Ćwiczenie E-3 ANALIZA HAMONICZNA I. Cel ćwiczenia: zapznać z zagadnieniem reznansu w bwdzie szeregwym LC i zagadnieniem analizy harmnicznej. II. Przyrządy: bwód reznanswy, generatr funkcyjny impedancji wyjściwej nie większej niż 0Ω, częstścimierz cyfrwy, scylskp. Pżądany scylskp dwukanałwy z niezależnym wejściem X i ddatkwy generatr dużej stabilnści. III. Literatura:. Ch. Kittel, Mechanika, PWN Warszawa 969, rzdz. 7, zad. 8, 9, 0, 4, 6 (scylatr harmniczny, scylatr harmniczny tłuminy).. E. M. Purcell, Elektrycznść i magnetyzm, PWN Warszawa 97, rzdz. 8., 8. (bwdy prądu zmienneg). 3. F. Crawfrd, Fale, PWN Warszawa 97, rzdz..3 (analiza harmniczna). 4. Opis ćwiczenia E A (drgania swbdne, drgania tłumine, drgania wymuszne).. Pracwnia fizyczna dla zaawanswanych, UŁ. rzdz. III (pmiary scylskpem). IV. Wprwadzenie IV. Twierdzenie Furiera. Twierdzenie Furiera, według któreg dwlna rzsądna funkcja kreswa zmiennej rzeczywistej t kresie T mże być przedstawina jak skńczny lub nieskńczny szereg sinusów kresach T, T/, T/3... dgrywa bardz ważną rlę w najrzmaitszych dziedzinach nauk przyrdniczych i technicznych. Zastswania szeregów Furiera plegają na wykrzystaniu d pisu badanych prcesów tzw. analizy harmnicznej, tj. rzkładu dwlneg drgania na sumę n drgań harmnicznych częstściach będących całkwitymi wielkrtnściami częstści pdstawwej równej częstści daneg drgania. Wyrażając się bardziej precyzyjnie mżna pwiedzieć, że celem analizy harmnicznej jest mżliwie dbre przybliżenie empirycznie znanej funkcji kreswej przez skńczne szeregi trygnmetryczne. Uściślając twierdzenie Furiera z 8 rku mżemy pwiedzieć, że dwlną funkcję rzeczywistą i kreswą f(t) kresie T mżna przedstawić w pstaci szeregu Furiera, jeśli istnieje całka: wówczas gdzie T f T f ( t) dt ( t) = a + [ a cs( kω t) + b sin( kω t) ] k= k k
Ćwiczenie E-3 T a k = f (t)cs( k t)dt T ω, b k T T = f (t)sin( k t)dt T ω, T π ω = ; k = 0,,, T Na mcy teg twierdzenia prstkątną falę amplitudzie A i kresie T mżemy przedstawić w pstaci szeregu: 4A [ ( ) ] sin π l+ t / T U(t) = ( ) π = l+ U A l 0 A T t ys. Symetryczna względem si czasu t prstkątna fala napięcia Obecnie gałąź matematyki, zapczątkwana przez twierdzenie Furiera i rzszerzna na funkcje niekreswe znalazła bardz szerkie zastswanie w praktyce. Analizę furierwską (harmniczną, widmwą) stsuje się wszędzie tam, gdzie zachdzi kniecznść przetwarzania zmiennych w czasie sygnałów elektrycznych na ciągi liczb. Jednym ze spektakularnych sukcesów analizy harmnicznej jest cyfrwy zapis dźwięku. Przyrządy przeznaczne d przeprwadzania analizy harmnicznej nazywamy analizatrami widma lub analizatrami furierwskimi. IV. eznans w szeregwym bwdzie LC. Zjawisk pbudzania układu fizyczneg d drgań, których amplituda i energia mgą być niewspółmiernie wielkie w stsunku d mcy czynnika wymuszająceg nsi nazwę reznansu, a częstść drgań, dla której amplituda i energia siągają maksimum, nazywamy reznansem. Jeżeli w bwód LC (rys. ) włączymy źródł zmiennej w czasie siły elektrmtrycznej (SEM) E = E sinωt, E = cnst ( ) t suma chwilwych wartści spadków ptencjału w bwdzie jest równa chwilwej wartści SEM di Q UL + U + UC = L + I+ = E sinωt ( 3 ) dt C óżniczkując (3) względem czasu t trzymamy: d I di L + + I=ωE csωt. ( 4 ) dt dt C Szczególnymi rzwiązaniami równania (4) są funkcje:
