PODSTAWOWE ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH

Szkic wykładu 1 Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona 2

Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej W teorii rachunku prawdopodobieństwa najczęściej rozpatrywanymi rozkładami zmiennej losowej skokowej sa:

Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej W teorii rachunku prawdopodobieństwa najczęściej rozpatrywanymi rozkładami zmiennej losowej skokowej sa: rozkład dwupunktowy,

Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej W teorii rachunku prawdopodobieństwa najczęściej rozpatrywanymi rozkładami zmiennej losowej skokowej sa: rozkład dwupunktowy, rozkład dwumianowy,

Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej W teorii rachunku prawdopodobieństwa najczęściej rozpatrywanymi rozkładami zmiennej losowej skokowej sa: rozkład dwupunktowy, rozkład dwumianowy, rozkład Poissona.

Rozkład dwupunktowy Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Mówimy, że zmienne losowa X ma rozkład dwupunktowy, jeśli może przyjmować jedynie dwie wartości, oznaczone dalej umownie jako x 1 oraz x 2, z prawdopodobieństwami odpowiednio: przy czym p + q = 1. P(X = x 1 ) = p, P(X = x 2 ) = q,

Rozkład dwupunktowy Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Mówimy, że zmienne losowa X ma rozkład dwupunktowy, jeśli może przyjmować jedynie dwie wartości, oznaczone dalej umownie jako x 1 oraz x 2, z prawdopodobieństwami odpowiednio: przy czym p + q = 1. P(X = x 1 ) = p, P(X = x 2 ) = q, W przypadku szczególnym, gdy x 1 = 1, x 2 = 0, mówimy, że X ma rozkład zero-jedynkowy z parametrem p.

Rozkład dwupunktowy Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Mówimy, że zmienne losowa X ma rozkład dwupunktowy, jeśli może przyjmować jedynie dwie wartości, oznaczone dalej umownie jako x 1 oraz x 2, z prawdopodobieństwami odpowiednio: przy czym p + q = 1. P(X = x 1 ) = p, P(X = x 2 ) = q, W przypadku szczególnym, gdy x 1 = 1, x 2 = 0, mówimy, że X ma rozkład zero-jedynkowy z parametrem p. Parametr p nazywamy prawdopodobieństwem sukcesu.

Rozkład dwupunktowy Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Mówimy, że zmienne losowa X ma rozkład dwupunktowy, jeśli może przyjmować jedynie dwie wartości, oznaczone dalej umownie jako x 1 oraz x 2, z prawdopodobieństwami odpowiednio: przy czym p + q = 1. P(X = x 1 ) = p, P(X = x 2 ) = q, W przypadku szczególnym, gdy x 1 = 1, x 2 = 0, mówimy, że X ma rozkład zero-jedynkowy z parametrem p. Parametr p nazywamy prawdopodobieństwem sukcesu. Gdy X ma rozkład zero-jedynkowy, wówczas: E(X) = p, D 2 (X) = pq.

Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Przykładowy wykres funkcji prawdopodobieństwa rozkładu zero-jedynkowego Na osi odciętych zaznaczone sa dwie realizacje zmiennej zero-jedynkowej, tj. 0 i 1, natomiast pionowe odcinki reprezentuja prawdopodobieństwa wystapienia tych realizacji, tj. q = 1 p oraz p.

Rozkład dwumianowy Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Mówimy, że zmienna losowa X ma rozkład dwumianowy z parametrami n i p, jeśli jej funkcja rozkładu prawdopodobieństwa wyraża się wzorem: P(X = x) = ( n x ) p x q n x, dla x = 0, 1,..., n, gdzie: n N, p (0, 1), q = 1 p, p jest tzw. prawdopodobieństwem sukcesu,

Rozkład dwumianowy Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Mówimy, że zmienna losowa X ma rozkład dwumianowy z parametrami n i p, jeśli jej funkcja rozkładu prawdopodobieństwa wyraża się wzorem: P(X = x) = ( n x ) p x q n x, dla x = 0, 1,..., n, gdzie: n N, p (0, 1), q = 1 p, ( p jest tzw. prawdopodobieństwem sukcesu, n = x) x!(n x)! jest symbolem Newtona (wykrzyknik oznacza silnię).

Rozkład dwumianowy Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Mówimy, że zmienna losowa X ma rozkład dwumianowy z parametrami n i p, jeśli jej funkcja rozkładu prawdopodobieństwa wyraża się wzorem: P(X = x) = ( n x ) p x q n x, dla x = 0, 1,..., n, gdzie: n N, p (0, 1), q = 1 p, ( p jest tzw. prawdopodobieństwem sukcesu, n = x) x!(n x)! jest symbolem Newtona (wykrzyknik oznacza silnię). W rozkładzie dwumianowym: E(X) = np, D 2 (X) = npq.

Rozkład dwumianowy Uwagi Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona W przypadku zmiennej o rozkładzie dwumianowym zakłada się, że mamy do czynienia z eksperymentem losowym polegajacym na wykonaniu ciagu tzw. doświadczeń Bernoulliego.

Rozkład dwumianowy Uwagi Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona W przypadku zmiennej o rozkładzie dwumianowym zakłada się, że mamy do czynienia z eksperymentem losowym polegajacym na wykonaniu ciagu tzw. doświadczeń Bernoulliego. Nazwa doświadczeń pochodzi od nazwiska trzeciego ze znanej rodziny matematyków Jakuba Bernoulliego.

