Zadania optymalizacyjne. Jaka jest największa możliwa wartość iloczynu dwóch liczb, których suma jest równa 60? Rozwiązanie: KROK USTALENIE WZORU Liczby oznaczamy przez a i b więc x+y=60 Następnie wyznaczamy jedną niewiadomą np. y zatem y=60 x Iloczyn tych liczb oznaczmy jako I I(x,y)=x*y, podstawiamy y i powstaje nam funkcja I(x)=x(60-x)= x + 60x Dziedzina tej funkcji xεr KROK WYZNACZENIE NAJWIĘKSZEJ WARTOŚCI Wykres funkcji I(x) jest parabolą o ramionach skierowanych w dół, zatem największa wartość iloczynu to q. obliczamy p = b a = 60 =30 obliczamy q=i(p)=i(30)= 30 + 60 30 = 900 + 800 = 900 Odpowiedź: Najwieksza wartość iloczynu jest równa 900.. Dla jakich liczb x, y ich iloczyn przyjmuje wartość najmniejszą, jeżeli różnica x-y jest równa? 3. Przedstaw liczbę 6 w postaci dwóch składników, których suma kwadratów jest najmniejsza. Rozwiązanie: Oznaczmy szukane składniki jako x i y x+y = 6 więc y=6-x Niech S będzie funkcją opisującą sumę kwadratów tych składników S(x,y)= x + y S(x) = x + (6 x) = x + 6 3x + x = x 3x + 56 Dziedzina xεr Jest to funkcja kwadratowa a jej wykresem jest parabola mająca ramiona skierowane w doł, zatem największą wartość funkcja przyjmuje w wierzchołku dla p= 3 = 8. Wynosi ona q=s(8)=8. Odpowiedź: Szukanymi liczbami są x=8 i y=8. Mamy 0 metrów bieżących siatki ogrodzeniowej. Chcemy ogrodzić prostokątny ogródek o jak największej powierzchni. Jakie wymiary powinien mieć ogródek. 5. Jakie wymiary powinien mieć prostokąt o obwodzie 6m, aby jego pole było największe? 6. Jak liczba dodana do swego kwadratu utworzy najmniejszą sumę? 7. Suma długości boku trójkąta i wysokości opuszczonej na ten bok wynosi 0 cm. Jaką długość powinien mieć bok a jaką wysokość, aby pole było największe? Oblicz maksymalne pole tego trójkąta? x+h=0 zatem h=0-x gdzie x>0 i h>0 P= xh P(x)= x(0 x) = x + 5x pole trójkąta zależy od długości boku x możemy zatem powiedzieć, że pole to jest funkcją kwadratową zmiennej x. Parabola ma ramiona w doł więc największa wartość jest równa q
Dziedzina x (0,0) Obliczamy p i q: p=5ε(0,0) q=p(5)=,5 czyli maksymalne pole wynosi,5 dla x=5 i h=0-5=5. Zadanie prowadzące do równań kwadratowych zastosowania funkcji kwadratowej.. Mamy ogrodzić prostokątną działkę, której jeden bok jest o 0 m dłuższy od drugiego, pole zaś wynosi 00 m. Jakie wymiary ma ta działka? a- Pierwszy bok b- Drugi bok Założenie: a>0 i b>0 b=a+0 a(a+0)=00 a +0a-00=0 = 00 + 800 = 900 a=30 a=-0 nie spełnia założeń, (bo długość boku nie może mieć ujemnej wartości) Obliczamy b= 30+0 Odpowiedź: Działka ma wymiary 30m x 0 m Zadania zamknięte na pracę klasową:. Największa wartość funkcji f 3( x ) 5, to: 3 5. Miejscami zerowymi funkcji f ( x )( x 6) są liczby: i 6 6 i i 6 6 i 3. Wierzchołkiem paraboli o równaniu f ( x 3) jest punkt: W (3, ) W ( 3, ) W ( 3, ) W (3, ). Dana jest funkcja f x x 3. Zbiorem wartości tej funkcji jest:, ), ) (, (, 5. Wykres funkcji f x przesunięto wzdłuż osi OX o 3 jednostki w prawo i wzdłuż osi OY o jednostki w dół. Otrzymano w ten sposób funkcję g(x) o wzorze: g ( x 3) g ( x 3) g ( x ) 3 g ( x ) 3
