L.Kowls - Uwg o rozłdz uc zm losow UWAI O ROZKŁADZIE UNKCJI ZMIENNEJ LOSOWEJ. - d zm losow cągł o gęstośc. Y g g - borlows tz. g - B BR dl B BR Wzczć gęstość g zm losow Y. Jśl g - ścśl mootocz różczowl w przdzl b octrc to: ' g h h gdz h g -. Nlż pmętć o przsztłcu przdzłu octrc. rzłd. Y b wtd b g rzłd. dl Jśl m rozłd o gęstośc dl > Y wtd h g - g h g dl dl > Jśl g - przdzłm ścśl mootocz różczowl w przdzl b octrc to: g h ' h gdz h - uc odwrot do g dl poszczgólch przdzłów - lczb wrtośc uc odwrot odpowdącch dmu. rzłd. Y wtd > g rzłd. Y wtd g > Jśl - soow o uc prwdopodobństw p g - dowol to uc prwdopodobństw zm losow Y g m postć: g g... g p p... p o uporządowu rosąco wrtośc g zsumowu odpowdch prwdopodobństw. Dołd
L.Kowls - Uwg o rozłdz uc zm losow Y g U { : g } { : g } { : g } rzłd. - zm losow soow o uc prwdopodobństw: -4 - - 4 wzczm ucę prwdopodobństw zm losow Y sg. sg-4 sg- sg- -. sg. sg sg. Ztm uc prwdopodobństw zm losow Y st stępuąc - 6 3 W tórch zgdch wzcz rozłdu uc zm losow prw wzczm dstrbutę rozłdu zm losow Y g wg schmtu Y Y g g stęp śl to możlw wzczm ucę prwdopodobństw gd st to rozłd soow lub gęstość gd st to rozłd cągł. rzłd. Jśl m rozłd o gęstośc dl [ 3] rozłd dost [ 3] dl [ 3] 3 Y m 3 wtd Y m Y dl dl dl 3 > 3 N st to rozłd soow cągł. N moż węc wzczć uc prwdopodobństw gęstośc. Jst to rozłd msz soowo - cągł zgod z twrdzm o rozłdz dstrbut powższą dstrbutę moż przdstwć w postc Y c c dl gdz c /3 dl > dl c /3 - dl 3 dl > 3 p
L.Kowls - Uwg o rozłdz uc zm losow uc zmch losowch wmrowch. - d zm losow cągł o gęstośc. Y g g - borlows Dstrbut t zm losow m postć g gęstość g wzczm przz różczow. rzłd. Y / / wtd g rzłd. - zm losow o rozłdz dostm w wdrc. Wzczć rozłd pol prostoąt o boch tz. zm losow Y. l / dl dl stąd l dl dl ztm g -l dl rzłd. Y / wtd g rzłd. - zlż zm losow. - N - N. Nch ~ ~ mą rozłd N. ~ / / / ~ / ~ ~ g ~ π π π π π rozłd Cuch'go orzstąc uc low od zm losow ~ Y Y mm 3
L.Kowls - Uwg o rozłdz uc zm losow rzłd. wtd g g π Y Uwg. Jśl - zlż zm losow to gęstość sum wrż sę splotm gęstośc brzgowch p. dl. rzłd. wtd g Y - Sum zlżch zmch losowch. Włsośc: Y zlż soow zm losow o ucch prwdopodobństw Y ; wtd uc prwdopodobństw zm losow Y wrż sę wzorm: Z z Y z - ; z Y zlż cągł zm losow o gęstoścch ; wtd gęstość zm losow Y wrż sę wzorm: t t dt t t dt splot gęstośc słdów. uc zmch losowch - wmrowch. rzłd. Sstm słd sę ułdów z tórch żd m czs bzwr prc orślo rozłdm włdczm o prmtrz zlżm od pozostłch ułdów. Wzczć rozłd bzwrgo czsu prc cłgo sstmu sstm dzł śl prcu chocż d ułd. Y 3... rzz ducę pozu sę ż Y m rozłd o gęstośc: g dl > 4
