Wybrane zagadnienia algebry

Wybrane zagadnienia algebry Andrzej Nowicki Uniwersytet Mikołaja Kopernika, Wydział Matematyki i Informatyki, ul. Chopina 12 18, 87 100 Toruń (e-mail: anow@mat.uni.torun.pl) Maj 1995 Spis treści 1 Algebry tensorowe, zewnętrzne, symetryczne,... 1 1.1 Algebra tensorowa...................................... 1 1.2 Algebra zewnętrzna..................................... 2 1.3 Algebra symetryczna..................................... 4 1.4 Algebra Clifforda....................................... 6 2 Algebra obejmująca 7 2.1 Definicja i istnienie...................................... 7 2.2 Własności........................................... 8 2.3 Twierdzenie Poincaré-Birkhoffa-Witta........................... 9 Algebry Weyla.................................... 10 2.4 Elementy prymitywne.................................... 10 2.5 Wolne algebry Liego i ich algebry obejmujące....................... 11 3 Derywacje algebr łącznych 12 3.1 Pojęcia wstępne........................................ 12 3.2 Algebra tensorowa...................................... 12 3.3 Algebra zewnętrzna..................................... 13 3.4 Algebra symetryczna..................................... 14 3.5 Algebra obejmująca..................................... 15 4 Algebry proste 17 4.1 Algebry centralne....................................... 17 4.2 Iloczyn tensorowy algebr................................... 17 4.3 Algebry proste........................................ 18 4.4 Moduły proste........................................ 18 4.5 Minimalne ideały....................................... 18 4.6 Twierdzenie Skolema - Noether............................... 19 4.7 Grupa Brauera........................................ 19 5 Grupy skończone 21 5.1 Grupy rozwiązalne...................................... 21 5.2 Grupa diedralna....................................... 21 5.3 Twierdzenia Sylowa..................................... 21 5.4 Grupy macierzowe nad ciałem skończonym......................... 22 Grupa specjalna................................... 22 5.5 Centrum grupy........................................ 22 5.6 Automorfizmy......................................... 23 i

Andrzej Nowicki, 1995 Wybrane zagadnienia algebry ii Automorfizmy grupy symetrycznej......................... 23 Automorfizmy Z n................................... 23 6 Reprezentacje grup 24 6.1 Podprzestrzenie niezmiennicze endomorfizmu....................... 24 6.2 Podstawowe definicje i fakty................................. 24 6.3 Algebra grupowa....................................... 25 6.4 Reprezentacje unitarne.................................... 26 6.5 Charaktery reprezentacji................................... 26 6.6 Reprezentacja regularna................................... 27 6.7 Reprezentacje zespolone grup abelowych.......................... 28 6.8 Reprezentacje grupy S n................................... 29 7 Ogólna teoria Galois 30 7.1 Podstawowe pojęcia..................................... 30 7.2 Teoria Galois przestrzeni wektorowych........................... 31 7.3 Przyporządkowanie Jacobson-Bourbaki........................... 31 7.4 Teoria Galois rozszerzeń czysto nierozdzielczych...................... 32 8 Działania grup skończonych na ciała 33 8.1 Twierdzenie Hilberta o nierozkładalności.......................... 33 8.2 Problem odwrotny w teorii Galois............................. 33 8.3 Problem E. Noether..................................... 33 Stare wyniki dotyczące problemu Noether..................... 34 Wyniki dla grup abelowych............................. 35 Wyniki dla ciała algebraicznie domkniętego.................... 35 9 Pierścienie nieprzemienne 36 9.1 Ułamki Ore go........................................ 36 9.2 Wymiar Gelfanda-Kirillova................................. 36 9.3 Centroid............................................ 37 10 Zagadnienia różne 39 10.1 Charaktery.......................................... 39 Charakter grupy................................... 39 Charakter łącznej algebry nad ciałem....................... 39 Charakter grupy topologicznej........................... 39 Charaktery w teorii liczb.............................. 39 Spis cytowanej literatury 40 Indeks 42

1. Algebry tensorowe, zewnętrzne, symetryczne,... 1 1 Algebry tensorowe, zewnętrzne, symetryczne,... Niech R będzie pierścieniem przemiennym z 1. Rozważać będziemy łączne R-algebry z 1. Przez R M i RA oznaczamy odpowiednio kategorię R-modułów (lewych) i kategorię łącznych R-algebr z jedynką. 1.1 Algebra tensorowa Definicja 1.1.1. Algebrą tensorową R-modułu M nazywamy parę (T, ρ), w której T jest R-algebrą, ρ : M T jest homomorfizmem R-modułów, przy czym spełniona jest następująca własność uniwersalności: Dla każdej R-algebry A i dla każdego homomorfizmu R-modułów ψ : M A istnieje dokładnie jeden R-algebrowy homomorfizm f : T A taki, że fρ = ψ. Z tej definicji wynikają następujące trzy stwierdzenia. Stwierdzenie 1.1.2. Jeśli (T, ρ) jest algebrą tensorową R-modułu M, to ρ : M T jest homomorfizmem różnowartościowym. Stwierdzenie 1.1.3. Jeśli (T, ρ) jest algebrą tensorową R-modułu M, to obraz ρ(m) generuje algebrę T nad R. Stwierdzenie 1.1.4. Jeśli (T, ρ), (T, ρ ) są algebrami tensorowymi R-modułu M, to R-algebry T i T są izomorficzne. Dokładniej, istnieją R-algebrowe homomorfizmy α : T T, β : T T takie, że αβ = id, βα = id, αρ = ρ, βρ = ρ. Dowody powyższych stwierdzeń (jak również dowody pewnych dalszych faktów) są w PN 2 138-149, ZadAlg 3 32-37, SemSt 2, [16] 451. Twierdzenie 1.1.5. Dla każdego R-modułu M istnieje dokładnie jedna (z dokładnością do izomorfizmu) algebra tensorowa (T (M), ρ). Konstrukcja. Niech T 0 (M) = R, T 1 (M) = M oraz T n (M) = M n = M M. Niech }{{} T (M) = T n (M) (suma prosta R-modułów). n n=0 Definiujemy mnożenie w T (M) przez regułę: (a 1 a n )(b 1 b m ) = a 1 a n b 1... b m. Sprawdza się, że mnożenie jest poprawnie określone. Homomorfizm ρ : M T (M) jest włożeniem m m T 1 (M) = M. Niech (T (M), ρ), (T (M ), ρ ) będą algebrami tensorowymi odpowiednio R-modułów M i M. Jeśli f : M M jest homomorfizmem R-modułów, to z definicji algebry tensorowej wynika, że istnieje dokładnie jeden R-algebrowy homomorfizm f : T (M) T (M ) taki, że fρ = ρ f. Homomorfizm ten oznaczamy przez T (f). Jeśli algebry T (M), T (M ) są takie, jak w powyższej konstrukcji, to T (f)(a 1 a m ) = f(a 1 ) f(a m ), dla wszystkich a 1,..., a m M. Ponadto, T (f) M = f. Wniosek 1.1.6. T jest funktorem kowariantnym z kategorii R M do kategorii R A. Stwierdzenie 1.1.7. Funktor T : R M R A jest lewym sprzężonym do funktora zapominania ξ : R A R M, tzn. istnieje naturalna równoważność funktorów R A(T ( ), ) R M(, ξ( )). (Dowód patrz PN 2 143 lub SemSt 2 )

