Doświadczenie i zdarzenie losowe

Doświadczenie i zdarzenie losowe Doświadczenie losowe jest to takie doświadczenie, które jest powtarzalne w takich samych warunkach lub zbliżonych, a którego wyniku nie można przewidzieć jednoznacznie. Zdarzenie losowe jest to wynik doświadczenia losowego. Przykład.W poniższej tabeli zawarto przykłady doświadczeń oraz zdarzeń losowych. rzut kostką do gry Doświadczenie losowe Zdarzenie losowe (przykłady) parzysta liczba oczek, wyrzucono 3 oczka rzut monetą orzeł, reszka urodzenie dziecka płeć męska, płeć żeńska losowanie lotto trafienie 3 z 49 liczb losowanie kul z urny spośród kul czarnych i białych wylosowanie kuli czarnej wyjęcie karty z talii karo, as, pik Zdarzenia elementarne Zdarzenie elementarne jest to najprostszy (pojedynczy) wynik doświadczenia losowego. Zdarzenie elementarne będziemy oznaczać grecką literą ω. Zbiór (przestrzeń) zdarzeń elementarnych jest to zbiór wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych danego doświadczenia losowego. Oznaczamy go symbolem (omega). Liczbę wszystkich zdarzeń elementarnych oznaczamy: lub i określamy pojęciem mocy zbioru. Dla każdego doświadczenia losowego należy określić co uważamy za zdarzenie elementarne i określić zbiór zdarzeń elementarnych. Przykład doświadczenie losowe: rzut monetą, zdarzenie losowe: wyrzucenie orła lub reszki, zdarzenie elementarne: wyrzucono orła, zdarzenie elementarne: wyrzucono reszkę, zbiór zdarzeń elementarnych: * +, 1

Zdarzenie losowe (zdarzenie) to dowolny podzbiór zbioru Ω. Zdarzenia losowe oznaczamy wielkimi literami alfabetu łacińskiego A, B, C,... Jeżeli zdarzenie elementarne należy do zbioru A, to mówimy, że to zdarzenie elementarne sprzyja zdarzeniu A. Przykład: Rzucamy raz kostką do gry. Niech A oznacza zdarzenie: wyrzucono parzystą liczbę oczek. Jakie zdarzenia elementarne sprzyjają zdarzeniu A? * + * + Zatem zdarzeniu losowemu A sprzyjają trzy zdarzenia elementarne: 2, 4, 6. Wśród wszystkich podzbiorów zbioru zdarzeń elementarnych Ω dwa zasługują na szczególną uwagę - zbiór pusty Ø nazywany zdarzeniem niemożliwym (zdarzenie niemożliwe, czyli zdarzenie, które nie może zajść), - zbiór Ω nazywany zdarzeniem pewnym. Przykład: W rzucie kostką do gry zdarzeniem pewnym jest wyrzucenie co najmniej jednego oczka, zdarzeniem niemożliwym jest wyrzucenie liczby oczek podzielnej przez 7. Przykład: W losowaniu z urny jednej kuli z trzech o różnych kolorach: białym, czarnym i zielonym zdarzeniem pewnym jest wyjęcie z urny kuli białej lub czarnej lub zielonej, zdarzeniem niemożliwym jest wyjęcie z urny kuli czerwonej. Zdarzeniem przeciwnym do A nazywamy zbiór wszystkich zdarzeń elementarnych przestrzeni Ω, które nie sprzyjają zdarzeniu A. Oznaczamy A'. - zdarzenie przeciwne do A, czyli polegające na tym, że nie zachodzi zdarzenie A. Przykład: W rzucie monetą zdarzeniem przeciwnym do zdarzenia wypadł orzeł jest zdarzenie: wypadła reszka Kombinatoryka to dział matematyki, w którym obliczamy ilość określonych zdarzeń. W tym celu stosujemy różne metody przedstawione w dalszej części. Przykład 1. Doświadczenie polega na dwukrotnym rzucie monetą. Ile jest możliwych wyników tego doświadczenia. Jeśli w rzucie monetą wypadnie orzeł, to zapisujemy O, a gdy wypadnie reszka, zapisujemy R. zapis (O, R) oznacza, że w pierwszym rzucie wypadł orzeł, a w drugim reszka. 2

