Unwersytet Warszawsk Wydzał Nauk Ekonomcznych Joanna Dys Nr albumu: 996 Tropol jako gra konkurencyjna kooperacyjna Praca lcencjacka na kerunku: Ekonoma Praca wykonana pod kerunkem dra Maceja Sobolewskego z Zakładu Mkroekonom WNE UW Warszawa, serpeń 008
Streszczene Praca obejmuje teorogrowe modele tropolu, rozpatrywane jako zagadnena konflktu współpracy. Zanalzowane zostaną kolejno: nekooperacyjny model olgopolu Cournota, gra Stackelberga, powstała przez zawązane porozumena dwóch przedsęborstw przecwko trzecemu oraz monopol utworzony przez welką koalcję wszystkch graczy. W dalszej częśc pracy przedstawony będze problem podzału zysków mędzy graczy propozycje jego rozwązana, oparte zarówno na zewnętrznym arbtrażu, jak na analze przetargu mędzy koalcjantam. Słowa kluczowe teora ger, tropol, kooperacja, sprawedlwy podzał, olgopol Cournota, duopol Stackelberga Dzedzna pracy (kody wg programu Socrates-Erasmus) Ekonoma (400) Klasyfkacja tematyczna
SPIS TREŚCI WPROWADZENIE... 4 ROZDZIAŁ I. Tropol jako gra nekooperacyjna... 6..Model... 6.. Równowaga nekooperacyjna Cournota-Nasha... 7 ROZDZIAŁ II. Kooperacja warunk jej powstana..... Koalcje dwustronne równowaga w duopolu Stackelberga..... Warunk powstana koalcj dwóch producentów... 8.. Welka koalcja... 9 ROZDZIAŁ III. Gra koalcyjna podzał zysków..... Problemy z podzałam..... Funkcja charakterystyczna rdzeń gry... 4.. Wartość Shapleya gry wypukłe... 8.4. Nukleolus punkt Gately'ego....4. Prosty przykład lczbowy - różne podzały zysków... 6 PODSUMOWANIE... 9 BIBLIOGRAFIA... 40 ZESTAWIENIE SPISÓW... 4 ZAŁĄCZNIKI... 4
WPROWADZENIE Teora ger, czyl matematyczna teora strategcznych zachowań, od momentu powstana staje sę coraz ważnejszym narzędzem w analze zagadneń bologcznych, poltycznych, społecznych, ale przede wszystkm ekonomcznych. Za początek rozwoju tej dzedzny uważa sę publkacje Johna von Neumanna w latach dwudzestych XX weku, zweńczone wydanem w 944 roku razem z Oskarem Morgensternem ksążk Teora ger zachowana ekonomcznego. Kolejne publkacje, wśród których wymenć należy przede wszystkm te autorstwa Johna Nasha, Lloyda Shapleya, Roberta Aumanna Johna Harsany ego, wprowadzły następne pojęca zagadnena, tworząc teorę, jaką znamy dzś. Zagadnene konkurencj mędzy producentam na rynku olgopolstycznym to jeden z najbardzej podstawowych, ale ważnych problemów ekonomcznych, których analzę umożlwła teora ger. Już w 88 roku, ponad 80 lat przed ksążką von Neumanna Morgensterna, francusk matematyk Antone Augustn Cournot w swojej publkacj Badana nad zasadam matematycznym teor bogactwa stworzył perwszy model duopolu. Równowaga przez nego wówczas wyznaczona tworzy - równeż w tej pracy - bazę punkt odnesena do dalszych rozważań na temat olgopol. Wraz z początkem rozważań ger koalcyjnych pojawły sę kolejne zagadnena przede wszystkm pytane, jake warunk muszą powstać, by racjonaln gracze wyberal współpracę zamast konkurencj, a także problem podzału dodatkowych zysków mędzy koalcjantów. W swojej pracy postaram sę zanalzować wszystke z powyżej wymenonych kwest w przypadku jednego z najmnejszych olgopol tropolu. Praca składa sę z trzech rozdzałów, które dzelą ją na dwe częśc. Perwsza, łatwejsza, dotyczy równowag w grze nekooperacyjnej stanow punkt wyjśca do częśc drugej, w której badam zachowane graczy przy wprowadzenu możlwośc współpracy. W rozdzale perwszym znajduje sę sformułowane modelu, wykorzystywanego do dalszych badań, ops równowag Cournota-Nasha w warunkach ndywdualnego podejmowana decyzj. Opszę mędzy nnym, jak kształtuje sę pozom produkcj zysków, w zależnośc od kosztów trzech frm. W częśc drugej, obejmującej rozdzał drug trzec, analzuję możlwośc koalcyjne graczy, ch wypłaty w grze kooperacyjnej przesłank, które małyby skłonć ch do porozumena. Rozważam wówczas model Stackelberga, w którym koalcja odgrywa zawsze rolę ldera zastanawam sę, jak na równowagę wpłyne wprowadzene 4
ogranczeń produkcyjnych. Omówę też pokrótce możlwośc powstana welkej koalcj, uzyskanej przez porozumene wszystkch trzech frm. Głównym celem najważnejszym wynkem rozdzału drugego jest wyznaczene warunków, przy których współpraca jest zawsze opłacalna. W końcu, w rozdzale trzecm, opszę zbadam możlwe koncepcje podzału bogactwa w koalcj. Polemzując z klasycznym punktem wdzena, postaram sę zdefnować funkcję charakterystyczną gry koalcyjnej. Następne przedyskutuję, w oparcu o lteraturę, różne koncepcje podzału, oparte bądź na pewnym pojęcu sprawedlwośc, bądź też mogące być wynkem przetargu pomędzy graczam. Pracę zakończy przykład lczbowy rozgrywk tropolstycznej. Poneważ praca jest z założena badawcza, lteratura została ogranczona do ksążek z ogólnej teor ger, z których czerpę właścwe defncje pojęca. Należy jednak wspomneć, że zagadnene równowag Cournota-Nasha w n-osobowym olgopolu zostało już zbadane rozwązane. Swoje wynk porównuję z tym uzyskanym przez Gbbonsa przy użycu analogcznego modelu. Przy defnowanu gry kooperacyjnej jej funkcj charakterystycznej, nspracją były dla mne prace The Core of a Cooperatve Game Wthout Sde Payments Roberta Aumanna oraz Endogenous Coalton Formaton n Cooperatve Olgopoles Roby'ego Rajana, ze szczególnym nacskem na tą ostatną. W rozważanach na temat możlwych podzałów zysków koalcyjnych operam sę przede wszystkm na ksążce H. Peytona Younga, dostępnej w Polsce pod tytułem Sprawedlwy podzał. Autor analzuje rozmate teorogrowe, jak hstoryczne bądź relgjne koncepcje dystrybucj dóbr w sytuacjach dużo ogólnejszych nż ta prezentowana w ponższej pracy. Ogranczę sę zatem tylko do tej częśc prezentowanych przez nego de, która może meć zastosowane w modelu olgopolu. Podzękowana Chcałabym szczególne podzękować panu doktorow Marcnow Malawskemu z Instytutu Podstaw Informatyk Państwowej Akadem Nauk, który perwszy zwrócł moją uwagę na zagadnene olgopolu. Dzęk jego krytycznym uwagom udało m sę unknąć welu błędów neścsłośc. Wyrazy wdzęcznośc za opekę nad pracą keruję równeż do mojego promotora, doktora Maceja Sobolewskego. Robert Gbbons. Game Theory for Appled Economsts. Prnceton 99. Korzystałam z wersj angelskej: Peyton H. Young. Euty. In theory and practce. Prnceton 994. 5
