Krystyna Misiuna O pewnej logice informacji. Filozofia Nauki 19/1, 57-70
|
|
- Laura Janik
- 5 lat temu
- Przeglądów:
Transkrypt
1 O pewnej logice informacji Filozofia Nauki 19/1,
2 Filozofia Nauki Rok XIX, 2011, Nr 1(73) O pewnej logice informacji Głównym celem tego artykułu jest przedstawienie intuicyjnie adekwatnego systemu logiki operatora informacji jest poinformowany, że, który nie sprowadzałby się do znanych systemów logiki epistemicznej i doksastycznej. W systemach logiki epistemicznej prawo prawdziwości wiedzy: Kϕ ϕ nie opisuje adekwatnie operatora informacji, natomiast w systemach logiki doksastycznej prawo niesprzeczności przekonań: Bϕ B ϕ nie opisuje adekwatnie tego operatora. Oba te prawa powinny być wyłączone z adekwatnego systemu logiki informacji. Jednak nie tylko do tego sprowadza się taki system. System logiki informacji Σ, jaki prezentujemy w tym artykule, oparty jest na semantyce Kripkego dla logik modalnych i zawiera prawa, które nie występują w systemach logiki epistemicznej i doksastycznej, takie jak prawo niezupełności informacji: Iϕ I ϕ i Aksjomat Brouwerowski: ϕ I I ϕ. Dowodzimy niezupełności systemu Σ i pokazujemy, jak system ten można byłoby przedstawić jako system logiki dynamicznej w sensie van Benthema oraz porównujemy go z systemem logiki informacji, jaki zaproponował Floridi. 1. LOGIKI EPISTEMICZNE I DOKSASTYCZNE JAKO LOGIKI INFORMACJI Swoje obecne pojęcie informacji w dużym stopniu zawdzięczam J. Michaelowi Dunnowi, gdyż rozumiem informację jako treść zdania, które nie musi być prawdziwe ani uzasadnione, a nawet nie musi być przedmiotem czyjegoś przekonania. Dunn pisze:
3 58 Myślę, że jest częścią pragmatyki słowa informacja to, że kiedy ktoś pyta o informację, to oczekuje otrzymania prawdziwej informacji, lecz nie jest częścią semantyki, literalnego znaczenia tego terminu. 1 Takie ujęcie informacji czyni zjawisko informacji różnym od wiedzy, która tradycyjnie jest rozumiana jako uzasadnione i prawdziwe przekonanie. W innym swoim artykule przytaczam argumentację na rzecz tego, że te trzy własności wiedzy nie tworzą razem wystarczającego warunku wiedzy, a tym samym jeszcze jeden warunek konieczny wiedzy powinien być dodany, aby umożliwić uchylenie problemu Gettiera. 2 Zatem, w naszym ujęciu, zbiór sądów, które kwalifikujemy jako wiedzę, i zbiór sądów, które kwalifikujemy jako informację, krzyżują się. Takie ujęcie wydaje się najbliższe zarówno filozoficznym, jak też potocznym ideom dotyczącym tych dwóch pojęć. Ujęcie to kontrastuje z innym szeroko rozprzestrzenionym ujęciem wiedzy i informacji odwołującym się do klasycznej już dzisiaj pracy J. Hintikki (1962), gdzie pojęcie wiedzy i informacji używane są zamiennie, a co za tym idzie logiki epistemiczne i doksastyczne uważane są za logiki informacji. W tym samym nurcie mieszczą się również interesujące prace J. van Benthema dotyczące logiki dynamicznej. Praca Hintikki (1962), jak również niedawna monografia van Benthema i Martinez (2008), gdzie pojęcie wiedzy jest ekstensjonalnie tożsame z pojęciem informacji, wiedza jest parafrazowana jako najlepsza informacja, jaką posiada podmiot. Standardowa logika epistemiczna, potraktowana jako logika informacji, jest systemem zupełnym zbudowanym nad zupełnym systemem logiki zdań uzupełnionym o operatory modalne tworzące następujące formuły: K i ϕ, których zamierzone znaczenie jest i wie, że ϕ. Formuła K i ϕ posiada zamierzone znaczenie: i uważa ϕ za możliwe. Modele Kripkego dla takiego epistemicznego języka są strukturami relacyjnymi złożonymi z trzech zbiorów: zbioru światów możliwych (stanów, sytuacji) W; relacji dwuargumentowej między światami: i ; oraz funkcji wartościowania V rozumianej jako funkcja ze zbioru sądów atomowych w zbiór wszystkich podzbiorów W: V: P P(W). Światy w tych modelach reprezentują różne opcje tego, jaka mogłaby być aktualna sytuacja. Tak więc x i y jest parafrazowane jako w świecie x, i uważa y za możliwą opcję aktualnego świata. Hintikka (1962) definiuje tę relację jako relację zwrotną i przechodnią, a zatem, jako quasi-porządek. Zakłada przy tym, że mogą być różne takie relacje dla różnych podmiotów różniących się pod względem informacji. Własności formalne tych relacji dostępności mają wpływ na charakter praw epistemicznych, które zależą od własności formalnych danej relacji dostępności. Tak na przykład zwrotność relacji dostępności gwarantuje to, że prawo prawdziwości wiedzy: Kϕ ϕ, które jest epistemiczną wersją aksjomatu T należącego do systemu modalnego T, jest logicznie prawdziwe na ramach z relacją dostępności, która jest zwrotna. 1 Por. Dunn, 2008, Por. Misiuna 2010.
4 O pewnej logice informacji 59 Natomiast własność przechodniości gwarantuje logiczną prawdziwość prawu pozytywnej introspekcji, będącemu epistemiczną wersją aksjomatu 4 należącego do systemu modalnego S4: Kϕ KKϕ. Warunek prawdziwości formuły z operatorem epistemicznym K i przyjmuje następującą postać: V(K i ϕ, s) = 1 jeśli dla każdego t W takiego, że s i t, V(ϕ, t ) = 1. Idea, jaka kryje się poza tym warunkiem prawdziwości, sprowadza się do tego, że prawdziwa wiedza, jako najlepsza informacja, sprawia, że to, co jest prawdziwe, nie podlega zmianie we wszystkich opcjach rozważanych dla aktualnego świata. Tak na przykład zgodnie z moją najlepszą informacją druga wojna światowa zakończyła się w roku Moja wiedza o tym jest prawdziwa, jeśli sąd, że druga wojna światowa zakończyła się w 1945 roku pozostaje prawdziwy we wszystkich opcjach rozważanych dla aktualnego świata. Semantyka światów możliwych nie jest jedyną semantyką dla języka epistemicznego zawierającego operator wiedzy. Warta odnotowania jest również semantyka topologiczna, gdzie K i ϕ posiada następujące znaczenie: ϕ jest prawdziwe w pewnym otwartym sąsiedztwie danego punktu. 3 Jako logika informacji może być interpretowana także logika doksastyczna posiadająca operator B i ϕ, którego zamierzone znaczenie jest następujące: podmiot i jest przekonany, że ϕ, występujący w miejscu operatora wiedzy. Semantyka światów możliwych logiki epistemicznej odwołuje się do porządku częściowego x i,s y, którego zamierzona interpretacja jest następująca: w świecie s podmiot i uważa y za co najmniej tak samo możliwe jak x. Warunek prawdziwości zdania z operatorem przekonania przyjmuje następującą postać: V(B i ϕ, s) = 1 jeśli V(ϕ, t) = 1 dla każdego t maksymalnego w porządku x i,s y. Warunek ten wyraża ideę, że nasze przekonanie jest prawdziwe, jeśli sąd, o którym jesteśmy przekonani, jest prawdziwy w najbardziej prawdopodobnych dla nas opcjach. Jestem przekonana, że on przyjedzie jest prawdą, jeśli sąd, że on przyjedzie jest prawdziwy w najbardziej prawdopodobnych opcjach aktualnego świata. Jeśli prawdopodobieństwo, do jakiego tu się odwołujemy, interpretujemy subiektywnie, jako stopień oczekiwania, to powyższy warunek ujmuje powszechne przekonanie, że nasze przekonania mogą być fałszywe. Fałszywość ludzkich przekonań ma swoje konsekwencje dla naszego rozumienia relacji dostępności w modelach Kripkego: Relacja ta nie może być zwrotna, ponieważ zwrotność relacji dostępności zapewnia logiczną prawdziwość epistemicznemu prawu prawdziwości wiedzy. Jest to prawo logicznie prawdziwe na ramach, których relacja dostępności jest zwrotna. Wrócimy do praw logiki epistemicznej i doksastycznej poniżej. 3 Por. van Benthem i Bezhanishvili, 2007.
