescem geometrczm średch wartośc zmee zaeże prz ustaoch wartoścach zmee ezaeże. W zaeżośc od tego, tórą z badach cech uzam za zmeą ezaeżą, możem wzaczć: - fucę regres zmee zaeże (obaśae) Y prz dach wartoścach zmee ezaeże (obaśaące) X ˆ a b () - fucę regres zmee X wzgędem zmee Y. ˆ A B.(7) Współcz tch fuc oreśaą wzor: ) da fuc ˆ a b a cov, r ; b a. (8) ) da fuc ˆ A B A cov, r ; B A. (9) Wstępuące w tch rówaach współcz eruowe prostch a A azwam współczam regres. Maą oe astępuące własośc: - Wartość współcza regres w odpowedm rówau oreśa, o e edoste wzrośe ub zmaee wartość zmee zaeże, gd wartość zmee ezaeże wzrośe o edą edostę. (W etórch przpadach o e edoste będze węsza ub mesza wartość zmee zaeże, gd wartość zmee ezaeże będze węsza o edą edostę.) - Obdwa współcz regres maą edaow za, ta sam a za współcza oreac. - Współcz regres współcz oreac łącz zwąze: a A. (0) r Współcz b B maą sesową terpretacę to wted: - gd w uzasadoe stuac zmea ezaeża może przmue wartość zero - terpretaca est ogcza -wartośc zmee ezaeże a podstawe tórch szacowaśm rówae regres e są bardzo oddaoe od 0.