1 Geometria analityczna

1 Geometria analityczna 1.1 Wektory na płaszczyźnie Wektor to uporządkowana para punktów, z których pierwszy nazywa się początkiem, a drugi końcem wektora. Jeżeli wprowadzimy prostokątny układ współrzędnych, to można określić współrzędne wektora a jako miary rzutów a x, a y tego wektora na osie Ox i Oy. Oznaczamy AB = a = [a x, a y ]. Jeżeli A = (x 1, y 1 ), B = (x 2, y 2 ), to a x = x 2 x 1, a y = y 2 y 1. Zauważmy, że gdy i, j oznaczają wektory jednostkowe na osiach, to Długość wektora wynosi a = a 2 x + a 2 y = a = a x i + a y j. (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2. Wektory o długości 1 nazywamy wersorami. Natomiast kątem między wektorami leżącymi na półprostych l 1 i l 2 nazywamy ten z dwóch kątów utworzonych przez te półproste, którego miara spełnia nierówność 0 ϕ π/2. Iloczyn skalarny wektorów a i b określamy jako a b = a b cos ϕ. Bezpośrednio z tej definicji mamy, że i i = j j = 1 oraz i j = 0. Stąd otrzymujemy Zatem a b cos ϕ = a x b x + a y b y, więc a b = a x b x + a y b y. cos ϕ = a xb x + a y b y a b (wartość bezwzględna dlatego, żeby kąt spełniał warunek 0 ϕ π/2). Przykład Dane są punkty A = (1, 1), B = (3, 3), C = (5, 1). Obliczyć współrzędne wektorów AB, BC, CA, ich długości, i kąty między nimi. 1.2 Wektory w przestrzeni Wszystkie pojęcia nie wymagające układu współrzędnych definiuje się tak jak na płaszczyźnie. Niech Oxyz będzie prostokątnym układem współrzędnych w przestrzeni, a i, j k oznaczają wektory jednostkowe na osiach. Wektor AB o początku A = (x 1, y 1, z 1 ) i końcu B = (x 2, y 2, z 2 ), ma współrzędne a x = x 2 x 1, a y = y 2 y 1, a z = z 2 z 1. Piszemy: AB = [x 2 x 1, y 2 y 1, z 2 z 1 ]. 1

Długość wektora wynosi a = a 2 x + a 2 y + a 2 z = (x 2 x 1 ) 2 + (y 2 y 1 ) 2 + (z 2 z 1 ) 2. Jeżeli przez α, β, γ oznaczymy kąty, jakie wektor a = [a x, a y, a z ] tworzy z osiami układu, to cos α = a x a, cos β = a y a, cos γ = a z a. Stąd cos 2 α + cos 2 β + cos 2 γ = 1. Zatem wektor l = [cos α, cos β, cos γ] jest wersorem. Ponadto a = a l. Liczby cos α, cos β, cos γ nazywamy kosinusami kierunkowymi wektora a. Kosinusy kierunkowe wektora a są więc współrzędnymi wersora zgodnie równoległego do wektora a. Przykłady 1. Wektor o początku A = ( 4, 2, 3) ma długość 14 i kosinusy kierunkowe 2, 3, 6. Obliczyć współrzędne końca wektora B. 7 7 7 2. Obliczyć współrzędne punktu M wiedząc, że jego promień wodzący ma długość 8 i tworzy z osią Ox kąt π, a z osią Oy kąt π. 4 3 Iloczyn skalarny wektorów a i b w przestrzeni określamy tak jak na płaszczyźnie, tj. a b = a b cos ϕ. Ponieważ i i = j j = k k = 1 oraz i j = i k = j k = 0, więc a b = (a x i + a y j + a z k) (bx i + b y j + b z k) = = a x b x + a y b y + a z b z. Podobnie jak dla wektorów na płaszczyźnie otrzymujemy wzór na kąt między wektorami: cos ϕ = a xb x + a y b y + a z b z a. (1) b Przykład Znaleźć kąty wewnętrzne trójkąta o wierzchołkach A = (2, 1, 3), B = (1, 1, 1), C = (0, 0, 5). 