5 60 2. INTUICYJNE UJĘCIE INFORMACJI Claude a Shannona teoria komunikacji (1948) należy dzisiaj do klasycznych teorii informacji. Przedmiotem jego badania jest kanał komunikacyjny łączący źródło i odbiorcę informacji. Shannon postawił pytanie o to, jaki kanał komunikacyjny jest wiarygodny. Sugeruje on, że istnieje obiektywna miara informacji danej wiadomości, która wychodzi z danego źródła i kierowana jest do danego odbiorcy. Teoria Shannona identyfikuje wielkość informacji, związaną z wystąpieniem jakiegoś zdarzenia, z redukcją niepewności. Jej miara bierze pod uwagę odwrotność prawdopodobieństwa, a ściślej mówiąc, logarytm przy podstawie 2 odwrotności prawdopodobieństwa danego zdarzenia. Na przykład, jeśli mamy 8 równie prawdopodobnych możliwości i dokonujemy eliminacji tych możliwości przez wybór jednej z nich, to prawdopodobieństwo takiej jednej możliwości wynosi 1/8. Tym samym teoria Shannona daje nam wielkość 3 bity jako miarę wielkości informacji generowanej przez nasz wybór, ponieważ: Info(E) = log 2 [1/Prob(E)] = log 2 [1/1/8] = 3 bity. Zauważmy, że jeśli mamy 16 równie prawdopodobnych możliwości, to eliminując je przez wybór jednej z nich, nasze zdarzenie polegające na wyborze jednej z nich posiada prawdopodobieństwo równe 1/16, co w konsekwencji da nam 4 bity informacji generowanej przez nasz wybór, ponieważ log 2 [16] = 4. Informacja wygenerowana nie musi być identyczna z informacją przesłaną. Shannona teoria komunikacji pozwala na obliczenie ilościowej różnicy między tymi dwoma typami informacji. Różnica ta jest miarą wiarygodności kanału komunikacyjnego łączącego źródło informacji z jej odbiorcą. Wielkość informacji przesłanej równa jest wielkości informacji wygenerowanej minus wielkość statystycznej niezależności między zdarzeniami występującymi w miejscu jej źródła i w miejscu jej odbiorcy. Jeśli te dwa zdarzenia są absolutnie statystycznie niezależne, to wielkość informacji przesłanej jest równa zero. Wielkość tę otrzymujemy z następującej definicji informacji przesłanej: Info t (E) = Info g (E) Eq, gdzie Eq (niejednoznaczność) jest miarą statystycznej niezależności między zdarzeniami występującymi w miejscu źródła informacji i w miejscu jej odbiorcy. Jeśli mamy do czynienia z wiarygodnym kanałem informacji, wielkość niejednoznaczności Eq jest równa zero, i w konsekwencji cała informacja wygenerowana przez źródło osiąga swój cel. W takim przypadku mówimy o maksymalnej komunikacji. Jednak może się tak zdarzyć, że Eq > 0. Jeśli w naszym przykładzie Eq = 3 bity, to wielkość informacji przesłanej będzie równa 0. W takim przypadku mówimy o zerowej komunikacji. Fred Dretske (2008) wykorzystuje Shannona teorię informacji w epistemologii. Pojęcie kanału informacyjnego może być wykorzystane w epistemologii, jeśli od-
6 O pewnej logice informacji 61 biorcę informacji utożsamimy z tym, kto zdobywa wiedzę, a źródło informacji z tym, kto posiada wiedzę. Rodzi się wtedy pytanie o to, jakie warunki powinny być spełnione, aby zdarzenia, jakie mają miejsce w źródle informacji, były znane temu, kto zdobywa wiedzę. Zgodnie z tym, co proponuje Dretske, tylko wtedy, gdy wielkość informacji przesłanej jest ta sama, jak wielkość informacji wygenerowanej, mogą być znane zdarzenia mające miejsce w źródle. Dretske podkreśla, że dowolny fakt empiryczny może być znany tyko wtedy, gdy wielkość niejednoznaczności równa jest zero. Jeśli założymy, że żaden kanał informacyjny nie jest całkowicie wolny od niejednoznaczności, to musimy przyjąć, że żadna informacja nie może być w pełni przesłana, a w konsekwencji, że nic nie jest znane. Takie rozumienie wiedzy może prowadzić do wiedzy rozumianej jako wiedza obiektywna lub subiektywna w zależności od tego, jak rozumiemy informację, a w szczególności pojęcie prawdopodobieństwa występujące w jej definicji. Jeśli prawdopodobieństwo jest rozumiane obiektywnie jako częstość, informacja i wiedza, oparte na takim rozumieniu prawdopodobieństwa, są również obiektywne. Jeśli natomiast mamy do czynienia z subiektywną interpretacją prawdopodobieństwa jako stopnia naszego oczekiwania, to informacja i wiedza rozumiane są subiektywnie. Dretske (1981) proponuje obiektywną interpretację wiedzy opartą na teorii kauzalnej, zgodnie z którą przekonanie jest wiedzą, jeśli powiązane jest relacją przyczynową z faktami. Uderzającą własnością pojęcia informacji, jakie spotykamy u Dretskego, jest to, że informacja z definicji jest prawdziwa. Takie pojmowanie informacji umożliwia bliski związek między informacją a wiedzą: Poszukujemy informacji, aby uzyskać wiedzę. Dretske pisze: 4 Jeśli nic, co ci powiedziano, nie jest prawdziwe, możesz opuścić punkt informacyjny z mnóstwem fałszywych przekonań, lecz nie opuścisz go z wiedzą. Nie opuścisz go z wiedzą, ponieważ nie zostało ci dane to, co potrzebujesz wiedzieć: informacja. Informacja jest dla Dretskego koniecznym warunkiem wiedzy, ponieważ rozumie on przez informację prawdziwe treści. Jest to pogląd przeciwny do tego, o jakim wspominaliśmy wcześniej, zgodnie z którym informacja nie musi być prawdziwym sądem. Być może te dwa przeciwstawne poglądy są konsekwencją rozróżnienia między informacją a treścią, jakie zostało wprowadzone przez Carnapa i Bar-Hillela, którzy uważają te dwa pojęcia za dualne. Informacja rozumiana jest przez nich jako zbiór stanów opisowych (które są koniunkcjami zdań atomowych i ich negacji), który czyni sąd prawdziwym; natomiast treść jako zbór stanów opisowych, który czyni sąd fałszywym. Przy tym rozumieniu informacji i treści, zachodzą między tymi dwoma pojęciami następujące równości: 5 Info(A B) = Info(A) Info(B); Info(A B) = Info(A) Info(B); 4 Por. Dretske 2008, Por. Bar-Hillel
7 62 Cont(A B) = Cont(A) Cont(B); Cont(A B) = Cont(A) Cont(B). Relacja między informacją jako wiedzą a informacją jako treścią sądu wymaga dalszego badania. Na użytek tego artykułu będziemy zakładali, że zbiór informacji i zbiór sądów będących wiedzą krzyżują się. Na rzecz takiego rozumienia informacji argumentuję w innym miejscu. 6 Tak więc podam tu tylko przykłady wiedzy niebędącej informacją. Do zbioru sądów będących wiedzą zaliczamy sądy logicznie prawdziwe, które nie należą do sądów będących informacją. Poza tego rodzaju sądami do wiedzy zaliczmy sądy introspekcyjne, takie jak na przykład: Wiem, że nie wiem, która jest teraz godzina, które nie należą do sądów będących informacją. Relacje dostępności, ze względu na które logicznie prawdziwe są odpowiednie prawa logiki epistemicznej, podane zostały w tabeli poniżej wraz z tymi prawami. Pierwsze prawo występujące w tej tabeli, znane jako prawo dystrybucji wiedzy, jest logicznie prawdziwe przy każdej relacji dostępności, a więc w każdej ramie. Prawo logiki epistemicznej Własność relacji i Nazwa K(ϕ ψ) (Kϕ Kψ) -- Prawo dystrybucji wiedzy Kϕ ϕ Zwrotność Prawo prawdziwości wiedzy Kϕ KKϕ Przechodniość Prawo pozytywnej introspekcji Kϕ K Kϕ Przechodniość, Symetryczność Prawo negatywnej introspekcji Tabela 1. Prawa logiki epistemicznej i ich relacje dostępności Prawa wyróżnione w Tabeli 1 należą do systemu modalnego S5, gdzie operator konieczności został zastąpiony operatorem K. Podobna tabela wylicza prawa logiki doksastycznej oraz własności formalne relacji dostępności, przy których prawa te są logicznie prawdziwe. Prawo logiki przekonań Własność relacji i,s Nazwa B(ϕ ψ) (Bϕ Bψ) -- Prawo dystrybucji przekonań Bϕ B ϕ Seryjność Prawo niesprzeczności przekonań Bϕ BBϕ Przechodniość Prawo pozytywnej introspekcji Bϕ B Bϕ Przechodniość, Symetryczność Prawo negatywnej introspekcji Tabela 2. Prawa logiki przekonań i ich relacje dostępności Powstaje pytanie, czy odpowiednie systemy wiedzy i przekonań akceptowalne są jako intuicyjnie adekwatne systemy informacji. System logiki doksastycznej wydaje 6 Por. przypis 1.
