Zastosowanie systemów pośrednich między S4 a S5 w kontekstach epistemicznych

Zastosowanie systemów pośrednich między S4 a S5 w kontekstach epistemicznych Zastosowania logiki modalnej Lublin, 17 listopada 2009

Aksjomaty i semantyka

Uwagi historyczne 1939 - W. T. Parry: system pośredni S4.5 między S4 a S5 S4 + { L(LMLp Lp) }; utożsamienie L i LML, pozostają modalności L, ML, LM, M oraz ich negacje;

Uwagi historyczne 1939 - W. T. Parry: system pośredni S4.5 między S4 a S5 S4 + { L(LMLp Lp) }; utożsamienie L i LML, pozostają modalności L, ML, LM, M oraz ich negacje; poł. lat L-tych - A. Prior: poszukiwanie systemu dla modalności Diodorowskiej; najpierw S4, potem odkrycie potrzeby systemu pośredniego między S4 a S5;

Uwagi historyczne 1939 - W. T. Parry: system pośredni S4.5 między S4 a S5 S4 + { L(LMLp Lp) }; utożsamienie L i LML, pozostają modalności L, ML, LM, M oraz ich negacje; poł. lat L-tych - A. Prior: poszukiwanie systemu dla modalności Diodorowskiej; najpierw S4, potem odkrycie potrzeby systemu pośredniego między S4 a S5; 1959 - Dummett i Lemmon, Modal Logics between S4 and S5 : Systemy S4.2, S4.3, system modalności Diodorowskiej D (zwany przez Sobocińskiego S4.3.1);

Uwagi historyczne 1939 - W. T. Parry: system pośredni S4.5 między S4 a S5 S4 + { L(LMLp Lp) }; utożsamienie L i LML, pozostają modalności L, ML, LM, M oraz ich negacje; poł. lat L-tych - A. Prior: poszukiwanie systemu dla modalności Diodorowskiej; najpierw S4, potem odkrycie potrzeby systemu pośredniego między S4 a S5; 1959 - Dummett i Lemmon, Modal Logics between S4 and S5 : Systemy S4.2, S4.3, system modalności Diodorowskiej D (zwany przez Sobocińskiego S4.3.1); lata LX i LXX - B. Sobociński, J. Zeman: S4.4 i inne systemy pośrednie; rodzina systemów K; semantyki Kripke owskie dla systemów pośrednich;

Uwagi historyczne 1939 - W. T. Parry: system pośredni S4.5 między S4 a S5 S4 + { L(LMLp Lp) }; utożsamienie L i LML, pozostają modalności L, ML, LM, M oraz ich negacje; poł. lat L-tych - A. Prior: poszukiwanie systemu dla modalności Diodorowskiej; najpierw S4, potem odkrycie potrzeby systemu pośredniego między S4 a S5; 1959 - Dummett i Lemmon, Modal Logics between S4 and S5 : Systemy S4.2, S4.3, system modalności Diodorowskiej D (zwany przez Sobocińskiego S4.3.1); lata LX i LXX - B. Sobociński, J. Zeman: S4.4 i inne systemy pośrednie; rodzina systemów K; semantyki Kripke owskie dla systemów pośrednich; lata LXX - W. Lenzen: stosowanie systemów pośrednich w kontekstach epistemicznych

Aksjomaty systemów modalnych K. K(φ ψ) (Kφ Kψ) D. Kφ Mφ T. Kφ φ 4. Kφ KKφ 5. MKφ Kφ RG φ Kφ

Aksjomaty systemów modalnych K. K(φ ψ) (Kφ Kψ) D. Kφ Mφ T. Kφ φ 4. Kφ KKφ 5. MKφ Kφ RG φ Kφ 4.2 MKφ KMφ 4. 3 K(φ Mψ) K(ψ Mφ) 4.3.1 K(K(φ Kφ) φ) (MKφ φ) 4.3.2 K(Kφ ψ) (MKψ φ) F. Mφ MKψ K(Mφ ψ) 4.4. ((φ MKψ) K(φ ψ)

Inne sformułowania aksjomatów 4.3 (*) K(Kφ Kψ) K(Kψ Kφ) 4.3 (**) K(Kφ ψ) K(Kψ φ) 4.3.2 MKψ φ K( ψ Mφ) F MKψ Mφ K( ψ Mφ) 4.4 MKψ φ K( ψ φ)

