Systemy Logistyczne Wojsk nr 41/2014 MODEL EKONOMICZNEJ WIELKOŚCI ZAMÓWIENIA (EOQ) ECONOMIC ORDER QUANTITY (EOQ) Małgorzata GRZELAK Jarosław ZIÓŁKOWSKI Wojskowa Akademia Techniczna Wydział Logistyki Instytut Logistyki Streszczenie: Tematem artykułu jest zaprezentowanie Ekonomicznej Wielkości Zamówienia jako metody efektywnego zarządzania zapasami w przedsiębiorstwie. Szczególną uwagę poświęcono sposobowi obliczania optymalnej wielkości dostaw w celu minimalizacji kosztów związanych z uzyskiwaniem i utrzymywaniem zapasów. Abstract: The aim of this article was to present economic order quantity (EOQ) as a useful tool that can be used in effective stock management. Słowa kluczowe: logistyka, system, zapas, zamówienie. Keywords: logistics, system, stock, order. Wprowadzenie Istotą funkcjonowania każdego przedsiębiorstwa jest osiąganie założonego celu działania, jakim może być generowanie maksymalnego zysku oraz zaspokajanie potrzeb klientów. Przy realizacji tak sformułowanego celu ważnym elementem jest gospodarowanie zapasami w taki sposób, aby nie dopuścić do braku towarów w magazynie, równocześnie nie utrzymując ich w nadmiarze. Proces sterowania
M. Grzelak, J. Ziółkowski zapasami jest zatem ważnym elementem funkcjonowania przedsiębiorstwa. Jeżeli realizowany jest w sposób niewłaściwy, to generuje koszty, takie jak na przykład koszty utraconego zamówienia, w przypadku braku asortymentu w magazynie oraz koszt utrzymywania zapasu, gdy środki składowane są w nadmiarze. W poniższym opracowaniu przedstawiony zostanie model ekonomicznej wielkości zamówienia, który umożliwia obliczenie optymalnej wielkości dostawy oraz minimalizację kosztów związanych z uzyskiwaniem i utrzymywaniem zapasów. 1. Ekonomiczna wielkość zamówienia (EOQ) Ekonomiczna wielkość zamówienia (ang. Economic order quantity EOQ) jest metodą zarządzania zapasami w taki sposób, aby zminimalizować zmienne koszty związane z ich uzyskiwaniem i utrzymywaniem. Budując model EOQ, należy założyć, że: popyt na produkt jest stały i ciągły w każdej jednostce czasu; moment dostawy jest równoznaczny z czasem złożenia zamówienia; potrzeby materiałowe w ciągu roku wynoszą D; planowana wielkość składanych zamówień wynosi Q; stałą wartość przyjmują jednostkowy koszt złożenia zamówienia (k s ), utrzymania zapasu oraz cena jednostkowa (c). Planując zakupy środków zaopatrzenia, należy dążyć do minimalizacji kosztów tej operacji. Suma kosztów zakupów (K z ) wyraża się wzorem (1): D Q Kz Ks c D Km ks ( ) c D ch ( ) (1) Q 2 gdzie: K s całkowity koszt składania zamówienia; K m całkowity koszt utrzymywania zapasów. Koszt składania zamówienia (k s ) jest obliczany na podstawie danych historycznych, jako iloraz zsumowanych kosztów obsługi zrealizowanych dostaw i ich ilości. Znając popyt i planowane wielkości zamówień, można obliczyć liczbę planowanych dostaw (n) w analizowanym okresie (wzór 2) oraz łączne koszty (K s ) związane z obsługą zamówień (wzór 3). D n (2) Q D Ks n ks n ( ) (3) Q 380