1.3 Iloczyn wektorowy Definicja 1 Iloczynem wektorowym niezerowych wektorów a, b tworzących kąt ϕ nazywamy wektor c taki, że 1. długość c = a b sin ϕ; 2. c a i c b; 3. zwrot wektora c jest taki, że wektory a, b, c tworzą układ zgodnie skrętny z układem i, j, k. Jeżeli a = 0 lub b = 0, to przyjmujemy c = 0. Piszemy c = a b. Twierdzenie 1 Iloczyn wektorowy ma własności: 2

1. a b jest polem równoległoboku wyznaczonego przez wektory a, b; 2. b a = a b; 3. i i = j j = k k = 0, i j = k, j k = i, k i = j. 4. (m a) b = m( a b) = a (m b); 5. ( a + b) c = a c + b c. Wyliczymy współrzędne wektora a b. Niech a = a x i + a y j + a z k, b = bx i + b y j + b z k. Wtedy a b = (a x i + a y j + a z k) (bx i + b y j + b z k) = a = y a z b y b a i x a z z b x b a j + x a y z b x b k = y i j k a x a y a z b x b y b z Przykłady 1. Znaleźć wektor jednostkowy prostopadły do wektorów a = [2, 3, 1], b = [1, 2, 3]. 2. Obliczyć pole trójkąta o wierzchołkach A = (1, 2, 8), B = (0, 0, 4), C = (6, 2, 0). Następnie wyznaczyć długość wysokości h B z wierzchołka B. (odp.: P = 7 5, h B = 2 3 21.) 1.4 Iloczyn mieszany wektorów Definicja 2 Iloczynem mieszanym trzech wektorów a, b, c nazywamy liczbę ( a b c) = ( a b) c. Zatem ( a a b c) = c y a z x b y b z c y a x a y a z = b x b y b z. c x c y c z a x b x a z b z + c z a x b x a y b y = Jeżeli wektory a, b, c nie są równoległe do jednej płaszczyzny, to wyznaczają równoległościan w przestrzeni. Jego podstawa ma pole a b, a wysokość h = c cos ϕ, gdzie ϕ jest kątem między c i a b. Zatem objętość wynosi: V = a b c cos ϕ = ( a b) c = ( a b c). Ściślej, ponieważ powyższe rozumowanie milcząco zakłada, że cos ϕ > 0, powinniśmy wziąć wartość bezwzględną. V = ( a b c). 3

Wektory a, b, c nierównoległe do jednej płaszczyzny wyznaczają także czworościan. Jego objętość wynosi: V = 1 6 ( a b c). Przykłady 1. Obliczyć objętość i pole powierzchni całkowitej równoległościanu zbudowanego na wektorach a = [1, 0, 0], b = [1, 1, 2], c = [2, 1, 0]. 2. Dane są trzy wierzchołki czworościanu A = (4, 0, 2), B = (6, 2, 2), C = (4, 4, 6). Wyznaczyć czwarty wierzchołek D wiedząc, że D leży na osi Oy a objętość czworościanu jest równa 40. 2 Wzajemne położenie wektorów Wektory (niezerowe) a i b są ortogonalne (prostopadłe), gdy a b = 0. Wektory a i b są kolinearne (równoległe), gdy a b = 0. Jest to równoważne warunkowi, że ich współrzędne są proporcjonalne, tzn. a x b x = a y b y = a z b z. Jeszcze inaczej: istnieje taka liczba t 0, że a = t b. Trzy wektory niezerowe a, b, c są komplanarne (tzn. leżą w jednej płaszczyźnie), gdy iloczyn mieszany ( a b c) = 0. 