Lista systemów T (=KT): { K } + { T } + { RG } D: { K } + { D } + { RG } S4 (=KT4): T + { 4 } KD4: D + {4 }

Lista systemów T (=KT): { K } + { T } + { RG } D: { K } + { D } + { RG } S4 (=KT4): T + { 4 } KD4: D + {4 } S4.2: S4 + { 4.2 } S4.3: S4 + { 4.3 } S4D (=S4.3.1): S4.3 + { 4.3.1 } S4F: S4 + { F } S4.3.2: S4 + { 4.3.2 } S4.4: S4 + { 4.4 } S5 (=KT45): S4 + { 5 } KD45: KD4 + { 5 }

Własności relacji dostępności Ser Ser(R) x y(xry) Refl Refl(R) x(xrx) Sym Sym(R) x y(xry yrx) E Euclid(R) x y z(xry xrz yrz) Tr Trans(R) x y z(xry yrz xrz)

Własności relacji dostępności Ser Ser(R) x y(xry) Refl Refl(R) x(xrx) Sym Sym(R) x y(xry yrx) E Euclid(R) x y z(xry xrz yrz) Tr Trans(R) x y z(xry yrz xrz) Con Con(R) x y z(xry xrz (yrz zry) Conv Conv(R) x y t(xry xrt z(yrz trz)) SConv SConv(R) x z y(xry yrz) WCon WCon(R) x y z((xry xrz) (yrz zry)) F F(R) x y(xry ( z(xrz yrz) z(xrz zry))) F* F*(R) x y z((xry xrz (zry yrx)) TB TB(R) x y((xry x y) z(xrz zry)) RSym RSym (R) x y z(xry yrz zry x = y)

Relacje między systemami S5 S4.4 S4.3.1 S4.2.1 S4.3.2 S4.3 S.4.2 S4

System S4 i S4.3 Modalności Diodora: jest konieczne = jest prawdziwe teraz i w każdym momencie w przyszłości, a jest możliwe = jest prawdziwe teraz lub w pewnym momencie przyszłości

System S4 i S4.3 Modalności Diodora: jest konieczne = jest prawdziwe teraz i w każdym momencie w przyszłości, a jest możliwe = jest prawdziwe teraz lub w pewnym momencie przyszłości S4: relacja alternatywności (zwrotna, przechodnia) częściowo porządkuje światy w modelu - model rozgałęziony. Istnieją przyszłe stany rzeczy dostępne dla mnie teraz, które mogą wskutek pewnych zdarzeń pośrednich stać się dla mnie niedostępne w przyszłości.

System S4 i S4.3 Modalności Diodora: jest konieczne = jest prawdziwe teraz i w każdym momencie w przyszłości, a jest możliwe = jest prawdziwe teraz lub w pewnym momencie przyszłości S4: relacja alternatywności (zwrotna, przechodnia) częściowo porządkuje światy w modelu - model rozgałęziony. Istnieją przyszłe stany rzeczy dostępne dla mnie teraz, które mogą wskutek pewnych zdarzeń pośrednich stać się dla mnie niedostępne w przyszłości. S4.3: liniowe uporządkowanie momentów czasowych; dla dowolnych światów w 1, w 2, albo w 1 ma dostęp do w 2 albo w 2 ma dostęp do w 1 lub też w 1 = w 2 (relacja jest spójna)

S4.2, S.4.3.1 (D) S4.2 - kompromis między S4 (czas rozgałęziony) a S4.3 (czas linearny); w S4.2 relacja R zbieżna (konwergentna): istnieje taki moment czasowy, w którym gałęzie są zbieżne;

S4.2, S.4.3.1 (D) S4.2 - kompromis między S4 (czas rozgałęziony) a S4.3 (czas linearny); w S4.2 relacja R zbieżna (konwergentna): istnieje taki moment czasowy, w którym gałęzie są zbieżne; S4.3.1 właściwym systemem Diodorowskim; w S4.3 czas liniowy i ciągły (własc. gęsty); jeśli do S4.3 dodać np. formułę K(K((K Kp) Kp) (MKp Kp)) otrzyma się dyskretną sekwencję czasową (pomiędzy dwoma momentami istnieje nieskończenie wiele chwil).

