Algebra liniowa z geometrią analityczną

Podobne dokumenty
Teoria liczb. Magdalena Lemańska. Magdalena Lemańska,

Dr inż. Robert Wójcik, p. 313, C-3, tel Katedra Informatyki Technicznej (K-9) Wydział Elektroniki (W-4) Politechnika Wrocławska

Przykładowe zadania z teorii liczb

Wykład 4. Określimy teraz pewną ważną klasę pierścieni.

1. Wykład NWD, NWW i algorytm Euklidesa.

σ-ciało zdarzeń Niech Ω będzie niepustym zbiorem zdarzeń elementarnych, a zbiór F rodziną podzbiorów zbioru Ω spełniającą warunki: jeśli A F, to A F;

Wykład1. Elementy logiki matematycznej i teorii mnogości.

Kongruencje i ich zastosowania

Matematyka dyskretna

Matematyka dyskretna

Kongruencje oraz przykłady ich zastosowań

Wybrane zagadnienia teorii liczb

Matematyka dyskretna

Pierwiastki pierwotne, logarytmy dyskretne

Zestaw 2. Definicje i oznaczenia. inne grupy V 4 grupa czwórkowa Kleina D n grupa dihedralna S n grupa symetryczna A n grupa alternująca.

Wykład 1. Na początku zajmować się będziemy zbiorem liczb całkowitych

Twierdzenie Eulera. Kongruencje wykład 6. Twierdzenie Eulera

Teoria liczb. Zajmuje się własnościami liczb, wszystkim całkowitych

Kongruencje pierwsze kroki

Logarytmy. Funkcje logarytmiczna i wykładnicza. Równania i nierówności wykładnicze i logarytmiczne.

Algorytmy w teorii liczb

Finanse i Rachunkowość studia niestacjonarne Wprowadzenie do teorii ciągów liczbowych (treść wykładu z 21 grudnia 2014)

KONGRUENCJE. 1. a a (mod m) a b (mod m) b a (mod m) a b (mod m) b c (mod m) a c (mod m) Zatem relacja kongruencji jest relacją równoważności.

Funkcje arytmetyczne. Funkcje arytmetyczne

LICZBY PIERWSZE. 14 marzec Jeśli matematyka jest królową nauk, to królową matematyki jest teoria liczb. C.F.

7. CIĄGI. WYKŁAD 5. Przykłady :

MADE IN CHINA czyli SYSTEM RESZTOWY

Paweł Gładki. Algebra. pgladki/

Analiza matematyczna. 1. Ciągi

Paweł Gładki. Algebra. pgladki/

2. Liczby pierwsze i złożone, jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze, największy wspólny dzielnik, najmniejsza wspólna wielokrotność.

Matematyka dyskretna. Wykład 2: Kombinatoryka. Gniewomir Sarbicki

Matematyka Dyskretna Zestaw 2

Analiza B. Paweł Głowacki

Podstawowe struktury algebraiczne

Teoria. a, jeśli a < 0.

Zegar ten przedstawia reszty z dzielenia przez 6. Obrazuje on jak kolejne liczby można przyporządkować do odpowiednich pokazanych na zegarze grup.

Podstawy rachunku prawdopodobieństwa (przypomnienie)

PROCENTY, PROPORCJE, WYRAŻENIA POTEGOWE

Elementy teorii liczb. Matematyka dyskretna

Zasada indukcji matematycznej

Grupy, pierścienie i ciała

RACHUNEK PRAWDOPODOBIEŃSTWA WYKŁAD 5.

Zadania do samodzielnego rozwiązania

i = n = n 1 + n 2 1 i 2 n 1. n(n + 1)(2n + 1) n (n + 1) =

Jarosław Wróblewski Matematyka Elementarna, zima 2015/16

A i A j lub A j A i. Operator γ : 2 X 2 X jest ciągły gdy

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c,

1 Działania na zbiorach

Jeśli lubisz matematykę

Wykład 7. Informatyka Stosowana. 21 listopada Informatyka Stosowana Wykład 7 21 listopada / 27

( ) + ( ) T ( ) + E IE E E. Obliczanie gradientu błędu metodą układu dołączonego

Ciała i wielomiany 1. przez 1, i nazywamy jedynką, zaś element odwrotny do a 0 względem działania oznaczamy przez a 1, i nazywamy odwrotnością a);

Ciała skończone. 1. Ciała: podstawy

Kodowanie i kompresja Streszczenie Studia Licencjackie Wykład 15, Kryptografia: algorytmy asymetryczne (RSA)

1. Liczby wymierne. x dla x 0 (wartością bezwzględną liczby nieujemnej jest ta sama liczba)

Relacje. opracował Maciej Grzesiak. 17 października 2011

Kongruencje twierdzenie Wilsona

Zastosowanie teorii liczb w kryptografii na przykładzie szyfru RSA

Funkcja kwadratowa. f(x) = ax 2 + bx + c = a

Matematyka Dyskretna - zagadnienia

Notatki z Analizy Matematycznej 2. Jacek M. Jędrzejewski

Kongruencje. Beata Łojan. Koło Naukowe Matematyków Uniwersytetu Śląskiego w Katowicach.