Zbiór zdarzeń elementarnych, czyli zbiór wszystkich możliwych wyników to: *( ) ( ) ( ) ( )+ Drzewko doświadczenia Zdarzenia elementarne to: ( ) ( ) ( ) ( ) Przykład 2. Doświadczenie losowe polega na jednokrotnym rzucie monetą, a następnie jednokrotnym rzucie kostką. a) Wyznacz zbiór wszystkich możliwych wyników tego doświadczenia. b) Wyznacz zbiór możliwych wyników, jeśli: A na monecie wypadł orzeł, B na kostce wypadła nieparzysta liczba oczek, C na kostce wypadły co najwyżej 4 oczka, D na kostce wypadło co najmniej 5 oczek. a) Wypisujemy kolejne uporządkowane pary na pierwszy miejscu orzeł (O) lub reszka (R), a na drugim liczba oczek, które wypadły na kostce. *( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( + ( ) ( ) ( ) ( ). b) Zbiory możliwych wyników to: A = {(O,1), (O,2), (O,3), (O,4), (O,5), (O,6)} B = {(O,1), (O,3), (O,5), (R,1), (R,3), (R,5)}. 3

C = {(O,1), (O,2), (O,3), (O,4), (R,1), (R,2), (R,3), (R,4)}. D = {(O,5), (O,6), (R,5), (R,6)}. A = {(O,1), (O,2), (O,3), (O,4), (O,5), (O,6)}. B = {(O,1), (O,3), (O,5), (R,1), (R,3), (R,5)}. C = {(O,1), (O,2), (O,3), (O,4), (R,1), (R,2), (R,3), (R,4)}. D = {(O,5), (O,6), (R,5), (R,6)}. Przykład 3. Doświadczenie losowe polega na jednokrotnym rzucie monetą. Rozpatrzmy zdarzenia: A wypadła parzysta liczba oczek, B wypadła nieparzysta liczba oczek, C wypadła liczba oczek większa od 7, D wypadła liczba oczek mniejsza od 7. Zbiorem zdarzeń elementarnych jest zbiór * +. A = {2,4,6} co oznacz, że zdarzeniu A sprzyjają wyniki (zdarzenia elementarne) 2,4,6. B = {1,3,5} co oznacza, że zdarzeniu B sprzyjają wyniki 1,3,5. C = * + co oznacza, że zdarzenie C jest zdarzeniem niemożliwym. D = { + co oznacza, że zdarzenie D jest zdarzeniem pewnym. Przykład 4. Doświadczenie losowe polega na jednokrotnym rzucie kostką do gry. a) wyznacz zbiór wszystkich możliwych wyników tego doświadczenia (zbiór zdarzeń elementarnych). b) wypisz wyniki sprzyjające następującym zdarzeniom: A wyrzucono parzysta liczbę oczek, B - wyrzucono liczbę oczek większą niż 4. a) Wypisujemy zdarzenia elementarne: 1, 2, 3, 4, 5, 6. * +. 4

b) A = {2, 4, 6} B = {5, 6}. Przykład 5. Doświadczenie losowe polega na dwukrotnym rzucie kostką. a) wyznacz zbiór wszystkich możliwych wyników tego doświadczenia (zbiór zdarzeń elementarnych). b) Wypisz wyniki sprzyjające następującym zdarzeniom: A za pierwszym razem wypadła nieparzysta liczba oczek, B w obu rzutach wypadła taka sama liczba oczek, C za drugim razem wypadła większa liczba oczek niż za pierwszym razem, D suma wyrzuconych oczek w obu rzutach jest nie mniejsza niż 13, E suma wyrzuconych oczek w obu rzutach jest nie większa niż 5. a) Do rozwiązania zadania wykorzystamy tabelę. Rysujemy tabelę wszystkich możliwych wyników, w której górny wiersz poziomy oznacza liczbę oczek w pierwszym rzucie, a pionowy liczbę oczek w drugim rzucie. Wypisujemy kolejne uporządkowane pary zdarzeń elementarnych: *( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+ b) A = {(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (3,1), (3,2), (3,3), (3,4), (3,5), (3,6), (5,1), (5,2), (5,3), (5,4), (5,5), (5,6)}. Moc tego zbioru, czyli ilość zdarzeń sprzyjających zdarzeniu A wynosi: 5