8 O pewnej logice informacji 63 się bliższy intuicyjnie adekwatnemu systemowi logiki informacji niż system logiki epistemicznej ze względu na brak prawa prawdziwości przekonań. Jak zauważyliśmy wcześniej, informacja w naszym rozumieniu nie musi być prawdziwa. Jak często rzeczywiście nie jest prawdziwa! Czy oznacza to, że prawa doksastyczne wymienione w Tabeli 2 powinny być przyjęte jako prawa logiki informacji? Odpowiedź powinna być negatywna, ponieważ intuicyjnie prawo niesprzeczności przekonań nie powinno być prawem logiki informacji. Może bowiem się zdarzyć, i rzeczywiście się zdarza, że nasza informacja jest sprzeczna. Poza tym, trzy pozostałe prawa powinny być uzupełnione przez inne prawa, które są specyficznymi prawami informacji. Natomiast prawo pozytywnej introspekcji wymaga komentarza, gdy odnosimy je do informacji. Nie jest ono kontrowersyjne, jeśli opisuje informację świadomego podmiotu, lecz może być kontrowersyjne, gdy odnosimy je do przepływu informacji w innych systemach, na przykład, gdy odnosimy je do przepływu informacji genetycznej. Prawo negatywnej introspekcji odniesione do informacji nie opisuje wystarczająco logiki nieposiadania informacji. Chodzi o to, że może być tak, że jeśli nie mamy informacji, że ϕ implikuje, że nie mamy informacji, że ϕ. Prawo negatywnej introspekcji obejmuje następujące przykłady: Jeśli nie mam informacji, że będzie jutro padało, to mam informację, że nie będzie jutro padało. Jeśli nie mam informacji, że mam złamaną nogę, to mam informację, że moja noga nie jest złamana etc. Rozważmy teraz następujący przykład. Jeśli nie mam informacji, że 12 4 = , to mam informację, że nie zachodzi równość 12 4 = Wydaje się, że w odniesieniu do powyższego przykładu prawo negatywnej introspekcji zawodzi. To, co wydaje się intuicyjnie prawdziwe, jest następującą implikacją: Jeśli nie mam informacji, że 12 4 = , to nie mam informacji, że nie zachodzi równość 12 4 = Do naszej logiki informacji włączymy również Aksjomat Brouwerowski, który odnosi się do takich przykładów jak ten podany niżej: Jeśli = 4, to posiadam informację, że nie mam informacji, że nie jest tak, że = SYSTEM Σ Naszą logikę informacji tworzy system logiki modalnej K, w którym operator konieczności został zastąpiony operatorem I, wraz z czterema innymi aksjomatami,
9 64 które zebrane zostały w Tabeli 3 poniżej. Prawo dystrybucji informacji jest aksjomatem systemu K, w którym dokonano wspomnianego podstawienia. Jeśli chodzi o reguły inferencji, to pozostają one takie, jak w systemie K, czyli: reguła podstawiania, reguła modus ponens i odpowiednik reguły Gödla: Jeśli ϕ jest twierdzeniem, to twierdzeniem jest również Iϕ. Prawo logiki informacji Własność relacji R Nazwa I(ϕ ψ) (Iϕ Iψ) -- Prawo dystrybucji informacji Iϕ I Iϕ Przechodniość Prawo pozytywnej introspekcji Iϕ I ϕ Przechodniość, Symetryczność Prawo negatywnej introspekcji Iϕ I ϕ Przechodniość, Niesymetryczność Prawo niezupełności informacji ϕ I I ϕ Symetryczność Aksjomat Brouwerowski Tabela 3. Prawa logiki informacji Σ i ich relacje dostępności Tabela 3 zawiera jedno specyficzne prawo informacji prawo niezupełności informacji. Będziemy oznaczali to prawo symbolem I. Nazwa tego prawa wyraża jego znaczenie, które mówi nam, że w niektórych przypadkach nie mamy informacji, że ϕ i zarazem nie mamy informacji, że non-ϕ. Musimy wykazać, że prawo to jest logicznie prawdziwe na ramach, w których relacja dostępności jest przechodnia i niesymetryczna. Jednak zanim przejdziemy do tego dowodu, musimy sformułować warunki prawdziwości dla formuł z operatorem I, których zamierzona interpretacja mogłaby być wyrażona słowami: istnieje informacja, że ϕ lub bycie poinformowanym, że ϕ. Definicja 1: Niech <W, R, V> będzie modelem, gdzie V jest funkcją interpretacji, natomiast t, s W, wtedy: (Z) Dla dowolnej zmiennej zdaniowej p i dla dowolnego s W, albo V(p, s) = 1, albo V(p, s) = 0. ( ) Dla dowolnej formuły ϕ i dla dowolnego s W, V( ϕ, s) = 1 jeśli V(ϕ, s) = 0; w przeciwnym wypadku V( ϕ, s) = 0. ( ) Dla dowolnych formuł ϕ i ψ i dla dowolnego s W, V((ϕ ψ), s) = 1 jeśli V(ϕ, s) = 1 i V(ψ, s) = 1; w przeciwnym wypadku V((ϕ ψ), s) = 0. (I) V(Iϕ, s) = 1, jeśli dla każdego t takiego, że srt V(ϕ, t) = 1; w przeciwnym wypadku V(Iϕ, s) = 0. Nasze światy możliwe to stany mentalne podmiotu. Tak więc warunek (I) mówi nam, że posiadana informacja, że ϕ uważana jest za prawdziwą w stanie mentalnym s wtedy, gdy we wszystkich stanach mentalnych, które pozostają w relacji R do stanu
10 O pewnej logice informacji 65 s, ϕ uważane jest za prawdziwe. Skorzystamy z powyższej definicji dowodząc, że prawo niezupełności informacji jest logicznie prawdziwe na ramach przechodnich i niesymetrycznych. Twierdzenie 1: Prawo niezupełności informacji: Iϕ I ϕ jest logicznie prawdziwe na każdej niesymetrycznej i przechodniej ramie, czyli ramie, której relacja dostępności jest niesymetryczna i przechodnia. Dowód: Niech <W, R, V> będzie dowolnym modelem Kripkego z niesymetryczną ramą. Jest to rama, w której relacja dostępności R posiada następującą własność: istnieją pary światów w i w należące do W, takie, że wrw i w Rw oraz takie, że wrw i w Rw. Załóżmy, że dla pewnego w W, V(p, w) = 1. Rozważmy teraz dowolny świat w taki, że wrw. Ponieważ relacja R jest niesymetryczna, to również mamy w Rw dla pewnego w. A zatem, ponieważ V(p, w) = 1, warunek (I) powyższej Definicji 1 daje nam V(Ip, w ) = 0, ponieważ nie jest tak, że dla wszystkich w takich, że w Rw, V(p, w) = 1. Stąd dostajemy V( Ip, w ) = 1. Ponieważ V(p, w) = 1, więc V( p, w) = 0. Natomiast warunek (I) Definicji 1 daje nam V(I p, w ) = 0, ponieważ nie jest tak, że dla wszystkich w takich, że w Rw, V( p, w) = 1. Stąd dostajemy V( I p, w ) = 1. Zatem ilekroć Ip jest prawdziwe w jakimś świecie, to prawdziwe jest I p, pod warunkiem, że R jest niesymetryczna, a więc Ip I p jest logicznie prawdziwe na każdej niesymetrycznej ramie. Teraz pokażemy, że nie jest możliwe wykazanie fałszywości prawa niezupełności informacji na dowolnej przechodniej ramie. Niech W składa się z trzech światów: w, w i w. Załóżmy ponadto, że każdy świat jest w relacji R do siebie samego oraz w jest w relacji R do w, w jest w relacji R do w, a w jest w relacji R do w. Niech teraz p będzie prawdziwe w świecie w i w, lecz fałszywe w świecie w. Wtedy warunek (I) Definicji 1 daje nam V(Ip, w) = 0, natomiast V( Ip, w) = 1. Również V(I p, w) = 0, więc V( I p, w) = 1. Zatem V( Ip I p) = 1. Ten sam wynik dostaniemy, jeśli założymy, że p jest prawdziwe w w. Zatem prawo niezupełności informacji jest logicznie prawdziwe na każdej niesymetrycznej i przechodniej ramie, co kończy dowód Twierdzenia 1. Q.E.D. Twierdzenie 2: System Σ jest niezupełny. Dowód: Naszą logikę informacji stanowi system Σ, na który składają się aksjomaty systemu K, w których zastępujemy operator konieczności operatorem I oraz następujące aksjomaty: 4 (prawo pozytywnej introspekcji), E (prawo negatywnej introspekcji), I (prawo niezupełności informacji), B (Aksjomat Brouwerowski), w których obowiązuje to samo zastąpienie symboli, co w systemie K. Wiadomo, że aksjomat 4 jest logicznie prawdziwy na ramach, w których relacja dostępności jest przechodnia, aksjomat E jest logicznie prawdziwy na ramach, w których relacja dostępności jest przechodnia i symetryczna, natomiast aksjomat B jest logicznie prawdziwy na ramach, w których relacja R jest symetryczna. Ponieważ wykazaliśmy, że
11 66 aksjomat I jest logicznie prawdziwy na ramach z relacją niesymetryczną i przechodnią, więc system Σ nie posiada niesprzecznej klasy ram, ze względu na którą mógłby być zupełny. A zatem Σ jest niezupełny, co kończy dowód Twierdzenia 2. Q.E.D. 4. PORÓWNANIE Z SYSTEMEM LOGIKI INFORMACJI IL FLORIDIEGO Po napisaniu tego artykułu miałam możliwość zapoznania się z pracą Luciano Floridiego (2006), który stawia sobie podobny cel do tego, który postawiliśmy w tym artykule, a mianowicie podanie intuicyjnie zadowalającej aksjomatyki logiki informacji, a dokładniej mówiąc logiki operatora bycie poinformowanym, że. 7 System logiki Floridiego jest jednak zdecydowanie odmienny od naszego systemu Σ, a o wyborze takich, a nie innych aksjomatów przesądziły odmienne intuicje, jakie łączy Floridi z pojęciem informacji. Najważniejsze aksjomaty systemu Floridiego IL zostały zebrane w Tabeli 4 poniżej. Aksjomat logiki IL I(ϕ ψ) (Iϕ I ψ) Iϕ ϕ ϕ I I ϕ Iϕ I ϕ I(ϕ χ) (I(χ ψ) I(ϕ ψ)) I x I y ϕ I x ϕ Nazwa Aksjomat dystrybucji informacji Aksjomat prawdziwości informacji Aksjomat Brouwerowski Aksjomat niesprzeczności informacji Aksjomat przesyłania informacji Aksjomat Hintikki Tabela 4. Aksjomaty logiki informacji systemu IL Floridiego Floridi, podobnie jak Dretske, uważa, że fałszywa informacja nie jest rodzajem informacji, gdyż każda informacja jest dla niego z definicji prawdziwa, stąd wśród aksjomatów jego systemu znajdujemy aksjomat prawdziwości informacji, którego nie ma w systemie Σ. Przy tym rozumieniu prawdziwość, podobnie jak w przypadku wiedzy, jest warunkiem koniecznym informacji, gdyż jeśli podmiot P jest poinformowany, że p, to p jest prawdziwe. Takie ujęcie informacji, musimy podkreślić, spotkało się z krytyką wielu innych autorów, z których najbardziej przekonujący jest Fetzer (2004), odwołujący się do licznych i trafnych przykładów fałszywych informacji zaczerpniętych z życia codziennego. Są informacje, które są zarazem wiedzą, i te informacje są prawdziwe, ale są też informacje, które nie są wiedzą, którym nie musi przysługiwać własność prawdy. Co do aksjomatu niesprzeczności, który również nie figuruje w systemie Σ, to Floridi jest skłonny do przyjęcia jego normatywnej interpretacji, tak jak jest on cza- 7 Zob. Floridi 2006, 436.