S4.3.2 (S4F), S4.4, S5 S5: Jest konieczne, że p = p jest teraz prawdziwe i było zawsze i będzie zawsze prawdziwe ; jest możliwe, że p = Teraz jest prawdziwe lub kiedyś było prawdziwe lub kiedyś będzie prawdziwe

S4.3.2 (S4F), S4.4, S5 S5: Jest konieczne, że p = p jest teraz prawdziwe i było zawsze i będzie zawsze prawdziwe ; jest możliwe, że p = Teraz jest prawdziwe lub kiedyś było prawdziwe lub kiedyś będzie prawdziwe S4.4 słabszy od S5: logika końca świata aksjomat 4.4: MKφ φ K(φ φ), jeśli zdanie jest prawdziwe i możliwie konieczne, to jest konieczne; obecna chwila jest ostatnią chwilą, po której czas zamieni się w wieczność;

S4.3.2 (S4F), S4.4, S5 S5: Jest konieczne, że p = p jest teraz prawdziwe i było zawsze i będzie zawsze prawdziwe ; jest możliwe, że p = Teraz jest prawdziwe lub kiedyś było prawdziwe lub kiedyś będzie prawdziwe S4.4 słabszy od S5: logika końca świata aksjomat 4.4: MKφ φ K(φ φ), jeśli zdanie jest prawdziwe i możliwie konieczne, to jest konieczne; obecna chwila jest ostatnią chwilą, po której czas zamieni się w wieczność; S4.3.2 (4F): czas nie-rozgałęziony x y z((xry xrz (zry yrx))

Gdyby ktoś mniemał, że coś wie, to jeszcze nie wie, jak wiedzieć należy /1Kor 8, 2/

Hintikka o własnościach wiedzy Pojęcie wiedzy winno spełniać warunki klasycznej definicji: prawdziwość; przekonanie; coś jeszcze - konkluzywność, niepowątpiewalność.

Hintikka o własnościach wiedzy Pojęcie wiedzy winno spełniać warunki klasycznej definicji: prawdziwość; przekonanie; coś jeszcze - konkluzywność, niepowątpiewalność. Ważne: brak odwołania się do introspekcji.

Hintikka o własnościach wiedzy Pojęcie wiedzy winno spełniać warunki klasycznej definicji: prawdziwość; przekonanie; coś jeszcze - konkluzywność, niepowątpiewalność. Ważne: brak odwołania się do introspekcji. Stąd: relacja alternatywności winna być zwrotna i przechodnia. Przechodniość: wyraża warunek konkluzywności: w każdym możliwym świecie prawdziwe nie tylko p, ale i wie, że p

Hintikka o własnościach wiedzy Relacja dostępności nie może być symetryczna: Dwa argumenty: Jeśli sym(r) (czyli przyjmujemy aksjomat 5), to trzeba uznać wzór p K K p Można by dojść do wiedzy przez samą refleksję

Hintikka o własnościach wiedzy Relacja dostępności nie może być symetryczna: Dwa argumenty: Jeśli sym(r) (czyli przyjmujemy aksjomat 5), to trzeba uznać wzór p K K p Można by dojść do wiedzy przez samą refleksję Pewna przyszła wiedza możliwa do pogodzenia z tym, co wiem teraz, ale jeśli będę miał bogatszą wiedzę, niektóre ze zdań dziś znanych nie będą możliwe do pogodzenia z tą wiedzą

Hintikka o własnościach wiedzy Relacja dostępności nie może być symetryczna: Dwa argumenty: Jeśli sym(r) (czyli przyjmujemy aksjomat 5), to trzeba uznać wzór p K K p Można by dojść do wiedzy przez samą refleksję Pewna przyszła wiedza możliwa do pogodzenia z tym, co wiem teraz, ale jeśli będę miał bogatszą wiedzę, niektóre ze zdań dziś znanych nie będą możliwe do pogodzenia z tą wiedzą Stąd: prawdziwa logika wiedzy - S4

Własności przekonania W Knowledge and Belief mało rozważań dotyczących przekonań. Własności przekonań takie, jak własności wiedzy; jedyna różnica: przekonania nie muszą być prawdziwe

