Przykład 10.5. Obliczeie wskaźika plastyczości przy skręcaiu Obliczyć wskaźiki plastyczości przy skręcaiu dla astępujących przekrojów: a) -kąta foremego b) przekroju złożoego 6a 16a 9a c) przekroju ciekościeego 10a a 10a a 9.5a a 0a 1
Rozwiazaie a) -kąt foremy Wskaźik plastyczości przy skręcaiu dla przekrojów jedospójych moża łatwo policzyć korzystając z tzw. aalogii Nadaia, zwaej rówież aalogią wzgórza piaskowego. Zgodie z ią wskaźik plastyczości przy skręcaiu takiego przekroju rówy jest podwojoej objętości bryły powstałej poprzez asypaie piasku a przekrój, jeżeli kąt u podstawy owej bryły wyosi 45. r h a Tak więc, w rozpatrywaym przypadku wskaźik plastyczości przy skręcaiu będzie rówy podwojoej objętości ostrosłupa o podstawie -kąta foremego. gdzie W pl = V = 1 3 SH V objętość ostrosłupa S pole powierzchi podstawy H wysokość ostrosłupa Rozpatryway przekrój moża podzielić a trójkątów, tak więc pole powierzchi -kąta foremego jest rówe: S = 1 ah Poieważ boku ostrosłupa tworzą z podstawą kąt 45, więc zachodzi zależość H = h Jeżeli założyć, że rozpatryway wielokąt moża wpisać w okrąg o promieiu r, to prawdą jest, że si cos 360 a = r 360 = h r = a = r si 180 = h = r cos 180
Tak więc S = 1 ah = 180 r si = r si 360 r cos 180 Objętość asypaego ostrosłupa jest więc rówa V = 1 3 Sh = 1 3 r si 360 r cos 180 = r si 180 = 6 r3 si 360 180 cos 180 cos = Ostateczie moża zapisać wzór a wskaźik plastyczości przy skręcaiu przekroju w kształcie -kąta foremego: W pl = V = 3 r3 si 360 180 cos = ) 3 r3 si (1 180 si 180 3
b) przekrój złożoy 6a 16a 9a W celu obliczeia wskaźika plastyczości przy skręcaiu powyższego przekroju poowie zastosujemy aalogię wzgórza piaskowego Nadaia. Widok z góry usypaego wzgórza przedstawia poiższy rysuek. 1a 5a 6a 16a 9a Obliczeie objętości pokazaej bryły wymaga podzieleia jej a prostsze elemety. 4
1a 6a b 5a A E x z = 13a y D B 1. C. 3. 4. 5. 6. 6a 16a 6a 3a 3a 14a 3a Zgodie z aalogią Nadaia wskaźik plastyczości przy skręcaiu wyosi zatem W pl = V = (V 1 + V + V 3 + V 4 + V 5 + V 6 ) Figurą pierwszą jest ostrosłup o podstawie trapezu. Stąd V 1 = 1 3 S 1 h 1 gdzie S 1 ozacza pole podstawy ostrosłupa, a h 1 jego wysokość. Poieważ kąt achyleia boków do podstawy ostrosłupa wyosi 45 to h 1 = 1a = 6a Jeśli ozaczymy wymiary ostrosłupa tak jak a rysuku poiżej, to możemy zapisać S 1 = 1 (b + b + 5a) 1a = 6a (b + 5a) Niezaą długość boków b i z moża łatwo policzyć wykorzystując twierdzeie Pitagorasa, poieważ trójkąt ABD jest prostokąty, co wykazaqo poiżej. z = (5a) + (1a) = z = 5a + 144a = 13a Poieważ kąty achyleia wszystkich boków bryły do podstawy są rówe, więc odciki AD i BD muszą leżeć a dwusieczych odpowiedio EAD i ABC. Czyli EAD = DAB = 1 EAB ABD = DBC = 1 ABC 5
Poieważ podstawą bryły 1. jest czworokąt, w którym BCE = CEA = 90, więc EAB + ABC + BCE + CEA = 360 = = EAB + ABC = 180 = = DAB + ABD = 180 = DAB + ABD = 90 Suma kątów w trójkącie wyosi 180, więc ADB = 180 ( DAB + ABD) = 180 90 = 90 co ozacza, że trójkąt ABD jest trójkątem prostokątym. Tak więc moża zapisać: Stąd x = b + (6a) y = (b + 5a) + (6a) = x + y = z = (13a) x = b + 36a y = b + 10ab + 61a x + y = 169a b + 36a + b + 10ab + 61a = 169a = b + 10ab 7a = 0 = Pierwiastek z delty jest rówy = 5a + 4 36a = 169a = 13a = b + 5ab 36a = 0 zaś wartość a b = Tak więc 5a + 13a = 4a S 1 = 6a ( 4a + 5a) = 78a V 1 = 1 3 78a 6a = 156a 3 Bryła druga to graiastosłup o podstawie trójkątej, którego objętość wyosi V = 1 1a 6a ( 4a 6a) = 5a3 Bryłą trzecią jest ostrosłup o podstawie prostokątej. V 3 = 1 6a 1a 6a = 144a3 3 Bryła czwarta to ostrosłup o podstawie trójkątej, tak więc V 4 = 1 3 1 6a 3a 3a = 9a3 6
Bryły piąta i szósta to odpowiedio graiastosłup o podstawie trójkątej i ostrosłup o podstawie prostokątej, stąd V 5 = 1 6a 3a ( 3a) = 16a3 V 6 = 1 6a 3a 3a = 18a3 3 Ostateczie więc objętość bryły asypaego piasku jest rówa V = 6 V i = 156a 3 + 5a 3 + 144a 3 + 9a 3 + 16a 3 + 18a 3 = 705a 3 i=1 Stąd szukay wskaźik plastyczości przy skręcaiu wyosi W pl = V = 705a 3 = 1410a 3 7
c) przekrój ciekościey 10a a 10a a 9.5a a 0a Podobie jak w przypadku b) aby obliczyć wartość wskaźika plastyczości przy skręcaiu ależy podwoić objętość bryły, która powstałaby w wyiku asypaia piasku a rozpatryway przekrój, przy założeiu, że kąt u podstawy tej bryły byłby rówy 45. 0.5a 4a a 4a 0.5a a 10a a 0.5a 9a a 9a 0.5a 8
[ 1 W pl = a 1 (9a + a + 9a + 10a + 4a + a + 4a) + 4 3 a a a + ] ( 38 = 4 + 1 3 + 1 ) a 3 = 19 5 1 6 a3 19,83a 3 + 1 3 1 a a a W wielu przypadkach obliczeie dokładej wartości wskaźika plastyczości przy skręcaiu może być czasochłoe. Jeśli przekrój moża podzielić a prostokątów o wymiarach a i h i, przy czym a i h i sesowe jest użycie wzoru uproszczoego, który ma astępującą postać: W u pl = 1 i=1 a i h i W rozpatrywaym przypadku moża wyodrębić trzy prostokąty. rys. Tak więc W u pl = 1 ( 10a a + 10a a + 0a a ) = 0a 3 Różica pomiędzy rozwiązaiem dokładym, a przybliżoym wyosi w tym przypadku = W u pl W pl W pl 100% = 0a3 19 5 6 a3 19 5 6 a3 100% 0,84% 9