12 O pewnej logice informacji 67 sami interpretowany w logikach doksastycznych: Jeśli podmiot P ma informację, że pociąg odchodzi o godzinie 10.30, to podmiot P nie powinien mieć informacji, że pociąg nie odchodzi o godzinie 10.30, co Floridi chce interpretować jako ograniczenie nałożone na pojęcie informacji, przy którym podmioty posiadające sprzeczne informacje nie są brane pod uwagę. 8 Z kolei nie włącza Floridi do swej aksjomatyki praw introspekcji, które należą do systemu Σ, tylko dlatego, że semantyka systemu Σ, będąca semantyką światów możliwych, zakłada rozumienie świata możliwego jako stanu mentalnego, a tym samym zawęża pojęcie informacji do podmiotów świadomych. Floridi, słusznie naszym zdaniem, przypisuje informację obiektom nieświadomym: sztucznym lub biologicznym. Jest sprawą dyskusyjną, czy zwierzęta przejawiać mogą introspekcję będąc podmiotami informacji. Jednakże Floridi nie jest konsekwentnym zwolennikiem rozszerzenia pojęcia informacji na podmioty niewyposażone w umysł, gdyż włącza do swego systemu informacji aksjomat Brouwerowski, który mówi o tym, że jeśli ϕ jest prawdziwe, to podmiot P jest poinformowany o tym, że nie posiada informacji, że ϕ, a zatem podmiot P wyposażony jest w coś, co czyni go zdolnym do posiadania takiej introspekcyjnej informacji. Dwa ostatnie z aksjomatów wymienionych w Tabeli 4 nie występują w systemie Σ. Są to aksjomaty opisujące przesyłanie informacji. Tak na przykład aksjomat Hintikki mówi, że jeśli X jest poinformowany, że Y jest poinformowany, że pociąg do miejscowości Z odchodzi o czasu lokalnego, to X jest poinformowany, że pociąg do miejscowości Z odchodzi o czasu lokalnego. Niewystępowanie tych dwóch aksjomatów w naszym systemie nie oznacza jednak, że system ten nie mógłby zostać rozszerzony, aby również objąć ten aspekt zjawiska informacji, jaki opisywany jest przez te aksjomaty. 5. LOGIKA INFORMACJI JAKO LOGIKA DYNAMICZNA Pojęcie informacji jest ściśle związane z pojęciem komunikacji i pojęciem przepływu informacji, którym poświęca się dużo uwagi w najnowszych pracach Johana van Benthema. W życiu codziennym mamy do czynienia ze zjawiskiem komunikacji i zjawiskiem przepływu informacji wtedy, kiedy zadajemy pytania i otrzymujemy odpowiedzi, jak to pokazuje poniższy przykład: A zadaje pytanie ψ?, B udziela prawdziwej odpowiedzi Tak. Przykład ten jest najprostszym przykładem znanego zjawiska wspólnej wiedzy, że ψ, ponieważ dwie osoby A i B wiedzą, że ψ, jeśli prawdziwa odpowiedź udzielona jest przez osobę B. Możemy uogólnić to zjawisko włączając również zjawisko udzielenia przez B odpowiedzi fałszywej. Zakładając, że te dwa przypadki mogą mieć miejsce, 8 Zob. Floridi 2006, 441.
13 68 zjawisko ilustrowane przez powyższy przykład będziemy nazywali zjawiskiem wspólnej informacji. Rozważmy osobę B udzielającą osobie A nowej informacji. W takim przypadku akt osoby B jest publicznym obwieszczeniem o fakcie ψ, co będziemy oznaczali przez:!ψ. Możemy również do publicznych obwieszczeń włączyć takie przypadki, kiedy stwierdzenie ψ jest fałszywe. Każde publiczne obwieszczenie zmienia jakoś mój stan informacji, jako odbiorcy tego obwieszczenia. Opiszemy tę sytuację formalnie mówiąc, że model (M, s), gdzie s jest światem aktualnym, zmienia się w pod-model (M ψ, s), którego dziedziną jest nowy zbiór: albo ograniczony do tych światów, w których stwierdzenie ψ jest prawdziwe, albo ograniczony do tych światów, gdzie stwierdzenie ψ jest fałszywe. W taki sposób wkraczamy w obszar logiki publicznych obwieszczeń, jeśli tylko odpowiednio rozszerzymy język naszego systemu Σ. Będziemy teraz mieli możliwość utworzenia formuły takiej jak poniżej: [!ψ]ϕ posiadającej następującą zamierzoną interpretację: po obwieszczeniu ψ, ϕ jest prawdziwe w świecie aktualnym. Uogólnione warunki prawdziwości tego typu formuł podaje następująca definicja. 9 Definicja 2: V([!ψ], s) = 1 wtedy, gdy jeśli V(ψ, s) = 1, to dla każdego t takiego, że V(ψ, t) = 1, V(ϕ, t) = 1. V([!ψ]ϕ, s) = 1 wtedy, gdy jeśli V(ψ, s) = 0, to dla każdego t takiego, że V(ψ, t) = 0, V(ϕ, t) = 1. V([!ψ]ϕ, s) = 0 wtedy, gdy jeśli V( ψ, s) = 1, to dla pewnego t takiego, że V(ψ, t) = 1, V(ϕ, t) = 0. V([!ψ]ϕ, s) = 0 wtedy, gdy jeśli V(ψ, s) = 0, to dla pewnego t takiego, że V(ψ, t) = 0, V(ϕ, t) = 0. Pierwszy warunek tej definicji mówi, że po obwieszczeniu ψ, ϕ jest prawdziwe w świecie s, jeśli zachodzi następujący warunek: jeśli ψ jest prawdziwe w s, wtedy dla wszystkich światów t takich, że ψ jest prawdziwe w t, ϕ jest prawdziwe w t. Jest to tylko jedna z możliwości, kiedy [!ψ]ϕ jest prawdziwe w s. Inna możliwość została wyrażona przez nasz drugi warunek. Warunek ten stwierdza, że po obwieszczeniu ψ, ϕ jest prawdziwe w świecie s, jeśli zachodzi następujący warunek: jeśli ψ jest fałszywe w świecie s, to dla wszystkich światów t takich, że ψ jest fałszywe w t, ϕ jest prawdziwe w t. Warunek ten opisuje przypadek fałszywej informacji, czyli to, że po 9 Definicja ta jest uogólnieniem definicji, jaką podaje van Benthem. Por. van Benthem 2009, 135.