Rozkład dwumianowy Uwagi Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona W przypadku zmiennej o rozkładzie dwumianowym zakłada się, że mamy do czynienia z eksperymentem losowym polegajacym na wykonaniu ciagu tzw. doświadczeń Bernoulliego. Nazwa doświadczeń pochodzi od nazwiska trzeciego ze znanej rodziny matematyków Jakuba Bernoulliego. Doświadczenia Bernoulliego to ciag n identycznych doświadczeń losowych, spełniajacych trzy warunki: 1. Sa dwa możliwe wyniki każdego doświadczenia, nazywane odpowiednio sukcesem i porażka.

Rozkład dwumianowy Uwagi Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona W przypadku zmiennej o rozkładzie dwumianowym zakłada się, że mamy do czynienia z eksperymentem losowym polegajacym na wykonaniu ciagu tzw. doświadczeń Bernoulliego. Nazwa doświadczeń pochodzi od nazwiska trzeciego ze znanej rodziny matematyków Jakuba Bernoulliego. Doświadczenia Bernoulliego to ciag n identycznych doświadczeń losowych, spełniajacych trzy warunki: 1. Sa dwa możliwe wyniki każdego doświadczenia, nazywane odpowiednio sukcesem i porażka. 2. Prawdopodobieństwo sukcesu, oznaczane symbolem p, jest w każdym doświadczeniu stałe.

Rozkład dwumianowy Uwagi Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona W przypadku zmiennej o rozkładzie dwumianowym zakłada się, że mamy do czynienia z eksperymentem losowym polegajacym na wykonaniu ciagu tzw. doświadczeń Bernoulliego. Nazwa doświadczeń pochodzi od nazwiska trzeciego ze znanej rodziny matematyków Jakuba Bernoulliego. Doświadczenia Bernoulliego to ciag n identycznych doświadczeń losowych, spełniajacych trzy warunki: 1. Sa dwa możliwe wyniki każdego doświadczenia, nazywane odpowiednio sukcesem i porażka. 2. Prawdopodobieństwo sukcesu, oznaczane symbolem p, jest w każdym doświadczeniu stałe. 3. Doświadczenia sa niezależne, co oznacza, że wynik jednego doświadczenia nie ma wpływu na wyniki pozostałych doświadczeń.

Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Przykład zastosowań rozkładu dwumianowego Przykład. Przypuśćmy, że pewna fabryka produkuje pralki, wśród których 5% to pralki wadliwe.

Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Przykład zastosowań rozkładu dwumianowego Przykład. Przypuśćmy, że pewna fabryka produkuje pralki, wśród których 5% to pralki wadliwe. Z partii produkcji wybrano losowo, ze zwracaniem 20 pralek i poddano je szczegółowej kontroli jakości.

Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Przykład zastosowań rozkładu dwumianowego Przykład. Przypuśćmy, że pewna fabryka produkuje pralki, wśród których 5% to pralki wadliwe. Z partii produkcji wybrano losowo, ze zwracaniem 20 pralek i poddano je szczegółowej kontroli jakości. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w wybranej próbie pralek: 1. dokładnie dwie pralki sa wybrakowane,

Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Przykład zastosowań rozkładu dwumianowego Przykład. Przypuśćmy, że pewna fabryka produkuje pralki, wśród których 5% to pralki wadliwe. Z partii produkcji wybrano losowo, ze zwracaniem 20 pralek i poddano je szczegółowej kontroli jakości. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w wybranej próbie pralek: 1. dokładnie dwie pralki sa wybrakowane, 2. co najwyżej dwie pralki maja wady,

Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Przykład zastosowań rozkładu dwumianowego Przykład. Przypuśćmy, że pewna fabryka produkuje pralki, wśród których 5% to pralki wadliwe. Z partii produkcji wybrano losowo, ze zwracaniem 20 pralek i poddano je szczegółowej kontroli jakości. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w wybranej próbie pralek: 1. dokładnie dwie pralki sa wybrakowane, 2. co najwyżej dwie pralki maja wady, 3. żadna pralka nie jest wadliwa.

Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Przykład zastosowań rozkładu dwumianowego Przykład. Przypuśćmy, że pewna fabryka produkuje pralki, wśród których 5% to pralki wadliwe. Z partii produkcji wybrano losowo, ze zwracaniem 20 pralek i poddano je szczegółowej kontroli jakości. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w wybranej próbie pralek: 1. dokładnie dwie pralki sa wybrakowane, 2. co najwyżej dwie pralki maja wady, 3. żadna pralka nie jest wadliwa. Jaka jest oczekiwana liczba pralek wadliwych w losowej próbie 20 pralek?

Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Przykład zastosowań rozkładu dwumianowego Rozwiazanie. Zauważymy, że wybór pralek do kontroli jakości jest losowy i niezależny. Ponadto, prawdopodobieństwo wylosowania wadliwej pralki jest w każdym losowaniu takie samo, równe p = 0, 05, natomiast liczba losowań wynosi n = 20.

Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Przykład zastosowań rozkładu dwumianowego Rozwiazanie. Zauważymy, że wybór pralek do kontroli jakości jest losowy i niezależny. Ponadto, prawdopodobieństwo wylosowania wadliwej pralki jest w każdym losowaniu takie samo, równe p = 0, 05, natomiast liczba losowań wynosi n = 20. Opisany eksperyment spełnia warunki doświadczeń Bernoulliego, w których sukcesem jest wylosowanie wadliwej pralki.

Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Przykład zastosowań rozkładu dwumianowego Rozwiazanie. Zauważymy, że wybór pralek do kontroli jakości jest losowy i niezależny. Ponadto, prawdopodobieństwo wylosowania wadliwej pralki jest w każdym losowaniu takie samo, równe p = 0, 05, natomiast liczba losowań wynosi n = 20. Opisany eksperyment spełnia warunki doświadczeń Bernoulliego, w których sukcesem jest wylosowanie wadliwej pralki. Liczba wybrakowanych pralek (tj. liczba sukcesów) w próbie 20 sztuk jest zatem zmienna losowa (oznaczmy ja przez X) o rozkładzie dwumianowym z parametrami n=20, p=0, 05.

Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Przykład zastosowań rozkładu dwumianowego Rozwiazanie c.d. Ad.1. Prawdopodobieństwo, że dokładnie dwie pralki w wylosowanej próbie 20 sztuk sa wadliwe wynosi: ( 20 P(X=2)= 2 ) (0, 05) 2 (0, 95) 18 = 20! 2!18! (0, 05)2 (0, 95) 18 0, 189.

Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Przykład zastosowań rozkładu dwumianowego Rozwiazanie c.d. Ad.1. Prawdopodobieństwo, że dokładnie dwie pralki w wylosowanej próbie 20 sztuk sa wadliwe wynosi: ( 20 P(X=2)= 2 ) (0, 05) 2 (0, 95) 18 = 20! 2!18! (0, 05)2 (0, 95) 18 0, 189. Ad.2. Prawdopodobieństwo, że co najwyżej dwie pralki w próbie 20 sztuk sa wadliwe wynosi: P(X 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2) = ( ) ( 20 = (0, 05) 0 (0, 95) 20 20 + 0 1 + ( 20 2 ) (0, 05) 2 (0, 95) 18 0, 925. ) (0, 05) 1 (0, 95) 19 +

Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Przykład zastosowań rozkładu dwumianowego Rozwiazanie c.d.

Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Przykład zastosowań rozkładu dwumianowego Rozwiazanie c.d. Ad.3. Prawdopodobieństwo, że w próbie nie będzie wadliwych pralek, wynosi: ( ) 20 P(X = 0) = (0, 05) 0 (0, 95) 20 0, 358. 0

Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Przykład zastosowań rozkładu dwumianowego Rozwiazanie c.d. Ad.3. Prawdopodobieństwo, że w próbie nie będzie wadliwych pralek, wynosi: ( ) 20 P(X = 0) = (0, 05) 0 (0, 95) 20 0, 358. 0 Oczekiwana liczba wybrakowanych pralek w 20-elementowej próbie jest równa: E(X) = np = 20 0, 05 = 1. Uzyskany wynik można interpretować następujaco. Średnia liczba wadliwych pralek przypadajacych na każda 20-elementowa próbę (tj. próbę, która potencjalnie można wylosować) wynosi 1.

Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Przykładowy wykres funkcji prawdopodobieństwa rozkładu dwumianowego Objaśnienia do wykresu analogiczne, jak w przypadku wykresu rozkładu zero-jedynkowego. Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution

Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Przykładowy wykres funkcji prawdopodobieństwa rozkładu dwumianowego

Rozkład Poissona Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Mówimy, że zmienna X ma rozkład Poissona z parametrem λ > 0, jeśli jej funkcja rozkładu prawdopodobieństwa wyraża się wzorem: P(X = x) = λx x! e x, dla x = 0, 1, 2,....

Rozkład Poissona Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Mówimy, że zmienna X ma rozkład Poissona z parametrem λ > 0, jeśli jej funkcja rozkładu prawdopodobieństwa wyraża się wzorem: P(X = x) = λx x! e x, dla x = 0, 1, 2,.... Rozkład Poissona jest rozkładem granicznym rozkładu dwumianowego, tzn. jeśli w rozkładzie dwumianowym n i jednocześnie p 0 w taki sposób, że np = const, to prawdopodobieństwo P(X = x) można wyznaczać z powyższego wzoru, przyjmujac λ = np.

Rozkład Poissona Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Mówimy, że zmienna X ma rozkład Poissona z parametrem λ > 0, jeśli jej funkcja rozkładu prawdopodobieństwa wyraża się wzorem: P(X = x) = λx x! e x, dla x = 0, 1, 2,.... Rozkład Poissona jest rozkładem granicznym rozkładu dwumianowego, tzn. jeśli w rozkładzie dwumianowym n i jednocześnie p 0 w taki sposób, że np = const, to prawdopodobieństwo P(X = x) można wyznaczać z powyższego wzoru, przyjmujac λ = np. W rozkładzie Poissona: E(X) = λ, D 2 (X) = λ.