ROZDZIAŁ I. Tropol jako gra nekooperacyjna Najmnejsza forma olgopolu - duopol została szeroko omówona w lteraturze, jako najprostszy przykład, wprowadzający do model rynkowych ger n-osobowych. W tej pracy zajmę sę następnym w kolejnośc komplkacj modelem olgopolu konkurencją trzech przedsęborstw. Zauważmy, że to proste przejśce z gry dwu- do trzyosobowej znaczne poszerza nam możlwośc kooperacj w tropolu dopuszczalne są umowy zarówno mędzy dowolną parą producentów, jak współpraca wszystkch trzech przedsęborstw jednocześne... Model Za bazę do rozważań posłuży nam prosty model tropolu Cournota. Zbadamy sytuację, w której trzy frmy produkujące jednorodny produkt zdomnowały rynek do tego stopna, ż ch decyzje produkcyjne mają wpływ na cenę rynkową. Każdy gracz wybera swoją strategę welkość produkcj, czyl lość dostarczanego na rynek dobra. Nech oznacza produkcję -tej frmy, przy czym [ 0, ) dla {,,} Q= + + opsuje. Wówczas łączną podaż na rynku, zdomnowanym przez trzech graczy. Ponadto przez Q =Q = j+k dla { } {,, } \{ } j,k = będzemy rozumeć produkcję "konkurentów" - tego przedsęborstwa, nnym słowy sumę welkośc produkcj dwóch frm poza -tą. Frmy, określając welkość podaży, muszą wząć pod uwagę egzogenczną funkcję popytu. Rozważamy rynek na dobro normalne, a węc chęć zakupena produktu maleje wraz ze wzrostem ceny. Poneważ producenc chcą zbadać, jak ch decyzje podażowe wpłyną na cenę, wygodnej będze rozpatrywać odwrotną funkcję popytu. Dla uproszczena rachunków, przyjmjmy, że zależność ceny od lośc jest lnowa: aq + b% ~ a> 0, b > 0 cena( losc ) = p ( Q ) = Współczynnk a reprezentuje odwrotność krańcowej skłonnośc do zakupu kolejnej jednostk produktu, przy zwększenu ceny o. Zakładamy, że mamy popyt na dobro normalne, a węc popyt ne jest doskonale elastyczny. Stąd pojawa sę założene, że a > 0. Dzęk temu możemy uproścć wygląd podanej funkcj, przez unormowane jej, dzeląc przez Zanteresowanych odsyłam np. do ksążk: Marcn Malawsk, Andrzej Weczorek, Honorata Sosnowska. Konkurencja kooperacja. Teora ger w ekonom naukach społecznych. Warszawa 00. 6
dodatn współczynnk a. Odpowada to sytuacj, gdy zmenamy walutę na rynku, tak, aby względem nowej jednostk płatnczej, cena dobra wynosła. Otrzymujemy zatem postać: Q+b gdze b = b ~ / a p ( Q ) = Przyjmemy równeż, że dla każdej z frm funkcja kosztów, jest, podobne jak funkcja ceny, lnowa. Nech c oznacza koszt krańcowy produkcj jednej jednostk produktu w -tej frme (po ewentualnym przemnożenu przez postać funkcj: ( ) ( ) koszt produkcja - tej frmy = c = c / a ). Wówczas możemy przyjąć uproszczoną {,,} Ta prosta forma uzasadnona jest obserwacją, że konstruując funkcję kosztu można pomnąć koszty stałe. Ne będą one mały wpływu na welkośc produkcj wyberane przez producentów, a wprowadzene ch do modelu tylko nepotrzebne pomnażałoby lość zmennych. Analogczne jak dla produkcj, oznaczmy przez C = c j + ck dla { j, k } = {,, } \{ } sumę kosztów konkurentów -tej frmy. Rozważamy model tropolu asymetrycznego, co oznacza, że koszty produkcj trzech frm ne muszą być dentyczne. Dla ustalena uwag przyjmjmy, że c c c czyl najnższe koszty ma perwsza frma, następne druga trzeca. Warto zauważyć, że aby frmy decydowały sę na produkcję, b mus być dodatne wększe od c. W przecwnym bowem wypadku krańcowy zysk z wejśca na rynek (reprezentowany przez welkość ( b c) ) byłby ujemny. Ważnym elementem bez którego model Cournota ne małby racj bytu, jest założene o kompletnej nformacj racjonalnośc graczy. Oznacza to, że każde z przedsęborstw zna strukturę gry, postać funkcj ceny koszty swoje oraz pozostałych frm, a także jest śwadome, ż przecwncy dysponują tym samym nformacjam. Zakładamy także, że gracze są racjonaln, a ch celem jest maksymalzacja własnego zysku, a ne np. mnmalzacja zysku konkurentów... Równowaga nekooperacyjna Cournota-Nasha. Zgodne z założenam modelu, trzy frmy podejmują decyzje dotyczące welkośc produkcj jednocześne. Każdy z graczy ndywdualne wybera lość dostarczanego na rynek 7
towaru, chcąc ustalć pozom maksymalzujący zysk. Przychód ze sprzedaży jest funkcją ceny rynkowej, tak węc profty każdej z frm zależą ne tylko od jej własnej produkcj, ale także od decyzj pozostałych graczy. Możemy zatem wyrazć zysk -tej frmy wzorem: ( ) ( ) ( ) π =p Q c = Q+b c Frmy podejmują decyzję, szukając najlepszej odpowedz na strategę przecwnka. Jednocześne, jako racjonaln gracze wedzą, że przecwncy postępują analogczne. Każda frma może, przez maksymalzację swojej funkcj zysku, wyznaczyć krzywą 4 najlepszych odpowedz, zależną od egzogencznego pozomu produkcj przecwnków jest to możlwe dzęk lnowośc popytu kosztów. Funkcja zysku jest dwukrotne różnczkowalna wklęsła, zatem przyjmuje maksmum tam, gdze pochodna jest równa zeru. Krzywa najlepszej odpowedz dla gracza wobec łącznej strateg konkurentów Q ma zatem postać: π b c Q =0 = Punkt przecęca trzech krzywych najlepszych odpowedz wyznacza równowagę. Warunek maksymalzacj przy jednoczesnym podejmowanu decyzj przez trzy frmy można zatem sprowadzć do układu równań: π = 0 π = 0 gdze,, 0 π = 0 Powyższy warunek równowag wyznaczył francusk matematyk Augustn Cournot już w 88 roku, najperw dla ogólnej postac gry duopolstycznej, a następne uogólnając otrzymane wynk na symetryczny model n-osobowego olgopolu. Cournot perwszy uzasadnł równeż stablność powyższej równowag. W 950 roku John Forbes Nash sformułował defncję dużo ogólnejszą, ale równeż opartą na koncepcj stablnośc. Określona przez nego równowaga w warunkach ndywdualnego podejmowana decyzj, nazywana jest od tej pory jego menem. Zgodne z defncją Nasha, punktem równowag gry n-osobowej nazwemy n-tkę, dla której wypłata każdego z graczy jest optymalna przy 4 Słowo 'krzywa' jest tu umowne podyktowane tradycją nomenklatury ekonomcznej. Ne należy traktować tego termnu dosłowne. W rzeczywstośc w powyższym przypadku wykres wyznaczający zbór najlepszych odpowedz jest dwuwymarową podprzestrzeną afnczną. Punkt wspólny trzech podprzestrzen wyznacza równowagę Cournota-Nasha. 8
nezmenonych strategach jego przecwnków 5. Konstrukcja warunku równowag Cournota oczywśce mplkuje warunek Nasha, wobec tego punkt często w lteraturze nazywany jest równowagą Cournota-Nasha. Po wylczenu pochodnych cząstkowych klku przekształcenach algebracznych otrzymujemy rozwązane (ndeks górny N oznacza równowagę Nasha): N b+c c = 4 N b+c c = 4 N b+c c = 4 N b+c c π = 4 oraz N b+c c () π = 4 N b+c c π = 4 Oczywśce, powyższe rozwązane jest punktem równowag tylko pod warunkem, że wszystke trzy welkośc produkcj są ścśle dodatne. Z nerównośc pomędzy koszam N N N N N N wynka w szczególnośc. Zatem jeśl tylko > 0, to równeż, > 0. Frma trzeca, jako najmnej konkurencyjna, w raze nekorzystnych warunków na rynku jako perwsza pownna zaprzestać produkcj. Stane sę tak, jeśl będze zachodzła nerówność: ( ) ( ) b+c c 0 c c + c c b c Odpowada to sytuacj, gdy "nadwyżka kosztu" w stosunku do konkurentów przekroczy krańcowy zysk z wejśca na rynek. W takm wypadku zgodne z defncją jest równa 0. Rynek zostaje wtedy ogranczony do duopolu bądź monopolu. Punkty równowag mają wówczas postać: N b+c c = N b+c c = N = 0 jeśl b+c c > 0 (równowaga duopolstyczna) 5 Por. John F. Nash. Non-cooperatve games [onlne]. Prnceton 950., s. 4 [dostęp 0.04.008]. Dostępny w Internece : http://www.prnceton.edu/mudd/news/fa/topcs/non-cooperatve_games_nash.pdf. 9