14 O pewnej logice informacji 69 obwieszczeniu ψ, ϕ pozostaje prawdziwe w świecie s niezależnie od fałszywości ψ w s i we wszystkich innych światach. Dwa ostatnie warunki Definicji 2 mówią, kiedy formuła [!ψ]ϕ jest fałszywa w świecie s. W jednym przypadku jest tak wtedy, gdy jeśli ψ jest prawdziwe w świecie s oraz w niektórych światach t, to ϕ jest fałszywe w świecie t. W drugim przypadku jest tak wtedy, gdy jeśli ψ jest fałszywe w świecie s oraz w niektórych światach t, ϕ jest fałszywe w świecie t. 6. KONKLUZJE Logiki epistemiczne i doksastyczne oparte są na pewnych założeniach, które wydają się nieintuicyjne, gdy chcemy stosować je do tego pojęcia informacji, którym się posługujemy, mówiąc np. o informacji w Internecie. Pojęcie to w tym rozumieniu przeciwstawiane jest pojęciu wiedzy rozumianej jako prawdziwe i uzasadnione przekonanie. W takiej sytuacji jesteśmy zmuszeni do rozwinięcia nowej logiki informacji, a w szczególności logiki pojęcia posiadania informacji lub bycia poinformowanym. Nasz system Σ miałby odpowiadać takim potrzebom. Charakterystyczną cechą tego systemu jest jego aksjomat nazywany przez nas prawem niezupełności. Obecność tego aksjomatu, posiadającego wiele podpadających pod niego konkretnych przypadków, jest powodem tego, że system Σ jest niezupełny. Z formalnego punktu widzenia zatem nasz system jest mniej elegancki niż zupełne systemy logiki epistemicznej i doksastycznej, lecz z drugiej strony system ten jest bardziej realistyczny, ponieważ opisuje istotną własność informacji, z jaką skończone jednostki ludzkie mają do czynienia, a mianowicie jej niezupełność. System ten może być uogólniony do logiki dynamicznej, jeśli pominiemy założenie, że wynikiem aktu obwieszczania jest prawdziwe stwierdzenie. LITERATURA Bar-Hillel, Y. ( ). Information and Content: A Semantic Analysis, Synthese 9, s van Benthem, J. (2009). Actions That Make Us Know, [w:] New Essays on the Knowability Paradox, ed. J. Salerno, Oxford: Oxford University Press, s van Benthem i G. Bezhanishvili (2007). Modal Logics of Space, [w:] Handbook of Spatial Logics, ed. M. Aiello, I. Pratt, J. van Benthem, Dordrecht: Springer, s van Benthem, J. i M. Martinez (2008). The Stories of Logic and Information, [w:] Philosophy of Information, ed. P. Adriaans, J. van Benthem, Amsterdam: Elsevier, s Dretske, F. (1981). Knowledge and the Flow of Information, Cambridge, MA: MIT Press. Dretske, F. (2008). Epistemology and Information, [w:] Philosophy of Information, ed. P. Adriaans, J. van Benthem, Amsterdam: Elsevier, s Dunn, J.M. (2008). Information in Computer Science, [w:] Philosophy of Information, ed. P. Adriaans, J. van Benthem, Amsterdam: Elsevier, s Fetzer, J.H. (2004). Information. Does It Have to be True?, Minds and Machines 14, Floridi, L. (2006). The Logic of Being Informed, Logique et Analyse 196, Hintikka, J. (1962). Knowledge and Belief, Ithaca: Cornel University Press.
15 70 Misiuna, K. (2010). O wartości prawdy, Przegląd Filozoficzny, 73, Shannon, C. E. (1948). A Mathematical Theory of Communication, Bell System Technical Journal, 27, i
Andrzej Wiśniewski Logika II. Wykłady 10b i 11. Semantyka relacyjna dla normalnych modalnych rachunków zdań
Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykłady 10b i 11. Semantyka relacyjna dla normalnych modalnych rachunków zdań 1 Struktury modelowe Przedstawimy teraz pewien
Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 14. Wprowadzenie do logiki intuicjonistycznej
Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 14. Wprowadzenie do logiki intuicjonistycznej 1 Przedstawione na poprzednich wykładach logiki modalne możemy uznać
Logika Stosowana. Wykład 1 - Logika zdaniowa. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017
Logika Stosowana Wykład 1 - Logika zdaniowa Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 30 Plan wykładu 1 Język
Paradoks wszechwiedzy logicznej (logical omniscience paradox) i wybrane metody jego unikania
Logika w zastosowaniach kognitywistycznych Paradoks wszechwiedzy logicznej (logical omniscience paradox) i wybrane metody jego unikania (notatki do wykładów) Andrzej Wiśniewski Andrzej.Wisniewski@amu.edu.pl
Logika Stosowana. Wykład 7 - Zbiory i logiki rozmyte Część 3 Prawdziwościowa logika rozmyta. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW
Logika Stosowana Wykład 7 - Zbiory i logiki rozmyte Część 3 Prawdziwościowa logika rozmyta Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika
LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW
LOGIKA I TEORIA ZBIORÓW Logika Logika jest nauką zajmującą się zdaniami Z punktu widzenia logiki istotne jest, czy dane zdanie jest prawdziwe, czy nie Nie jest natomiast istotne o czym to zdanie mówi Definicja
Wprowadzenie do logiki epistemicznej. Przekonania i wiedza
Logika w zastosowaniach kognitywistycznych Wprowadzenie do logiki epistemicznej. Przekonania i wiedza (notatki do wykładów) Andrzej Wiśniewski Andrzej.Wisniewski@amu.edu.pl wersja beta 1.1 (na podstawie:
Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 15. Trójwartościowa logika zdań Łukasiewicza
Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 15. Trójwartościowa logika zdań Łukasiewicza 1 Wprowadzenie W logice trójwartościowej, obok tradycyjnych wartości logicznych,
RACHUNEK ZDAŃ 7. Dla każdej tautologii w formie implikacji, której poprzednik również jest tautologią, następnik także jest tautologią.
Semantyczne twierdzenie o podstawianiu Jeżeli dana formuła rachunku zdań jest tautologią i wszystkie wystąpienia pewnej zmiennej zdaniowej w tej tautologii zastąpimy pewną ustaloną formułą, to otrzymana
Elementy logiki. Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń
Elementy logiki Wojciech Buszkowski Wydział Matematyki i Informatyki UAM Zakład Teorii Obliczeń 1 Klasyczny Rachunek Zdań 1.1 Spójniki logiczne Zdaniem w sensie logicznym nazywamy wyrażenie, które jest
Egzamin z logiki i teorii mnogości, rozwiązania zadań
Egzamin z logiki i teorii mnogości, 08.02.2016 - rozwiązania zadań 1. Niech φ oraz ψ będą formami zdaniowymi. Czy formuła [( x : φ(x)) ( x : ψ(x))] [ x : (φ(x) ψ(x))] jest prawem rachunku kwantyfikatorów?
Matematyka ETId Elementy logiki
Matematyka ETId Izolda Gorgol pokój 131A e-mail: I.Gorgol@pollub.pl tel. 081 5384 563 http://antenor.pol.lublin.pl/users/gorgol Zdania w sensie logicznym DEFINICJA Zdanie w sensie logicznym - zdanie oznajmujace,
Np. Olsztyn leży nad Łyną - zdanie prawdziwe, wartość logiczna 1 4 jest większe od 5 - zdanie fałszywe, wartość logiczna 0
ĆWICZENIE 1 Klasyczny Rachunek Zdań (KRZ): zdania w sensie logicznym, wartości logiczne, spójniki logiczne, zmienne zdaniowe, tabele prawdziwościowe dla spójników logicznych, formuły, wartościowanie zbioru
Elementy logiki i teorii mnogości
Elementy logiki i teorii mnogości Zdanie logiczne Zdanie logiczne jest to zdanie oznajmujące, któremu można przypisać określoną wartość logiczną. W logice klasycznej zdania dzielimy na: prawdziwe (przypisujemy
Algebrę L = (L, Neg, Alt, Kon, Imp) nazywamy algebrą języka logiki zdań. Jest to algebra o typie
3. Wykłady 5 i 6: Semantyka klasycznego rachunku zdań. Dotychczas rozwinęliśmy klasyczny rachunek na gruncie czysto syntaktycznym, a więc badaliśmy metodę sprawdzania, czy dana formuła B jest dowodliwa
Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki
Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 5. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.5. Wynikanie logiczne 1 Na poprzednim wykładzie udowodniliśmy m.in.:
Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne)
Tautologia (wyrażenie uniwersalnie prawdziwe - prawo logiczne) Definicja 1: Tautologia jest to takie wyrażenie, którego wartość logiczna jest prawdą przy wszystkich możliwych wartościowaniach zmiennych
Paradygmaty dowodzenia
Paradygmaty dowodzenia Sprawdzenie, czy dana formuła rachunku zdań jest tautologią polega zwykle na obliczeniu jej wartości dla 2 n różnych wartościowań, gdzie n jest liczbą zmiennych zdaniowych tej formuły.
Twierdzenia Gödla dowody. Czy arytmetyka jest w stanie dowieść własną niesprzeczność?