WYMAGANIA Z WIEDZY I UMIEJĘTNOŚCI NA POSZCZEGÓLNE STOPNIE SZKOLNE DLA KLASY 3g. zakres rozszerzony

1. Określenie pierścienia

LX Olimpiada Matematyczna

Kodowanie i kompresja Streszczenie Studia Licencjackie Wykład 14, Kryptografia: algorytmy asymetryczne (RSA)

Indukcja matematyczna. Zasada minimum. Zastosowania.

1 Określenie pierścienia

Rozdział 5. Szeregi liczbowe. 5.1 Szeregi liczbowe. Definicja sumy częściowej ciągu. Niech dany będzie ciąg liczbowy (a n ) n=1.

Wykład 8. Informatyka Stosowana. 26 listopada 2018 Magdalena Alama-Bućko. Informatyka Stosowana Wykład , M.A-B 1 / 31

Sumy kolejnych bikwadratów

1. Liczby zespolone. Jacek Jędrzejewski 2011/2012

Kongruencje. Sławomir Cynk. 24 września Nowy Sącz. Instytut Matematyki Uniwersytetu Jagiellońskiego

Jednoznaczność rozkładu na czynniki pierwsze I

Algorytmy i struktury danych. Wykład 4

Wykład 4 Przebieg zmienności funkcji. Badanie dziedziny oraz wyznaczanie granic funkcji poznaliśmy na poprzednich wykładach.

Wzory skróconego mnożenia w zadaniach olimpijskich

Wybrane rozkłady zmiennych losowych i ich charakterystyki

Teoria miary. WPPT/Matematyka, rok II. Wykład 5

LICZBY POWTÓRKA I (0, 2) 10 II (2, 5) 5 III 25 IV Liczba (0, 4) 5 jest równa liczbom A) I i III B) II i IV C) II i III D) I i II E) III i IV

Uwaga 1.1 Jeśli R jest relacją w zbiorze X X, to mówimy, że R jest relacją w zbiorze X. Rozważmy relację R X X. Relację R nazywamy zwrotną, gdy:

E-learning - matematyka - poziom rozszerzony. Funkcja wykładnicza. Materiały merytoryczne do kursu

Daniela Spurtacz, klasa 8W, rok szkolny 2018/2019

Rozdział 4. Ciągi nieskończone. 4.1 Ciągi nieskończone

Liczby zespolone. x + 2 = 0.

Projekt AS KOMPETENCJI jest współfinansowany przez Unię Europejską w ramach środków Europejskiego Funduszu Społecznego

Pierścień wielomianów jednej zmiennej

KLUCZ PUNKTOWANIA ODPOWIEDZI

2. LICZBY RZECZYWISTE Własności liczb całkowitych Liczby rzeczywiste Procenty... 24

WYRAŻENIA ALGEBRAICZNE

Największy wspólny dzielnik Algorytm Euklidesa (także rozszerzony) WZAiP1: Chińskie twierdzenie o resztach

domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów

Analiza 1, cze ść druga

W. Guzicki Zadanie IV z Informatora Maturalnego poziom rozszerzony 1

Sumy kwadratów kolejnych liczb naturalnych

Dystrybucje, wiadomości wstępne (I)

Kryteria ocen z matematyki w klasie I gimnazjum

Rozdział 2. Liczby zespolone

Informacja o przestrzeniach Sobolewa

Transkrypt:

WYKŁAD. Własności zbiorów liczbowych. Podzielność liczb całowitych, relacja przystawania modulo, twierdzenie chińsie o resztach. Liczby całowite Liczby 0,±,±,±3,... nazywamy liczbami całowitymi. Zbiór wszystich liczb o całowitych oznaczamy przez Z. Liczbami naturalnymi nazywamy zbiór liczb całowitych dodatnich:,, 3,..., i oznaczamy przez N. Własnościami liczb całowitych zajmuje się Teoria Liczb - najstarsza, obo Geometrii, dyscyplina matematyczna. Wiele najtrudniejszych, dotąd jeszcze nierozwiązanych problemów matematycznych wywodzi się właśnie z Teorii Liczb. Obecnie przypomnimy i pogłębimy szereg zagadnień dotyczących liczb całowitych, a taże przedstawimy ila najważniejszych problemów, woół tórych oncentruje się atualny nurt badań. Algorytm Eulidesa Pierwszego w historii matematyi algorytm, to właśnie Algorytm Eulidesa. Służy on do znajdowaniu najwięszego wspólnego dzielnia dwóch liczb naturalnych. Definicja Niech d i n będą liczbami naturalnymi. Mówimy, że d dzieli n jeśli istnieje taa liczba naturalna, że n = d. Liczbę d nazywamy wówczas dzielniiem liczby n. Przyład 6 dzieli 4 ponieważ 8 = 6 4. Natomiast 6 nie dzieli 0 ponieważ równanie 0 = 6 nie ma rozwiązań w liczbach naturalnych. Fat podzielności liczby n przez d zapisujemy jao d n. Uwaga Każda liczba naturalna n ma sończoną liczbę różnych dzielniów. Oznaczamy ją przez τ (n). Na przyład, τ(0) = 6 ponieważ 0 ma sześć różnych dzielniów:,, 4, 5, 0, 0. /6

Liczbę dzielniów danej liczby n możemy odczytać z następującego Diagramu Leibniza: Liczba gwiazde widniejących nad n to liczba jej dzielniów τ (n). Twierdzenie. (O dzieleniu z resztą) Dla dowolnych liczb całowitych n i d, przy czym d > 0, istnieje doładnie jedna para liczb całowitych q i r taa, ze n = dq + r, 0 r < d. Liczbę q nazywamy ilorazem, a r resztą z dzielenia n przez d. Przyład. Jeśli n = 5 i d = 7, to q = 3 i r = 4 ponieważ 5 = 7 3 + 4, 0 4 < 7. Jeśli n = 5 i d = 7, to q = 4 i r = 3, ponieważ 5 = 7 ( 4) + 3, 0 3 < 7. Definicja. Najwięszym wspólnym dzielniiem liczb naturalnych m i n nazywamy najwięszą liczbę naturalną dzielącą jednocześnie m i n. Oznaczamy ją przez (m, n). Na przyład, (00, 770) = 54 ponieważ 54 dzieli zarówno liczbę 00 ja i 770 i jest najwięszą liczbą naturalną o tej własności. Opiszemy teraz zasadę działania Algorytmu Eulidesa, pozwalającego dla zadanych liczb naturalnych m i n znaleźć ich najwięszy wspólny dzielni NWD (m, n). Przypuśćmy, że m n. W pierwszym rou wyonujemy dzielenie m przez n i otrzymujemy, zgodnie z twierdzeniem o dzieleniu z resztą iloraz q i resztę r m q n dla 0 r n. r /6

Jeżeli r 0, to możemy wyonać drugie dzielenie n przez r, tóre daje drugi iloraz q i drugą resztę r : m qn r dla 0 r r. Jeżeli ponownie r 0, to dzielimy znowu r przez r i dostajemy iloraz q 3 i resztę r 3 spełniające waruni Jest jasne, że w ońcu otrzymamy r 0 dla pewnego naturalnego, ponieważ ciąg liczb całowitych r r r... jest z malejący i ograniczony z dołu przez 0. 3 Twierdzimy teraz, że jeżeli r 0, to NWD(m, n) = r W istocie, wystarczy zauważyć, że równość m = nq + r pociąga za sobą równość NWD(m, n) = (q, r). Stosując to spostrzeżnie do olejnych równości otrzymamy NWD (m, n) = ( r, r ) r. Przyład Niech m = 00 a n = 770. Powtarzając dzielenie z resztą na olejnych parach dostajemy ciąg równości: 00 = 770 + 46, 770 = 46 + 308, 46 = 308 + 54, 308 = 54. Zatem, NWD(00, 770) = 54. Algorytm Eulidesa pozostaje wciąż jedną z najbardziej efetywnych metod wyznaczania najwięszego wspólnego dzielnia. Algorytm Eulidesa ma zastosowanie w bujnie rozwijającej się ostatnio Kryptografii dziedzinie zajmującej się szyfrowaniem informacji. 3/6