1. Algebry tensorowe, zewnętrzne, symetryczne,... 2 Przykład 1.1.8. (1) T (0) = R. (2) T (R) = R[t], gdzie R[t] jest pierścieniem wielomianów jednej zmiennej. (3) Jeśli M jest modułem wolnym o bazie {e i ; i I}, to T (M) jest R-algebrą nieprzemiennych wielomianów nad R zniennych {x i ; i I}. (Dowody: PN 2 146 148) Uwaga 1.1.9. Ponieważ funktor T : R M R A jest lewym sprzężonym do funktora zapominania, więc funktor T zachowuje kogranice. Stąd w szczególności wynika, że R-algebra postaci T (M N) jest koproduktem w kategorii R A. Zwróćmy uwagę, że w kategorii R A iloczyn tensorowy A B nie jest koproduktem (ma to miejsce w kategorii R-algebr przemiennych). Nie jest więc na ogół prawdą, że R- algebra T (M N) jest równa R-algebrze T (M) T (N). Widać to już w przypadku, gdy M = N = R. Algebra T (R) T (R) jest R-algebrą przemiennych wielomianów dwóch zmiennych. Natomiast T (R R) jest R-algebrą nieprzemienną (jest to R-algebra nieprzemiennych wielomianów dwóch zmiennych). 1.2 Algebra zewnętrzna Literatura: SemSt 2, AP 1 73, PN 2 210, [16]455. Definicja 1.2.1. Niech M będzie R-modułem, A R-algebrą oraz f : M A homomorfizmem R-modułów. Mówimy, że homomorfizm f jest nil-homomorfizmem jeśli f(m) 2 = 0, dla wszystkich m M. Definicja 1.2.2. Algebrą zewnętrzną R-modułu M nazywamy parę (, ϕ), w której jest R-algebrą, ϕ : M jest nil-homomorfizmem R-modułów, przy czym spełniona jest następująca własność uniwersalności: Dla każdej R-algebry A i dla każdego nil-homomorfizmu ψ : M A, istnieje dokładnie jeden R-algebrowy homomorfizm f : A taki, że fϕ = ψ. Z tej definicji wynikają następujące trzy stwierdzenia. Stwierdzenie 1.2.3. Jeśli (, ϕ) jest algebrą zewnętrzną R-modułu M, to ϕ : M S jest homomorfizmem różnowartościowym. Stwierdzenie 1.2.4. Jeśli (, ϕ) jest algebrą zewnętrzną R-modułu M, to obraz ϕ(m) generuje algebrę nad R. Stwierdzenie 1.2.5. Jeśli (, ϕ), (, ϕ ) są algebrami zewnętrznymi R-modułu M, to R-algebry i są izomorficzne. Dokładniej, istnieją R-algebrowe homomorfizmy α :, β : takie, że αβ = id, βα = id, αϕ = ϕ, βϕ = ϕ. Twierdzenie 1.2.6. Dla każdego R-modułu M istnieje dokładnie jedna (z dokładnością do izomorfizmu) algebra zewnętrzna ( M, ϕ). Pierwsza konstrukcja. (SemSt 2 ). Niech (T (M), ρ) będzie algebrą tensorową R-modułu M. Oznaczmy przez I dwustronny ideał w T (M) generowany przez wszystkie elementy postaci ρ(m) 2, m M. Niech M będzie R-algebrą ilorazową T (M)/I. Odwzorowanie ϕ : M M definiujemy jako złożenie M T ρ (M) T η (M)/I, gdzie η : T (M) T (M)/I jest homomorfizmem naturalnym. Druga konstrukcja. Zdefiniujemy najpierw odwzorowania alternujące oraz p-tą potęgę zewnętrzną danego R-modułu. Definicja 1.2.7. Niech M, N będą R-modułami i niech p > 0. Przez M p oznaczamy produkt p egzemplarzy modułu M. Mówimy, że odwzorowanie p-liniowe f : M p N jest alternujące jeśli f(m 1,..., m p ) = 0, gdy m i = m j, dla pewnych i j. Niech M będzie R-modułem. Rozważmy R-moduł T p (M) = M p, p-tą potęgę tensorową modułu M. Niech N p będzie R-podmodułem w T p (M) generowanym przez wszystkie elementy postaci m 1 m p, gdzie m i = m j dla pewnych i j. Można udowodnić następujące stwierdzenie (AP 1 66).

1. Algebry tensorowe, zewnętrzne, symetryczne,... 3 Stwierdzenie 1.2.8. Jeśli σ jest permutacją zbioru {1,..., p}, to każdy element postaci należy do podmodułu N p m 1 m p (sgn σ)m σ(1) m σ(p) Definicja 1.2.9. p-tą potęgą zewnętrzną R-modułu M nazywamy R-moduł ilorazowy p M = T p (M)/N p. W szczególności 1 M = M. Przyjmujemy ponadto, 0 M = R. Z p-tą potęgą zewnętrzną R-modułu M stowarzyszone jest kanoniczne odwzorowanie alternujące ρ p : M p p M, otrzymane ze złożenia M p T p (M) T p (M)/N p = p M. Obraz elementu (m 1,..., m p ) M p przy odwzorowaniu kanonicznym w p M oznaczamy przez m 1 m p. Element ten jest także obrazem elementu m 1 m p przy naturalnym homomorfizmie T p (M) T p (M)/N p = p M. Można udowodnić, że para ( p M, ρ p ) ma następującą własność uniwersalności. Stwierdzenie 1.2.10. Dla każego R-modułu E i dla każdego odwzorowania alternującego f : M p E istnieje dokładnie jeden homomorfizm R-modułów f : p M E taki, że fρ p = f. Jeśli f : M M jest homomorfizmem R-modułów, to mamy R-homomorfizm T p (f) : T ( M) T p (M ) taki, że T p (f)(m 1 m p ) = f(m 1 ) f(m p ). Łatwo sprawdzić, że wtedy T p (f)(n p ) N p. Mamy więc indukowany homomorfizm R-modułów p f : p M p M. Spełniona jest wtedy własność ( p f)(m 1 m p ) = f(m 1 ) f(m p ). Wniosek 1.2.11. p : RM R M jest funktorem kowariantnym. Oznaczmy teraz p M = p=0 M Definiujemy mnożenie w M przez regułę: (suma prosta R-modułów). (a 1 a n )(b 1 b m ) = a 1 a n b 1... b m. Sprawdza się, że mnożenie jest poprawnie określone. Niech ϕ : M M będzie włożeniem m m 1 M = M. Stwierdzenie 1.2.12. Para ( M, ϕ) jest algebrą zewnętrzną R-modułu M. W ten sposób zakończyliśmy drugą konstrukcję algebry zewnętrznej. Z każdym homomorfizmem R-modułów f : M M stowarzyszony jest (jedyny) homomorfizmem R-algebr f : M M, który spełnia własność dla wszystkich p oraz m 1,..., m p M. ( f)(m 1 m p ) = f(m 1 ) f(m p ), Wniosek 1.2.13. jest funktorem kowariantnym z kategorii R M do kategorii R A. Mnożenie w M oznacza się przez. Można wykazać: Stwierdzenie 1.2.14. Jeśli x p M, y q M, to x y = (1) pq y x. Podamy jeszcze kilka faktów dotyczących p-tej potęgi zewnętrznej.

1. Algebry tensorowe, zewnętrzne, symetryczne,... 4 Twierdzenie 1.2.15 ([16] 456). Niech M będzie wolnym R-modułem rangi n. (1) Jeśli p > n, to p M = 0. (2) Niech 1 p n i niech {e 1,..., e n } będzie bazą R-modułu M. Wtedy p M jest R-modułem wolnym rangi ( n p) i elementy e i1 e ip, i 1 < < i p, tworzą jego bazę. Stwierdzenie 1.2.16 (AP 1 71). Jeśli M, M są wolnymi R-modułami i f : M M jest injekcją, to p f : p M p M również jest injekcją. Stwierdzenie 1.2.17 (AP 1 72). Niech M będzie R-modułem wolnym. Elementy m 1,..., m p M są liniowo niezależne nad R wtedy i tylko wtedy, gdy element m 1 m p p M jest liniowo niezależny nad R. Stwierdzenie 1.2.18 ([16] 461, PN 2 213). n (M M ) p+q=n ( p M) ( q M ). 1.3 Algebra symetryczna Literatura: SemSt 2, ZadAlg 3 38 45, [16]458. Definicja 1.3.1. Niech M będzie R-modułem, A R-algebrą oraz f : M A homomorfizmem R-modułów. Mówimy, że homomorfizm f jest sym-homomorfizmem jeśli f(m)f(n) = f(n)f(m), dla wszystkich m, n M. Definicja 1.3.2. Algebrą symetryczną R-modułu M nazywamy parę (S, ϕ), w której S jest R-algebrą, ϕ : M S jest sym-homomorfizmem R-modułów, przy czym spełniona jest następująca własność uniwersalności: Dla każdej R-algebry A i dla każdego sym-homomorfizmu ψ : M A, istnieje dokładnie jeden R-algebrowy homomorfizm f : S A taki, że fϕ = ψ. Z tej definicji wynikają następujące cztery stwierdzenia. Stwierdzenie 1.3.3. Jeśli (S, ϕ) jest algebrą symetryczną R-modułu M, to ϕ : M T jest homomorfizmem różnowartościowym. Stwierdzenie 1.3.4. Jeśli (S, ϕ) jest algebrą zewnętrzną R-modułu M, to obraz ϕ(m) generuje algebrę S nad R. Stwierdzenie 1.3.5. Jeśli (S, ϕ) jest algebrą symetryczną R-modułu M, to R-algebra S jest przemienna. Stwierdzenie 1.3.6. Jeśli (S, ϕ), (S, ϕ ) są algebrami symetrycznymi R-modułu M, to R-algebry S i S są izomorficzne. Dokładniej, istnieją R-algebrowe homomorfizmy α : S S, β : S S takie, że αβ = id, βα = id, αϕ = ϕ, βϕ = ϕ. Twierdzenie 1.3.7. Dla każdego R-modułu M istnieje dokładnie jedna (z dokładnością do izomorfizmu) algebra symetryczna (S, ϕ). Konstrukcja. (SemSt 2, ZadAlg 3 42). Niech (T (M), ρ) będzie algebrą tensorową R-modułu M. Oznaczmy przez I dwustronny ideał w T (M) generowany przez wszystkie elementy postaci ρ(m)ρ(n) ρ(n)ρ(m), m, n M. Niech S będzie R-algebrą ilorazową T (M)/I. Odwzorowanie ϕ : M S definiujemy jako złożenie M T ρ (M) T η (M)/I = S, gdzie η : T (M) T (M)/I jest homomorfizmem naturalnym. Jedyną algebrę symetryczną R-modułu M oznaczamy przez S(M). Moduł traktujemy jako R- podmoduł algebry S(M). Przyjmujemy ponadto, że kanoniczny sym-homomorfizm M S(M) jest tożsamościowym włożeniem. Algebrę symetryczną R-modułu M można skonstruować także w inny sposób, który teraz przedstawimy.