B = {(1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6)}.Moc tego zbioru, czyli ilość zdarzeń sprzyjających zdarzeniu B wynosi: C = {(1,2), (1,3), (1,4), (1,5), (1,6), (2,3), (2,4), (2,5), (2,6), (3,4), (3,5), (3,6), (4,5), (4,6), (5,6)}. Moc tego zbioru, czyli ilość zdarzeń sprzyjających zdarzeniu C wynosi: D = * + - zdarzenie D jest zdarzeniem niemożliwym. E ={(1,1), (1,2), (1,3), (1,4), (2,1), (2,2), (2,3),(3,1), (3,2), (4,1)}. Moc tego zbioru, czyli ilość zdarzeń sprzyjających zdarzeniu E wynosi: Przykład 6. Doświadczenie losowe polega na trzykrotnym rzucie monetą. Wypisz wyniki sprzyjające następującym zdarzeniom: A reszka wypadła co najwyżej raz, B orzeł wypadł co najmniej raz, C orzeł wypadł dokładnie dwa razy, E wypadło mniej orłów niż reszek. 1 0 Wyznaczamy zbiór wszystkich możliwych wyników tego doświadczenia ( ) Możemy to zrobić za pomocą drzewka. 6

Wyniki doświadczenia: (O,O,O), (O,O,R), (O,R,O), (O,R,R), (R,O,O), (R,O,R), (R,R,O), (R,R,R). Wyniki tego doświadczenia wypisujemy, idąc kolejnymi gałęziami drzewka od START-u do mety (w dół). W ten sposób otrzymujemy zbiór 2 0 Wypisujemy wyniki sprzyjające poszczególnym zdarzeniom: A = {(O,O,O), (O,O,R), O,R,O), (R,O,O)}. B = {(O,O,O), (O,O,R), (O,R,O), (O,R,R,), (R,O,O), (R,O,R), (R,R,O)}. C = {(O,O,R), (O,R,O), (R,O,O)}. E = {(O,R,R), (R,O,R), (R,R,O), (R,R,R)}. Przykład 6. Doświadczenie losowe polega na wylosowaniu dwóch niepowtarzających się cyfr ze zbioru {1, 2, 3, 4} z których tworzymy liczbę. a) Napisz zbiór wszystkich wyników tego doświadczenia losowego i określ jego moc. b) Wylosowano cyfry, które dały liczbę parzystą. Wypisz wszystkie zdarzenia elementarne, które sprzyjają temu zdarzeniu losowemu. Ile ich jest? a) zbiór wszystkich wyników tego doświadczenia losowego {12, 13, 14, 21, 23, 24, 31, 32, 34, 41, 42, 43}. Wszystkich wyników jest. b) A wylosowano liczbę parzystą. Zdarzenia sprzyjające zdarzeniu A to: {12, 14, 24, 32, 34, 42}. Takich zdarzeń jest Przykład 7. Doświadczenie losowe polega na jednokrotnym rzucie kostką oraz monetą. Zapisz wyniki tego doświadczenia. Ile ich jest? Wynikiem tego doświadczenia jest para (k, m), gdzie k jest liczba wyrzuconych oczek na kostce, a m wynikiem otrzymanym w rzucie monetą (czyli wynikiem może być orzeł lub reszka). 7

*( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )+ Mamy 12 możliwych wyników tego doświadczenia, Przykład 8: Ile jest liczb dwucyfrowych mniejszych od 30 podzielnych przez 3? Wypisujemy każdą z tych liczb: 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27 ma być mniejsze od 30, więc samo 30 się nie kwalifikuje. Mamy więc 9 takich liczb.. W określaniu liczby zdarzeń w doświadczeniu losowym przydatna jest reguła mnożenia Regułę mnożenia (zasadę mnożenia) wykorzystujemy do zliczenia zdarzeń elementarnych dla doświadczeń losowych, które można podzielić na etapy. Jeśli doświadczenie możemy wykonać w 2 kolejnych etapach, takich, że w pierwszym etapie jest wyników, a w drugim etapie jest wyników, to moc zbioru wyników doświadczenia jest równa :. Przykład. Rzucamy dwiema sześciennymi kostkami do gry. Ile jest wszystkich możliwych wyników rzutu? Czynność rzucania dwiema kostkami można podzielić na dwa etapy: etap 1: rzut pierwszą kostką do gry, etap 2: rzut drugą kostką do gry. 8