Rozkład dwupunktowy Rozkład dwumianowy Rozkład Poissona Aproksymacja rozkładu dwumianowego rozkładem Poissona Wykresy funkcji prawdopodobieństwa rozkładu dwumianowego z parametrami n = 100, p = 0, 01 i rozkładu Poissona z parametrem λ = np = 1 Uwaga: Na wykresie przedstawiono prawdopodobieństwa dla x = 0, 1,..., 20, z pominięciem pozostałych możliwych realizacji x = 21,..., 100, ze względu na prawdopodobieństwa bliskie 0. Zauważymy, że prawdopodobieństwa wyznaczone z rozkładu Poissona w tym przypadku dobrze przybliżaja prawdopodobieństwa z rozkładu dwumianowego.

Do podstawowych rozkładów zmiennej losowej ciagłej zaliczamy:

Do podstawowych rozkładów zmiennej losowej ciagłej zaliczamy: rozkład jednostajny,

Do podstawowych rozkładów zmiennej losowej ciagłej zaliczamy: rozkład jednostajny, - rozkład normalny,

Do podstawowych rozkładów zmiennej losowej ciagłej zaliczamy: rozkład jednostajny, - rozkład normalny, - rozkład chi-kwadrat,

Do podstawowych rozkładów zmiennej losowej ciagłej zaliczamy: rozkład jednostajny, - rozkład normalny, - rozkład chi-kwadrat, - rozkład Studenta.

Mówimy, że zmiennej losowa ciagła X ma rozkład jednostajny na przedziale [a, b], jeśli jej funkcja gęstości wyraża się wzorem: 1 b a, dla x [a, b], f (x) = 0, dla pozostałych x.

Mówimy, że zmiennej losowa ciagła X ma rozkład jednostajny na przedziale [a, b], jeśli jej funkcja gęstości wyraża się wzorem: 1 b a, dla x [a, b], f (x) = 0, dla pozostałych x. W rozkładzie jednostajnym: E(X) = b a 2, D2 (X) = 1 12 (b a)2.

Przykładowy wykres funkcji gęstości rozkładu jednostajnego Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution

Mówimy, że zmienna losowa ciagła X ma rozkład normalny z parametrami µ i σ, jeśli jej funkcja gęstości wyraża się wzorem: f (x) = 1 σ (x µ) 2 2π e 2σ 2 dla x R, gdzie: µ, σ sa dowolnymi parametrami liczbowymi, takimi że µ R i σ > 0.

Mówimy, że zmienna losowa ciagła X ma rozkład normalny z parametrami µ i σ, jeśli jej funkcja gęstości wyraża się wzorem: f (x) = 1 σ (x µ) 2 2π e 2σ 2 dla x R, gdzie: µ, σ sa dowolnymi parametrami liczbowymi, takimi że µ R i σ > 0. W rozkładzie normalnym: E(X) = µ, D 2 (X) = σ 2.

Mówimy, że zmienna losowa ciagła X ma rozkład normalny z parametrami µ i σ, jeśli jej funkcja gęstości wyraża się wzorem: f (x) = 1 σ (x µ) 2 2π e 2σ 2 dla x R, gdzie: µ, σ sa dowolnymi parametrami liczbowymi, takimi że µ R i σ > 0. W rozkładzie normalnym: E(X) = µ, D 2 (X) = σ 2. Jeśli zmienna losowa X ma rozkład normalny, wówczas mówimy, że jest normalna zmienna losowa.

Mówimy, że zmienna losowa ciagła X ma rozkład normalny z parametrami µ i σ, jeśli jej funkcja gęstości wyraża się wzorem: f (x) = 1 σ (x µ) 2 2π e 2σ 2 dla x R, gdzie: µ, σ sa dowolnymi parametrami liczbowymi, takimi że µ R i σ > 0. W rozkładzie normalnym: E(X) = µ, D 2 (X) = σ 2. Jeśli zmienna losowa X ma rozkład normalny, wówczas mówimy, że jest normalna zmienna losowa. Jej rozkład oznaczamy w skrócie symbolem N(µ, σ).

Przykładowy wykres funkcji gęstości rozkładu normalnego Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution

Przykładowe wykresy funkcji gęstości rozkładu normalnego Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution

Własności funkcji gęstości rozkładu normalnego Funkcja gęstości przyjmuje zawsze wartości nieujemne, a całkowite pole pod krzywa gęstości jest równe 1 (sa to własności funkcji gęstości dowolnej zmiennej ciagłej).

Własności funkcji gęstości rozkładu normalnego Funkcja gęstości przyjmuje zawsze wartości nieujemne, a całkowite pole pod krzywa gęstości jest równe 1 (sa to własności funkcji gęstości dowolnej zmiennej ciagłej). Wartość E(X) = µ określa wartość przeciętna zmiennej X.

Własności funkcji gęstości rozkładu normalnego Funkcja gęstości przyjmuje zawsze wartości nieujemne, a całkowite pole pod krzywa gęstości jest równe 1 (sa to własności funkcji gęstości dowolnej zmiennej ciagłej). Wartość E(X) = µ określa wartość przeciętna zmiennej X. Krzywa gęstości normalnej zmiennej losowej X jest symetryczna względem prostej prostopadłej przechodza- cej przez punkt x = µ. Z tego wynika, że pola pod krzywa gęstości na lewo i na prawo od punktu µ sa równe 1 2.