Ćwiczenie E-3 I (t) = I cs(ωt + ϕ ) ( a ) I (t) = I sin(ωt + ϕ ) ( b ) gdzie ϕ jest różnicą faz prądu i SEM ωl tgϕ ωc = ( c ) Amplitudę natężenia prądu wyznaczają wartści amplitudy SEM E i mdułu impedancji (zawady) Z : I E = =. ( 6 ) Z E + ωl ωc ~ L C ys. Szeregwy bwód LC (bwód reznanswy) ze źródłem sinusidalnie zmiennej w czasie SEM. Dla pewnej częstści kątwej ω ο pór indukcyjny L = ωl jest równy prwi pjemnściwemu C =, c pciąga za sbą warunki: ωc ω = i f =, (ω = πf ) ( 7 ) LC π LC Dla częstści ω ο mduł impedancji (mduł prnści zesplnej, zawady) siąga wartść minimalną równą rzeczywistej prnści całeg bwdu (źródł SEM, prnik, cewka), zanika różnica między natężeniem prądu a SEM, natmiast amplituda i wartść skuteczna natężenia prądu stają się maksymalne: I = E /, I sk = E sk /. Zależnść amplitudy natężenia prądu bądź amplitudy spadku ptencjału na wybranym elemencie bwdu (, L, C) d częstści SEM nazywamy krzywą reznanswą. Krzywe reznanswe napięcia na kndensatrze UC = I( ω) i indukcyjnści UL = ωli( ω) siągają mak- ωc sima dpwiedni dla częstści kątwych i ω C = ω ( 8 ) LC L ω L = ω ( 9 ) LC C 3
Ćwiczenie E-3 Dla bwdów reznanswych małej wartści prnści rzeczywistej i dużej wartści indukcyjnści, charakteryzujących się tzw. dużą dbrcią prawdziwe są wzry przybliżne i L Q= ( 0 ) C U C (ω ) QE ( a ) U L (ω ) QE ( b ) Wynika stąd, iż dla bwdów dużej wartści współczynnika dbrci Q amplitudy napięć mierznych na pjemnści i indukcyjnści w stanie reznansu mgą być wielkrtnie większe d amplitudy SEM E. IV.3 Analiza harmniczna Jak wynika ze wzru () prstkątną, symetryczną falę napięcia amplitudzie A i częstści f = /T mżna przedstawić jak superpzycję fal sinusidalnych (harmnicznych) amplitudach i częstściach spełniających warunki: 4A A A A A =,f = f; A =,f = 3f; A3 =,f3 = f; A4 =,f4 = 7f;.... π 3 7 Załóżmy, iż w szeregwy bwód LC dużej dbrci Q włączyliśmy generatr (źródł) symetrycznej fali prstkątnej i tak dbraliśmy częstść fali f, aby była równa częstści reznanswej teg układu f = f (rys. 3) C L X Y Y X ys. 3 Ogólna idea układu pmiarweg. Wówczas na ekranie scylskpwym bserwwać będziemy wyraźne maksimum drgań wzbudznych w bwdzie, a drgania te będą miały charakter drgań harmnicznych (sinusidalnie zmiennych w czasie). Jeśli zaczniemy zmniejszać częstść fali prstkątnej nie zmieniając jej amplitudy, t amplituda drgań wzbudznych najpierw gwałtwnie się zmniejszy, aby następnie pnwnie siągnąć maksimum dla częstści fali prstkątnej równej f = f /3, przy czym amplituda dla tej częstści będzie wynsić tylk /3 wartści amplitudy dla częstści f. W przypadku dalszeg zmniejszania częstści fali prstkątnej zabserwujemy maksima dla klejnych częstści f 3 = f /, f 4 = f /7 itd. Maksymalne amplitudy drgań wymusznych będą wynsiły dpwiedni /, /7, itd. wartści maksymalnej amplitudy dla częstści f. Dzieje się tak dlateg, iż fala prstkątna częst- 4