Etap 1 możemy wykonać na 6 sposobów (tyle jest możliwych różnych wyników rzutu sześcienną kostką). Podobnie etap 2 na 6sposobów. Zatem z reguły mnożenia: 6 6 = 36 tyle jest wszystkich możliwych wyników rzutu dwoma sześciennymi kostkami. Obliczenia można poprzeć rysunkiem: Przykład: Ile jest liczb dwucyfrowych, w których obie cyfry są mniejsze od 4? Dzielimy tu na etapy: 1. ustaw cyfry dziesiątek: Możliwe cyfry dziesiątek to 1,2,3,4-4 cyfry 2. ustaw cyfry jedności: Możliwe cyfry dziesiątek to 0,1,2,3,4-5 cyfr Zatem takich liczb jest 4 5 = 20 Przykład. Rzucamy jednokrotnie kostka do gry, a następnie monetą. Wyznacz ilość zdarzeń elementarnych tego doświadczenia (ilość możliwych wyników). 1 0 rzut kostką: ilość możliwych wyników: m = 6. 2 0 rzut monetą: ilość możliwych wyników n = 2. Doświadczenie losowe może się też składać z trzech etapów. Regułę mnożenia stosujemy wtedy bardzo podobnie. Niech: m to liczba sposobów na jakie możemy wykonać etap 1, n to liczba sposobów na jakie możemy wykonać etap 2, p to liczba sposobów na jakie możemy wykonać etap 3. Wtedy całą czynność możemy wykonać na sposobów. 9

Przykład. Rzucamy trzy razy monetą. Ile jest wszystkich możliwych wyników tego doświadczenia? Zatem: W I rzucie może wypaść orzeł lub reszka, czyli są 2 możliwości. W II rzucie również może wypaść orzeł lub reszka, czyli są 2 możliwości. W III rzucie również może wypaść orzeł lub reszka, czyli są 2 możliwości. Reguła mnożenia mówi, że w takiej sytuacji mamy: 2 2 2 = 8 W regule mnożenia zawsze zamieniamy spójnik "i" na mnożenie. możliwości. Przykład. Ile mamy nieparzystych liczb trzycyfrowych? Wszystkich cyfr mamy dziesięć: {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}. Czynność składania liczby trzycyfrowej możemy podzielić na trzy etapy: etap 1: wybór cyfry setek, etap 2: wybór cyfry dziesiątek, etap 3: wybór cyfry jedności. Etap 1 możemy wykonać na m = 9 sposobów (cyfrą setek może być dowolna cyfra oprócz 0, bo wtedy liczba nie byłaby trzycyfrowa). Etap 2 możemy wykonać na n = 10 sposobów (dowolna cyfra może stać na miejscu cyfry dziesiątek). Etap 3 możemy wykonać na p = 5sposobów (ponieważ liczba ma być nieparzysta, to cyfrą jedności musi być jedna z cyfr: {1, 3, 5, 7, 9}). Zatem z reguły mnożenia całą czynność ułożenia nieparzystej liczby trzycyfrowej możemy wykonać na m n p= 9 10 5 = 450 sposobów. Czyli mamy 450 nieparzystych liczb trzycyfrowych. Obliczenia można poprzeć rysunkiem: 10

Regułę mnożenia możemy rozszerzać na doświadczenia losowe (czynności) złożone z większej liczby etapów: czterech, pięciu, etapach Przykład. Rzucamy 5 razy sześcienną kostką do gry. Ile jest możliwych wyników? W każdym rzucie możemy otrzymać jeden z sześciu wyników. Zatem łącznie mamy: możliwości. 6 6 6 6 6 = 6 5 Przykład: Rzucamy 10 razy monetą. Ile jest możliwych wyników? W każdym rzucie możemy otrzymać 2 wyniki: Orzeł albo Reszka. Powiemy: W pierwszym rzucie mamy 2 możliwości i w drugim rzucie mamy 2 możliwości i w trzecim rzucie mamy 2 możliwości... i w dziesiątym rzucie mamy 2 możliwości. Zatem łącznie mamy: możliwości. Przykład 3. Na ile sposobów można ustawić 5 osób w kolejce? 1 0 ustawiamy osoby na kolejnych miejscach posłużymy się w tym celu rysunkiem pomocniczym z pięcioma miejscami: 5 4 3 2 1 na pierwszym miejscu możemy ustawic każdą z 5 osób, na drugim miejscu możemy ustawić jedną z pozostałych 4 osób na trzecim miejscu możemy ustawić jedną z pozostałych 3 osób, na czwartym miejscu możemy ustawić jedną z pozostałych 2 osób, na piatym miejscu możemy ustawić ostatniąosobę. 2 0 Korzystamy z reguły mnożenia: zatem 5 osób w koljce można ustawić na 120 sposobów. Przykład 4. Ile różnych liczb czterocyfrowych można otrzymać z cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, jeśli cyfry nie mogą się powtarzać? 11