N b c = N = 0 N = 0 jeśl b+c c 0 (równowaga monopolstyczna) Punkt (0,0,0), w którym żadna frma ne produkuje towaru, ne jest punktem równowag, gdyż zgodne z założenam mamy b>c, a węc co najmnej jednemu producentow temu o najnższych kosztach - opłaca sę pozostać na rynku. W dalszej częśc pracy założę, że wszystke trzy welkośc produkcj w punkce równowag () są dodatne, a węc mamy do czynena z prawdzwym tropolem. Zatem od tego momentu przyjmuję, że zachodzą nerównośc: b+c +c b+c c >0 c c c < () c c c Z punktu wdzena badacza szukającego równowag w modelu nezwykle ważnym jest, żebyśmy wcąż wedzel, że na rynku mamy de facto trzy frmy, a ne dwe, czy jedną. Owo założene okaże sę równeż stotne przy próbe wyznaczena welkośc produkcj zysków w grze kooperacyjnej. 0
ROZDZIAŁ II. Kooperacja warunk jej powstana W poprzednm rozdzale omówlśmy równowagę w grze w warunkach ndywdualnego podejmowana decyzj. W następnej częśc pracy dopuszczamy możlwość zawerana koalcj, jednocześne w marę potrzeby przedefnowując warunk gry... Koalcje dwustronne równowaga w duopolu Stackelberga Rozważmy teraz model, gdy dwaj producenc decydują sę na współpracę. Uzyskujemy wówczas grę dwuosobową: koalcja przecwko trzecemu producentow. Taką rozygrywkę będę rozpatrywała w modelu Stackelberga, w którym frmy mają wększe bodźce do współpracy 6. Rozsądnym wydaje sę założene, że koalcja dwóch frm jest bardzej przedsęborcza, nż pojedynczy przedsęborca ma przewagę nad konkurentem, pozwalającą jej w pewen sposób dyktować warunk gry na rynku. Zbadamy zatem równowagę w modelu, w którym koalcja odgrywa rolę ldera podejmuje decyzję dotyczącą produkcj jako perwsza, natomast trzec producent dostosowuje sę do tak stworzonych warunków rynkowych. Gracze nadal znają całą strukturę gry, a rozbce decyzj na dwa etapy powoduje, że nformacja w grze jest ne tylko kompletna, ale doskonała. Lder podejmuje decyzję dotyczącą podaży jako perwszy, wedząc, że następca dostosuje sę do jego wyboru. Nech lderem będze koalcja {, j }, a następcą gracz k, gdze {, j,k } = {,,}. Pamętamy, że funkcja najlepszej odpowedz następcy dla danej strateg koalcj przedstawa sę następująco: b ck j k = Lder może przyjąć, że następca będze sę poruszał wzdłuż tej krzywej, dzęk czemu może oblczać swój zysk na podstawe funkcj zależnej wyłączne od własnej produkcj j : b ck j b+ ck cj j π = +b c = Maksymalzując to wyrażene, otrzymujemy: j j j j j 6 Duopol Cournota daje newelke korzyśc koalcj, za to znaczny wzrost zysku trzecego gracza. Zatem przedsęborcy ne są zbyt skłonn współpracować, za to wolelby, żeby ch konkurenc zawązal koalcję przecwko nm.
( b ck cj) j = + Wówczas następca, zgodne ze swoją krzywą reakcj, będze produkował: ( b cj ck ) k = + 4 Pozostaje tylko pytane, jak określć welkość c j - nnym słowy, po jakch kosztach produkuje koalcja. Oczywśce, z punktu wdzena graczy najbardzej opłacalna byłaby produkcja po koszce jak najnższym czyl tym, który charakteryzuje bardzej konkurencyjnego z koalcjantów. Sytuacja będze sę przedstawała naczej, jeśl przyjmemy, że na rynku są narzucone z góry ogranczena produkcyjne. I tak, w jednym przedsęborstwe a co za tym dze, po jednym koszce, można wyprodukować co najwyżej B towaru. Zakładamy jednak, że ogranczene ne uderza w pojedynczych producentów, zatem możemy oszacować B z dołu: ( ) B = b+c +c c /4 N Rozważmy na przykładze, jak lmt welkośc produkcj wpłyne na decyzje frm. Dla ustalena uwag przyjmjmy, że rozpatrujemy koalcję producentów, grającą przecwko frme. Łączna optymalna produkcja koalcj, oznaczona kształtuje sę w przypadku ogranczeń produkcyjnych jak ponżej: b+ c c b+ c c = dla B> B b+ c c b+ c c dla B b+ c c b+ c c dla B < Wynk można znterpretować następująco: koalcja najchętnej produkowałaby całość po nższym koszce, co jest możlwe tylko wtedy, gdy ogranczene jest odpowedno duże. Gdy ne jest to możlwe, frmy będą produkować tyle, na le zezwala m ogranczene po nskm koszce, a następne, jeśl będze sę opłacało kontynuować produkcję, wyborą pozom monopolsty wyznaczony w oparcu o wyższy koszt. Jeśl rozpoczęce bardzej kosztownej produkcj ne jest opłacalne, koalcja zostane na pozome B. W kolejnym kroku następca dostosowuje swoją produkcję do beżącej sytuacj rynkowej, wyberając odpowedn pozom produkcj:
b+c c b+ c c = dla B> 4 b B c b + c c b + c c dla B b+c c b+ c c dla B < 4 Zauważmy, że dzęk poczynonemu na końcu I rozdzału założenu o górnym oszacowanu kosztów (), wszystke wylczone tu welkośc w równowadze są dodatne. Analogczne, możemy wylczyć produkcję zysk w równowadze dla każdej z trzech koalcj. Wówczas, w zależnośc od welkośc B, ogranczene może uderzać w jedną, dwe lb wszystke koalcje. Abu dokładnej zbadać tą kwestę, zdefnujmy następujące nowe zmenne: δ = c c δ = c c δ = b c Przy tak określonych zmennych, nerówność b>c c c ograncza sę do znaczne łatwejszego w analze warunku δ > 0, δ, δ 0. Pozostaje jeszcze warunek zachowana tropolu (), który teraz przyjmuje postać: δ δ δ > 0 (b) Dla wygody możemy zatem zdefnować dzedznę rozwązań jako zbór: {(,, ) R :, 0, 0, 0} D = δ δ δ δ δ δ > δ δ δ > Pamętając, że poruszamy sę wyłączne po dzedzne, możemy wylczyć produkcję frm w trzech koalcjach następująco: δ + δ + δ δ+ δ + δ = dla B> B δ+ δ δ+ δ + δ dla B δ + δ δ+ δ dla B <
δ + δ + δ δ+ δ + δ = dla B> B δ δ δ+ δ + δ dla B δ δ δ δ dla B < δ + δ δ δ+ δ δ = dla B> B δ δ δ δ+ δ δ dla B δ δ δ δ δ δ dla B < Z warunku (b) wemy, że na D wszystke welkośc są dodatne. Należy pamętać jeszcze, że B szacowalśmy z dołu, węc B > ( δ+ δ δ)/4. Zatem w zależnośc od welkośc delt zależnośc pomędzy nm, jedna, dwe lub wszystke koalcje mogą być zmuszone do zmnejszena swojej produkcj na skutek ogranczeń. Łatwo zauważyć, że najczęścej skutk ewentualnej poltyk odczuje najbardzej konkurencyjna koalcja {,}, podczas gdy {,} będze musała ogranczyć produkcję tylko przy nektórych pozomach B. Dla ustalena uwag, oznaczmy przez max j, mn j maksymalną mnmalną produkcję, wyberaną przez koalcję j. Wówczas: a) jeśl δ > δ to mamy: mn max mn mn max max b) jeśl δ /< δ < δ: mn mn max mn max max c) jeśl δ > δ: mn mn max max mn max Sedem przedzałów przy każdym z trzech przypadków daje nam różnych możlwośc wpływu ogranczena B. Rozpatrywane wszystkch tych możlwośc ne leży u celu tej pracy, porównam węc tylko trzy sytuacje: gdy B jest mnejsze od dowolnej z sześcu wylczonych welkośc grancznych, gdy jest wększe od każdej, oraz jeden z przypadków 4