Liczby pierwsze Każda liczba naturalna n > posiada, co najmniej dwa różne dzielnii, i n. Definicja Liczbę p > nazywamy liczbą pierwszą, jeżeli i p są jedynymi jej dzielniami. Liczbę naturalną n >, tóra nie jest pierwszą nazywamy liczbą złożoną. Liczby pierwsze możemy rozpoznać w Diagramie Leibniza, jao te, nad tórymi świecą doładnie dwie gwiazdi. Twierdzenie (Eulides) Liczb pierwszych jest niesończenie wiele. Dowód. Przypuśćmy, że p = < p = 3 <... < pr są wszystimi liczbami pierwszymi. Przyjmijmy P = pp...pr + i niech p będzie dzielniiem pierwszym liczby P. Wtedy liczba p nie może być z żadną z liczb pi, gdyz w przeciwnym razie, dzieliłaby różnicę P pp...pr =, co jest niemożliwe. Zatem p, p,..., pr nie są wszystimi liczbami pierwszymi. Twierdzenie Odstępy pomiędzy olejnymi liczbami pierwszymi mogą być dowolnie duże. Proof. W istocie, niech n będzie liczbą naturalną Rozważmy ciąg n olejnych liczb naturalnych n! +, n! + 3,..., n! + n. Ponieważ żadna z nich nie moż być liczbą pierwszą, twierdzenie jest udowodnione. Znacznie trudniej udowodnić prawdziwość następującego twierdzenia, znanego jao Postulat Bertranda. Twierdzenie (Postulat Bertranda) W ażdym przedziale [n, n], n =,,...znajduje się liczba pierwsza. A jeszcze trudniejsze są dowody słynnego Twierdzenia Dirichleta czy Twierdzenia o Liczbach Pierwszych. Twierdzenie 5. (Twierdzenie Dirichleta) Jeżeli (a, b) =, to ciąg arytmetyczny an + b, n = 0,,,... zawiera niesończenie wiele liczb pierwszych. Twierdzenie (Twierdzenie o Liczbach Pierwszych) Niech π(n ) oznacza liczbę liczb pierwszych w przedziale [,N]. Wówczas 4/6

Podstawowe Twierdzenie Arytmetyi Twierdzenie Każda liczba całowita n > rozłada się na iloczyn liczb pierwszych n... p p p t, gdzie p p... pt są liczbami pierwszymi Zauważmy, że jeżeli n = ab, to liczby a i b nie mogą być jednocześnie więsze od n. Stąd wynia, że dowolna liczba złożona n posiada dzielni pierwszy nieprzewyższających n. Rozład liczby na iloczyn potęg różnych liczb pierwszych p (.) n p p..., gdzie p p... p i i 0, dla i,,3,..., nazywamy rozładem anonicznym liczby n Twierdzenie (Podstawowe Twierdzenie Arytmetyi) Rozład anoniczny liczby całowitej n > jest jednoznaczny. Na przyład, 00 = 7 3 jest jedynym możliwym rozładem anonicznym liczby 00. Podobnie, 5! = 80 658 75 70 943 878 57 660 636 856 403 766 975 89 505 440 883 77 84 000 000 000 000 = 493357843473939 3 37 4 43 47. Funcja Eulera. Niech N będzie liczbą naturalną. Symbolem ϕ(n) oznaczamy liczbę niesracalnych ułamów właściwych o mianowniu N. Na przyład, ϕ(8) = 6, bo istnieje doładnie 6 taich ułamów o mianowniu 8: 5, 8 8 7, 8 Funcja N ϕ(n) nosi nazwę Funcji Eulera. Tabela początowych wartości funcji Eulera: 3 7,,, 8 8 8 5/6

N 3 4 5 6 7 8 9 0 3 4 5 6 7 8 ϕ(n) 4 6 4 6 4 0 4 6 8 8 6 6 Wartość ϕ(n ) zależy od rozładu liczby N na czynnii pierwsze. Na przyład, jeżeli N = p jest liczbą pierwszą, to ϕ(p) = p. Ogólnie, jeśli liczba pierwsza p dzieli N, to należy pominąć wszystie ułami, tórych liczni dzieli się przez p. Ta obserwacja pozwala na znalezienie wzoru na funcję ϕ(n). Twierdzenie Niech N p p... p N na czynnii pierwsze. Wówczas r r ( N) N( )( )...( ). p p p będzie anonicznym rozładem liczby r Wzór powyższy można zapisać w postaci równoważnej. ( N) ( p r r p )( p p )...( pr pr ) Przyład Obliczymy wartość funcji Eulera dla N = 00. Ponieważ 00 = 7 3, więc, na mocy wzoru powyżej mamy ϕ(00) = 6 0 = 70. Wniose. Dla dowolnych liczb całowitych dodatnich M, N taich, że NWD (M, N) = zachodzi wzór ϕ(mn) = ϕ(m)ϕ(n ). Funcja Eulera posiada jeszcze wiele innych cieawych własności, tóre poznamy w dalszym ciągu. 6/6