Ćwiczenie E-3 ściach f, 3f, f..., a skr f = f /3, gdzie f jest częstścią reznanswą, t pszczególne harmniczne tej fali pzstają w stsunku d częstści reznanswej f jak f /3, f, f /3,....Tak więc częstść drugiej harmnicznej fali prstkątnej częstści f = f /3 jest równa częstści reznanswej bwdu. Odpwiedni, trzecia harmniczna fali prstkątnej częstści f 3 = f / będzie równa częstści reznanswej. Pnieważ klejne harmniczne mają craz t mniejsze amplitudy drgań wzbudznych, t maksymalne amplitudy drgań wzbudznych w bwdzie będą craz t mniejsze. A[mV] 0 Fala prstkątna A = 0 mv, f = f rez = 3 khz A[mV] 0 0 f rez 0 f, khz Fala prstkątna A = 0 mv, f = f rez /3 = khz A[mV] 0 0 3 4 6 f rez 0 f, khz Fala prstkątna A = 0 mv, f 3 = f rez / = 600 Hz 3 4 6 7 8 9 0 0 f rez 0 f, khz ys. 4 Widm harmnicznych trzech fal prstkątnych (w przedziale częstści d 0 Hz d khz). Linią ciągłą zaznaczn amplitudy dla częstści mierznych dświadczalnie.
Ćwiczenie E-3 Jedncześnie w miarę zmniejszania częstści będzie się bardziej uwypuklał tłuminy charakter drgań w bwdzie. Gdybyśmy zastąpili źródł fal prstkątnych źródłem, któreg SEM zmienia się w czasie w inny spsób, t pwtarzając pisaną pwyżej prcedurę wzbudzilibyśmy w bwdzie drgania harmniczne, ale sekwencja częstści, dla których wystąpiłby reznans, byłaby inna i wynikałaby wprst z analizy furierwskiej tej SEM. Najprstszy spsób przedstawienia wyników analizy harmnicznej kreślnej funkcji (drgania, fali) przedstawin na rys. 4. Przedstawia n zależnść amplitudy klejnych harmnicznych d częstści (widm harmnicznych). W bardziej skmplikwanych przypadkach wykres ten należy jeszcze uzupełnić wykresem zależnści faz pszczególnych harmnicznych d częstści, aby w pełni przedstawić daną falę czy pjedynczy impuls. Na rysunku 4 zilustrwan pnadt prcedurę przeprwadzenia analizy harmnicznej fali prstkątnej metdą wzbudzania bwdu reznansweg. Jeżeli częstść reznanswa i dbrć bwdu wynszą dpwiedni f rez = 3 khz i Q = 00, t zjawisk reznansu wystąpi np. dla fali prstkątnej częstści f = 3 khz (amplituda napięcia na kndensatrze U C V), f = khz (U C,67V), f 3 = 600 Hz (U C3 V). Przewidywana (w przybliżeniu) maksymalna amplituda napięcia na kndensatrze równa jest ilczynwi współczynnika dbrci Q i amplitudy tej harmnicznej, której częstść jest równa częstści reznanswej. Dkładnść tej metdy jest tym większa, im większa jest wartść dbrci Q. V. Pmiary. Płączyć przyrządy wg schematu przedstawineg na rys.. Obwód reznanswy pwinien być zasilany z wyjścia impedancji nie większej niż 0 Ω, częstścimierz cyfrwy najlepiej płączyć z jednym z wyjść pmcniczych generatra funkcyjneg. CC GF Ω ± % 63 mh ± 0% 3 Ω ± % d scylskpu 3,9 nf ± % We Y ys. Układ pmiarwy: CC częstścimierz cyfrwy, GF generatr funkcyjny, We Y wejście Y scylskpu.. Wyznaczyć krzywą reznanswą bwdu LC zasilaneg napięciem sinusidalnie zmiennym w czasie. Szczególnie dkładnie wyznaczyć wartści częstści reznanswej i amplitudy drgań w stanie reznansu. 3. Dstrić generatr d częstści reznanswej bwdu, dłączyć bwód d generatra, płączyć wyjście generatra z wejściem Y scylskpu i zmierzyć z maksymalną dkładnścią amplitudę napięcia wyjściweg generatra. 4. Ustawić przełącznik rdzaju napięcia wyjściweg generatra w pzycji fala prstkątna. Wyznaczyć częstści, dla których występuje zjawisk reznansu i zmierzyć maksymalną am- 6