wewnętrznych, gdy ogranczene wpływa różne na różne koalcje może de facto być czynnkem warunkującym ch powstane. () Jeśl B < δ δ δ = b+ c c W tym przypadku ogranczene uderza we wszystke koalcje jest na tyle nske, że frmy zdecydują sę je przekroczyć. Perwsze B jednostek produkowanych jest po nższym z koalcyjnych kosztów, nadwyżka po wyższym. Każda z koalcj zaraba zatem połowę kwadratu swojej produkcj wyznaczonej w oparcu o wyższy z kosztów - plus bonus, w postac oszczędnośc na tej częśc nakładu, która została wyprodukowana tanej. Następca dostosowuje swoją welkość produkcj zgodne z wyznaczoną krzywą reakcj. Zgodne z założenem, ogranczene jest na tyle duże, aby ne wpłynąć na jego wybory. Tabela. Produkcja zysk w równowadze w grze Stackelberga w przypadku () Koalcja Produkcja/zysk ldera Produkcja/zysk następcy {,},{} S b c c = + S = b + c c 4 S π = b + c c S b+ c c +B( c c ) π = 4 4 {,},{} S b c c = + S b+ c c = 4 S π = b + c c S b+ c c +B( c c ) π = 4 4 {,},{} S b c c = + S b+ c c = 4 S π = b + c c S b+ c c +B( c c ) π = 4 4 () B leży wewnątrz któregoś z przedzałów. Dla ustalena uwag przyjmjmy, że δ /< δ < δ (sytuacja (b)) oraz [ max, mn ] B. Wówczas koalcja {,} ne odczuwa ogranczena tj. wybera produkcję na preferowanym przez sebe pozome może produkować całość po nższym z koalcyjnych kosztów. Koalcja {,} zatrzymuje sę na pozome B, gdyż krańcowy zysk z nadwyżkowej produkcj po koszce c jest ujemny, natomast {,} zdecydowałaby sę wypuścć na rynek węcej towaru, nż nakazywałoby ogranczene. 5
Tabela. Produkcja zysk w równowadze w grze Stackelberga w przypadku () Koalcja Produkcja/zysk ldera Produkcja/zysk następcy {,},{} S b c c = + S = b + c c 4 S π = b + c c S b+ c c +B( c c ) π = 4 4 {,},{} S =B S = b B c S b B+c c π =B S b B c π = {,},{} S = b + c c S = b + c c 4 S π = b + c c S b+ c c π = 4 4 () Jeśl B > δ+ δ + δ = b+ c c W tej sytuacj ogranczene jest nestotne. B jest wększe nż welkość maksymalzująca zysk, co umożlwa produkowane całego wybranego nakładu po najnższych koalcyjnych kosztach. Z punktu wdzena producentów jest to równoważne sytuacj bez ogranczeń a zatem jest to klasyczny model duopolu. Ten przypadek jest najprostszy, ale najcekawszy z punktu wdzena teor. Tabela. Produkcja zysk w równowadze w grze Stackelberga w przypadku () Koalcja Produkcja/zysk ldera Produkcja/zysk następcy {,},{} S = b + c c S b+ c c = 4 S b+ c c S b+ c c π = π = 4 {,},{} S b+ c c S b+ c c = = 4 S b+ c c π = {,},{} S b+ c c = S b+ c c π = S b+ c c π = 4 S b+ c c = 4 S b+ c c π = 4 6
Warto zauważyć, jak zmena sę produkcja w równowadze w porównanu z grą Cournota. Mamy: max( c, cj) mn( c, cj) S N N j ( + j ) = 0 Zatem każda z koalcj dostarcza na rynek ne mnej produktu, nż wynosłaby łączna produkcja koalcjantów w warunkach ndywdualnego podejmowana decyzj. Dla następcy jest zgoła odwrotne: S k mn( c, cj) max( c, cj) N k = 0 4 Zatem każdy z następców produkuje mnej, nż w grze Cournota. Mnejsza jest równeż cena rynkowa, a zatem zysk samotnego gracza. Oznacza to, że jeśl gracz we, że jego konkurenc bylby skłonn nawązać koalcję zostać lderem w grze Stackelberga, pownen starać sę temu zapobec przez bądź nawązane współpracy z jednym z graczy, bądź dążyć do utworzena welkej koalcj. Takm sytuacjam warunkam ch powstana zajmemy sę w następnych rozdzałach pracy. Rozważana zakończmy nteresującą obserwacją na temat pewnego szczególnego przypadku tropolu a manowce pełnej symetr trzech przedsęborstw. Zauważmy, że jeśl koszty frm są take same ( c =c =c =c ), to produkcję zysk można uproścć do postac: ( b c) S koalcja = = S ( b c) N następca = = 4 N oraz ( b c) S π koalcja = = π 8 S ( b c) N π następca = =π 6 Przychody frm podaż przez ne zgłaszana w grze koalcyjnej są dentyczne jak suma produkcj w grze ndywdualnym podejmowanu decyzj. Stworzene koalcj przejśce z tropolu Cournota do sekwencyjnego modelu Stackelberga skutkuje wynkem, będącym analogem do równowag Nasha w grze trzyosobowej a przeceż zmenlśmy ne tylko zależnośc mędzy graczam, ale strukturę gry! W śwetle naszych ntucyjnych oczekwań wnosek ten wydaje sę zaskakujący. Oznacza to, że przy pełnej symetr przedsęborstwa ne mają żadnego bodźca, by nawązywać w parach umowy o współpracy, skerowanej przecwko trzecej frme. Umowy antykartelowe ne są w tym przypadku potrzebne. N 7
.. Warunk powstana koalcj dwóch producentów W poprzednm rozdzale oblczylśmy produkcję zysk frm w koalcj, gdy frmy zdecydują sę na współpracę, ne zastanawając sę na raze nad racjonalnoścą takego porozumena. Teraz zajmemy sę tym, przy jakch warunkach gracze faktyczne będą skłonn do takej kooperacj nnym słowy, kedy gracze zarobą na współpracy, w porównanu z grą ndywdualną. Ogranczę sę tu do przypadku (d), jako w mom przekonanu najcekawszego z punktu wdzena otrzymanych wynków. Zdefnujmy dla każdej koalcj T zysk (lub stratę) z przejśca z rozgrywk Cournota do Stackelberga: Δ = π π. SN S N T T T SN Jeśl Δ 0, frmom opłaca sę zawązywać koalcję, w przecwnym wypadku T pozostaną w równowadze Nasha-Cournota. Przykładowo, zbadajmy, jake warunk muszą zajść, by gracze byl skłonn zawązać koalcję jak to wpłyne na zysk gracza. Przypomnjmy, jak wyglądały zysk koalcyjne w punkce równowag: N b+c +c c π = 4 N b+c +c c π = 4 S b+c c π = 4 Δ = c c b c c c 8 ( )( + + 5 ) SN Na perwszy rzut oka wcale ne wdać, by koalcja była zawsze bardzej opłacalna nż produkcja ndywdualna. I tak faktyczne ne jest. Wynka to z faktu, że pozwalając koalcj produkować po nższym koszce c, jednocześne zmnejszamy produkcję. Zatem na zysk dzała klka efektów (wyższa cena, nższa produkcja, nższy koszt) o nekedy przecwstawnych kerunkach ostateczne ne jest jasne, czy zawązane współpracy jest korzystne dla graczy. Możemy jednak zauważyć, że poneważ c c, zysk będze neujemny, o le tylko: 8