Semina Nr 3 Scientiarum 2004 Twierdzenia Gödla dowody. Czy arytmetyka jest w stanie dowieść własną niesprzeczność? W tym krótkim opracowaniu chciałbym przedstawić dowody obu twierdzeń Gödla wykorzystujące
Zastosowanie systemów pośrednich między S4 a S5 w kontekstach epistemicznych
Zastosowanie systemów pośrednich między S4 a S5 w kontekstach epistemicznych Zastosowania logiki modalnej Lublin, 17 listopada 2009 Aksjomaty i semantyka Uwagi historyczne 1939 - W. T. Parry: system pośredni
Adam Meissner.
Instytut Automatyki i Inżynierii Informatycznej Politechniki Poznańskiej Adam Meissner Adam.Meissner@put.poznan.pl http://www.man.poznan.pl/~ameis SZTUCZNA INTELIGENCJA Podstawy logiki pierwszego rzędu
Podstawy Sztucznej Inteligencji (PSZT)
Podstawy Sztucznej Inteligencji (PSZT) Paweł Wawrzyński Wnioskowanie logiczne i systemy eksperckie Systemy posługujące się logiką predykatów: część 3/3 Dzisiaj Uogólnienie Poprawność i pełność wnioskowania
Metoda tabel semantycznych. Dedukcja drogi Watsonie, dedukcja... Definicja logicznej konsekwencji. Logika obliczeniowa.
Plan Procedura decyzyjna Reguły α i β - algorytm Plan Procedura decyzyjna Reguły α i β - algorytm Logika obliczeniowa Instytut Informatyki 1 Procedura decyzyjna Logiczna konsekwencja Teoria aksjomatyzowalna
domykanie relacji, relacja równoważności, rozkłady zbiorów
1 of 8 2012-03-28 17:45 Logika i teoria mnogości/wykład 5: Para uporządkowana iloczyn kartezjański relacje domykanie relacji relacja równoważności rozkłady zbiorów From Studia Informatyczne < Logika i
Andrzej Wiśniewski Logika II. Wykłady 12 i 13. Metoda tabel analitycznych dla normalnych modalnych rachunków zdań
Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykłady 12 i 13. Metoda tabel analitycznych dla normalnych modalnych rachunków zdań 1 Wprowadzenie Podobnie jak w przypadku
LOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań
LOGIKA Klasyczny Rachunek Zdań Robert Trypuz trypuz@kul.pl 5 listopada 2013 Robert Trypuz (trypuz@kul.pl) Klasyczny Rachunek Zdań 5 listopada 2013 1 / 24 PLAN WYKŁADU 1 Alfabet i formuła KRZ 2 Zrozumieć
Kultura logiczna Wnioskowania dedukcyjne
Kultura logiczna Wnioskowania dedukcyjne Bartosz Gostkowski bgostkowski@gmail.com Kraków 25 IV 2010 Plan wykładu: Intuicje dotyczące poprawności wnioskowania Wnioskowanie dedukcyjne Reguły niezawodne a
5. Rozważania o pojęciu wiedzy. Andrzej Wiśniewski Wstęp do filozofii Materiały do wykładu 2015/2016
5. Rozważania o pojęciu wiedzy Andrzej Wiśniewski Andrzej.Wisniewski@amu.edu.pl Wstęp do filozofii Materiały do wykładu 2015/2016 Wiedza przez znajomość [by acquaintance] i wiedza przez opis Na początek
Wykład 6. Reguły inferencyjne systemu aksjomatycznego Klasycznego Rachunku Zdań
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 6. Reguły inferencyjne systemu aksjomatycznego Klasycznego Rachunku Zdań System aksjomatyczny logiki Budując logikę
Przykłady zdań w matematyce. Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości a, b, c jest prostokątny (a, b, c oznaczają dane liczby dodatnie),
Elementy logiki 1 Przykłady zdań w matematyce Zdania prawdziwe: 1 3 + 1 6 = 1 2, 3 6, 2 Q, Jeśli x = 1, to x 2 = 1 (x oznacza daną liczbę rzeczywistą), Jeśli a 2 + b 2 = c 2, to trójkąt o bokach długości
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 10. Twierdzenie o pełności systemu aksjomatycznego KRZ 1 Tezy KRZ Pewien system aksjomatyczny KRZ został przedstawiony
MATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI
MATEMATYKA DYSKRETNA, PODSTAWY LOGIKI I TEORII MNOGOŚCI Program wykładów: dr inż. Barbara GŁUT Wstęp do logiki klasycznej: rachunek zdań, rachunek predykatów. Elementy semantyki. Podstawy teorii mnogości
Myślenie w celu zdobycia wiedzy = poznawanie. Myślenie z udziałem rozumu = myślenie racjonalne. Myślenie racjonalne logiczne statystyczne
Literatura: podstawowa: C. Radhakrishna Rao, Statystyka i prawda, 1994. G. Wieczorkowska-Wierzbińska, J. Wierzbiński, Statystyka. Od teorii do praktyki, 2013. A. Aczel, Statystyka w zarządzaniu, 2002.
Rachunek zdań i predykatów
Rachunek zdań i predykatów Agnieszka Nowak 14 czerwca 2008 1 Rachunek zdań Do nauczenia :! 1. ((p q) p) q - reguła odrywania RO 2. reguła modus tollens MT: ((p q) q) p ((p q) q) p (( p q) q) p (( p q)
Logika Stosowana. Wykład 2 - Logika modalna Część 3. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2017/2018
Logika Stosowana Wykład 2 - Logika modalna Część 3 Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2017/2018 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2018 1 / 36 Plan wykładu
Logiki modalne. notatki z seminarium. Piotr Polesiuk
Logiki modalne notatki z seminarium Piotr Polesiuk 1 Motywacja i historia Logika modalna rozszerza logikę klasyczną o modalności takie jak φ jest możliwe, φ jest konieczne, zawsze φ, itp. i jak wiele innych
Ćwiczenia do rozdziału 2, zestaw A: z książki Alfreda Tarskiego Wprowadzenie do logiki
0 1 Ćwiczenia do rozdziału 2, zestaw A: z książki Alfreda Tarskiego Wprowadzenie do logiki 2. W następujących dwóch prawach wyróżnić wyrażenia specyficznie matematyczne i wyrażenia z zakresu logiki (do
Klasyczny rachunek zdań 1/2
Klasyczny rachunek zdań /2 Elementy logiki i metodologii nauk spotkanie VI Bartosz Gostkowski Poznań, 7 XI 9 Plan wykładu: Zdanie w sensie logicznym Klasyczny rachunek zdań reguły słownikowe reguły składniowe
Kultura logiczna Klasyczny rachunek zdań 1/2
Kultura logiczna Klasyczny rachunek zdań /2 Bartosz Gostkowski bgostkowski@gmail.com Kraków 22 III 2 Plan wykładu: Zdanie w sensie logicznym Klasyczny rachunek zdań reguły słownikowe reguły składniowe
Logika intuicjonistyczna
Logika intuicjonistyczna Logika klasyczna oparta jest na pojęciu wartości logicznej zdania. Poprawnie zbudowane i jednoznaczne stwierdzenie jest w tej logice klasyfikowane jako prawdziwe lub fałszywe.
Rachunek logiczny. 1. Język rachunku logicznego.
Rachunek logiczny. Podstawową własnością rozumowania poprawnego jest zachowanie prawdy: rozumowanie poprawne musi się kończyć prawdziwą konkluzją, o ile wszystkie przesłanki leżące u jego podstaw były
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 9. Koniunkcyjne postacie normalne i rezolucja w KRZ 1 Inferencyjna równoważność formuł Definicja 9.1. Formuła A jest
Wykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu.
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 11a. Składnia języka Klasycznego Rachunku Predykatów. Języki pierwszego rzędu. 1 Logika Klasyczna obejmuje dwie teorie:
Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Systemy aksjomatyczne I
Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Systemy aksjomatyczne I Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@.edu.pl OSTRZEŻENIE Niniejszy plik nie zawiera wykładu z Metod dowodzenia...