Własności funkcji gęstości rozkładu normalnego Funkcja gęstości przyjmuje zawsze wartości nieujemne, a całkowite pole pod krzywa gęstości jest równe 1 (sa to własności funkcji gęstości dowolnej zmiennej ciagłej). Wartość E(X) = µ określa wartość przeciętna zmiennej X. Krzywa gęstości normalnej zmiennej losowej X jest symetryczna względem prostej prostopadłej przechodza- cej przez punkt x = µ. Z tego wynika, że pola pod krzywa gęstości na lewo i na prawo od punktu µ sa równe 1 2. Interpretację ostatniej własności oprzemy na przykładzie. Załóżmy, że iloraz inteligencji w populacji dorosłej części ludzkości ma rozkład zbliżony do normalnego ze średnia µ = 100. Z tego wynika, że połowa ludzkości jest madrzej- sza od osoby przeciętnie madrej (czego nie można powiedzieć o drugiej połowie).

przykład Załóżmy, że na koniec każdego miesiaca obserwujemy stopę zwrotu z akcji XYZ. Na podstawie 12 danych zebranych w ciagu roku rysujemy histogram rozkładu. Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution

c.d. przykładu Ten sam histogram z licznościami względnymi na osi rzędnych. Krzywa reprezentuje tu funkcję gęstości rozkładu normalnego z wartościami parametrów µ i σ równymi odpowiednio średniej i odchyleniu standardowemu stóp zwrotu w badanym zbiorze. Dopasowanie krzywej rozkładu normalnego jest bardzo słabe. Copyright Giorgio Agnieszka Krenkel and Alex Sandri, Rossa GNU Free Documentation PODSTAWOWE License, Low Resolution ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH

c.d. przykładu Gdyby obserwację stóp zwrotu prowadzić np. w połowie każdego miesiaca, wówczas zebrane wyniki byłyby inne. Poniżej przykładowy histogram. Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution

c.d. przykładu Ten sam histogram z licznościami względnymi na osi rzędnych. Dopasowanie krzywej rozkładu normalnego nadal słabe. Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution

Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution Podstawowe rozkłady zmiennej losowej skokowej c.d. przykładu Przypuśćmy teraz, że obserwacji stóp zwrotu dokonujemy z większa częstotliwościa, np. w wybranym dniu każdego tygodnia. Otrzymamy większa liczbę danych. Poniżej przykładowy histogram dla kilkudziesięciu obserwacji.

c.d. przykładu Ten sam histogram z licznościami względnymi na osi rzędnych. Dopasowanie krzywej rozkładu normalnego nieco lepsze. Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution

c.d. przykładu Jeśli obserwację przeprowadzać będziemy w innym dniu tygodnia, wówczas uzyskamy inny zbiór danych. Poniżej przykładowy histogram. Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution

c.d. przykładu Ten sam histogram z licznościami względnymi na osi rzędnych oraz krzywa gęstości rozkładu normalnego. Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution

c.d. przykładu Prowadzac obserwację z bardzo duża częstotliwościa, np. kilka razy dziennie przez cały rok, zbierzemy kilkaset lub nawet kila tysięcy wyników obserwacji. Poniżej ich przykładowy histogram. Copyright Giorgio Krenkel Agnieszka and Alex Sandri, Rossa GNU Free Documentation PODSTAWOWE License, Low Resolution ROZKŁADY ZMIENNYCH LOSOWYCH

c.d. przykładu Ten sam histogram z licznościami względnymi na osi rzędnych. W tym przypadku dopasowanie krzywej gęstości rozkładu normalnego jest wyraźne. Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution

Wnioski z przykładu Jeśli rozkład liczebności względnych jest dobrze reprezentowany przez funkcję gęstości rozkładu normalnego, wówczas mówimy, że cecha ma rozkład normalny (lub zbliżony do normalnego).

Wnioski z przykładu Jeśli rozkład liczebności względnych jest dobrze reprezentowany przez funkcję gęstości rozkładu normalnego, wówczas mówimy, że cecha ma rozkład normalny (lub zbliżony do normalnego). Krzywa gęstości aproksymuje rozkład częstości względnych cechy normalnej w przypadku, gdy wartości tej cechy rejestrujemy z duża częstotliwościa (jak w przedstawionym przykładzie) lub w dużej zbiorowości jednostek.

Wnioski z przykładu Jeśli rozkład liczebności względnych jest dobrze reprezentowany przez funkcję gęstości rozkładu normalnego, wówczas mówimy, że cecha ma rozkład normalny (lub zbliżony do normalnego). Krzywa gęstości aproksymuje rozkład częstości względnych cechy normalnej w przypadku, gdy wartości tej cechy rejestrujemy z duża częstotliwościa (jak w przedstawionym przykładzie) lub w dużej zbiorowości jednostek. Nie każda cecha ciagła ma rozkład normalny. Istnieja także inne możliwe rozkłady zmiennych ciagłych zob. następny slajd.