1. Algebry tensorowe, zewnętrzne, symetryczne,... 5 Definicja 1.3.8. Niech M, N będą R-modułami i niech p > 0. Przez M p oznaczamy produkt p egzemplarzy modułu M. Mówimy, że odwzorowanie p-liniowe f : M p N jest symetryczne jeśli f(m 1,..., m p ) = f(m σ(1),..., m σ(p) ), dla wszystkich permutacji σ zbioru {1,..., p} i wszystkich elementów m 1,..., m p M. Niech M będzie R-modułem. Rozważmy R-moduł T p (M) = M p, p-tą potęgę tensorową modułu M. Niech N p będzie R-podmodułem w T p (M) generowanym przez wszystkie elementy postaci m 1 m p m σ(1) m σ(p), gdzie m 1,..., m p M i σ jest permutacją zbioru {1,..., p}. Definicja 1.3.9. p-tą potęgą symetryczną R-modułu M nazywamy R-moduł ilorazowy S p (M) = T p (M)/N p. W szczególności S 1 (M) = M. Przyjmujemy ponadto, S 0 (M) = R. Z p-tą potęgą symetryczną R-modułu M stowarzyszone jest kanoniczne odwzorowanie symetryczne ρ p : M p S p (M), otrzymane ze złożenia M p T p (M) T p (M)/N p = S p (M). Obraz elementu (m 1,..., m p ) M p przy odwzorowaniu kanonicznym w S p (M) oznaczamy przez m 1 m p. Element ten jest także obrazem elementu m 1 m p przy naturalnym homomorfizmie T p (M) T p (M)/N p = S p (M). Można udowodnić, że para (S p (M), ρ p ) ma następującą własność uniwersalności. Stwierdzenie 1.3.10. Dla każego R-modułu E i dla każdego odwzorowania symetrycznego f : M p E istnieje dokładnie jeden homomorfizm R-modułów f : S p (M) E taki, że fρ p = f. Jeśli f : M M jest homomorfizmem R-modułów, to mamy R-homomorfizm T p (f) : T p (M) T p (M ) taki, że T p (f)(m 1 m p ) = f(m 1 ) f(m p ). Łatwo sprawdzić, że wtedy T p (f)(n p ) N p. Mamy więc indukowany homomorfizm R-modułów S p (f) : S p (M) S p (M ). Spełniona jest wtedy własność S p (f)(m 1 m p ) = f(m 1 ) f(m p ). Wniosek 1.3.11. S p : RM R M jest funktorem kowariantnym. Oznaczmy teraz S(M) = p=0 Sp (M) (suma prosta R-modułów). Definiujemy mnożenie w S(M) przez regułę: (a 1 a n )(b 1 b m ) = a 1 a n b 1 b m. Sprawdza się, że mnożenie jest poprawnie określone. Niech ϕ : M S(M) będzie włożeniem m m S 1 (M) = M. Stwierdzenie 1.3.12. Para (S(M), ϕ) jest algebrą symetryczną R-modułu M. Z każdym homomorfizmem R-modułów f : M M stowarzyszony jest (jedyny) homomorfizmem R-algebr S(f) : S(M) S(M ), który spełnia własność dla wszystkich p oraz m 1,..., m p M. S(f)(m 1 m p ) = f(m 1 ) f(m p ), Wniosek 1.3.13. S jest funktorem kowariantnym z kategorii R M do kategorii przemiennych R- algebr. Twierdzenie 1.3.14 ([16] 458, ZadAlg 3 44). Niech M będzie wolnym R-modułem rangi n i niech {e 1,..., e n } będzie jego bazą. Elementy tej bazy, traktowane jako elementy z S 1 (M) S(M) są algebraicznie niezależne nad R. Algebra S(M) jest izomorficzna z R-algebrą wielomianów (przemiennych) R[e 1,..., e n ].

1. Algebry tensorowe, zewnętrzne, symetryczne,... 6 1.4 Algebra Clifforda William Kingdon Clliford: matematyk angielski, 1845-1879. Niech V będzie przestrzenią wektorową nad ciałem k i niech G : V V k będzie formą symetryczną, tzn. k-dwuliniowym odwzorowaniem takim, że G(x, y) = G(y, x), dla wszystkich x, y V. Definicja 1.4.1. G-odwzorowaniem nazywamy każde przekształcenie k-liniowe f : V A, gdzie A jest k-algebrą z jedynką, spełniające warunek f(x)f(x) = G(x, x) 1, dla x V. Definicja 1.4.2. Algebrą Clifforda formy G nazywamy parę (C, ρ), w której C jest k-algebrą, ρ : V C jest G-odwzorowaniem, przy czym spełniona jest następująca własność: Dla każdej k-algebry A i dla każdego G-odwzorowania f : V A istnieje dokładnie jeden k- algebrowy homomorfizm F : C A taki, że F ρ = f. Z definicji wynika, że jeśli (C, ρ) jest algebrą Clifforda formy G, to obraz ρ(v ) generuje k-algebrę C. Jeśli algebra Clifforda formy G istnieje, to dokładnie jedna, z dokładnością do izomorfizmu. Twierdzenie 1.4.3 ([16] 396). Dla każdej formy symetrycznej G : V V k, istnieje dokładnie jedna (z dokładnością do izomorfizmu) algebra Clliforda (C(G), ρ G ). Odwzorowanie ρ G jest injekcją, a algebra C(G) ma skończony wymiar nad ciałem k (jako przestrzeń liniowa) równy n 2, gdzie n = dim k V. O własnościach i zastosowaniach algebr Clliforda znajdziemy w [12] 119-138.

2. Algebra obejmująca 7 2 Algebra obejmująca Na podstawie [1], [8], [29], [17]V 498 i zeszytów AL, PH 2 96. Inna polska nazwa: algebra obwiednia. Nazwa angielska: universal enveloping algebra. 2.1 Definicja i istnienie Niech k będzie pierścieniem przemiennym z 1. Przez Alg k i Lie k oznaczamy odpowiednio kategorię łącznych k-algebr z 1 i kategorię k-algebr Liego. Jeśli A jest łączną k-algebrą, to przez A oznaczamy k-algebrę Liego A z nawiasem Liego [a, b] = ab ba. Jeśli f : A B jest homomorfizmem k-algebr, to dla dowolnych elementów x, y A, zachodzi równość: f([x, y]) = [f(x), f(y)], z której wynika, że odwzorowanie f = f : A B jest homomorfizmem k-algebr Liego. Mamy zatem funktor kowariantny : Alg k Lie k. Skonstruujemy funktor U : Lie k Alg k, który będzie funktorem lewostronnie sprzężonym do powyższego funktora. Definicja 2.1.1. Niech L będzie k-algebrą Liego i niech A będzie łączną k-algebrą. Niech ϕ : L A będzie k-modułowym homomorfizmem. Mówimy, że homomorfizm ϕ jest γ-homomorfizmem jeśli dla wszystkich a, b L. ϕ([a, b]) = ϕ(a)ϕ(b) ϕ(b)ϕ(a), Definicja 2.1.2. Algebrą obejmującą k-algebry Liego L nazywamy parę (U, σ), w której U jest łączną k-algebrą z jedynką, σ : L U jest γ-homomorfizmem, przy czym spełniona jest następująca własność uniwersalności: Dla każdej łącznej k-algebry A (z jedynką) i dla każdego γ-homomorfizmu ϕ : L A, istnieje dokładnie jeden k-algebrowy homomorfizm f : U A taki, że fσ = ϕ. Z tej definicji wynikają następujące dwa stwierdzenia. Stwierdzenie 2.1.3 (AL 73). generuje algebrę U nad k. Jeśli (U, σ) jest algebrą obejmującą k-algebry Liego L, to obraz σ(l) Stwierdzenie 2.1.4 (AL 71). Jeśli (U, σ), (U, σ ) są algebrami obejmującymi k-algebry Liego L, to k-algebry U i U są izomorficzne. Dokładniej, istnieją k-algebrowe homomorfizmy α : U U, β : U U takie, że αβ = id, βα = id, ασ = σ, βσ = σ. Twierdzenie 2.1.5 (AL 74). Dla każdego k-algebry Liego L istnieje dokładnie jedna (z dokładnością do izomorfizmu) algebra obejmująca (U(L), σ L ). Konstrukcja. Niech (T (L), ρ) będzie algebrą tensorową k-modułu L. Oznaczmy przez I dwustronny ideał w T (L) generowany przez wszystkie elementy postaci ρ(x)ρ(y) ρ(y)ρ(x) ρ([x, y]), gdzie x, y L. Niech U(L) będzie k-algebrą ilorazową T (L)/I. Odwzorowanie σ L : L U(L) definiujemy jako złożenie L T ρ (L) T η (L)/I, gdzie η : T (L) T (L)/I jest homomorfizmem naturalnym.