9 9 8 7 na pierwszym miejscu możemy ustawic cyfry od 1 do 9; nie możemy ustawić zera, na drugim miejscu możemy ustawić jedna z pozostałych 8 oraz cyfrę 0; mamy więc 9 możliwości, na trzecim miejscu możemy ustawić jedną z pozostałych 8 cyfr, na czwartym miejscu możemy ustawić jedną z pozostałych 7 cyfr. Korzystamy z reguły mnożenia: zatem z podanych cyfr można otrzymać 4536 różnych liczb o niepowtarzających się cyfrach. Przykład 5. Ile różnych liczb czterocyfrowych można otrzymać z cyfr: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 0, jeśli cyfry mogą się powtarzać? 9 10 10 10 na pierwszym miejscu możemy ustawic cyfry od 1 do 9; nie możemy ustawić zera, na drugim miejscu możemy ustawić każdą z 10 cyfr; mamy więc 10 możliwości, na trzecim miejscu możemy ustawić każdą z 10 cyfr; na czwartym miejscu możemy ustawić każda z 10 cyfr. Korzystamy z reguły mnożenia: zatem z podanych cyfr można otrzymać 9000 róznych liczb o powtarzających się cyfrach. Przykład 6. Na ile sposobów możemy ustawić liczbę trzycyfrową tak, aby pierwsza cyfra była podzielna przez 2, druga przez 4, trzecia przez 8. 4 3 2 na pierwszym miejscu możemy ustawic cyfry 2, 4, 6, 8; nie możemy ustawić zera, na drugim miejscu możemy ustawić cyfry 0, 4, 8; mamy więc 3 możliwości, na trzecim miejscu możemy ustawić cyfry 0, 8; mamy więc 2 możliwości Korzystamy z reguły mnożenia: zatem można otrzymać 24 liczb trzycyfrowych spełniających warunki zadania. Przykład 7. W restauracji można zamówić 5 rodzajów zup, 9 rodzajów drugiego dania oraz 7 rodzajów deserów. Na ile sposobów można zamówić w tej restauracji obiad składający się z zupy, drugiego dania i deseru? 5 9 7 12

Zupę możemy wybrać na 5 sposobów, Drugie danie możemy wybrać na 9 sposobów, Deser możemy wybrać na 7 sposobów. Korzystamy z reguły mnożenia: obiad na 315 sposobów. zatem tej w restauracji można zamówić Przykład 8. Ile różnych tablic rejestracyjnych można utworzyć z dwóch liter: G, D oraz zapisanych po nich pięciu cyfr parzystych wybranych ze zbioru {2,4,6,8}? 2 2 4 4 4 4 4 na pierwszym miejscu możemy wstawic każdą z dwóch liter, na drugim miejscu możemy wstawic każdą z dwóch liter, na trzecim miejscu możemy wstawić każdą z 4 cyfr; na czwartym miejscu możemy wstawić każdą z 4 cyfr; na piątym miejscu możemy wstawić każdą z 4 cyfr; na szóstym miejscu możemy wstawić każdą z 4 cyfr; na siódmym miejscu możemy wstawić każdą z 4 cyfr; Korzystamy z reguły mnożenia: zatem takich tablic można utworzyć 4096. Przykład 9. Na ile sposobów można wybrać dwuosobową delegację z klasy liczącej 30 uczniów? 30 29 pierwszą osobę można wybrać na 30 sposobów, drugą osobę można wybrać na 29 sposobów. Korzystamy z reguły mnożenia: 30. Uwaga! W uzyskanej liczbie mamy zdublowane wyniki; np. pary (Ania, Piotr) i (Piotr, Ania) to ta sama delegacja. Wszystkie możliwe pary policzone są dwukrotnie; zatem liczbę uzyskaną z reguły mnożenia musimy podzielić przez 2. Delegację dwuosobową z tej klasy można wybrać na 435 sposobów. 13