Własności przekonania W Knowledge and Belief mało rozważań dotyczących przekonań. Własności przekonań takie, jak własności wiedzy; jedyna różnica: przekonania nie muszą być prawdziwe Dlatego: doksastyczna alternatywność: przechodnia i seryjna Wniosek: przekonanie traktowane jest jako pewność

Własności przekonania W Knowledge and Belief mało rozważań dotyczących przekonań. Własności przekonań takie, jak własności wiedzy; jedyna różnica: przekonania nie muszą być prawdziwe Dlatego: doksastyczna alternatywność: przechodnia i seryjna Wniosek: przekonanie traktowane jest jako pewność Różnice wiedza - przekonanie widoczne lepiej dopiero przy iteracji tych pojęć

Lenzen o przekonaniach Przekonanie: mocne - pewność (überzeugt sein) p ma dla podmiotu absolutne prawdopodobieństwo słabe - mniemanie (glauben): dolna granica subiektywnego prawdopodobieństwa p może być określona jako 1/2

Lenzen o przekonaniach Przekonanie: mocne - pewność (überzeugt sein) p ma dla podmiotu absolutne prawdopodobieństwo słabe - mniemanie (glauben): dolna granica subiektywnego prawdopodobieństwa p może być określona jako 1/2

Mocne przekonanie C1 Cp Cq C(p q) C2 Cp C p (niesprzeczność przekonań) C3 P(p q) Pp Pq, gdzie Pp C p C4 C(p q) Cp Cq C5 Cp Cq C(p q) C6 (φ ψ) (Cφ Cψ) C9 φ Cφ

Mocne przekonanie C1 Cp Cq C(p q) C2 Cp C p (niesprzeczność przekonań) C3 P(p q) Pp Pq, gdzie Pp C p C4 C(p q) Cp Cq C5 Cp Cq C(p q) C6 (φ ψ) (Cφ Cψ) C9 φ Cφ E1 Cp KCp (pozytywna introspekcja) E2 Cp K Cp (negatywna introspekcja) E3 Kp Cp, a z tych zasad wynikają: C10 Cp CCp oraz C11 Cp C Cp

Mocne przekonanie C1 Cp Cq C(p q) C2 Cp C p (niesprzeczność przekonań) C3 P(p q) Pp Pq, gdzie Pp C p C4 C(p q) Cp Cq C5 Cp Cq C(p q) C6 (φ ψ) (Cφ Cψ) C9 φ Cφ E1 Cp KCp (pozytywna introspekcja) E2 Cp K Cp (negatywna introspekcja) E3 Kp Cp, a z tych zasad wynikają: C10 Cp CCp oraz C11 Cp C Cp Logika mocnego przekonania - KD45

Słabe przekonanie B1 B2 B3 B5 B6 Bp B p Bp BBp Bp B Bp (φ ψ) (Bφ Bψ) φ Bφ

Słabe przekonanie B1 Bp B p B2 Bp BBp B3 Bp B Bp B5 (φ ψ) (Bφ Bψ) B6 φ Bφ E4 Bp Cq B(p q) E5 Cp Bp E6 Bp KBp E7 Bp B Bp

Słabe pojęcie wiedzy Wiedza = prawdziwe mocne przekonanie: K p Cp p K*1 K p p K*2 K p K q K (p q) K*4 φ ψ (K φ K ψ) K*5 φ K p K*6 K p K K p (prosta konsekwencja (Def K*) oraz C10) E8 Cp K Cp

Słabe pojęcie wiedzy Wiedza = prawdziwe mocne przekonanie: K p Cp p K*1 K p p K*2 K p K q K (p q) K*4 φ ψ (K φ K ψ) K*5 φ K p K*6 K p K K p (prosta konsekwencja (Def K*) oraz C10) E8 Cp K Cp (5) K p K K p nie może być przyjęty bezwzględnie. Należy rozróżnić dwa przypadki: a) podmiot nie wie ponieważ nie jest dostatecznie przekonany, że p - zasada 5 obowiązuje (E8 obowiązuje); b) podmiot nie wie, że p, gdyż p jest fałszywe, choć podmiot jest silnie przekonany; nie wie, że nie wie, że p.