2. Algebra obejmująca 8 Uwaga 2.1.6. Konstrukcja algebry obejmującej jest podobna do konstrukcji algebry zewnętrznej i konstrukcji algebry symetrycznej danego k-modułu M. Widoczne jest podobieństwo w samych definicjach tych obiektów. Jest jednak pewna techniczna różnica. Wprost z definicji algebry symetrycznej (S(M), ϕ) można było udowodnić, że odwzorowanie ϕ : M S(M) jest injekcją. Podobna sytuacja wystąpiła dla algebry zewnętrznej. Z definicji algebry obejmującej nie wynika natychmiast odpowiedź na pytanie, czy odwzorowanie σ : L U(L) jest injekcją. Pytanie to można inaczej sformułować tak: Czy każda k-algebra Liego jest podalgebrą Liego k-algebry łącznej? Twierdząca odpowiedź na to pytanie (w przypadku, gdy k jest ciałem) wynika z twierdzenia Poincare-Birkhoffa-Witta, które przedstawimy później. Z definicji algebry obejmującej wynika: Stwierdzenie 2.1.7. Jeśli f : L L jest homomorfizmem k-algebr Liego, to istnieje dokładnie jeden homomorfizm k-algebr U(f) : U(L) U(L ) taki, że diagram L f σ L U(L) U(f) L σ L U(L ) jest przemienny. Łatwo sprawdzić, że U(1 L ) = 1 U(L) oraz U(f g) = U(f) U(g). Mamy zatem kowariantny funktor U : Lie k Alg k zwany funktorem algebry obejmującej. Twierdzenie 2.1.8 (AL 78). Funktor U : Lie k Alg k jest lewostronnie sprzężony do funktora : Alg k Lie k. Innymi słowy: jeśli L jest k-algebrą Liego i A jest łączną k-algebrą z jedynką, to istnieje naturalny izomorfizm α Lie k (L, A) Alg k (U(L), A). β Dowód. Jeśli f : L A jest homorfizmem k-algebr Liego, to f : L A jest γ-homomorfizmem, a zatem istnieje (jedyny) k-algebrowy homomorfizm α(f) : U(L) A taki, że α(f)σ L = f. Jeśli g : U(L) A jest homomrfizmem k-algebr, to przyjmujemy β(g) = gσ L : L A. Zauważmy, że β(g) jest istotnie homomorfizmem k-algebr Liego. Jeśli bowiem x, y L, to gdzie σ = σ L. β(g)([x, y]) = gσ([x, y]) = g(σ(x)σ(y) σ(y)σ(x)) = g(σ(x))g(σ(y)) g(σ(y))g(σ(x))) = β(g)(x)β(g)(y) β(g)(y)β(g)(x) = [β(g)(x), β(g)(y)], 2.2 Własności Stwierdzenie 2.2.1 ([1] 22, AL 83). (U(L 1 ) k U(L 2 ), σ), gdzie Jeśli L 1, L 2 są k-algebrami Liego, to para σ : L 1 L 2 U(L 1 ) k U(L 2 ), (x, y) σ L1 (x) 1 + 1 σ L2 (y), jest algebrą obejmującą k-algebry Liego L 1 L 2.

2. Algebra obejmująca 9 Stwierdzenie 2.2.2 ([1] 22, AL 88). Niech A będzie ideałem Liego w k-algebrze Liego L i niech η : L L/A będzie homomorfizmem naturalnym. Wtedy k-algebrowy homomorfzim U(η) : U(L) U(L/A) jest surjekcją i KerU(η) jest dwustronnym ideałem w U(L), generowanym przez zbiór σ L (A). Wniosek 2.2.3. Jeśli A jest ideałem Liego w k-algebrze Liego L, to algebra obejmująca U(L/A) jest izomorficzna z k-algebrą U(L)/B, gdzie B jest ideałem w U(L), generowanym przez obraz σ L (A). Niech L będzie k-algebrą Liego. Oznaczmy przez L o k-algebrę Liego przeciwną do L, tzn. L o = L, [x, y] o = [y, x]. Jeśli A jest łączną k-algebrą, to oznaczmy przez A o łączną k-algebrę przeciwną do A, tzn. A o = A, a o +b o = (a+b) o, a o bo = (b a) o. Odwzorowanie σ L : L U(L) indukuje odwzorowanie σ o : L o U(L) o, określone wzorem σl o (x) = σ L(x). Wtedy σl o jest γ-homomorfizmem i mamy: Stwierdzenie 2.2.4 ([1] 24, AL 93). (U(L o ), σ L o) = (U(L) o, σ o L ). Algebry Liego z zerowym nawiasem Liego nazywamy przemiennymi. Każdy k-moduł L można utożsamiać z przemienną k-algebrą Liego (L, [, ]), gdzie [, ] = 0. Z konstrukcji algebry obejmującej i algebry symetrycznej wynika: Stwierdzenie 2.2.5. Jeśli L jest przemienną k-algebrą Liego, to algebra obejmująca U(L) jest algebrą symetryczną S(L). Stwierdzenie 2.2.6 ([1] 27). Jeśli pierścień k jest noetherowski i k-algebra Liego L jest skończenie generowana nad k (jako k-moduł), to k-algebra U(L) jest prawostronnie i lewostronnie noetherowska. 2.3 Twierdzenie Poincaré-Birkhoffa-Witta Wiemy, że algebra obejmująca U(L) jest k-algebrą postaci T (L)/I, gdzie T (L) jest algebrą tensorową, a I jest ideałem (dwustronnym) w T (L) generowanym przez wszystkie elementy postaci x y y x [x, y], gdzie x, y L. Homomorfizm σ L : L U(L) jest określony wzorem σ L (x) = x+i, dla x L. Twierdzenie 2.3.1 (Poincar e, Birkhoff, Witt). Niech L będzie k-algebrą Liego. Załóżmy, że L jest wolnym k-modułem i niech {e λ ; λ Λ} będzie jego bazą, gdzie Λ jest zbiorem liniowo uporządkowanym. Rozważmy podzbiór Ω U(L) zdefiniowany jako Ω = {σ L (e λ1 e λs ) ; λ 1 λ 2 λ s }. Wtedy U(L) jest k-modułem wolnym i jego bazą nad k jest zbiór Ω. Powyższe twierdzenie, zwane Twierdzeniem Poincaré-Birkhoffa-Witta (w skrócie: PBW-twierdzenie) ma kilka równoważnych sformułowań. Często pewne wnioski z tego twierdzenia nazywa się również PBW-twierdzeniami. Przedstawiona wersja pochodzi z książki [29] (strona 166). Algebra obejmująca (U(L), σ = σ L ) posiada kanoniczną filtrację U 0 (L) U 1 (L) U 2 (L)..., gdzie U 0 (L) = k oraz U n (L), dla n > 0, jest k-podmodułem w U(L), generowanym przez wszystkie iloczyny postaci σ(x 1 ) σ(x m ), x 1,..., x m L, m n. Wtedy gru(l), algebra z gradacją stowarzyszona z powyższą filtracją, jest algebrą przemienną. Inne równoważne sformułowanie PBW-twierdzenia jest następujące. Twierdzenie 2.3.2 ([17]V 498). Jeśli k-algebra Liego L jest k-modułem wolnym, to algebra z gradacją gru(l) jest izomorficzna z algebrą symetryczną S(L).