b+ c + c 5c 0 Lub równoważne: Δ 0 δ + 4δ δ 0 SN Analogczne możemy wylczyć, że: Δ 0 δ δ δ 0 SN Δ 0 δ δ δ 0 SN Możemy zaobserwować, że dla ( δ, δ, δ) D wszystke trzy koalcje są opłacalne. Wynka to z neujemnośc delt warunku (b). Oznacza to, że frmy są skłonne za pomocą współpracy przejść z konkurencj Cournota do byca lderem w grze Stackelberga. Zyskują wówczas podwójne po perwsze, na współpracy, dzęk której ogranczają koszty, po druge, na bycu lderem, dzęk czemu mogą dyktować warunk na rynku. Jednak wcąż otwarta pozostaje kwesta tego, która z trzech możlwych dwuosobowych koalcj zostane zawązana. Jak możemy zauważyć, każdy z graczy chcałby być lderem w grze Stackelberga, być może węc na skutek prób porozumena zostane nawązana współpraca ne dwu-, ale trójstronna? W następnym rozdzale zastanowmy sę nad tym, kedy taka sytuacja będze możlwa, borąc pod uwagę zysk trzech graczy... Welka koalcja Gracze oprócz umów blateralnych mogą zawązać także porozumene trójstronne. Welka koalcja wyberze jako optymalną welkość produkcj na pozome monopolsty faktyczne tym monopolstą będze. Jeśl ne poczynmy żadnych założeń dotyczących ogranczeń, spółka wyberze produkcję po najnższym koszce c znajdze sę wówczas w punkce równowag postac: b c = b c π = Chcąc uwzględnć ewentualne ogranczena, analogczne jak przy koalcjach dwuosobowych, we wzorze na produkcję zastąplbyśmy c przez c bądź też c. W tej pracy pomjam te przypadk, koncentrując sę tylko na wersj najkorzystnejszej dla 9
producentów. Rozpatruję węc wyłączne klasyczny duopol Stackelberga, bez narzuconych ogranczeń welkośc produkcj. Aby welka koalcja została zawązana, muszą być spełnone dwa warunk. Po perwsze, zysk koalcyjny mus domnować sumę zysków ndywdualnych przedsęborstw w grze Cournota-Nasha. Po druge, mus równeż domnować zysk w grze Stackelberga. Zbadamy teraz, kedy obydwa warunk są spełnone. Polczmy najperw analogczne jak w poprzednm rozdzale Δ SN, tym razem dla welkej koalcj porównywanej z tropolem Cournota: 4 4 4 SN N b c b+c c b+c c b+c c Δ = π π = + + ( ) Δ SN = b+c +c c c + c c + c c 6 ( c ) 4 ( ) ( ) ( ) Przechodząc znów do zmennych δ, δ, δ, otrzymujemy prostą formę: ( ( )) Δ SN = ( δ + δ +δ ) 4 δ + δ + ( δ +δ ) 6 Korzystając z tego, że na zborze D jest spełnony warunek (b) możemy oszacować zysk następująco: Δ SN > ( 4δ + 6 δδ ) 0 6 Zatem wnoskujemy stąd, że 'welka koalcja' przynos zawsze zysk ścśle dodatn (równeż, gdy frmy są symetryczne!) w porównanu z grą Cournota. Podstawowy warunek domnacj nad równowagą w grze ndywdualnej jest węc spełnony. Zbadajmy zatem, czy wynk umowy trójstronnej jest także opłacalny koalcyjne. W tym celu zdefnujmy zysk (stratę) koalcyjną z przejśca z duopolu Stackelberga do umowy trójstronnej. Dla każdego duopolu Stackelberga (określonego jednoznaczne przez postać koalcj dwustronnej T) możemy zdefnować: ( ) ( T { } T ) Δ = π π +π T S S,, \ W zestawenu z grą {{,},{}}, ( ) Δ wylczona może być następująco: ( ) Δ = ( δ +δ δ )( δ +δ + 7δ ) > 0 6 To wyrażene jest zawsze dodatne na D, co wynka z warunku (b) neujemnośc delt. 0
Analogczne, możemy oblczyć, kedy opłacalne jest przejśce do welkej koalcj z gry {{,},{}}: ( ) ( ) Δ = δ +δ + δ δ 6 Prawa strona jest dodatna, jeśl: ( ) δ + δ δ > 0 (.) Powtarzając rachunk dla gry {{,},{}}, mamy: ( ) Δ ( ) ( ) = δ + δ + δ δ + δ 6 Powyższe wyrażene jest wększe od zera, o le tylko: ( ) ( ) δ δ δ > 0 (.) Zauważmy najperw, że jeśl spełnona jest nerówność (.), to tym bardzej równeż (.). Zastanówmy sę zatem, czy take założene jest rozsądne. Występująca w tym wyrażenu stała ( ) jest w przyblżenu równa, 46, zatem, borąc pod uwagę, że szukamy rozwązań wyłączne w dzedzne D, gdze zachodz warunek (b), powyższa nerówność ne ograncza nam mocno zboru rozwązań. Nemnej jednak, warto zauważyć, że jeśl δ byłaby odpowedno duża, to stneje możlwość, że trójstronne porozumene ne byłoby opłacalne z punktu wdzena dwuosobowej koalcj {,}. Przy dużej δ (a węc przy dużej różncy mędzy kosztam c c ), gdy frmy mogą produkować cały nakład po nższym z kosztów, mogą zarabać na tyle dużo, by ne opłacało sę nawązywać współpracy trzyosobowej. W toku dalszej pracy będzemy jednak zakładać, że nerówność (.) zachodz, a węc zysk welkej koalcj domnuje zarówno sumę zysków w grze Cournota, jak we wszystkch grach Stackelberga.
ROZDZIAŁ III. Gra koalcyjna podzał zysków Dotychczas postawone pytana o warunk równowag bądź racjonalne podejmowane decyzj pozostawały jasne jednoznaczne odpowedz. Zagadnene którym zajmę sę w tym rozdzale jest neco bardzej delkatne dotyczy problemu podzału ewentualnych zysków, powstałych dzęk zawązanu koalcj. Jak pokażą już wstępne rozważana, kwesta ta ne daje sę rozwązać w sposób jednoznaczny. Postaram sę jednak jak najlepej zbadać różne propozycje podzału, zarówno te oparte na zewnętrzne określonych pojęcach, takch jak sprawedlwość, jak take, które wynkają z wewnętrznej struktury gry podzały przetargowe. Dalsza część rozdzału ma zatem następujący układ: najperw zdefnuję, w oparcu o lteraturę własne przemyślena, funkcję charakterystyczną gry koalcyjnej. Następne wylczę zbór negocjacyjny przedsęborstw (rdzeń gry). W kolejnym podrozdzale wylczę wartość Shapleya omówę, kedy będze ona należeć do rdzena. Następne sformułuję pokrótce deę nukleolusa punktu Gately'ego. Rozdzał pracę zakończę prostym przykładem lczbowym, który najlepej zobrazuje problematyczną kwestę podzału zysków w koalcj... Problemy z podzałam Załóżmy, że spełnone są warunk wylczone w poprzednm rozdzale opłacalne jest formowane koalcj tzn. zborze, na którym w mocy pozostaje nerówność: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) Δ Δ Δ Δ Δ Δ Δ. Operujemy węc na SN SN SN SN,,,,,, 0 δ δ δ > 0 gdze δ, δ, δ D (.) Ten warunek mplkuje neujemność wszystkch powyższych wyrażeń. Oznacza to, że gracze wspólne zarobą węcej nż każdy z nch grając osobno. Pozostaje pytane: jak należy podzelć dodatkowe zysk, tak aby podzał był sprawedlwy? I czy tak wynk może być osągnęty jako rezultat porozumena graczy? Dla ustalena uwag rozważmy sytuację, w której gracze tworzą welką koalcję. Ich zysk wynos wówczas ( ) b c /4=Z, co, jak wykazalśmy w poprzednm rozdzale, ścśle domnuje sumę ndywdualnych zysków trzech graczy. Jak pownno zostać to rozdzelone? Najprostsza możlwość jest taka, by podzelć zysk równo na trzy częśc. Wówczas każdy z