6. Miejscami zerowymi funkcji kwadratowej f są liczby - i 6. Wobec tego osią symetrii wykresu funkcji f jest prosta o równaniu: y x 0 x x 3 7. Do paraboli f x x 3 należy punkt: A (, ) A (, ) A (, ) A (, ) 8. Zbiorem rozwiązań nierówności ( x 3)( x) 0 jest zbiór: (3, ) 9. Równanie ( x ) 6 (, 3), 3,, 3, nie ma rozwiązania ma dwa rozwiązania ma jedno rozwiązanie ma cztery rozwiązania 0. Jeżeli funkcja a f ax x ma dokładnie jedno miejsce zerowe, to: a a. Funkcją kwadratową rosnąca w przedziale (, 3 jest funkcja określona wzorem: a f ( x 3) f ( x 3) f 3( x 3) f 3( x 3). Liczba jest miejscem zerowym funkcji: g ( x ) g (x ) g 5(0x 5) g 8(8x ) 3. Funkcja f 5( x 5)( x 5) dla argumentu x 5 przyjmuje wartość: 00 5 5 5 50. Która z podanych liczb jest miejscem zerowym funkcji f ( x 3)? 3 3 5. Miejscami zerowymi funkcji g x( x ) są liczby: i 0 i i 0 i 6. Parabola o równaniu y 3( x 3) 3 przecina oś OY w punkcie: A ( 0, 30) A ( 0, ) A (0, 6) A (0, ) 7. Początek układu współrzędnych nie jest wierzchołkiem paraboli y x y 0,5x y x x y 7x
8. Wierzchołkiem paraboli o równaniu y 6x 6 jest punkt: W ( 6, 6) W ( 0, 6) W (6,0) W (0, 6) 9. Suma odległości wierzchołka paraboli o równaniu y ( x 5) 3 od osi układu współrzędnych jest równa: 3 8 5 0. Funkcja f x 9 najmniejszą wartość przyjmuje dla argumentu: 9 3 0 9 f x 5 największą wartość przyjmuje dla argumentu:. Funkcja 6 6 5 5 6. Najmniejsza wartość funkcji f x 6 jest równa: 6 0 3. W przedziale ( 0; ) zawiera się zbiór wartości funkcji: f 3x x f f 5x 6 f 7x 8. Największą liczbą całkowitą nie należącą do zbioru wartości funkcji h ( x 7) 8 jest: 9 8 7 6 5. Jeżeli zbiorem wartości funkcji f ax 6x jest przedział ( ; 0, to: a 9 a, 5 a a 0 6. Funkcja f x jest malejąca w przedziale: (, ) ( ; (, 0 (, f x 3 jest rosnąca w przedziale: 7. Funkcja 3; ) ( ; (, 3 ; ) 8. Funkcja kwadratowa g dla argumentów i przyjmuje tę samą wartość. Wobec tego osią symetrii wykresu funkcji g jest prosta o równaniu: x 0 x x 5 x 7 9. Miejscami zerowymi funkcji f x bx c są liczby 3 i. Wskaż postać iloczynową funkcji f. f ( x 3)( x ) f ( x 3)( x ) f ( x 3)( x ) f ( x 3)( x ) 30. Punkty A (0, 6), B (, 0), C (, 0) należą do wykresu funkcji kwadratowej f. Wobec tego funkcja f określona jest wzorem:
f ( x )( x 6) f 3( x )( x ) f ( x )( x ) f 3( x )( x ) 3. Funkcja f 8( x 7)( x 6) przyjmuje wartości dodatnie dla argumentów: x ( ; 7) x ( ; 6) x ( 7; 6) (6; 7) 3. Pierwiastkami równania ( 8x )(0x ) 0 są liczby: i 0,5 i 0, 0,5 i 0, i 33. Największą liczbą spełniającą równanie x x 6 0 jest: 3 6 3. Jeżeli od większego rozwiązania równania rozwiązanie, to otrzymamy liczbę: x 8 0 odejmiemy jego mniejsze 0 35. Wskaż równanie, którego rozwiązania są liczbami przeciwnymi. ( x )( x ) 0 ( x )( x ) 0 ( x )(x ) 0 ( x )(x ) 0 36. Równanie x 8x c 0 ma dokładnie jedno rozwiązanie, więc: c 0 c 37. Rozwiązaniem nierówności ( x 5) 0 nie jest liczba: c c 8 6 8 0 5 5 5 38. Zbiorem rozwiązań nierówności x 9x jest przedział: (, 9) ( 0; 9) (, 0) (9; ) ( 3; 3) 39. Wskaż nierówność, której zbiorem rozwiązań jest przedział ; ( x )( x ) 0 ( x )( x) 0 ( x )( x) 0 ( x )( x ) 0 Zrodlo: internet Zadania maturalne z funkcji kwadratowej można znaleźć na stronie: https://www.matemaks.pl/matura-podstawowa-z-matematyki-kurs-funkcja-kwadratowa.html dla zainteresowanych : tegoroczna matura: https://www.matemaks.pl/matura-07-maj.html