2. Algebra obejmująca 10 Oto wnioski wynikające z PBW-twierdzenia. Wniosek 2.3.3 ([29] 166). Jeśli (U(L), σ L )) jest algebrą obejmującą k-algebry Liego L, przy czym L jest k-modułem wolnym, to homomorfizm σ L : L U(L) jest injekcją. Wniosek 2.3.4 ([1] 23). Załóżmy, że k jest ciałem. Niech L będzie podalgebrą Liego k-algebry Liego L. Niech i : L L będzie kanonicznym włożeniem. Wtedy k-algebrowy homomorfizm U(i) : U(L ) U(L) jest injekcją. Wniosek 2.3.5 ([1] 33). Załóżmy, że k jest pierścieniem bez dzielników zera i L jest k-algebrą Liego taką, że L jest wolnym k-modułem. Wtedy k-algebra U(L) nie ma dzielników zera. Algebry Weyla. Następny fakt jest również konsekwencją PBW-twierdzenia. Wniosek 2.3.6 (PH 2 97). Niech L będzie skończenie wymiarową algebrą Liego nad ciałem k. Wtedy k-algebra U(L) spełnia warunek Ore go (posiada więc ciało ułamków). Jeśli A jest pierścieniem spełniającym warunek Ore go, to przez q(a) oznaczamy ciało ułamków (Ore go) pierścienia A. Istnieje następująca hipoteza z 1966 roku, dotycząca problemu klasyfikacji algebr obejmujących skończenie wymiarowych algebr Liego. Hipoteza 2.3.7 (Gelfand-Kirillov [4],[19]). Dla każdej skończenie wymiarowej algebry Liego L istnieje liczba naturalna n taka, że ciała ułamków q(u(l)) i q(a n ), są izomorficzne. Algebra A n, występująca w tej hipotezie, to tzw. algebra Weyla. Jest to k-algebra nieprzemiennych wielomianów nad k zmiennych x 1,..., x n, y 1,..., y n z następującymi prawami komutowania [x i, x j ] = 0, [y i, y j ] = 0, [x i, y j ] = δ ij, gdzie δ ij jest deltą Kroneckera. Algebrę tę można równoważnie zdefiniować jako algebrę skośnych wielomianów typu derywacyjnego: A n = k[x 1,..., x n ][y 1,..., y n, x 1,..., x 1 ]. Z powyższą hipotezą związane jest następujące pytanie. Pytanie 2.3.8. Czy jeśli q(a n ) q(a m ), to n = m? Odpowiedź na to pytanie jest pozytywna. Udowodnili to Gelfand i Kirillov w [4], wykorzystując pewien specjalny niezmiennik zwany dzisiaj wymiarem Gelfanda-Kirillova. 2.4 Elementy prymitywne Niech (U(L), σ L ) będzie algebrą obejmującą k-algebry Liego L, gdzie k jest ciałem. Podamy charakteryzację elementów z U(L) należących do obrazu σ L (L). Rozpatrzmy odwzorowanie przekątniowe : L L L, (x) = (x, x). Dla wszystkich x, y L spełnione są równości ([x, y]) = ([x, y], [x, y]) = [(x, x), (y, y)] = [ (x), (y)], z których wynika, że jest homomorfizmem k-algebr Liego. Homomorfizm ten indukuje więc k- algebrowy homomorfizm taki, że przemienny jest diagram U( ) : U(L) U(L L) = U(L) k U(L) L σ L U(L) L L σ L 1 + 1 σ L s U(L) k U(L).

2. Algebra obejmująca 11 Definicja 2.4.1. Mówimy, że element a U(L) jest prymitywny, jeśli U( )(a) = a 1 + 1 a. Z powyższego diagramu wynika, że każdy element σ(x), gdzie σ = σ L i x L, jest prymitywny. Mamy bowiem: U( )(σ(x)) = (σ 1 + 1 σ) (x) = σ(x) 1 + 1 σ(x). Konsekwencją PBW-twierdzenia jest: Twierdzenie 2.4.2 ([29] 169). Niech L będzie k-algebrą Liego, gdzie k jest ciałem. Niech a U(L). Wtedy a Im σ L a jest elementem prymitywnym. 2.5 Wolne algebry Liego i ich algebry obejmujące Definicja 2.5.1. Niech X będzie zbiorem. Wolną k-algebrą Liego zbioru X nazywamy każdą parę (W, i), w której W jest k-algebrą Liego, i : X W jest zwykłą funkcją różnowartościową, przy czym spełniona jest następująca własność uniwersalności: Dla każdej k-algebry Liego M i dla każdej zwykłej funkcji f : X M istnieje dokładnie jeden homomorfizm k-algebr Liego F : W M taki, że F i = f. W sposób analogiczny jak dla algebr tensorowych, symetrycznych, itd. dowodzi się, że istnieje co najwyżej jedna (z dokładnością do izomorfizmu) wolna k-algebra Liego zbioru X oraz, że jeśli para (W, i) jest wolną k-algebrą zbioru X, to zbiór i(x) generuje algebrę W. Twierdzenie 2.5.2 ([29] 170). Dla każdego zbioru X istnieje dokładnie jedna (z dokładnością do izomorfizmu) wolna k-algebra Liego. Konstrukcja. Niech N będzie k-modułem wolnym, którego bazą jest zbiór X. Rozpatrzmy k- algebrę tensorową T (N), ϕ N. Jest to łączna k-algebra. Mamy więc nawias Liego w T (N) określony wzorem [u, v] = uv vu. Niech W będzie k-podalgebrą Liego w T (N) generowaną (jako k-algebra Liego) przez podzbiór ϕ N (N). Odwzorowanie i : X W definiujemy jako obcięcie ϕ X. Wtedy para W, i jest wolną k-algebrą Liego zbioru X (szczegóły można odtworzyć np. na podstawie [29] 170). Stwierdzenie 2.5.3 ([29] 170). Niech W będzie wolną k-algebrą Liego zbioru X. Wówczas algebra obejmująca U(W ) jest algebrą tensorową T (N), gdzie N jest k-modułem wolnym, którego bazą jest zbiór X.

3. Derywacje algebr łącznych 12 3 Derywacje algebr łącznych 3.1 Pojęcia wstępne Niech k będzie pierścieniem przemiennym z 1. Niech A będzie łączną k-algebrą z jedynką. Każde k-liniowe odwzorowanie D : A A, spełniające warunek D(ab) = D(a)b + ad(b), dla a, b A, nazywamy k-derywacją k-algebry A. Jeśli D jest k-derywacją k-derywacją k-algebry A, to D(1) = 0. Zanotujmy ponadto kilka własności. Stwierdzenie 3.1.1. D(a 1 a s ) = D(a 1 )a 2 a s + a 1 D(a 2 ) a s + + a 1 a 2 D(a s ). Stwierdzenie 3.1.2. Załóżmy, że k-algebra A jest generowana przez zbiór B. Niech D 1, D 2 : A A będą k-derywacjami. Jeśli D 1 (b) = D 2 (b), dla wszystkich b B, to D 1 = D 2. Stwierdzenie 3.1.3. Niech D będzie k-derywacją k-algebry A i niech I będzie dwustronnym ideałem w A generowanym przez zbiór X. Jeśli D(x) I, dla wszystkich x X, to D(I) I. Stwierdzenie 3.1.4. Niech D będzie k-derywacją k-algebry A i niech I będzie dwustronnym ideałem w A. Jeśli D(I) I, to istnieje (dokładnie jedna) k-derywacja D : A/I A/I taka, że D(a + I) = d(a) + I, dla wszystkich a A. W następnym podrozdziale wykorzystamy następujący lemat. Lemat 3.1.5. Niech A będzie łączną k-algebrą i niech D : A A będzie przekształceniem k- liniowym. Niech a, b A. Załóżmy, że a = a 1 + + a p, b = b 1 + + b q, gdzie wszystkie elementy postaci a i, b j należą do A. Jeśli d(a i b j ) = D(a i )b j + a i D(b j ), dla wszystkich i {1,..., p}, j {1,..., q}, to D(ab) = D(a)b + ad(b). Dowód. D(ab) = D(( i a i)( j b j)) = D( i j a ib j ) = i j D(a ib j ) = i j (D(a i)b j + a i D(b j )) = i j D(a i)b j + i j a id(b j ) = i D(a i) j b j + i a i j D(b j) = = D( i a i)( j b j) + ( i a i)d( j b j) = D(a)b + ad(b). 3.2 Algebra tensorowa Twierdzenie 3.2.1 ([1] 33). Niech (T (M), ρ) będzie algebrą tensorową k-modułu M. Niech f : M M będzie przekształceniem k-liniowym. Istnieje wtedy dokładnie jedna k-derywacja D : T (M) T (M) taka, że przemienny jest diagram M ρ T (M) f D M ρ T (M). Dowód. Przypomnijmy, że T (M) = n=0 T n (M), gdzie T 0 (M) = k, T 1 (M) = M, T n (M) = M n oraz ρ(x) = x T 1 (M) T (M), dla wszystkich x M.