graczy dostane Z /. Jest to newątplwe rozsądne rozwązane w grze symetrycznej, gdy wszyscy gracze mają te same koszty, ale czy w przypadku asymetr kosztów gracz uznałby tak podzał za sprawedlwy? Intucja podpowada, że należałoby uwzględnć różnce mędzy frmam. Innym rozwązanem mógłby być podzał odwrotne proporcjonalny do kosztów. Wówczas wektor wypłat graczy {,,} przedstawałby sę następująco: ccc Z Z Z,, cc +cc +cc c c c To rozwązane jednak też ne jest najszczęślwsze. Zauważmy, że przy wylczanu w poprzednm rozdzale zysku z wejśca do koalcj, moglśmy go wyrazć wyłączne za pomocą różnc względnych mędzy c,c,c,b - wyrażonych za pomocą δ,δ,δ - natomast skala, czyl ch wartość bezwzględna, ne mała znaczena. Gracze mają podstawy, by żądać, aby ta własność charakteryzowała równeż ostateczny podzał zysków. Powyższe rozwązane jest zależne od rozmaru c,c,c, a węc może być postrzegane jako nesprawedlwe. Można to poprawć, stosując np. podzał proporcjonalny do różncy mędzy b, a danym kosztem. Wówczas podzał końcowy małby postać: b c c c ( Z ( b c ),Z( b c ),Z( b c) ) Bądź też, wyrażony w termnach względnych: δ + δ +δ ( Z ( δ +δ +δ ),Z( δ +δ ),Zδ) Powyższy podzał jest zgodny z regułą proporcjonalnośc (a węc taką, która przypsuje graczom wypłaty proporcjonalne do ch wkładów) sformułowaną przez Arystotelesa jako sprawedlwa. Podobnych reguł właścwego podzału może być jednak węcej, a wszystke mogą dać różne wynk. Próby sformułowana pewnych aksjomatów określających welkość sprawedlwego udzału danego gracza w zyskach podjął sę amerykańsk matematyk Lloyd Shapley, formułując defncję tzw. w a r t o ś c S h a p l e y a. W dalszej częśc pracy wylczę tą wartość dla gry tropolstycznej omówę pokrótce zwązane z ną problemy. Wspólnym problemem wszystkch powyższych propozycj jest jednak to, ż odwołują sę one do pewnej arbtralnej defncj sprawedlwośc. Tymczasem podzał w przypadku naszej gry trzyosobowej będze raczej wynkem rozmów koalcyjnych. Być może węc
wybór rozwązana pownen operać sę na analze przetargu. Zauważmy, że przy tym podejścu możemy rozpatrywać tylko te podzały, które zostaną zaakceptowane przez wszystkch graczy jako korzystne. Innym słowy, każdy przedsęborca mus dostać co najmnej tyle, le jest w stane zarobć sam. W termnach teorogrowych powemy, że podzał zysków mus być ndywdualne racjonalny. Co węcej, w dopuszczalnym wektorze wypłat suma dochodów dwóch graczy mus być co najmnej taka, jak ch zysk, który moglby zdobyć dzęk porozumenu. Ten warunek nazwemy racjonalnoścą koalcyjną. Jak jednak opsać le gracz może zdobyć sam? Ne jest jasne, czy pownnśmy za tę wartość przyjąć wynk z gry Cournota, Stackelberga, czy też jakąś zupełne nową wartość. W tym celu musmy określć explcte grę koalcyjną, która jasno określ zasady konkurencj... Funkcja charakterystyczna rdzeń gry Aby zbadać problem podzału zysków wymagań poszczególnych graczy, zdefnujmy najperw g r ę k o a l c y j n ą. W tym celu określmy funkcję charakterystyczną v : M R gdze M oznacza rodznę wszystkch podzborów zboru graczy = {,,} M. Intucyjne funkcję tę można rozumeć jako wartość koalcj w termnach zysków, które ta koalcja generuje. Pojedynczy gracz jest tu rozpatrywany jako koalcja jednoosobowa, a zbór pusty jako koalcja pusta. Umawamy sę w tym przypadku, ż porozumene zera producentów ma wartość zero. Perwszy warunek naszej defncj przyjmuje zatem postać: (W) v ( ) = 0 Dodatkowo założymy, że gra jest superaddytywna, a węc łączene sę w koalcje jest zawsze opłacalne (co założylśmy na początku rozdzału). Matematyczne można to ująć następująco: (W) vu ( T) vu ( ) +vt ( ), oleu,t M, U T= W lteraturze na przestrzen czasu pojawały sę różne koncepcje defnowana funkcj charakterystycznej w przypadku, gdy wypłata koalcyjna ne jest jednoznaczna. Jeden z pomysłów, proklamowany przez Aumanna przyjmowany w welu przypadkach to ustalene wartośc funkcj na pozome bezpeczeństwa danego porozumena 7. Pozom bezpeczeństwa 7 Robert J. Aumann. The Core of a Cooperatve Game Wthout Sde Payments. Transactons of the Amercan 4
koalcj T to w tym przypadku zysk, który koalcja może sobe zagwarantować bez względu na strategę kontrkoalcj ( ) max mn ( ) vt = π, M \ T. Funkcja przyjmuje wtedy formę: T M\ T T T M\ T Defncja ta, choć z pozoru wydaje sę rozsądna, w przypadku gry olgopolstycznej budz poważne wątplwośc. Po perwsze, w tym przypadku wartość funkcj w każdym przypadku oprócz welkej koalcj wynosłaby zero. Dla każdej bowem strateg koalcj T stneje kontrstratega koalcj M \ T, taka, że π T = 0, a nawet π T < 0, o le dopuścmy możlwość straty. Wystarczy, bowem, by kontrkoalcja zwększyła podaż tak, aby cena rynkowa spadła do pozomu kosztów. Doprowadz to jednak do sytuacj, w której wszyscy obecn na rynku producenc będą mel zerowe bądź wręcz ujemne zysk. Postępowane take byłoby bardzo neracjonalne! Wątplwośc zwązane z funkcją Aumanna pojawają sę już przy zdefnowanu przyjętego celu koalcj. Postać funkcj wymusza przyjęce założena, ż frmy wyberając pozom produkcj chcą zmnmalzować zysk przecwnka jak wdać na powyższym przykładze, nawet kosztem swojej sprzedaży. Tymczasem na początku pracy przyjęlśmy, ż gracze dążą raczej do maksymalzacj swoch zysków, nż do wykończena konkurenta. Tego też założena chcelbyśmy sę nadal trzymać. Problem z powyższą klasyczną defncją zauważył już sam Aumann 8. W tej pracy przyjmę założena, które wydają m sę najodpowednejsze do tego modelu, powołując sę na publkację Rajana 9. W tym przypadku wartość funkcj v dla koalcj T jest zyskem, który ta koalcja może wypracować, przy założenu, że konkurencja maksymalzuje swój zysk. Główną różncą mędzy Aumannowskm ostrożnym podejścem mnmaksowym a optymstycznym jest pewnego rodzaju optymzm przejawany przez frmy w stosunku do przecwnków. Koalcja T zakłada bowem, że rywale z M \ T zagrają rozsądne, to znaczy jak najlepej dla sebe. Jak można zauważyć, w grach ekonomcznych maksymalzacja własnego zysku nekedy dze w parze ze zwększenem przychodów przecwnka. Tak jest w tym przypadku. Mathematcal Socety [onlne]. Vol. 98, No., s. 59-55 [dostęp 6.05.08]. Dostępny w Internece: http://www.jstor.org/stable/9948. 8 Por. defncje α β -stablnośc. Ibd., s.548. 9 Roby Rajan. Endogenous Coalton Formaton n Cooperatve Olgopoles. Internatonal Economc Revew [onlne]. Vol. 0, No. 4, s. 86-876 [dostęp 6.05.008]. Dostępny w Internece: http://www.jstor.org/stable/56756. 5
Rajan rozpatruje dwe postac rozgrywk rynkowej: gdy T mus sę zmerzyć z pozostałym przedsęborstwam, z których każde podejmuje decyzję ndywdualne, oraz gdy przecwncy formują koalcję M \ T konkurencja zostaje sprowadzona do duopolu. W obu sytuacjach autor wykorzystuje model Cournota-Nasha. W tej pracy skupę sę na tym drugm przypadku, jednocześne przechodząc do modelu Stackelberga. Wybór gry koalcja przecwko koalcj jest umotywowany tym, że przy naszych założenach, koalcje są bardzej opłacalne zatem gracze M \ T skłonn są zawązać porozumene, nż zdać sę na samotną walkę. Argumentem za modelem Stackelberga jest fakt, ż jest on zgodny z początkowym założenem o tym, że wększy jest bardzej przedsęborczy, a także jest cekawszy nż model Cournota. v jest defnowana jednocześne z wartoścą v ( M \ T ),, przez wyznaczene zysków obu koalcj w grze Stackelberga, w której wększa koalcja zawsze odgrywa rolę ldera: Wartość funkcj ( T ) ( ) v = 0 b+ c c v ({} ) = 4 b+ c c v ({} ) = 4 b+ c c v ({} ) = 4 b+ c c v ({,} ) = 4 b+ c c v ({,} ) = 4 b+ c c v ({,} ) = 4 b c v ({,,} ) = Tak opsana funkcja charakterystyczna oczywśce z defncj spełna warunek (W). Pozostaje sprawdzć warunek (W) superaddytywność. Dla koalcj jednoosobowych mamy: ({ }) ( ) 0 v v >. Dla koalcj trzyosobowej żądana nerówność wynka z naszych rozważań dotyczących opłacalnośc welkej koalcj. Pozostaje sprawdzć superaddytywność dla koalcj dwuosobowych. ({ }) ({ }) ({ }) ({ }) ({}) ({}) ({ }) ({}) ({}) v, v v 0 v, v v 0 v, v v 0 Powyższy układ jest równoważny: 6