Słabe pojęcie wiedzy Wiedza = prawdziwe mocne przekonanie: K p Cp p K*1 K p p K*2 K p K q K (p q) K*4 φ ψ (K φ K ψ) K*5 φ K p K*6 K p K K p (prosta konsekwencja (Def K*) oraz C10) E8 Cp K Cp (5) K p K K p nie może być przyjęty bezwzględnie. Należy rozróżnić dwa przypadki: a) podmiot nie wie ponieważ nie jest dostatecznie przekonany, że p - zasada 5 obowiązuje (E8 obowiązuje); b) podmiot nie wie, że p, gdyż p jest fałszywe, choć podmiot jest silnie przekonany; nie wie, że nie wie, że p. Logika wiedzy (K*) jest zawarta pomiędzy systemami S4 a S5

Mocne pojęcie wiedzy K1 Kp p K2 Kp Kq K(p q) K4 (φ ψ) (Kφ Kψ) K5 φ Kψ K6 Kp KKp (KK teza)

Mocne pojęcie wiedzy K1 Kp p K2 Kp Kq K(p q) K4 (φ ψ) (Kφ Kψ) K5 φ Kψ K6 Kp KKp (KK teza) E9 Cp BKp E10 Cp CKp E11 CCp CKp

Mocne pojęcie wiedzy K1 Kp p K2 Kp Kq K(p q) K4 (φ ψ) (Kφ Kψ) K5 φ Kψ K6 Kp KKp (KK teza) E9 Cp BKp E10 Cp CKp E11 CCp CKp E9 -związek między przeświadczeniem, przekonaniem i wiedzą. E11 - wzmocnienie E9 i E10: wiedza i przeświadczenie są subiektywnie nierozróżnialne (osoba nie może rozstrzygnąć, czy jest tylko przeświadczona, że p czy też naprawdę wie, że p, choć obiektywnie taka różnica istnieje (tylko wiedza pociąga prawdziwość)

Przeświadczenie możliwą wiedzą Korzystając z zasad: E10 Cp CKp C2 CKp C Kp E3 Kp Cp E2 Cp K Cp

Przeświadczenie możliwą wiedzą Korzystając z zasad: E10 Cp CKp C2 CKp C Kp E3 Kp Cp E2 Cp K Cp łatwo udowodnić E12 Cp K Kp, które można traktować jako definicję przeświadczenia jako możliwej wiedzy.

Przeświadczenie możliwą wiedzą Korzystając z zasad: E10 Cp CKp C2 CKp C Kp E3 Kp Cp E2 Cp K Cp łatwo udowodnić E12 Cp K Kp, które można traktować jako definicję przeświadczenia jako możliwej wiedzy. Taka definicja możliwa w systemie S4.2; jego aksjomat 4.2 MKp KMp po zastosowaniu E12 przechodzi w zasadę E1 Cp KCp

Doksastyczna i epistemiczna alternatywność Relacja alternatywności epistemicznej w systemie S4.2: zwrotna, przechodnia i silnie (lub słabo) zbieżna;

Doksastyczna i epistemiczna alternatywność Relacja alternatywności epistemicznej w systemie S4.2: zwrotna, przechodnia i silnie (lub słabo) zbieżna; Relacja alternatywności doksastycznej w systemie KD45: seryjna, przechodnia i euklidesowa.

Doksastyczna i epistemiczna alternatywność Relacja alternatywności epistemicznej w systemie S4.2: zwrotna, przechodnia i silnie (lub słabo) zbieżna; Relacja alternatywności doksastycznej w systemie KD45: seryjna, przechodnia i euklidesowa. Definicja (D) xdy = df z(xrz zry) dołączona do własności alternatywności epistemicznej systemu S4.2 prowadzi do tego, że relacja D jest dostępnością doksastyczną określoną w KD45;

Doksastyczna i epistemiczna alternatywność Relacja alternatywności epistemicznej w systemie S4.2: zwrotna, przechodnia i silnie (lub słabo) zbieżna; Relacja alternatywności doksastycznej w systemie KD45: seryjna, przechodnia i euklidesowa. Definicja (D) xdy = df z(xrz zry) dołączona do własności alternatywności epistemicznej systemu S4.2 prowadzi do tego, że relacja D jest dostępnością doksastyczną określoną w KD45; Definicja (E) doksastycznej nierozróżnialności: idealny podmiot ma dokładnie te same przekonania w świecie możliwym x co w świecie y, czyli: (E) xey = df z(xdz ydz) ( E jest relacją równoważnościową)