3. Derywacje algebr łącznych 13 Dla każdego n = 0, 1,... definiujemy k-liniowe przekształcenia f n : T n (M) T n (M) w następujący sposób. Przyjmujemy: f 0 = 0, f 1 = f. Jeśli n > 1, to definiujemy najpierw n-liniowe odwzorowanie przyjmując (dla x 1,... x n M): F n : M M }{{} n M M = T }{{} n (M), n F n (x 1,..., x n ) = f(x 1 ) x 2 x n + x 1 f(x 2 ) x n + + x 1 x 2 f(x n ). Stąd otrzymujemy k-liniowe przekształcenie f n : T n (M) T n (M) takie, że f n (x 1 x n ) = f(x 1 ) x n + + x 1 f(x n ), dla wszystkich x 1,... x n M. Definiujemy teraz k-liniowe przekształcenie D : T (M) T (M), przyjmując D = n=0 f n. Jest oczywiste, że D ρ = ρ f. Pokażemy, że D jest k-derywacją k-algebry T (M). W tym celu należy wykazać, że D(a b) = D(a) b + a D(b), dla wszystkich a, b T (M). Dzięki Lematowi 3.1.5 wystarczy to tylko sprawdzić w przypadku, gdy gdzie x 1,..., x p, y 1,..., y q M. Sprawdzamy: a = x 1 x p, b = y 1 y q, D(a b) = D(x 1 x p y 1 y q ) = p i=1 (x 1 D(x i ) x n ) (y 1 y q ) + p i=1 (x 1 x n ) (y 1 D(y j ) y q ) = D(x 1 x n ) (y 1 y q ) + (x 1 x n ) D(y 1 y q ) = D(a) b + a D(b). Zatem D jest istotnie k-derywacją k-algebry T (M) i D ρ = ρ f. Jedyność wynika ze Stwierdzenia 3.1.2, bowiem zbiór ρ(m) generuje k-algebrę T (M). Z dowodu wynika: Wniosek 3.2.2. Derywacja D : T (M) T (M) (z powyższego stwierdzenia) spełnia warunek: dla wszystkich n = 0, 1,.... 3.3 Algebra zewnętrzna D(T n (M)) T n (M), Twierdzenie 3.3.1. Niech ( (M), ϕ) będzie algebrą zewnętrzną k-modułu M. Niech f : M M będzie przekształceniem k-liniowym. Istnieje wtedy dokładnie jedna k-derywacja D : (M) (M) taka, że przemienny jest diagram M f M ϕ (M) D ϕ (M).

3. Derywacje algebr łącznych 14 Dowód. Jedyność wynika ze Stwierdzenia 3.1.2, gdyż zbiór ϕ(m) generuje k-algebrę (M). Z konstrukcji algebry zewnętrznej wiemy, że (M) = T (M)/I, gdzie T (M) jest algebrą tensorową k-modułu M oraz I jest dwustronnym ideałem w T (M), generowanym przez wszystkie elementy postaci x x, gdzie x M. Odwzorowanie kanoniczne ϕ : M (M) jest równe η ρ, gdzie ρ : M T (M) jest kanonicznym odwzorowaniem algebry tensorowej, a η : T (M) T (M)/I jest homomorfizmem naturalnym. Istnieje (jedyna) k-derywacja δ : T (M) T (M) taka, że ρ f = δ ρ (Twierdzenie 3.2.1). Pokażemy, że δ(i) I. W tym celu wystarczy pokazać, że δ(x x) I, dla wszystkich x M (patrz Stwierdzenie 3.1.3). Wynika to z równości: δ(x x) = δ(x) x + x δ(x) = y y δ(x) δ(x) x x, gdzie y = δ(x) + x. Teraz definiujemy k-derywację D : (M) (M), przyjmując: dla wszystkich u T (M). D(u + I) = δ(u) + I, Derywacje algebry zewnętrznej (M) kojarzą się z kanonicznymi rózniczkami algebry n Ω(X) = Γ(T X ), n=0 form różniczkowych na rozmaitości gładkiej X. Patrz np. rozdziały 11 i 12 [18], gdzie mówi się o kompleksie de Rhama. Tamte różniczki nie są jednak k-derywacjami. Spełniają one podobny warunek (ale jednak inny): d(ω p ω q) = d(ω p) ω q + ( 1) p ω p d(ω q). 3.4 Algebra symetryczna Twierdzenie 3.4.1. Niech (S(M), ϕ) będzie algebrą symetryczną k-modułu M. Niech f : M M będzie przekształceniem k-liniowym. Istnieje wtedy dokładnie jedna k-derywacja D : S(M) S(M) taka, że przemienny jest diagram M f M ϕ S(M) D ϕ S(M). Dowód. Jedyność wynika ze Stwierdzenia 3.1.2, gdyż zbiór ϕ(m) generuje k-algebrę S(M). Z konstrukcji algebry symetrycznej wiemy, że S(M) = T (M)/I, gdzie T (M) jest algebrą tensorową k-modułu M oraz I jest dwustronnym ideałem w T (M), generowanym przez wszystkie elementy postaci x y y x, gdzie x, y M. Odwzorowanie kanoniczne ϕ : M S(M) jest równe η ρ, gdzie ρ : M T (M) jest kanonicznym odwzorowaniem algebry tensorowej, a η : T (M) T (M)/I jest homomorfizmem naturalnym. Istnieje (jedyna) k-derywacja δ : T (M) T (M) taka, że ρ f = δ ρ (Twierdzenie 3.2.1). Pokażemy, że δ(i) I. W tym celu wystarczy pokazać, że δ(x y y x) I, dla wszystkich x, y M (patrz Stwierdzenie 3.1.3). Wynika to z równości: δ(x y y x) = δ(x) y + x δ(y) δ(y) x y δ(y) = (x δ(y) δ(y) x) + (y δ(x) δ(x) y). Teraz definiujemy k-derywację D : S(M) S(M), przyjmując: dla wszystkich u T (M). D(u + I) = δ(u) + I,

3. Derywacje algebr łącznych 15 3.5 Algebra obejmująca Derywacją k-algebry Liego L nazywamy każde k-liniowe przekształcenie d : L L spełniające warunek d([a, b]) = [d(a), b] + [a, d(b)], dla a, b L. Twierdzenie 3.5.1 ([1] 34). Niech (U(L), σ) będzie algebrą obejmującą k-algebry Liego L i niech d : L L będzie derywacją. Istnieje wtedy dokładnie jedna k-derywacja D : U(M) U(M) taka, że przemienny jest diagram f L L σ U(L) D σ U(L). Dowód. Jedyność wynika ze Stwierdzenia 3.1.2, gdyż zbiór σ(l) generuje k-algebrę U(L). Z konstrukcji algebry obejmującej wiemy, że U(L) = T (L)/I, gdzie T (L) jest algebrą tensorową k-modułu L oraz I jest dwustronnym ideałem w T (L), generowanym przez wszystkie elementy postaci x y y x [x, y], gdzie x, y L. Odwzorowanie kanoniczne σ : L U(L) jest równe η ρ, gdzie ρ : L T (L) jest kanonicznym odwzorowaniem algebry tensorowej, a η : T (L) T (L)/I jest homomorfizmem naturalnym. Istnieje (jedyna) k-derywacja δ : T (L) T (L) taka, że ρ f = δ ρ (Twierdzenie 3.2.1). Pokażemy, że δ(i) I. W tym celu wystarczy pokazać, że δ(x y y x [x, y]) I, dla wszystkich x, y L (patrz Stwierdzenie 3.1.3). Wynika to z równości: δ(x y y x [x, y]) = δ(x) y + x δ(y) δ(y) x y δ(y) d([x, y]) = d(x) y + x d(y) d(y) x y d(y) [d(x), y] [x, d(y)] = (d(x) y y d(x) [d(x), y]) + (x d(y) d(y) x [x, d(y)]). Teraz definiujemy k-derywację D : U(L) U(L), przyjmując: dla wszystkich u T (L). D(u + I) = δ(u) + I, Stwierdzenie 3.5.2 ([1] 34). Niech L będzie k-algebrą Liego i niech (U(L), σ) będzie jej algebrą obejmującą. Jeśli d : L L jest derywacją wewnętrzną, to k-derywacja D : U(L) U(L), istniejąca na mocy poprzedniego twierdzenia, jest wewnętrzna. Dowód. Zaóżmy, że d = ad u, gdzie u L, tzn. d(x) = [u, x], dla x L. Rozpatrzmy wewnętrzną k-derywację : U(L) U(L), wyznaczoną przez element σ(u) U(L), tzn. (v) = σ(u)v vσ(u), dla v U(L). Wtedy przemienny jest diagram L σ U(L) f L σ U(L).