Przykład innego rozkładu Krzywa gęstości rozkładu z prawostronna asymetria Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution

standaryzowany z parametrami µ = 0, σ = 1 nazywamy rozkładem normalnym standaryzowanym (lub zamiennie standardowym) i oznaczamy w skrócie N(0, 1).

standaryzowany z parametrami µ = 0, σ = 1 nazywamy rozkładem normalnym standaryzowanym (lub zamiennie standardowym) i oznaczamy w skrócie N(0, 1). Zmienna o takim rozkładzie oznaczać będziemy dalej (dla odróżnienia) przez U, natomiast funkcję gęstości i dystrybuantę tej zmiennej symbolami odpowiednio φ(x) i Φ(x).

standaryzowany z parametrami µ = 0, σ = 1 nazywamy rozkładem normalnym standaryzowanym (lub zamiennie standardowym) i oznaczamy w skrócie N(0, 1). Zmienna o takim rozkładzie oznaczać będziemy dalej (dla odróżnienia) przez U, natomiast funkcję gęstości i dystrybuantę tej zmiennej symbolami odpowiednio φ(x) i Φ(x). Zauważymy, że gęstość zmiennej U ma postać: φ(x) = 1 2π e x2 2 dla x R.

standaryzowany z parametrami µ = 0, σ = 1 nazywamy rozkładem normalnym standaryzowanym (lub zamiennie standardowym) i oznaczamy w skrócie N(0, 1). Zmienna o takim rozkładzie oznaczać będziemy dalej (dla odróżnienia) przez U, natomiast funkcję gęstości i dystrybuantę tej zmiennej symbolami odpowiednio φ(x) i Φ(x). Zauważymy, że gęstość zmiennej U ma postać: φ(x) = 1 2π e x2 2 dla x R. W odniesieniu do dystrybuanty rozkładu N(0, 1) prawdziwa jest następujaca równość: Φ( x) = 1 Φ(x).

Wykres funkcji gęstości rozkładu normalnego standaryzowanego Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution

Obliczanie prawdopodobieństw w rozkładzie normalnym standaryzowanym Prawdopodobieństwo, że ciagła zmienna losowa przyjmie wartość z zadanego przedziału liczbowego, reprezentowane jest przez pole pod jej krzywa gęstości w badanym przedziale, przy czym całkowite pole pod krzywa wynosi 1.

Obliczanie prawdopodobieństw w rozkładzie normalnym standaryzowanym Prawdopodobieństwo, że ciagła zmienna losowa przyjmie wartość z zadanego przedziału liczbowego, reprezentowane jest przez pole pod jej krzywa gęstości w badanym przedziale, przy czym całkowite pole pod krzywa wynosi 1. Załóżmy, że U ma rozkład N(0, 1). Chcemy obliczyć dystrybuantę Φ(x) = P(U < x), gdzie x zadana wartość.

Obliczanie prawdopodobieństw w rozkładzie normalnym standaryzowanym Prawdopodobieństwo, że ciagła zmienna losowa przyjmie wartość z zadanego przedziału liczbowego, reprezentowane jest przez pole pod jej krzywa gęstości w badanym przedziale, przy czym całkowite pole pod krzywa wynosi 1. Załóżmy, że U ma rozkład N(0, 1). Chcemy obliczyć dystrybuantę Φ(x) = P(U < x), gdzie x zadana wartość. Prawdopodobieństwo to jest równe polu pod krzywa gęstości rozkładu N(0, 1) na przedziale (, x). Obliczenie takiego pola na piechotę jest jednak stosunkowo trudne.

Obliczanie prawdopodobieństw w rozkładzie normalnym standaryzowanym Prawdopodobieństwo, że ciagła zmienna losowa przyjmie wartość z zadanego przedziału liczbowego, reprezentowane jest przez pole pod jej krzywa gęstości w badanym przedziale, przy czym całkowite pole pod krzywa wynosi 1. Załóżmy, że U ma rozkład N(0, 1). Chcemy obliczyć dystrybuantę Φ(x) = P(U < x), gdzie x zadana wartość. Prawdopodobieństwo to jest równe polu pod krzywa gęstości rozkładu N(0, 1) na przedziale (, x). Obliczenie takiego pola na piechotę jest jednak stosunkowo trudne. W celu znalezienia Φ(x) = P(U < x) korzysta się często z tablic statystycznych, zawierajacych obliczone prawdopodobieństwa dla różnych x zob. następny slajd.

Fragment tablicy rozkładu normalnego standaryzowanego

Prawdopodobieństwo P(U < x) w rozkładzie N(0, 1) Np. dla x = 1, 37 mamy bezpośrednio z tablicy: P(U <1, 37)=0, 9147 Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution

Prawdopodobieństwo P(U x) w rozkładzie N(0, 1) Dla x = 1, 37 mamy: P(U 1, 37)= 1 P(U < 1, 37) = 1 0, 9147 = 0, 0853 Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution

Prawdopodobieństwo P( U < x) w rozkładzie N(0, 1) P( U < 1, 37) = P( 1, 37 < U < 1, 37) =P(U <1, 37) P(U < 1, 37)= =Φ(1, 37) Φ( 1, 37)=Φ(1, 37) (1 Φ(1, 37))=0, 9147 (1 0, 9147)=0, 8294 Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution

Reguła 3 sigm w rozkładzie N(0, 1) P( U < 3 σ) = P( U < 3) = P( 3 < U < 3) =P(U <3) P(U < 3)= =Φ(3) Φ( 3) = Φ(3) (1 Φ(3)) = 0, 9987 (1 0, 9987) = 0, 9974 Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution

Prawdopodobieństwo P(x < U < y) w rozkładzie N(0, 1) Obliczymy prawdopodobieństwo P(x < U < y) dla zadanych wartości x, y. Niech x = 0, y = 1, 43. Mamy wówczas: P(0 < U < 1, 43) =P(U <1, 43) P(U <0)=Φ(1, 43) Φ(0)=0, 9236 0, 5=0, 4236. Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution

Obliczanie kwantyli w rozkładzie normalnym standaryzowanym 1. Na podstawie tablic rozkładu normalnego standaryzowanego możemy także łatwo odczytać, dla jakiego u zachodzi równość: p = P(U < u), gdzie p jest zadana liczba z przedziału (0, 1).