( ) ( + ) 4δ + 6δ δ + δ + 4δδ 5δ 0 6δ 6δ δ δ 6δδ 5δ 0 (6δ + 4 δ) δ δ 8δδ 6δ 0 Wykorzystując fakt, że na zborze D mamy δ δ δ > 0, możemy podać prostsze warunk dostateczne, które mplkują powyższy układ: 4δ + 0δδ + δ 0 9δ + δδ + δ 0 9δ + 6δδ δ 0 Perwsze dwe nerównośc są zawsze spełnone wynkają z neujemnośc delt. Problematyczna jest ostatna nerówność. Można zaobserwować, że zachodz ona, o le tylko: δ 0.45 δ. Jak to uzasadnć? Podstawając δ = a δ, otrzymujemy nerówność kwadratową jednej zmennej. Lewa strona wyrażena jest dodatna, o le tylko: a ( )/ = 0.44.... Choć superaddytywność ne jest nezbędna do rozważań na temat gry koalcyjnej, dla wygody przyjmemy jednak, że zachodz. Zatem w dalszym toku rozważań za prawdzwe uznamy oszacowane δ 0.45 δ, które jest warunkem dostatecznym, by żądane nerównośc zachodzły. Przy okazj zauważmy, że w połączenu z (b) mplkuje ono nasze dotychczasowe założene możemy z powodzenem zastąpć (.) przez nowy, prosty warunek: δ () Δ 0, a zatem warunek (.). Zatem 0.45 δ (4) Mając zdefnowaną funkcję charakterystyczną gry możemy wyznaczyć zbór negocjacyjny graczy, czyl podzały zysków, które ne zostaną zakwestonowane przez żadnego z producentów an żadną z producenckch spółek. Oznacza to, że zbór dopuszczalnych podzałów mus spełnać warunk racjonalnośc ndywdualnej koalcyjnej. Zatem, jeśl przez ( x,x, x ) oznaczymy wypłaty poszczególnych przedsęborstw ( ),, po zawązanu trzyosobowej koalcj, wówczas akceptowane przez graczy podzały zysków zgodne, pownny spełnać nerównośc: x v ({ }) {,,} { }, j,, x+x v,j j ( ) { } Oraz oczywśce pownno zachodzć : ( ) x+x+x= b c /4 7
Odejmując stronam odpowedne nerównośc możemy wyznaczyć warunk racjonalnego (co w tym przypadku znaczy akceptowalnego przez racjonalnych graczy ) podzału: ( b+ c c ) 6x ( b c ) 4( b c ) + 4( b c )( b+ c c ) ( b+ c c ) 6x ( b c ) 4( c c ) ( b+ c c ) 6x ( b c ) 4( c c ) Podobeństwo funkcj ogranczających x oraz x ne pownno nas dzwć z punktu wdzena welkej koalcj obaj gracze odgrywają tą samą rolę przy określenu welkośc produkcj. Perwsze przedsęborstwo jest wyjątkowe, gdyż to jego koszty wyznaczają podaż. W zwązku z tym górne ogranczene x zawera bonus w postac ( b c )( b c c ) 4 + 0, dzęk któremu frma może starać sę negocjować wyższy udzał w zyskach nż wynkałoby to z prostej zamany ndeksów w oszacowanach wyznaczających x bądź x. Przy umowe dotyczącej podzału gracz perwszy może węc (ale ne mus) dostać nagrodę np. za to, że udostępnł pozostałym dwóm frmom swoją technologę, pozwalającą produkować po koszce c. Zbór () v C tych mputacj ( x, x, x ), które spełnają powyższe nerównośc nazywamy r d z e n e m gry. Rdzeń jest nepusty dla każdych wartośc c,c,c,b, spełnających serę nerównośc b>c c c. Jest to zbór, po którym trzej przedsęborcy będą poruszać sę w trakce negocjacj. Warto zauważyć, że przy założenach jw. żaden z wylczonych powyżej przedzałów ne zostane zdegenerowany do punktu, tak węc rdzeń jest dwuwymarowym, domknętym wypukłym podzborem R... Wartość Shapleya gry wypukłe. Zastanówmy sę najperw, jak wyglądałby podzał koalcyjny, gdyby właśccele trzech frm zwrócl sę o pomoc do nezależnego arbtra, aby rozsądzł ch problem podzału 0. W 95 roku Lloyd Shapley sformułował aksjomaty, które w oparcu o funkcję 0 Rozważana teorogrowe pokazują, że często tak narzucony podzał może dać lepsze rezultaty nż próba porozumena koalcyjnego przykładem może być Podzał Dolara. Po szczegóły odsyłam do: Phlp Straffn. Teora ger. Warszawa 004, s. 8. 8
charakterystyczną pozwalają wylczyć podzał możlwe najlepej poszczególnych koalcj. Warunk te dla podzału = ( ) N oddający słę ψ ψ wyglądają następująco : (S) Gracz nestotny: Jeśl dla każdej koalcj T zachodz vt ( =vt ) ( ) ne wnos nc do żadnej z koalcj), to ψ ( v ) = 0 (czyl gracz (S) Bezstronność: jeśl T: T,j T v( T ) =v( T j), to ψ ( v ) = ψ ( v) (S) Addytywność: jeśl v, w wyznaczają funkcje charakterystyczne dwóch ger, to dla gry postac z = v+ w zachodz ψ ( z ) = ψ ( v ) + ψ ( w) Shapley następne udowodnł, że stneje dokładne jedna reguła podzału zysków spełnająca warunk (S)-(S), a manowce wartość Shapleya zdefnowana następująco: ( ) ( ) T! N T! ψ ( v= ) vt vt N! Jeśl przez vt ( ) vt ( \ ) ( ( ) ( \ )) rozumemy krańcowy wkład -tego gracza do koalcj do której przystępuje, to wartość Shapleya jest równa średnej jego wkładów dla wszystkch możlwych kolejnośc przystępowana graczy do koalcj. Od początku najwększe kontrowersje budzł Shapleyowsk warunek addytywnośc. Można sę jednak obejść bez nego. W 985 roku H. Peyton Young udowodnł, że wartość Shapleya jest jedynym rozwązanem zagadnena, równeż wtedy, gdy warunek () zastąpmy neco bardzej przystępnym warunkem: (Sb) Monotonczność: jeśl T: T vt ( ) vt ( \ ) wt ( ) wt ( \ ) (gracz wnos węcej do każdej koalcj w grze v nż w grze w ), to ψ ( v) ψ ( w) W szczególnośc, monotonczność mplkuje zasadę krańcowych wkładów: (Sc) Zasada krańcowych wkładów: jeśl T: T vt ( ) vt ( \ =wt ) ( ) wt ( \ ), (gracz wnos tyle samo do każdej koalcj w obu grach) to ψ ( v ) = ψ ( w) Wydaje sę węc, że tak sformułowane rozwązane gry jest rozsądną próbą określena, jak pownny wyglądać wypłaty graczy w równowadze. Wartość Shapleya w naszym modelu wygląda następująco: j Warunk (ze zmodyfkowanym oznaczenam) podaję za: Peyton H. Young. Sprawedlwy podzał. Warszawa 00, s. 80. 9