3 Płaszczyzna w przestrzeni Położenie płaszczyzny jest określone jednoznacznie, gdy znany jest jeden jej punkt P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) i wektor n = [A, B, C] prostopadły do płaszczyzny. Wtedy, jeżeli P = (x, y, z) jest dowolnym punktem płaszczyzny, to wektor P 0 P leży w tej płaszczyźnie, a więc jest prostopadły do wektora n i z warunku prostopadłości otrzymujemy P 0 P n = 0. (2) Ponieważ P 0 P = [x x 0, y y 0, z z 0 ], to po obliczeniu iloczynu skalarnego mamy równość: A(x x 0 ) + B(y y 0 ) + C(z z 0 ) = 0. Wykonując mnożenie i podstawiając Ax 0 By 0 Cz 0 = D otrzymujemy równanie Ax + By + Cz + D = 0, (3) które nazywamy równaniem ogólnym płaszczyzny. Warte odnotowania są niektóre szczególne przypadki położenia płaszczyzny w układzie współrzędnych. Jeżeli płaszczyzna: - przechodzi przez początek układu, to D = 0; - jest równoległa do osi Oz, to C = 0; 4

- jest równoległa do osi Oy, to B = 0; - jest równoległa do osi Ox, to A = 0; - jest prostopadła do osi Oz, to A = B = 0, i.t.d. Jeżeli płaszczyzna nie przechodzi przez początek układu współrzędnych ani nie jest równoległa do żadnej osi układu, to można jej równanie zapisać w postaci odcinkowej: x a + y b + z c = 1. (Aby z równania ogólnego (3) otrzymać odcinkowe wystarczy przenieść D na prawą stronę i podzielić równanie przez D.) Przykład. Napisać równania (ogólne i odcinkowe) płaszczyzn: 1. przechodzącej przez P 0 = (1, 2, 3) i prostopadłej do n = [2, 3, 2]; 2. przechodzącej przez P 0 = (2, 2, 3) i równoległej do wektorów a = [2, 3, 1], b = [ 3, 2, 0] 3. przechodzącej przez punkty P 1 = (1, 0, 2), P 2 = (3, 2, 1), P 3 = (0, 4, 3). 4 Prosta w przestrzeni Położenie prostej l jest określone jednoznacznie, gdy znany jest jeden jej punkt P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) i wektor k = [a, b, c] równoległy do niej (wektor k nazywamy wektorem kierunkowym prostej l). Jeżeli teraz P = (x, y, z) jest dowolnym punktem prostej, to wektor P 0 P jest równoległy do prostej, a więc jest prostopadły do wektora k i z warunku równoległości wektorów otrzymujemy P 0 P = t k dla pewnego t R. (4) Podstawiając P 0 P = [x x 0, y y 0, z z 0 ], k = [a, b, c] otrzymujemy [x x 0, y y 0, z z 0 ] = [ta, tb, tc] Porównując współrzędne otrzymujemy równości charakteryzujące prostą: l : x = x 0 + ta y = y 0 + tb z = z 0 + tc gdzie t R. (5) Równania (5) nazywamy równaniami parametrycznymi prostej. Przykład. Równania parametryczne prostej l przechodzącej przez punkt P 0 = (2, 3, 5) i równoległej do wektora k = [1, 5, 2] mają postać: x = 2 + t l : y = 3 5t z = 5 + 2t 5 gdzie t R.