Logika Stosowana. Wykład 2 - Logika modalna Część 2. Marcin Szczuka. Instytut Informatyki UW. Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017
Logika Stosowana Wykład 2 - Logika modalna Część 2 Marcin Szczuka Instytut Informatyki UW Wykład monograficzny, semestr letni 2016/2017 Marcin Szczuka (MIMUW) Logika Stosowana 2017 1 / 27 Plan wykładu
LOGIKA Dedukcja Naturalna
LOGIKA Dedukcja Naturalna Robert Trypuz Katedra Logiki KUL 7 stycznia 2014 Robert Trypuz (Katedra Logiki) Założeniowy system klasycznego rachunku zdań 7 stycznia 2014 1 / 42 PLAN WYKŁADU 1 Przykład dowodów
Logika I. Wykład 4. Semantyka Klasycznego Rachunku Zdań
Andrzej Wiśniewski Logika I Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 4. Semantyka Klasycznego Rachunku Zdań 1 Skróty: Język Klasycznego Rachunku Zdań zamiast Klasyczny Rachunek Zdań piszę
Logika i teoria mnogości Wykład 14 1. Sformalizowane teorie matematyczne
Logika i teoria mnogości Wykład 14 1 Sformalizowane teorie matematyczne W początkowym okresie rozwoju teoria mnogości budowana była w oparciu na intuicyjnym pojęciu zbioru. Operowano swobodnie pojęciem
Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli
Struktury formalne, czyli elementy Teorii Modeli Szymon Wróbel, notatki z wykładu dra Szymona Żeberskiego semestr zimowy 2016/17 1 Język 1.1 Sygnatura językowa Sygnatura językowa: L = ({f i } i I, {P j
Logika intuicjonistyczna semantyka Kripke go
Logika intuicjonistyczna semantyka Kripke go Definicja 1 Strukturą częściowo uporządkowaną (ang. partially ordered set, w skrócie poset) nazywamy układ (W, ), gdzie W to dowolny zbiór niepusty, zaś jest
BOGDAN ZARĘBSKI ZASTOSOWANIE ZASADY ABSTRAKCJI DO KONSTRUKCJI LICZB CAŁKOWITYCH
BOGDAN ZARĘBSKI ZASTOSOWANIE ZASADY ABSTRAKCJI DO KONSTRUKCJI LICZB CAŁKOWITYCH WSTĘP Zbiór liczb całkowitych można definiować na różne sposoby. Jednym ze sposobów określania zbioru liczb całkowitych jest
Uwagi wprowadzajace do reguł wnioskowania w systemie tabel analitycznych logiki pierwszego rzędu
Witold Marciszewski: Wykład Logiki, 17 luty 2005, Collegium Civitas, Warszawa Uwagi wprowadzajace do reguł wnioskowania w systemie tabel analitycznych logiki pierwszego rzędu 1. Poniższe wyjaśnienie (akapit
0.1. Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek zdań.
Wykłady z Analizy rzeczywistej i zespolonej w Matematyce stosowanej Wykład ELEMENTY LOGIKI ALGEBRA BOOLE A Logika podstawowe pojęcia: zdania i funktory, reguły wnioskowania, zmienne zdaniowe, rachunek
Logika Matematyczna (1)
Logika Matematyczna (1) Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 4 X 2007 Jerzy Pogonowski (MEG) Logika Matematyczna (1) 4 X 2007 1 / 18 Plan konwersatorium Dzisiaj:
Rachunek zdań. Materiały pomocnicze do wykładu. wykładowca: dr Magdalena Kacprzak
Rachunek zdań Materiały pomocnicze do wykładu wykładowca: dr Magdalena Kacprzak RACHUNEK ZDAŃ Zdania Definicja Zdanie jest to stwierdzenie w języku naturalnym, któremu można przypisać wartość prawdy lub
Monoidy wolne. alfabetem. słowem długością słowa monoidem wolnym z alfabetem Twierdzenie 1.
3. Wykłady 3 i 4: Języki i systemy dedukcyjne. Klasyczny rachunek zdań. 3.1. Monoidy wolne. Niech X będzie zbiorem niepustym. Zbiór ten będziemy nazywać alfabetem. Skończony ciąg elementów alfabetu X będziemy
Semiotyka logiczna. Jerzy Pogonowski. Dodatek 4. Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl
Semiotyka logiczna Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl Dodatek 4 Jerzy Pogonowski (MEG) Semiotyka logiczna Dodatek 4 1 / 17 Wprowadzenie Plan na dziś Plan
Drzewa Semantyczne w KRZ
Drzewa Semantyczne w KRZ Jerzy Pogonowski Zakład Logiki Stosowanej UAM www.logic.amu.edu.pl pogon@amu.edu.pl 7 XII 2006, 13:30 15:00 Jerzy Pogonowski (MEG) Drzewa Semantyczne w KRZ 7 XII 2006, 13:30 15:00
Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Tabele syntetyczne: definicje i twierdzenia
Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Tabele syntetyczne: definicje i twierdzenia Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@.edu.pl Metoda tabel syntetycznych (MTS) MTS
Andrzej Wiśniewski Logika II. Wykład 6. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.6. Modele i pełność
Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 6. Wprowadzenie do semantyki teoriomodelowej cz.6. Modele i pełność 1 Modele Jak zwykle zakładam, że pojęcia wprowadzone
5. OKREŚLANIE WARTOŚCI LOGICZNEJ ZDAŃ ZŁOŻONYCH
5. OKREŚLANIE WARTOŚCI LOGICZNEJ ZDAŃ ZŁOŻONYCH Temat, którym mamy się tu zająć, jest nudny i żmudny będziemy się uczyć techniki obliczania wartości logicznej zdań dowolnie złożonych. Po co? możecie zapytać.
Matematyka dyskretna. 1. Relacje
Matematyka dyskretna 1. Relacje Definicja 1.1 Relacją dwuargumentową nazywamy podzbiór produktu kartezjańskiego X Y, którego elementami są pary uporządkowane (x, y), takie, że x X i y Y. Uwaga 1.1 Jeśli
166 Wstęp do statystyki matematycznej
166 Wstęp do statystyki matematycznej Etap trzeci realizacji procesu analizy danych statystycznych w zasadzie powinien rozwiązać nasz zasadniczy problem związany z identyfikacją cechy populacji generalnej
Ziemia obraca się wokół Księżyca, bo posiadając odpowiednią wiedzę można stwierdzić, czy są prawdziwe, czy fałszywe. Zdaniami nie są wypowiedzi:
1 Elementy logiki W logice zdaniem nazywamy wypowiedź oznajmującą, która (w ramach danej nauki) jest albo prawdziwa, albo fałszywa. Tak więc zdanie może mieć jedną z dwóch wartości logicznych. Prawdziwość
Logiki wielowartościowe
Logiki wielowartościowe Bartosz Piotrowski IV 05 Logika wielowartościowa logika nieklasyczna więcej niż dwie wartości logiczne podobna do klasycznego rachunku zdań Rys historyczny już Arystoteles nie akceptował
Indukcja matematyczna, zasada minimum i maksimum. 17 lutego 2017
Indukcja matematyczna, zasada minimum i maksimum 17 lutego 2017 Liczby naturalne - Aksjomatyka Peano (bez zera) Aksjomatyka liczb naturalnych N jest nazwą zbioru liczb naturalnych, 1 jest nazwą elementu
Logika i teoria mnogości Ćwiczenia
Logika i teoria mnogości Ćwiczenia Spis treści 1 Zdania logiczne i tautologie 1 2 Algebra zbiorów 3 3 Różnica symetryczna 4 4 Iloczyn kartezjański. Kwantyfikatory. 5 5 Kwantyfikatory. 6 6 Relacje 7 7 Relacje
Dystrybucje, wiadomości wstępne (I)
Temat 8 Dystrybucje, wiadomości wstępne (I) Wielkości fizyczne opisujemy najczęściej przyporządkowując im funkcje (np. zależne od czasu). Inną drogą opisu tych wielkości jest przyporządkowanie im funkcjonałów
Andrzej Wiśniewski Logika II. Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki. Wykład 8. Modalności i intensjonalność
Andrzej Wiśniewski Logika II Materiały do wykładu dla studentów kognitywistyki Wykład 8. Modalności i intensjonalność 1 Coś na kształt ostrzeżenia Ta prezentacja jest nieco odmienna od poprzednich. To,
Wprowadzenie do logiki Zdania, cz. III Język Klasycznego Rachunku Predykatów
Wprowadzenie do logiki Zdania, cz. III Język Klasycznego Rachunku Predykatów Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@amu.edu.pl Plan na pytanie o odniesienie przedmiotowe zdań odpowiedź
Logika. Zadanie 4. Sprawdź, czy poniższe funkcje zdaniowe są tautologiami: i) (p q) = ( p q), ii) (p = q) ( p q). Rozwiązanie.
Logika Zadanie 4. Sprawdź, czy poniższe funkcje zdaniowe są tautologiami: i) (p q) = ( p q), ii) (p = q) ( p q). Rozwiązanie. i) Wprowadźmy oznaczenie F (p, q) ((p q) = ( p q)). Funkcja zdaniowa F nie
LOGIKA WNIOSKOWAŃ EMPIRYCZNYCH. Krystyna Misiuna Uniwersytet Warszawski I. WNIOSKOWANIA EMPIRYCZNE JAKO WNIOSKOWANIA SUPRAKLASYCZNE
LOGIKA WNIOSKOWAŃ EMPIRYCZNYCH Krystyna Misiuna Uniwersytet Warszawski I. WNIOSKOWANIA EMPIRYCZNE JAKO WNIOSKOWANIA SUPRAKLASYCZNE Działania, jakie podejmujemy w życiu codziennym, poprzedzone są z reguły
Zasady krytycznego myślenia (1)
Zasady krytycznego myślenia (1) Andrzej Kisielewicz Wydział Matematyki i Informatyki 2017 Przedmiot wykładu krytyczne myślenie vs logika praktyczna (vs logika formalna) myślenie jasne, bezstronne, oparte
I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych.