Obliczanie kwantyli w rozkładzie normalnym standaryzowanym 1. Na podstawie tablic rozkładu normalnego standaryzowanego możemy także łatwo odczytać, dla jakiego u zachodzi równość: p = P(U < u), gdzie p jest zadana liczba z przedziału (0, 1). 2. Punkt u spełniajacy powyższa równość nazywamy kwantylem rozkładu normalnego standaryzowanego rzędu p.

Obliczanie kwantyli w rozkładzie normalnym standaryzowanym 1. Na podstawie tablic rozkładu normalnego standaryzowanego możemy także łatwo odczytać, dla jakiego u zachodzi równość: p = P(U < u), gdzie p jest zadana liczba z przedziału (0, 1). 2. Punkt u spełniajacy powyższa równość nazywamy kwantylem rozkładu normalnego standaryzowanego rzędu p. 3. Przykładowo, znajdziemy kwantyl rzędu 0, 9 dla rozkładu normalnego standaryzowanego.

Obliczanie kwantyli w rozkładzie normalnym standaryzowanym 1. Na podstawie tablic rozkładu normalnego standaryzowanego możemy także łatwo odczytać, dla jakiego u zachodzi równość: p = P(U < u), gdzie p jest zadana liczba z przedziału (0, 1). 2. Punkt u spełniajacy powyższa równość nazywamy kwantylem rozkładu normalnego standaryzowanego rzędu p. 3. Przykładowo, znajdziemy kwantyl rzędu 0, 9 dla rozkładu normalnego standaryzowanego. 4. Z definicji, jest to taka wartość u, dla której P(U <u)=0, 9. Na podstawie danych w tablicy wnioskujemy, iż szukany kwantyl jest równy: u 1, 28.

Ilustracja graficzna Równość P(U <u)=0, 9 zachodzi dla u 1, 28. Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution

Wyznaczanie kwantyli dla rozkładu N(0, 1) c.d. Znajdziemy, jakiego rzędu jest kwantyl u rozkładu N(0, 1), spełniajacy równość: P( U <u)=1 α dla zadanego α = 0, 05. Następnie znajdziemy ten kwantyl. Mamy: 1 α =P( U <u) =P(U <u) P(U < u)= =P(U <u) (1 P(U <u)) = 2P(U <u) 1. Oznaczajac p = P(U <u), otrzymujemy: 2p 1 = 1 α, stad p = 1 α 2. Wynika z tego, że u jest kwantylem rzędu: p = 1 α 0, 05 = 1 = 0, 975. 2 2 Na podstawie tablicy otrzymujemy natychmiast: u 1, 96.

Prawdopodobieństwa w dowolnym rozkładzie normalnym N(µ, σ) Jeśli zmienna losowa X ma rozkład normalny N(µ, σ) o wartościach parametrów µ i σ innych niż 0 i 1, wówczas obliczanie odpowiednich prawdopodobieństw z wykorzystaniem dostępnych tablic statystycznych wymaga zastosowania tzw. twierdzenia o standaryzacji.

Prawdopodobieństwa w dowolnym rozkładzie normalnym N(µ, σ) Jeśli zmienna losowa X ma rozkład normalny N(µ, σ) o wartościach parametrów µ i σ innych niż 0 i 1, wówczas obliczanie odpowiednich prawdopodobieństw z wykorzystaniem dostępnych tablic statystycznych wymaga zastosowania tzw. twierdzenia o standaryzacji. Tw. o standaryzacji: Jeśli zmienna losowa X ma rozkład N(µ, σ), to zmienna losowa: U = X µ σ ma rozkład normalny standaryzowany N(0, 1).

Prawdopodobieństwa w dowolnym rozkładzie normalnym N(µ, σ) Jeśli zmienna losowa X ma rozkład normalny N(µ, σ) o wartościach parametrów µ i σ innych niż 0 i 1, wówczas obliczanie odpowiednich prawdopodobieństw z wykorzystaniem dostępnych tablic statystycznych wymaga zastosowania tzw. twierdzenia o standaryzacji. Tw. o standaryzacji: Jeśli zmienna losowa X ma rozkład N(µ, σ), to zmienna losowa: U = X µ σ ma rozkład normalny standaryzowany N(0, 1). W ramach ilustracji, obliczymy prawdopodobieństwo F(8) = P(X < 8), zakładajac, że X ma rozkład N(10; 2).