Jeżeli zamiast wektora znany jest drugi punkt prostej P 1 = (x 1, y 1, z 1 ), to wektorem kierunkowym jest P 0 P 1 = [x 1 x 0, y 1 y 0, z 1 z 0 ]. Przykład. Napisać równania parametryczne prostej l przechodzącej przez punkty P 0 = (4, 2, 6), P 1 = (2, 2, 3). Wektorem kierunkowym jest tutaj P 0 P 1 = [ 2, 0, 9], zatem: x = 4 2t l : y = 2 z = 6 + 9t gdzie t R. Uwaga. Zamiast punktu P 0 możemy wziąć punkt P 1. Wtedy równania będą postaci x = 2 2t l : y = 2 gdzie t R. z = 3 + 9t Równania (5) możemy przekształcić do postaci: l : x x 0 a y y 0 b z z 0 c = t = t = t, (6) skąd otrzymujemy x x 0 l : = y y 0 = z z 0. (7) a b c Równanie w tej postaci nazywamy równaniem kierunkowym prostej albo równaniem w postaci podwójnej proporcji. Uwaga. W takiej postaci w mianowniku może się pojawić 0 (bo kreska nie jest tu symbolem dzielenia, tylko proporcji). Np. dla prostej l z poprzedniego przykładu równanie kierunkowe ma postać: x 4 2 = y + 2 0 = z + 6 9 lub x 2 2 = y + 2 0 = z 3 9. Występowanie zera w mianowniku oznacza, że licznik też jest równy 0. Przykład Znaleźć punkty, w których prosta x 2 3 = y + 1 4 = z 3 2 przecina płaszczyzny układu współrzędnych. Rozwiązanie. Aby znaleźć przecięcie z Oyz należy podstawić x = 0, skąd 2 3 = y + 1 4 = z 3 2, więc y + 1 = 4 2, z 3 = 2 2, czyli y = 5, z = 13. Zatem punktem przecięcia jest 3 3 3 3 P = (0, 5, 13 ). Analogicznie znajdziemy inne punkty. 3 3 W zagadnieniach praktycznych prosta często pojawia się jako część wspólna (krawędź przecięcia) dwóch płaszczyzn nierównoległych. Jeżeli tymi płaszczyznami są π 1 : A 1 x + B 1 y + C 1 z + D 1 = 0, π 2 : A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0 6

to prostą l zapisujemy w postaci { A1 x + B l : 1 y + C 1 z + D 1 = 0 A 2 x + B 2 y + C 2 z + D 2 = 0. (8) Mówimy wtedy, że prosta jest w postaci krawędziowej. Postać krawędziowa nie ujawnia wektora kierunkowego prostej, ale dość łatwo można go obliczyć. Wystarczy zauważyć, że ten wektor musi być prostopadły zarówno do wektora [A 1, B 1, C 1 ] (prostopadłego do π 1 ), jak i do wektora [A 2, B 2, C 2 ] (prostopadłego do π 2 ). Zatem k = [A1, B 1, C 1 ] [A 2, B 2, C 2 ]. 5 Niektóre zagadnienia dotyczące prostych i płaszczyzn Znajdowanie rzutu punktu na płaszczyznę. Jeżeli chcemy znaleźć rzut prostopadły punktu P = (x 0, y 0, z 0 ) na płaszczyznę π : Ax + By+Cz+D = 0, to należy napisać równanie prostej przechodzącej przez P i prostopadłej do π (wektor kierunkowy to [A, B, C]) i wyliczyć punkt przecięcia prostej z płaszczyzną. Przykład. Znaleźć rzut punktu P = (1, 2, 4) na płaszczyznę x 3y + 4z 3 = 0. Rozwiązanie. Prosta prostopadła do płaszczyzny (i przechodząca przez P ) ma równanie kierunkowe x 1 = y 2 1 3 = z 4 4. Do rachunków jednak wygodniejsze są równania parametryczne: x = 1 + t, y = 2 3t, z = 4 + 4t, bo podstawiając je do równania płaszczyzny obliczymy t = 4, a potem x = 9, y = 38 13 13 z = 36. Zatem rzut P = ( 9, 38. 36). 