( 0( ) 7( ) 5( ) ( ) + ( ) ) ( ( ) 6( ) 5( ) ( ) + ( ) ) ( ( ) ( ) + 0( ) + 4( ) 4( ) ) x = b c b c b c c c c c x = b c + b c b c c c c c x= b c + b c b c c c c c 66 66 66 Zauważmy, że w naszym przypadku wartość Shapleya spełna także klka nnych warunków, których moglbyśmy zażyczyć sobe od sprawedlwego podzału. Po perwsze, dobrze radz sobe z przypadkem symetrycznym co zresztą wynka z warunku (S) defncj. Zgodne z naszym wcześnejszym wymaganam, zależy od c,c,c,b tylko w sposób względny - ne zależy zaś skal welkośc. Nestety, przy dotychczas rozważanych, ogólnych warunkach, wartość Shapleya ne mus należeć do rdzena gry. Oznacza to, że gracze mają podstawy, by na tak arbtralny podzał sę ne zgodzć. Co prawda jest ona racjonalna ndywdualne (co wynka z jej defncj), natomast ne mus być - często ne jest - racjonalna koalcyjne. W szczególnośc dla koalcj {,} suma wartośc Shapleya dla graczy ne mus być wększa nż ({,} ) v, nawet, gdy uwzględnmy wszystke warunk wylczone w rozdzale II.. Podczas negocjacj mędzy producentam powyższa propozycja podzału może zatem zostać odrzucona przez gracza perwszego drugego, którzy w wypadku takch wypłat wolelby odstąpć od welkej koalcj nawązać dwustronne porozumene o produkcj. Istneje jednak podklasa ger, dla których wartość Shapleya zawsze należy do rdzena. Gry take nazywamy w y p u k ł y m (supermodularnym) spełnają one następujący warunek: S,T : S T M T v( T { } ) v( T ) v( S { } ) v( S ) Interpretacja wzoru jest następująca: jeśl przez v( S { } ) v( S) rozumemy krańcowy wkład -tego gracza do koalcj S, to w grze wypukłej krańcowy wkład gracza do koalcj rośne wraz z jej rozmarem. Dla ger supermodularnych zachodz twerdzene Ichshego: jeśl gra ma własność rosnących krańcowych wkładów (jest wypukła) to ψ C( v). Aby zbadać wypukłość gry trzyosobowej wystarczy sprawdzć, czy zachodz: Marcn Malawsk. Teora ger notatk z wykładu., s.. Dostępne z laboratorum komputerowego WNE. 0
( ) ( \ ) ({ }) ({ }) M j v M v M v,j v j Co jest równoznaczne układow trzech nerównośc: ({ }) ({ }) ({ }) ({ }) ({ }) ({ }) ({ }) ({}) ({ }) ({ }) ({ }) ({}) v,, v, v, +v 0 v,, v, v, +v 0 v,, v, v, +v 0 W przypadku naszej gry powyższy warunek sprowadza sę do następujących nerównośc: ( b c ) + ( b c ) ( c c ) ( c c ) + ( b c) ( b c ) + ( c c) ( c c) ( b c) + ( b c) ( c c ) + ( c c) 4 0 + 4 0 8 6 0 Warto zauważyć, że poneważ ( b c ) ( b c ) obe welkośc są dodatne, perwsza nerówność mplkuje drugą. Zatem wystarczy, by spełnony był układ: ( b c ) + ( b c ) ( c c ) ( c c ) + ( b c) + ( b c) ( c c ) + ( c c) 4 0 8 6 0 Przechodząc do zmennych deltowych: ( ) ( ) δ δ δ 9 δ+ δ + δ 0 ( δ δ) + ( 6δ δ) 0 Z warunku (4) druga nerówność jest spełnona, gdyż lewa strona jest sumą kwadratu wyrażena ścśle dodatnego. Zatem wystarczy rozpatrywać perwszą z nerównośc. Jednocześne wcąż zakładamy, że są spełnone warunk wylczone w rozdzale II. oraz założene o superaddytywnośc. Ostateczne węc nasza gra jest supermodularna, gdy spełna układ nerównośc: ( ) ( ) δ δ δ 9 δ+ δ + δ 0 δ 0.45 δ δ δ δ > 0 (5.) (5.) (5.) Rozwązanem nerównośc perwszej jest zbór leżący na zewnątrz pewnego stożka elptycznego. W załącznku znajduje sę wykres tego stożka, wygenerowany przez program
Surfer. Interesujące nas rozwązana leżą na zewnątrz żółto-czerwonej fgury powyżej nebeskch płaszczyzn, wyznaczających warunek (b) oraz (4). Ogólna postać ger, która zarówno spełnają nasze warunk koalcyjne, oraz są wypukłe, jest trudna do opsana, co komplkuje nasze rozważana na temat wartośc Shapleya. Intucyjne jednak można zauważyć, że aby uzyskać supermodularność, δ - reprezentująca zysk krańcowy z wejśca na rynek najmnej konkurencyjnej frmy - mus być dużo wększa nż różnce mędzy kosztam poszczególnych frm, δ,δ. W ostatnm rozdzale zbadamy prosty przypadek lczbowy, gdze taka zależność zachodz..4. Nukleolus punkt Gately'ego O le zasada proporcjonalnośc Arystotelesa, czy też aksjomatyka Shapleya odwoływały sę do pewnych odgórne narzuconych zasad sprawedlwośc, o tyle dwe następne wartośc oparte są na analze przetargu mędzy poszczególnym graczam. Intucyjne podejśce do problemu można przedstawć jako dyskusje na temat nezadowolena graczy z poszczególnych podzałów. Wszystkm graczom zależy na tym, aby koalcja została zawązana, by można było osągnąć dodatkowe zysk do podzału. Należy zatem możlwe zmnejszyć motywację każdego z graczy do bojkotowana trójstronnego porozumena. Do takego uzasadnena odwołują sę zdefnowane ponżej pojęca n u k l e o l u s a oraz p u n k t u G a t e l y' e g o. Określmy dla każdej koalcj T dla każdego proponowanego podzału x nezadowolene koalcj T z x jako: T ( ) ( ) e x =v T x T Welkość ta określa różncę pomędzy tym, co koalcja jest sobe w stane zapewnć, decydując sę na porozumene, a tym, co uzyskują przez mputację x. Zauważmy, że nezadowolene może być ( w naszym przypadku będze!) ujemne co odpowada de facto sytuacj zadowolena. Nukleolus jest, z defncj, takm podzałem ndywdualne racjonalnym φ, który mnmalzuje leksykografczne wektor nezadowoleń koalcj. Defncja ta ma oczywśce Gert-Martn Greuel. Surfer [freeware]. Mathematsches Forschungsnsttut Oberwolfach 008. Do pobrana w nternece: http://www.magnary008.de/surfer.php.
sens równeż dla nezadowoleń ujemnych. Choć defncja nukleolusa może wydawać sę neco dzwna, sama ta wartość posada wele pożądanych własnośc. Po perwsze, nukleolus zawsze stneje, a, co węcej, jest jednoznaczny. Dodatkowo, jeśl gra ma nepusty rdzeń tak jak nasz tropol wówczas ( ) φ C v. Nukleolus jest też podzałem wyjątkowym pod nnym względem. Jest alokacją, w której każdz dwaj gracze dzelą równo mędzy sebe różncę mędzy najlepszym najgorszym dla sebe wzajemne rozwązanem spośród rozwązań zakładających ustalone udzały 4 pozostałych graczy 5. Taką alokację nazwemy param zgodną ze s t a n d a r d o w y m podzałem dla konkurencj dwuosobowej. Standardowy podzał dla dwóch graczy jest wynkem tzw. reguły spornej szaty, sformułowanej blsko dwa tysące lat temu w Talmudze Bablońskm. Young komentuje ten fenomen: Ne twerdzę bynajmnej, że autorzy Talmudu znal teorę ger kooperacyjnych czy chocaż pojęce nukleolusa, ale wynka z tego, że koncepcje, które stały za jego konstrukcją, mają swoje korzene w starożytnośc 6. Propozycja podzału Gately'ego, choć podobna w założenach do nukleolusa, nestety ne charakteryzuje sę tyloma młym z punktu wdzena teor ger właścwoścam. Punkt ten odwołuje sę do możlwośc gróźb rzucanych przy stole negocjacyjnym. Załóżmy, że gracze dyskutują nad ndywdualne racjonalnym podzałem x = ( x, x, x ). Gracz perwszy chce wynegocjować wyższą wypłatę, wedząc, że jego zgoda jest nezbędna do zawązana koalcj. W raze gdyby do nej ne przystąpł, gracze stracą (przyjmując mputację x jako punkt wyjścowy oblczeń) x+x v( ). Gracz strac w tym przypadku v( ), x. Stosunek tych dwu welkośc Gately nazwał skłonnoścą do zerwana welkej koalcj. Ogólnej, dla -tego gracza mara sły grożącej danego gracza wyraża sę wzorem: ( ) d x := j Jeśl d ( ) j ( \ ) x v M x () v x jest duże, -ty gracz może zatem argumentować: Jestem nezbędny do zawarca welkej koalcj jeśl ją zerwę, wy stracce na tym węcej nż ja. Pozostałym 4 Rozpatrujemy tylko rozwązana należące do rdzena z nch wyberamy najlepsze najgorsze dla danego gracza. 5 Peyton H. Young. Sprawedlwy..., s. 9. 6 Ibd., s. 4.