Prawdopodobieństwa w dowolnym rozkładzie normalnym N(µ, σ) Jeśli zmienna losowa X ma rozkład normalny N(µ, σ) o wartościach parametrów µ i σ innych niż 0 i 1, wówczas obliczanie odpowiednich prawdopodobieństw z wykorzystaniem dostępnych tablic statystycznych wymaga zastosowania tzw. twierdzenia o standaryzacji. Tw. o standaryzacji: Jeśli zmienna losowa X ma rozkład N(µ, σ), to zmienna losowa: U = X µ σ ma rozkład normalny standaryzowany N(0, 1). W ramach ilustracji, obliczymy prawdopodobieństwo F(8) = P(X < 8), zakładajac, że X ma rozkład N(10; 2). F(8) = P(X <8)=P( X 10 1 Φ(1) = 0, 8413. 2 < 8 10 2 )=P(U < 1)= Φ( 1) =

Ilustracja graficzna Prawdopodobieństwo F(8) = P(X < 8) w rozkładzie N(10, 2) Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution

Zmienna X po standaryzacji X 10 2 ma rozkład N(0, 1) Zaznaczone pola sa równe Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution

Przykład zastosowania Przykład. Wiadomo, że zysk (w zł) z pewnego przedsięwzięcia ma rozkład normalny N(80, 45).

Przykład zastosowania Przykład. Wiadomo, że zysk (w zł) z pewnego przedsięwzięcia ma rozkład normalny N(80, 45). Obliczyć prawdopodobieństwo, że inwestujac w dane przedsięwzięcie, poniesiemy stratę.

Przykład zastosowania Przykład. Wiadomo, że zysk (w zł) z pewnego przedsięwzięcia ma rozkład normalny N(80, 45). Obliczyć prawdopodobieństwo, że inwestujac w dane przedsięwzięcie, poniesiemy stratę. Rozwiazanie. Zysk z przedsięwzięcia jest zmienna losowa. Oznaczmy ja symbolem X. Prawdopodobieństwo, że inwestor poniesie stratę oznacza prawdopodobieństwo, że zysk będzie ujemny.

Przykład zastosowania Przykład. Wiadomo, że zysk (w zł) z pewnego przedsięwzięcia ma rozkład normalny N(80, 45). Obliczyć prawdopodobieństwo, że inwestujac w dane przedsięwzięcie, poniesiemy stratę. Rozwiazanie. Zysk z przedsięwzięcia jest zmienna losowa. Oznaczmy ja symbolem X. Prawdopodobieństwo, że inwestor poniesie stratę oznacza prawdopodobieństwo, że zysk będzie ujemny. Skorzystamy z tw. o standaryzacji i tablic statystycznych: ( X 80 P(X <0)=P < 0 80 ) =P(U < 1, 78)= 45 45 =Φ( 1, 78)=1 Φ(1, 78)=1 0, 9625=0, 0375.

Mówimy, że zmienna losowa Z ma rozkład chi-kwadrat o k stopniach swobody, jeśli jest suma kwadratów k niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie normalnym standaryzowanym, czyli: Z = k Ui 2, i=1 gdzie U 1, U 2,..., U k sa niezależnymi zmiennymi losowymi, każda o rozkładzie N(0, 1).

Mówimy, że zmienna losowa Z ma rozkład chi-kwadrat o k stopniach swobody, jeśli jest suma kwadratów k niezależnych zmiennych losowych o rozkładzie normalnym standaryzowanym, czyli: Z = k Ui 2, i=1 gdzie U 1, U 2,..., U k sa niezależnymi zmiennymi losowymi, każda o rozkładzie N(0, 1). W rozkładzie chi-kwadrat: E(Z ) = k, D 2 (Z ) = 2k. Rozkłady chi-kwadrat (podobnie, jak dalej przedstawione rozkłady Studenta) sa często wykorzystywane w procedurach wnioskowania statystycznego.

Przykładowe wykresy funkcji gęstości rozkładu chi-kwadrat Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution

Mówimy, że zmienna losowa t ma rozkład Studenta o k stopniach swobody, jeśli określona wzorem: t = U Z k, gdzie U i Z sa niezależnymi zmiennymi losowymi, przy czym U ma rozkład N(0, 1), natomiast Z rozkład chi-kwadrat o k stopniach swobody.

Mówimy, że zmienna losowa t ma rozkład Studenta o k stopniach swobody, jeśli określona wzorem: t = U Z k, gdzie U i Z sa niezależnymi zmiennymi losowymi, przy czym U ma rozkład N(0, 1), natomiast Z rozkład chi-kwadrat o k stopniach swobody. Rozkłady tego typu po raz pierwszy wyprowadził William Gosset (przełom XVIII i XIX wieku) publikujacy pod pseudonimem Student. Stad wywodzi się ich nazwa. Zmienna losowa jest tu oznaczana wyjatkowo mała litera t (od ostatniej litery nazwiska autora).

Mówimy, że zmienna losowa t ma rozkład Studenta o k stopniach swobody, jeśli określona wzorem: t = U Z k, gdzie U i Z sa niezależnymi zmiennymi losowymi, przy czym U ma rozkład N(0, 1), natomiast Z rozkład chi-kwadrat o k stopniach swobody. Rozkłady tego typu po raz pierwszy wyprowadził William Gosset (przełom XVIII i XIX wieku) publikujacy pod pseudonimem Student. Stad wywodzi się ich nazwa. Zmienna losowa jest tu oznaczana wyjatkowo mała litera t (od ostatniej litery nazwiska autora). W rozkładzie Studenta: E(t) = 0, D 2 (t) = k k 2, o ile k > 2.

Przykładowe wykresy funkcji gęstości rozkładu Studenta Copyright Giorgio Krenkel and Alex Sandri, GNU Free Documentation License, Low Resolution