13 13 13 13 Odległość punktu od płaszczyzny Gdy chcemy znaleźć odległość punktu P 0 = (x 0, y 0, z 0 ) od płaszczyzny π : Ax + By + Cz + D = 0, to wystarczy sobie uświadomić, że ta odległość to długość odcinka P 0 P 0, gdzie P 0 jest rzutem prostopadłym punktu P 0 na płaszczyznę. Wykonując rachunki na wzorach ogólnych dojdziemy do wzoru: Odległość płaszczyzn równoległych d(p 0, π) = Ax 0 + By 0 + Cz 0 + D A2 + B 2 + C 2. (9) Jest to odległość dowolnego punktu jednej płaszczyzny od drugiej płaszczyzny. Przykład. Obliczyć odległość płaszczyzn 2x + 5y z + 7 = 0, 2x + 5y z + 12 = 0. Rozwiązanie. Znajdujemy jakikolwiek punkt pierwszej płaszczyzny; np. przyjmując x = 0, y = 0 obliczamy z = 7. Następnie korzystając ze wzoru (9) obliczamy odległość punktu (0, 0, 7) od płaszczyzny 2x + 5y z + 12 = 0: d = 7 4 + 25 + 1 = 7 30. 13, 7

Znajdowanie rzutu punktu na prostą. Problem jest podobny do znajdowania rzutu punktu na płaszczyznę. Tym razem szukany punkt P jest punktem wspólnym danej prostej i płaszczyzny, która przechodzi przez dany punkt P i jest prostopadła do prostej. Przykład. Wyznaczyć rzut punktu P = (2, 0, 3) na prostą x = 1 + 2t, y = 2 t, z = 1 + 4t. Rozwiązanie. Wektor normalny płaszczyzny odczytujemy z równań prostej: n = [2, 1, 4]. Stąd równanie płaszczyzny: 2x y + 4z + 8 = 0. Dalej podstawiając równania prostej do równania płaszczyzny obliczymy t = 4 7 i P = ( 8 7, 18 7, 9 7 ). Obliczanie kątów między płaszczyznami, między prostymi, między prostą i płaszczyzną Szukany kąt jest zawsze kątem między odpowiednimi wektorami. Należy je znaleźć i skorzystać ze wzoru (1). Przykład. Obliczyć kąt między prostymi l 1 i l 2 : l 1 : x 1 1 = y 2 3 = z 4 2, l 2 : x 3 4 = y + 4 3 = z 4 5. Rozwiązanie. Wektory kierunkowe wynoszą: k 1 = [1, 3, 2], k 2 = [4, 3, 5]. Jeżeli ϕ jest kątem ostrym między tymi wektorami, to ze wzoru (1): cos ϕ = 4 9 + 10 14 50 = 15 10 7 = 3 2 7. Stąd ϕ = arc cos 3 2 7 55. Uwaga. Kąt między prostymi w przestrzeni nie jest figurą geometryczną, bo proste wcale nie muszą się przecinać (mogą być skośne). 6 Krzywe stożkowe 6.1 Okrąg Niech w przestrzeni dane będą dwie proste l i l 1, przecinające się w punkcie W. Jeżeli prosta l 1 będzie obracać się dokoła prostej l, to zakreśli powierzchnię w przestrzeni zwaną powierzchnią stożkową lub po prostu stożkiem. Prostą l nazywamy osią stożka, l 1 tworzącą stożka, a punkt W wierzchołkiem stożka. Stożkowymi nazywamy krzywe, jakie można otrzymać przecinając stożek płaszczyznami nieprzechodzącymi przez wierzchołek. W zależności od kąta jaki tworzy oś stożka z płaszczyzną tnącą uzyskamy okrąg, elipsę, parabolę lub hiperbolę. Powyższe określenie jest poglądowe. Podamy teraz inne definicje tych krzywych. Ponieważ krzywe te są płaskie będziemy traktować je jako podzbiory płaszczyzny Oxy. 8