3. Derywacje algebr łącznych 16 Istotnie, jeśli x L, to σ(x) = = σ(u)σ(x) σ(x)σ(u); σd(x) = σ([u, x]) = σ(u)σ(x) σ(x)σ(u). Ponieważ derywacja D jest wyznaczona jednoznacznie, więc D =, a zatem derywacja D jest wewnętrzna.

4. Algebry proste 17 4 Algebry proste Niech k będzie ciałem. Przez k-algebrę rozumiemy łączną k-algebrę z jedynką. Centrum k-algebry A oznaczamy przez Z(A). Przypomnijmy: Centrum Z(A) jest przemienną k-podalgebrą w A. 4.1 Algebry centralne Z(A) = {x A; y A xy = yx}. Definicja 4.1.1. Mówimy, że k-algebra A jest centralna, jeśli Z(A) = k. Jeśli A jest k-algebrą, to przez M n (A) oznaczamy k-algebrę (n n)-macierzy o współczynnikach należących do A. Stwierdzenie 4.1.2 (PN 2 57). Niech A będzie dowolnym pierścieniem (nieprzemiennym) z jedynką. Wtedy a 0... 0 0 a... 0 Z(M n (A)) =. ; a Z(A) Z(A). 0 0... a Wniosek 4.1.3. Jeśli A jest centralną k-algebrą, to M n (A) również jest centralną k-algebrą. W szczególności: Wniosek 4.1.4. M n (k) jest centralną k-algebrą. Następnym przykładem centralnej k-algebry jest algebra kwaternionów, którą oznacza się przez H i definiuje w następujący sposób. H jest przestrzenią liniową nad ciałem R, liczb rzeczywistych, wymiaru 4, o bazie {1, i, j, k}. Mnożenie elementów bazowych zadane jest tabelką: 1 i j k 1 1 i j k i i -1 k -j j j -k -1 i k k j -i -1 Algebra H jest centralna, tzn. Z(H) = R. Jest to nieprzemienne ciało (algebra z dzieleniem). Zauważmy, że w H zawarte jest ciało C, liczb zespolonych. Jednak H nie jest C-algebrą. 4.2 Iloczyn tensorowy algebr Stwierdzenie 4.2.1. Jeśli A, B, C są k-algebrami, to istnieją następujące k-algebrowe izomorfizmy: (1) k k A A, (2) A k B B k A, (3) (A k B) k C A k (B k C), (4) M n (k) k A M n (A), (5) M n (k) k M m (k) M nm (k).. Stwierdzenie 4.2.2 (PN 2 77). Jeśli A, B są k-algebrami, to Z(A k B) Z(A) k Z(B). W szczególności: Wniosek 4.2.3. Iloczyn tensorowy centralnych k-algebr jest centralną k-algebrą.

4. Algebry proste 18 4.3 Algebry proste Definicja 4.3.1. Mówimy, że k-algebra A jest prosta, jeśli nie posiada właściwych dwustronnych ideałów. Przykład 4.3.2. Każda algebra z dzieleniem (czyli ciało niekoniecznie przemienne) jest prosta. Przykład 4.3.3 (PN 2 59). Jeśli D jest algebrą z dzieleniem, to algebra macierzy M n (D) jest prosta. Stwierdzenie 4.3.4. Centrum prostej k-algebry jest ciałem przemiennym. Stwierdzenie 4.3.5 (PN 2 77). Jeśli A, B są prostymi k-algebrami, przy czym algebra A jest centralna, to A k B jest k-algebrą prostą. Stwierdzenie 4.3.6 (PN 2 86). Niech k L będzie rozszerzeniem ciał (przemiennych). Jeśli A jest prostą i centralną k-algebrą, to L k A jest prostą i centralną L-algebrą. Ponadto dim L (L k A) = dim k A. Twierdzenie 4.3.7 (Wedderburna 1907, PN 2 61). (1) Jeśli A jest prostą k-algebrą i dim k A <, to istnieje k-algebra z dzieleniem D taka, że A M n (D), dla pewnego n. (2) Jeśli M n (D) M m (D ), dla pewnych k-algebr z dzieleniem D, D, to n = m oraz k-algebry D i D są izomorficzne. Stąd w szczególności wynika: Wniosek 4.3.8 (PN 2 87). Jeśli A jest skończenie wymiarową prostą i centralną k-algebrą, to jej wymiar jest kwadratem liczby naturalnej. 4.4 Moduły proste Niezerowy lewy A-moduł nazywamy prostym, jeśli nie ma istotnych podmodułów. Stwierdzenie 4.4.1. Niech A będzie k-algebrą. Wtedy A jest algebrą z dzieleniem algebra A jest prosta jako lewy i prawy A-moduł. Stwierdzenie 4.4.2 (ZadAlg 2 441). zera, to A jest algebrą z dzieleniem. Jeśli A jest skończenie wymiarową k-algebrą bez dzielników Lemat 4.4.3 (Schura). Jeśli f : M N jest niezerowym homomorfizmem prostych A-modułów, to f jest izomorfizmem. Wniosek 4.4.4. Jeśli M jest prostym A-modułem, to End A (M) jest algebrą z dzieleniem. Twierdzenie 4.4.5 (PN 2 90). Niech A będzie prostą skończenie wymiarową k-algebrą i niech M będzie skończenie wymiarowym (nad k) A-modułem. Wtedy M jest (skończoną) sumą prostą prostych A-modułów. Wszystkie A-moduły proste są izomorficzne. 4.5 Minimalne ideały Niech A będzie k-algebrą. Lewy ideał I w A jest prostym A-podmodułem w A wtedy i tylko wtedy, gdy jest niezerowym lewym ideałem minimalnym w A, tzn. nie ma niezerowego lewego ideału J w A, zawartego w I i różnego od I. Każda skończenie wymiarowa k-algebra posiada oczywiście lewe ideały minimalne (gdyż każdy ideał jest podprzestrzenią liniową). Dowolne dwa (lewe) ideały minimalne prostej k-algebry A są izo- Stwierdzenie 4.5.1 (PN 2 61). morficzne, jako A-moduły.