I. Podstawowe pojęcia i oznaczenia logiczne i mnogościowe. Elementy teorii liczb rzeczywistych. 1. Elementy logiki matematycznej. 1.1. Rachunek zdań. Definicja 1.1. Zdaniem logicznym nazywamy zdanie gramatyczne
KRZYSZTOF WÓJTOWICZ Instytut Filozofii Uniwersytetu Warszawskiego
KRZYSZTOF WÓJTOWICZ Instytut Filozofii Uniwersytetu Warszawskiego wojtow@uw.edu.pl 1 2 1. SFORMUŁOWANIE PROBLEMU Czy są empiryczne aspekty dowodów matematycznych? Jeśli tak to jakie stanowisko filozoficzne
Semantyka rachunku predykatów
Relacje Interpretacja Wartość Spełnialność Logika obliczeniowa Instytut Informatyki Relacje Interpretacja Wartość Plan Plan Relacje O co chodzi? Znaczenie w logice Relacje 3 Interpretacja i wartościowanie
Logika formalna wprowadzenie. Ponieważ punkty 10.i 12. nie były omawiane na zajęciach, dlatego można je przeczytać fakultatywnie.
Logika formalna wprowadzenie Ponieważ punkty 10.i 12. nie były omawiane na zajęciach, dlatego można je przeczytać fakultatywnie. 1. Zdanie logicznie prawdziwe (Prawda logiczna) Zdanie, którego analityczność
Definicja: alfabetem. słowem długością słowa
Definicja: Niech X będzie zbiorem niepustym. Zbiór ten będziemy nazywać alfabetem. Skończony ciąg elementów alfabetu X będziemy nazywać słowem a liczbę elementów tego ciągu nazywamy długością słowa. Na
Semantyczne teorie informacji
STUDIA METODOLOGICZNE NR 34 2015 RAFAŁ SZCZEPIŃSKI Semantyczne teorie informacji Wstęp. O pojęciu informacji Pojęcia informacji i przepływu informacji są wieloznaczne i nieprecyzyjne. Jednocześnie obejmują
Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Na początek: teoria dowodu, Hilbert, Gödel
Metody dowodzenia twierdzeń i automatyzacja rozumowań Na początek: teoria dowodu, Hilbert, Gödel Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@.edu.pl OSTRZEŻENIE Niniejszy plik nie zawiera
O pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji
O pewnych związkach teorii modeli z teorią reprezentacji na podstawie referatu Stanisława Kasjana 5 i 12 grudnia 2000 roku 1. Elementy teorii modeli Będziemy rozważać język L składający się z przeliczalnej
Elementy logiki matematycznej
Elementy logiki matematycznej Przedmiotem logiki matematycznej jest badanie tzw. wyrażeń logicznych oraz metod rozumowania i sposobów dowodzenia używanych w matematyce, a także w innych dziedzinach, w
Zbiory, relacje i funkcje
Zbiory, relacje i funkcje Zbiory będziemy zazwyczaj oznaczać dużymi literami A, B, C, X, Y, Z, natomiast elementy zbiorów zazwyczaj małymi. Podstawą zależność między elementem zbioru a zbiorem, czyli relację
Predykat. Matematyka Dyskretna, Podstawy Logiki i Teorii Mnogości Barbara Głut
Predykat Weźmy pod uwagę następujące wypowiedzi: (1) Afryka jest kontynentem. (2) 7 jest liczbą naturalną. (3) Europa jest mniejsza niż Afryka. (4) 153 jest podzielne przez 3. Są to zdania jednostkowe,
Krystyna Misiuna O paradoksach związanych z nieostrością pojęć. Filozofia Nauki 17/4, 5-10
O paradoksach związanych z nieostrością pojęć Filozofia Nauki 17/4, 5-10 2009 Filozofia Nauki Rok XVII, 2009, Nr 4(68) O paradoksach związanych z nieostrością pojęć Pierwszą obszerną monografią poświęconą
Konsekwencja logiczna
Konsekwencja logiczna Niech Φ 1, Φ 2,..., Φ n będa formułami logicznymi. Formuła Ψ wynika logicznie z Φ 1, Φ 2,..., Φ n jeżeli (Φ 1 Φ 2 Φ n ) Ψ jest tautologia. Formuły Φ 1, Φ 2,..., Φ n nazywamy założeniami
vf(c) =, vf(ft 1... t n )=vf(t 1 )... vf(t n ).
6. Wykład 6: Rachunek predykatów. Język pierwszego rzędu składa się z: symboli relacyjnych P i, i I, gdzie (P i ) oznaczać będzie ilość argumentów symbolu P i, symboli funkcyjnych f j, j J, gdzie (f j
Wstęp do logiki. Semiotyka cd.
Wstęp do logiki Semiotyka cd. Semiotyka: język Ujęcia języka proponowane przez językoznawców i logików różnią się istotnie w wielu punktach. Z punktu widzenia logiki każdy język można scharakteryzować
4 Klasyczny rachunek zdań
4 Klasyczny rachunek zdań Elementy Logiki i Teorii Mnogości 2015/2016 Spis najważniejszych tautologii: (a) p p prawo wyłączonego środka (b) ( p) p prawo podwójnej negacji (c) p q q p (d) p q q p prawo
Rodzaje argumentów za istnieniem Boga
Rodzaje argumentów za istnieniem Boga Podział argumentów argument ontologiczny - w tym argumencie twierdzi się, że z samego pojęcia bytu doskonałego możemy wywnioskować to, że Bóg musi istnieć. argumenty
LOGIKA MATEMATYCZNA. Poziom podstawowy. Zadanie 2 (4 pkt.) Jeśli liczbę 3 wstawisz w miejsce x, to które zdanie będzie prawdziwe:
LOGIKA MATEMATYCZNA Poziom podstawowy Zadanie ( pkt.) Która koniunkcja jest prawdziwa: a) Liczba 6 jest niewymierna i 6 jest liczbą dodatnią. b) Liczba 0 jest wymierna i 0 jest najmniejszą liczbą całkowitą.
NOWE ODKRYCIA W KLASYCZNEJ LOGICE?
S ł u p s k i e S t u d i a F i l o z o f i c z n e n r 5 * 2 0 0 5 Jan Przybyłowski, Logika z ogólną metodologią nauk. Podręcznik dla humanistów, Wydawnictwo Uniwersytetu Gdańskiego, Gdańsk 2003 NOWE
WSTĘP ZAGADNIENIA WSTĘPNE
27.09.2012 WSTĘP Logos (gr.) słowo, myśl ZAGADNIENIA WSTĘPNE Logika bada proces myślenia; jest to nauka o formach poprawnego myślenia a zarazem o języku (nie mylić z teorią komunikacji czy językoznawstwem).
Wstęp do logiki. Klasyczny Rachunek Zdań II
Wstęp do logiki Klasyczny Rachunek Zdań II DEF. 1 (Słownik). Następujące znaki tworzą słownik języka KRZ: p 1, p 2, p 3, (zmienne zdaniowe) ~,,,, (spójniki) ), ( (nawiasy). DEF. 2 (Wyrażenie). Wyrażeniem
prawda symbol WIEDZA DANE komunikat fałsz liczba INFORMACJA (nie tyko w informatyce) kod znak wiadomość ENTROPIA forma przekaz
WIEDZA prawda komunikat symbol DANE fałsz kod INFORMACJA (nie tyko w informatyce) liczba znak forma ENTROPIA przekaz wiadomość Czy żyjemy w erze informacji? TAK Bo używamy nowego rodzaju maszyn maszyn
Wprowadzenie do logiki Pojęcie wynikania
Wprowadzenie do logiki Pojęcie wynikania Mariusz Urbański Instytut Psychologii UAM Mariusz.Urbanski@amu.edu.pl Gry plan: jak używamy terminu wynikanie w potocznych kontekstach? racja, następstwo i związki
Konspekt do wykładu z Logiki I
Andrzej Pietruszczak Konspekt do wykładu z Logiki I (z dnia 24.11.2006) Poprawność rozumowania. Wynikanie Na wykładzie, na którym omawialiśmy przedmiot logiki, powiedzieliśmy, że pojęcie logiki wiąże się
Elementy logiki i teorii mnogości Wyk lad 1: Rachunek zdań
Elementy logiki i teorii mnogości Wyk lad 1: Rachunek zdań Micha l Ziembowski m.ziembowski@mini.pw.edu.pl www.mini.pw.edu.pl/ ziembowskim/ October 2, 2016 M. Ziembowski (WUoT) Elementy logiki i teorii
Michał Lipnicki (UAM) Logika 11 stycznia / 20
Logika Michał Lipnicki Zakład Logiki Stosowanej UAM 11 stycznia 2013 Michał Lipnicki (UAM) Logika 11 stycznia 2013 1 / 20 KRP wstęp Wstęp Rozważmy wnioskowanie: Każdy człowiek jest śmiertelny. Sokrates
WYKŁAD 3: METODA AKSJOMATYCZNA
METODY DOWODZENIA TWIERDZEŃ I AUTOMATYZACJA ROZUMOWAŃ WYKŁAD 3: METODA AKSJOMATYCZNA III rok kognitywistyki UAM, 2016 2017 Plan na dziś: 1. Przypomnimy, na czym polega aksjomatyczna metoda dowodzenia twierdzeń.