Definicja 3 Okręgiem o środku S i promieniu r nazywamy zbiór wszystkich punktów P spełniających warunek: SP = r, tj. odległych od środka o r. Jeżeli S = (a, b), P = (x, y), to obliczając SP otrzymamy równanie: (x a) 2 + (y b) 2 = r 2. (10) Wykonując działania w równaniu (10) i podstawiając c = a 2 + b 2 r 2 otrzymamy x 2 + y 2 2ax 2by + c = 0. (11) Przykład Wyznaczyć środek i promień okręgu x 2 + y 2 12x + 4y + 7 = 0. Rozwiązanie. Z równania mamy a = 6, b = 2, c = 7. Stąd r 2 = 6 2 ( 2) 2 7 = 25. Zatem S = (6, 2), r = 5. Oprócz równań (10) i (11) można okrąg przedstawić przy pomocy równań parametrycznych: x = a + r cos t, y = r sin t, t [0, 2π). 6.2 Elipsa Definicja 4 Elipsą nazywamy zbiór wszystkich punktów P spełniających warunek: P F 1 + P F 2 = 2a, gdzie F 1 i F 2 są ustalonymi punktami (nazywanymi ogniskami elipsy), a > 0 jest stałą. Wybierzmy tak układ współrzędnych by ogniska leżały na osi Ox symetrycznie względem O, tj. F 1 = ( c, 0), F 2 = (c, 0) dla pewnego c > 0. Obliczając P F 1, P F 2 otrzymamy równanie: (x + c) 2 + y 2 + (x c) 2 + y 2 = 2a. (12) Stąd (x + c) 2 + y 2 = 2a (x c) 2 + y 2. Podnosząc obustronnie do kwadratu i wykonując działania otrzymamy 2xc = 4a 2 4a (x c) 2 + y 2 2xc, xc a 2 = a (x c) 2 + y 2. Ponownie podnosimy obustronnie do kwadratu: Oznaczmy a 2 c 2 = b 2. Wtedy: x 2 c 2 2xca 2 + a 4 = a 2 x 2 2xca 2 + a 2 c 2 + a 2 y 2, a 2 (a 2 c 2 ) = x 2 (a 2 c 2 ) + a 2 y 2. a 2 b 2 = x 2 b 2 + a 2 y 2. 9

Po podzieleniu przez a 2 b 2 i zamianie stron otrzymujemy równanie elipsy: x 2 a + y2 = 1. (13) 2 b2 Liczby a i b występujące w równaniu mają prostą interpretację. Jeśli w (13 podstawimy b = 0, to otrzymamy x = ±a, a więc elipsa przecina oś Ox w punktach ( a, 0) i (a, 0). Analogicznie, dla x = 0 jest y = ±b, więc elipsa przecina oś Oy w punktach (0, b) i (0, b). Liczby 2a i 2b nazywamy odpowiednio osią wielką i osią małą elipsy. Natomiast 2c nazywamy ogniskową elipsy. Definicja 5 Liczbę e = c/a nazywamy mimośrodem elipsy. Ponieważ 0 < c < a, więc 0 < e < 1. Mimośród charakteryzuje spłaszczenie elipsy: gdy jest bliski 0, to elipsa jest prawie okręgiem. Im jest większy, tym elipsa jest bardziej spłaszczona. Przykład. Jak wiadomo, planety poruszają się po elipsach. Słońce znajduje się zawsze w jednym z ognisk elipsy. Dla Ziemi półoś wielka a wynosi 150 10 6 km, a c = 2, 55 10 6 km. Zatem mimośród wynosi 0,017. Jest to więc elipsa bliska okręgowi. Przykład. Szklanka w kształcie walca o wewnętrznej średnicy d = 10 cm i głębokości h = 12 cm jest napełniona do połowy wodą. Jeśli szklankę przechylamy tak, by woda osiągnęła krawędź, to powierzchnia wody będzie ograniczona elipsą. Znaleźć półosie tej elipsy. Odp. a = 7, 8 cm, b = 5 cm. Przykład. Wykazać, że promienie wodzące punktu P (x, y) na elipsie x2 + y2 = 1 a 2 b 2 wyrażają się wzorami: r 1 = a + ex, r 2 = a ex, gdzie e mimośród. Rozwiązanie. Mamy r 1 + r 2 = 2a oraz r 2 1 = (x + c) 2 + y 2, r 2 2 = (x c) 2 + y 2. Odejmując stronami dwie ostatnie równości otrzymamy r 2 1 r 2 2 = 4xc. Dzieląc stronami to równanie przez równanie pierwsze otrzymamy r 1 r 2 = 2xe. Z układu łatwo obliczamy r 1, r 2. 6.3 Hiperbola r 1 + r 2 = 2a, r 1 r 2 = 2xe Definicja 6 Hiperbolą nazywamy zbiór wszystkich punktów P spełniających warunek: P F 1 P F 2 = 2a, gdzie F 1 i F 2 są ustalonymi punktami (nazywanymi ogniskami hiperboli), a > 0 jest stałą. Podobnie jak dla elipsy, wybierzmy tak układ współrzędnych by ogniska leżały na osi Ox symetrycznie względem O, tj. F 1 = ( c, 0), F 2 = (c, 0) dla pewnego c > 0. Obliczając P F 1, P F 2 otrzymamy równanie: (x + c) 2 + y 2 (x c) 2 + y 2 = 2a. (14) 10