Ćwiczenie E-3 plitudę drgań dla każdej z tych częstści, pamiętając, iż drgania wzbudzne w tym bwdzie LC falą prstkątną są drganiami tłuminymi wykładnicz malejącej w czasie amplitudzie.. Odłączyć generatr d bwdu LC, płączyć wyjście generatra z wejściem Y scylskpu i z maksymalną dkładnścią zmierzyć amplitudę fali prstkątnej. 6. Pżądane jest praktyczne zapznanie się z alternatywną metdą wyknania pmiarów, pisaną w Uzupełnieniu. BNC 3,9 nf ± % 63 mh ± 0% 3 Ω ± % Ω ± % ys.6 Schemat płytki mntażwej bwdu LC. VI. Opracwanie wyników. Wykreślić krzywą reznanswą amplitudy napięcia na kndensatrze.. Obliczyć przewidywane na pdstawie wzrów teretycznych i danych liczbwych na schemacie wartści częstści reznanswej, współczynnik dbrci i amplitudy napięcia na kndensatrze w stanie reznansu (bwód zasilany napięciem sinusidalnie zmiennym). Prównać te wartści z wynikami pmiarów. 3. Obliczyć przewidywane wartści częstści raz maksymalnych amplitud w stanach reznansu (bwód zasilany falą prstkątną) i prównać je z wartściami zmierznymi. Naryswać przewidywane i wyznaczne dświadczalnie widm harmnicznych. 4. Obliczyć przewidywane i dświadczalne wartści stsunków częstści fal prstkątnych (raz amplitud), dla których występuje reznans d częstści reznanswej (amplitudy w stanie reznansu). Przeprwadzić dyskusję wyników. UWAGA! Opisana metda wyknania analizy harmnicznej nie jest w istcie rzeczy metdą wyknania analizy harmnicznej knkretnej fali prstkątnej (taką analizę mżna wyknać jedynie za pmcą analizatra widma) lecz metdą pzwalającą sprawdzić dświadczalnie pprawnść rzwinięcia prstkątnej fali napięcia w szereg Furiera. 7
Ćwiczenie E-3 Uzupełnienie Bardz efektwną metdą zilustrwania zagadnienia analizy harmnicznej jest metda plegająca na bserwacji figur Lissayu's, pwstających na ekranie scylskpu, płączneg z bwdem reznanswym tak, jak t pkazan na rys. 7 L G.F. C We X G.P ~. CH CH ~ ys.7 Układ pmiarwy: G.F. generatr funkcyjny, G.P. generatr pmcniczy dstrjny d częstści reznanswej bwdu LC, scylskp pracujący jedncześnie w trybie XY i trybie siekaneg (chpped) przełączania przełącznika elektrniczneg (jednczesna praca XY i praca dwukanałwa). Metdę tę mżemy z pwdzeniem zastswać, jeśli dyspnujemy:. scylskpem umżliwiającym uzyskanie dwóch wykresów na ekranie pdczas pracy XY,. generatrem funkcyjnym wypsażnym w dwa synchrniczne wyjścia fali prstkątnej i fali sinusidalnej, 3. ddatkwym generatrem fali sinusidalnej dużej stabilnści (generatr pmcniczy) 4. bwdem reznanswym dużej dbrci. Generatr pmcniczy dstrajamy bardz dkładnie d częstści reznanswej bwdu. Jak wynika z wcześniejszych rzważań, częstści fali prstkątnej, dla których uzyskamy stan reznansu, pzstają w stsunku d częstści reznanswej bwdu, jak :, :3, :... itd. Skr zaś częstść drgań wzbudznych w bwdzie jest zawsze równa częstści reznanswej bwdu, t dla każdej z częstści fali prstkątnej, inicjującej stan reznansu trzymamy na ekranie dwie figury Lissayu's, z których jedna dpwiadać będzie stsunkwi częstści : i której wyskść będzie zależała d amplitudy drgań w stanie reznansu, natmiast druga wyrażać będzie aktualną wartść stsunku częstści fali prstkątnej d częstści reznanswej bwdu. 8