L.Kowls - Uwg o rozłdz uc zm losow 5 wtd Otrzm rozłd zwm uogólom rozłdm Erlg - tgo rzędu T. T E T E T D T D gd... to g! > t t t t dl > gdz - t st rozłdm osso. rzłd. Y m wtd g Uwg. Jśl - zlż zm losow to: g Jśl - zlż zm losow o tm smm rozłdz to: wtd g rzłd. Y m wtd g Uwg. Jśl - zlż zm losow o tm smm rozłdz to: wtd g rzłd. Jśl - zlż zm losow o dstrbutch wtd zm losow Y m m rozłd o dstrbuc......... m Y
L.Kowls - Uwg o rozłdz uc zm losow 6 Np. gd mą zlż rozłd dost przdzl to > dl dl dl ęstość tgo rozłdu wrż sę wzorm dl dl orz b Y m m rozłd o dstrbuc [ ]...... Y Y Np. gd mą zlż rozłd dost przdzl to > dl dl dl ęstość tgo rozłdu wrż sę wzorm dl dl orz Rozłd uc od rozłdu ormlgo. 3... - rozłd orml. Y g 3... lż wzczć rozłd Y. rzłd. Y 3 3... 3 b m g π gdz: m m m b r rzz ducę moż pozć ż dl dowolgo Y m rozłd orml o prmtrch: m m m... m b r rzłd.... - zlż o rozłdz N. Y... m rozłd ch wdrt N > Γ E ; D
L.Kowls - Uwg o rozłdz uc zm losow rzłd. - Nm Y M rozłd logrtmczo-orml. Nzw pochodz stąd ż ly m rozłd orml. ZADANIA Zd Wzczć rozłd sum dwóch zlżch zmch losowch o rozłdz osso z prmtrm. odp. Jst to rozłd osso z prmtrm Zd Wzczć rozłd różc włdczm z prmtrm. dwóch zlżch zmch losowch o rozłdz odp. Jst to rozłd Lplc': g Zd 3 Sstm słd sę z ułdów z tórch żd m czs bzwr prc orślo rozłdm włdczm o prmtrz zlżm od druggo ułdu. Wzczć rozłd bzwrgo czsu prc cłgo sstmu sstm dzł śl ob ułd prcuą. Y m Odp. Jst to rozłd włdcz o prmtrz. Zd 4 Sstm słd sę z ułdów czs włącz tch ułdów m rozłd włdcz o prmtrz zlżm od druggo ułdu. Sstm zcz dzłć dopro gd włączą sę ob ułd. Wzczć rozłd czsu rozpoczęc prc cłgo sstmu. Y m. g Zd 5 Wzczć gęstość rozłdu logrtmczo-ormlgo. odp. > N st to rozłd włdcz l m odp. g π Zd 6 Woum zlż pomr oporośc R orz prądu I zm błęd względ DR δ R DI δ I b. Nstęp t podstw chcm ocć pozom pęc U IR R I orz wrtość moc I R. Oblcz D U D covu ρu. 7
L.Kowls - Uwg o rozłdz uc zm losow U U odp. Y U TR I gdz I R T R I I IR R I 3 b I R b I R K Y 3 4 b ρ b I R 4b I R b 4b Zd 7 rz rówolgłm łączu ogw prąd w obwodz orślo st wzorm: E I W R E - sł ltromotorcz ogw W - go opór wwętrz - lość ogw R - opór zwętrz. Wzczć wrtość oczwą wrcę prądu śl E R W są zlż d są ch wrtośc oczw orz odchl stdrdow. Zd 8 Y - zlż zm losow o rozłdz orślom ucą prwdopodobństw / 3/8 /8 Wzcz ucę prwdopodobństw zm losow Y. Zd 9 Y - zlż zm losow o rozłdz dostm w [ ]. Wzcz gęstość zm losow Y. Wzcz prmtr t zm losow. b Y Z - zlż zm losow o rozłdz dostm w [ ]. Wzcz gęstość zm losow Y Z. Wzcz prmtr t zm losow. Zd wo stosuąc splot gęstośc w sprwdź z pomocą uc chrtrstczch. Nszcu porów wrs gęstośc zmch losowch Y Y Z. Zuwż ż gd roś lczb rozptrwch słdów wrs gęstośc st sę podob do rzw uss. Zd - zm losow odpowdąc mrzo wlośc złdm ż m rozłd dost w [ 8] Y - zlż od zm losow opsuąc błąd pomru złdm ż m rozłd orml N. Wzcz gęstość zm losow odpowdąc wow pomru U Y. Wzcz prmtr t zm losow. Zd wo stosuąc splot gęstośc w sprwdź z pomocą uc chrtrstczch. Nszcu wrs gęstośc zm losow Y..3.9 8