Po rachunkach przeprowadzanych analogicznie jak dla elipsy i przyjęciu oznaczenia c 2 a 2 = b 2 otrzymujemy równanie hiperboli: x 2 a y2 = 1. (15) 2 b2 Jeśli w (13) podstawimy b = 0, to otrzymamy x = ±a, a więc hiperbola przecina oś Ox w punktach ( a, 0) i (a, 0). Te punkty nazywamy wierzchołkami hiperboli. Ale dla x = 0 otrzymujemy równanie sprzeczne y2 = 1. Zatem współczynnik b nie ma interpretacji b 2 geometrycznej. Liczby 2a i 2b nazywamy odpowiednio osią rzeczywistą i osią urojoną hiperboli. Natomiast 2c nazywamy ogniskową hiperboli. Definicja 7 Liczbę e = c/a nazywamy mimośrodem hiperboli. Ponieważ teraz 0 < a < c, więc e > 1. Definicja 8 Hiperbolę x2 a + y2 = 1. (16) 2 b2 nazywamy hiperbolą sprzężoną z hiperbolą (15). Wierzchołki i ogniska hiperboli (16) leżą na osi Oy. Można dość łatwo wykazać następujące twierdzenie. Twierdzenie 2 Proste y = ± b a x (17) są asymptotami hiperboli (15) i (16). Przykład Dana jest hiperbola x 2 y 2 = 8. Napisać równanie hiperboli współogniskowej przechodzącej przez punkt A( 5, 3). Odp. x2 y2 = 1. 10 6 Przykład Napisać równania stycznych do hiperboli 4x 2 y 2 = 4 poprowadzonych z punktu A(1, 4). Odp. x = 1, 5x 2y + 3 = 0. Przykład Czy dla hiperboli prawdziwe jest zdanie: hiperbola składa się z punktów, dla których iloczyn odległości od asymptot jest stały? Odp. Tak, dla hiperboli (15) wynosi on a2 b 2. a 2 +b 2 6.4 Parabola Definicja 9 Parabolą nazywamy zbiór wszystkich punktów P spełniających warunek: P F = d(p, l) gdzie F jest ustalonym punktem (nazywanym ogniskiem paraboli), a l jest ustaloną prostą (kierownicą paraboli). 11

Wybierzmy tak układ współrzędnych by ognisko leżało na osi Ox, kierownica była równoległa do osi Oy a początek układu O był w środku między nimi. Przyjmijmy, że ognisko F ma współrzędne (p/2, 0), a kierownica ma równanie x = p/2. Dowolny punkt P (x, y) paraboli spełnia równanie: (x p 2 )2 + y 2 = x + p 2 Po podniesieniu do kwadratu i dokonaniu redukcji otrzymamy równanie paraboli w postaci y 2 = 2px. (18) Współczynnik p nazywamy parametrem paraboli. Przy powyższych założeniach parabola przechodzi przez punkt (0, 0) (który nazywamy wierzchołkiem) i osią symetrii wykresu jest oś Ox. Nieco ogólniejsze równanie (y y 0 ) 2 = 2p(x x 0 ) (19) przedstawia parabolę o osi poziomej i wierzchołku w punkcie (x 0, y 0 ). Gdybyśmy tę parabolę obrócili o kąt π w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek 2 zegara, to będzie ona miała równanie (x x 0 ) 2 = 2p(y y 0 ), które po wykonaniu działań można sprowadzić do postaci y = ax 2 + bx + c. Jest to postać znana ze szkoły średniej. Wierzchołek takiej paraboli ma współrzędne x w = b 2a, y w = 4a, gdzie = b2 4ac. Przykład Napisać równanie paraboli, mając dane ognisko F (2, 1) i równanie kierownicy x y 1 = 0. Przykład Ustalić warunek, przy którym prosta y = mx + b jest styczna do paraboli y 2 = 2px. Przykład Udowodnić, że styczne do paraboli y 2 = 2px poprowadzone z dowolnego punktu kierownicy są wzajemnie prostopadłe. 12