Dla danego świata możliwego x można wyznaczyć trzy zbiory: E zbiór światów subiektywnie nierozróżnialnych od świata x (światy mające E-powiązanie z x) podzbiór R zbioru E światów możliwych do pogodzenia z tym, co podmiot wie (światy mające R-powiązanie z x) podzbiór D zbioru R światów możliwych do pogodzenia z tym, o czym podmiot jest przeświadczony (światy mające D-powiązanie z x).

Dla danego świata możliwego x można wyznaczyć trzy zbiory: E zbiór światów subiektywnie nierozróżnialnych od świata x (światy mające E-powiązanie z x) podzbiór R zbioru E światów możliwych do pogodzenia z tym, co podmiot wie (światy mające R-powiązanie z x) podzbiór D zbioru R światów możliwych do pogodzenia z tym, o czym podmiot jest przeświadczony (światy mające D-powiązanie z x). E-światy R-światy D-światy x

Minimalne rozszerzenie relacji D W jaki sposób rozszerzyć relację doksastycznej alternatywności, aby stała się ona alternatywnością epistemiczną?

Minimalne rozszerzenie relacji D W jaki sposób rozszerzyć relację doksastycznej alternatywności, aby stała się ona alternatywnością epistemiczną? Minimalne rozszerzenie łatwe: Założyć zwrotność relacji D; zbiór epistemicznie dostępnych światów = zbiór światów doksastycznie dostępnych plus świat aktualny.

Minimalne rozszerzenie relacji D W jaki sposób rozszerzyć relację doksastycznej alternatywności, aby stała się ona alternatywnością epistemiczną? Minimalne rozszerzenie łatwe: Założyć zwrotność relacji D; zbiór epistemicznie dostępnych światów = zbiór światów doksastycznie dostępnych plus świat aktualny. Wiedza to prawdziwe mocne przekonanie Kp = Cp p, czyli system S4.4.

Maksymalne rozszerzenie D Z pozytywnej i negatywnej introspekcji wynika, że wszystkie światy epistemicznie dostępne względem x są subiektywnie nierozróżnialne ze świata x ( x y(xry xey).

Maksymalne rozszerzenie D Z pozytywnej i negatywnej introspekcji wynika, że wszystkie światy epistemicznie dostępne względem x są subiektywnie nierozróżnialne ze świata x ( x y(xry xey). Utożsamiając R z maksymalnym rozszerzeniem D, otrzymamy definicję: xry = df (xdx xdy) ( xdx xey) To ujęcie wiedzy pozwala nam znać rzeczy, które wychodzą poza nasze stany wewnętrzne jedynie wtedy, gdy wszystkie nasze przekonania są prawdziwe. Logika tego pojęcia wiedzy S4F jest mocniejsza niż S4.2, ale słabsza niż logika minimalnego rozszerzenia, S4.4.

S4F jest badany w kontekstach niemonotonicznych w zastosowaniu do tzw. logik autoepistemicznych. W logikach tych zakłada się, że wszystkie zdania reprezentują wyłącznie przekonania podmiotu, a nie świat. Przekonania dzielone na: przekonania początkowe i rezultaty przekonań początkowych.

S4F jest badany w kontekstach niemonotonicznych w zastosowaniu do tzw. logik autoepistemicznych. W logikach tych zakłada się, że wszystkie zdania reprezentują wyłącznie przekonania podmiotu, a nie świat. Przekonania dzielone na: przekonania początkowe i rezultaty przekonań początkowych. Taka logika jest niemonotoniczna: Załóżmy, że początkowy zbiór przekonań jest pusty. Wówczas autoepistemiczną konsekwencją tego zbioru jest zdanie Kp (nie wiem, że p); czyli ae Kp. Teraz załóżmy, że zbiór początkowy wzbogacił się o p ({p}); mamy wówczas {p} ae Kp, a stąd ({p} ae Kp);