4. Algebry proste 19 Dowód. Niech I będzie niezerowym lewym ideałem w A. Wtedy Ann(I) = {a A; ai = 0} jest dwustronnym ideałem w A, różnym od A (ponieważ 1 A). Jeśli zatem algebra A jest prosta, to Ann(I) = 0. Niech teraz I, J będą lewymi ideałami minimalnymi w A. Wtedy IJ 0 (gdyż jeśli IJ = 0, to I Ann(J) = 0). Istnieją więc elementy x I, y J takie, że xy 0. Rozpatrzmy A-homomorfizm f : I J, i iy. Jest to homomorfizm niezerowy (bo f(x) = xy 0), a zatem - na mocy Twierdzenia Schura - jest to izomorfizm. Rozpatrzmy prostą k-algebrę M n (D), gdzie D jest k-algebrą z dzieleniem. Jeśli d = (d 1,..., d n ) jest niezerowym ciągiem elementów z D oraz i {1,..., n}, to oznaczmy przez d (i), macierz należącą do M n (D), której i-ty wiersz jest ciągiem d, a pozostałe wiersze są zerowe. Stwierdzenie 4.5.2 (PN 2 70). Każdy lewy ideał minimalny w A = M n (D) jest postaci Ad (i), dla pewnego niezerowego ciągu d D n i pewnego i {1,..., n}. 4.6 Twierdzenie Skolema - Noether Twierdzenie 4.6.1 (Skolema-Noether, PN 2 93). Niech A będzie prostą skończenie wymiarową k-algebrą. Niech B, C będą prostymi k-podalgebrami w A. Jeśli f : B C jest k-algebrowym izomorfizmem, to istnieje element odwracalny a A taki, że dla wszystkich b B. f(b) = a 1 ba, Z tego twierdzenia wynikają następujące wnioski. Wniosek 4.6.2. Niech A będzie prostą skończenie wymiarową k-algebrą. Niech B, C będą prostymi k-podalgebrami w A. Jeśli f : B C jest k-algebrowym izomorfizmem, to istnieje k-algebrowy automorfizm g : A A taki, że g B = f. Mówimy, że k-algebrowy automorfizm f : A A jest wewnętrzny, jeśli istnieje element odwracalny a A taki, że f(x) = a 1 xa, dla wszystkich x A. Wniosek 4.6.3. Jeśli A jest prostą skończenie wymiarową k-algebrą, to każdy jej k-algebrowy automorfizm jest wewnętrzny. Następne fakty są również wnioskami z twierdzenia Skolema-Noether. Twierdzenie 4.6.4 (Frobeniusa 1877, PN 2 96). Jedynymi skończenie wymiarowymi R-algebrami z dzieleniem są R, C i H (gdzie H jest ciałem kwaternionów). Twierdzenie 4.6.5 (Wedderburna 1905, PN 2 99). Ciało skończone jest przemienne. Twierdzenie 4.6.6 (D 6 160). Jeśli A jest prostą skończenie wymiarową k-algebrą, to każda k- derywacja d : A A jest wenętrzna. 4.7 Grupa Brauera Oznaczmy przez U(k) rodzinę wszystkich skończenie wymiarowych prostych i centralnych k-algebr. Jeśli A U(k), to przez [A] oznaczamy rodzinę wszystkich k-algebr należących do U(k), izomorficznych z k-algebrą A. Zatem, jeśli A, B U(k), to [A] = [B] A B. Przez A(k) oznaczamy rodzinę wszystkich klas postaci [A], gdzie A U(k). W dalszym ciągu pisać będziemy A = B, zamiast A B. Wiemy, że jeśli A, B U(k), to A k B U(k). Oznacza to, że iloczyn tensorowy k jest działaniem w zbiorze A(k). Zachodzą ponadto równości A k B = B k A, A k (B k C) = (A k B) k C oraz k k A = A, z których wynika:

4. Algebry proste 20 Stwierdzenie 4.7.1. Zbiór A(k), z działaniem k, jest przemienną półgrupą z jedynką. Jedynką jest klasa [k]. W zbiorze A(k) wprowadzamy relację, przyjmując: A B A k M n (k) B k M m (k), dla pewnych n, m N M n (A) M m (B), dla pewnych n, m N. Lemat 4.7.2 (PN 2 80). Relacja jest typu równoważności. Jeśli A, A 1, B, B 1 U(k) oraz A A 1 i B B 1, to A k B A a k B 1. Stąd wynika, że jest kongruencją w półgrupie A(k). Zanotujmy także: Lemat 4.7.3 (PN 2 82). Jeśli A U(k), to A o U(k) oraz A k A o M k (k), gdzie n = dim k A (przez A o oznaczyliśmy k-algebrę przeciwną do A). Definicja 4.7.4. Grupą Brauera ciała k nazywamy zbiór, oznaczany przez Br(k), składający się z wszystkich klas abstrakcji zbioru A(k), względem relacji. Innymi słowy: Br(k) = A(k)/. Z powyższych faktów wynika, że Br(k) jest grupą abelową, ze względu na iloczyn tensorowy. Zerem jest klasa abstrakcji ciała k. Zerem jest więc klasa abstrakcji każdej k-algebry macierzowej postaci M n (k), gdzie n N. Elementem przeciwnym do klasy abstrakcji wyznaczonej przez algebrę A jest klasa abstrakcji algebry przeciwnej A o. Twierdzenie 4.7.5 (PN 2 83). Każda klasa abstrakcji należąca do Br(k) zawiera dokładnie jedną (z dokładnością do izomorfizmu) skończenie wymiarową i centralną k-algebrę z dzieleniem. Grupa Brauera Br(k) ma więc tyle elementów ile jest (z dokładnością do izomorfizmu) skończenie wymiarowych i centralnych k-algebr z dzieleniem. Grupa Brauera klasyfikuje zatem nieprzemienne ciała, będące skończonymi rozszerzeniami ciała k. Przykład 4.7.6 (PN 2 85, 101). (1) Jeśli ciało k jest algebraicznie domknięte, to jedyną skończenie wymiarową k-algebrą z dzieleniem jest ciało k, a zatem Br(k) = 0. (2) Br(R) = Z 2. Jedynymi skończenie wymiarowymi centralnymi R-algebrami z dzieleniem są R i H. Zaznaczmy jeszcze raz, że ciało C, liczb zespolonych, nie jest centralną R-algebrą. (3) Jeśli k jest ciałem skończonym, to Br(k) = 0. (4) (Tsen). Jeśli k jest ciałem algebraicznie domkniętym, to Br(k(t)) = 0, Br(k((t))) = 0, gdzie k(t) jest ciałem funkcji wymiernych jednej zmiennej t nad k, a k((t)) jest ciałem ułamków pierścienia szeregów k[[t]].

5. Grupy skończone 21 5 Grupy skończone Rząd grupy G oznaczamy przez G. 5.1 Grupy rozwiązalne Dobrze wiadomo, że grupa symetrii S n jest rozwiązalna wtedy i tylko wtedy, gdy n 4. Twierdzenie 5.1.1 (Burnside a). Każda grupa rzędu p a q b, gdzie p i q są liczbami pierwszymi, jest rozwiązalna. Twierdzenie 5.1.2 (Feita-Thompsona 1965). Każda grupa nieparzystego rzędu jest rozwiązalna. Twierdzenie 5.1.3. Każda grupa rzędu pqr, gdzie p, q, r są liczbami pierwszymi, jest rozwiązalna. Dowód tego faktu jest w notatkach z Cortony 1982. Twierdzenie 5.1.4 ([6] 169). Każda grupa rzędu p 2 qr, gdzie p, q, r są parami różnymi liczbami pierwszymi, jest rozwiązalna lub izomorficzna z A s. Jeśli 1 n 200 i n {60, 120, 168, 180}, to wszystkie grupy rzędu n są rozwiązalne. Istnieje grupa nierozwiązalna generowana przez dwa elementy ([30] 56). 5.2 Grupa diedralna Grupę diedralną oznacza się przez D n. Jest to grupa izometrii n-kąta foremnego. Posiada ona 2n elementów. Przy pomocy generatorów i relacji zapisuje się następująco: (dowód tego faktu jest np. w [30] 20). D n = a, b; a n = e, b 2 = e, (ab) 2 = e Stwierdzenie 5.2.1 ([14] 195, [30]). Grupa D n jest rozwiązalna. 5.3 Twierdzenia Sylowa Piotr Ludwik Sylow, 1832-1918, matematyk norweski. Teoria grup Sylowa pochodzi z 1872 r. Mówimy, że grupa G jest p-grupą (gdzie p jest liczbą pierwszą), jeśli G jest potęgą liczby p. Każdą podgrupę grupy G, różną od {e} i będącą p-grupą, nazywamy p-podgrupą grupy G. Niech G będzie grupą, n = G i niech p-będzie liczbą pierwszą. Załóżmy, że n = p k m, gdzie k 1, p n. Każdą podgrupę H grupy G taką, że H = p k (czyli maksymalną p-podgrupę w G), nazywamy p-podgrupą Sylowa grupy G. Przez S p (G) oznaczamy liczbę wszystkich p-podgrup Sylowa grupy G. Twierdzenie 5.3.1 (Sylowa). Niech G będzie grupą skończoną rzędu n i niech p będzie liczbą pierwszą. Załóżmy, że p n. (1) Grupa G zawiera co najmniej jedną p-podgrupę Sylowa (tzn. S p (G) 1). (2) p S p (G) 1. (3) Każda p-podgrupa grupy G zawarta jest w pewnej p-podgrupie Sylowa grupy G. (4) Każde dwie p-podgrupy Sylowa grupy G są sprzężone, tzn. jeśli A, B są p-podgrupami Sylowa w G, to istnieje g G takie, że A = gbg 1. Z tego twierdzenia wynikają następujące wnioski. Wniosek 5.3.2 ([28]). Niech G będzie grupą skończoną rzędu n i niech p będzie liczbą pierwszą. (5) Jeśli p n, to grupa G posiada element rzędu p. (6) Niech n = p k m, gdzie k 1, p m. Wtedy grupa G posiada podgrupy H 1, H 2,... H k odpowiednio rzędów p 1, p 2,..., p k. (7) p n = S p (G) n.