Model ekonomicznej wielkości zamówienia (EOQ) Koszt utrzymania zapasu obliczany jest jako suma trzech elementów składowych, tj.: kosztu związania kapitału, który zamrożony jest w składowanych dobrach, rozumiany jako oprocentowanie dla kapitału, który mógłby być wykorzystany na rynku w inny sposób kosztu magazynowania, związanego z wprowadzeniem na magazyn, składowaniem i wydawaniem kosztu ubezpieczenia składowanych dóbr. Rzadko zdarza się, aby magazyn całkowicie wypełniony był jednorodnymi materiałami, dlatego koszty utrzymania zapasu liczone są jako wartości uśrednione wynikające z procentowej wartości składowanych dóbr. Takie rozwiązanie powoduje, że koszt ten jest określony nie jako konkretna stawka pieniężna, ale jako współczynnik procentowy. W praktyce oznacza to, że jeżeli wartość współczynnika kosztów składowania wynosi 40%, to dla surowców o wartości nominalnej 10 000 zł wartość kosztów rocznego utrzymania zapasów wynosić będzie 4000 zł (wzór 4). c i c (4) h gdzie: c h koszt składowania jednostki surowca, c cena materiału, i [%] współczynnik kosztów utrzymania zapasów. Koszt utrzymywania zapasów nie jest wartością stałą. W początkowej fazie okresu składowania generowany jest koszt magazynowania Q jednostek surowca, w końcowej fazie koszt ten, wraz z wyczerpywaniem się zapasów, dąży do zera. Zmiany poziomu zapasów w czasie zobrazowano na rys. 1. Dlatego średni stan magazynu w każdym okresie wynosi 0,5 Q. Łączny koszt utrzymania zapasów (Km) wyraża się wzorem (5): Q Q Km ch ( ) i c ( ) (5) 2 2 Sterowanie kosztami zakupów odbywa się poprzez dobór takiej wielkości zamówienia, dla której generowany koszt będzie minimalny. Zgodnie ze wzorem (1), koszt zaopatrzenia jest funkcją, której wartość zależy od wielkości zamówienia Q. Wartość minimalna obliczana jest poprzez znalezienie ekstremum lokalnego, będącego punktem, dla którego wartość pochodnej funkcji kosztów zakupu przyjmuje wartość zero. 381
M. Grzelak, J. Ziółkowski Rys. 1. Schemat sieci dystrybucyjnej Po obliczeniu pochodnej funkcji kosztów ze względu na wielkość Q (wzór 6) i przyrównaniu jej do zera, powstaje równanie (wzór 7), na podstawie którego obliczana jest EOQ. stąd dk z ks D Q ch cd 0 (6) dq Q 2 2 D ks 2 D k EOQ Q c c i h s (7) 2. Przykład liczbowy W tabeli 1 przedstawiono wartości podstawowych parametrów niezbędnych do obliczenia ekonomicznej wielkości zamówienia. Tabela 1. Dane wyjściowe do budowy modelu EOQ Dane wejściowe Popyt D Koszt jednostkowy (cena) c Koszt składowania jednostki surowca c h Koszt średni obsługi zamówienia k s Jednostka 2000 szt. 6,00 zł 1,50 zł 75,00 zł 382
Model ekonomicznej wielkości zamówienia (EOQ) W tabeli 2 przedstawiono oszacowane w oparciu o aplikację MS Excel zestawienie kosztów składania zamówienia, utrzymania zapasów oraz generowane całkowite koszty zakupów. Tabela 2. Całkowite koszty zakupów w zależności od wielkości zamówienia, w złotych Wielkość zamówienia (Q) Koszt składania zamówienia (Ks) Koszt utrzymania zapasów (Km) Całkowite koszty zakupów (Kz) 100 1500,00 75,00 13 575,00 150 1000,00 112,50 13 112,50 200 750,00 150,00 12 900,00 250 600,00 187,50 12 787,50 300 500,00 225,00 12 725,00 350 428,57 262,50 12 691,07 400 375,00 300,00 12 675,00 450 333,33 337,50 12 670,83 500 300,00 375,00 12 675,00 550 272,73 412,50 12 685,23 600 250,00 450,00 12 700,00 Na wykresach 1-3 zobrazowano kształtowanie się kosztów składania zamówienia, utrzymania zapasów i wynikające z nich całkowite koszty zakupów w zależności od wielkości zamówienia. Przedstawiono także przebieg pochodnej funkcji kosztów oraz zaznaczono ekstremum lokalne obrazujące ekonomiczną wielkość zamówienia (EOQ). 383
M. Grzelak, J. Ziółkowski Wykres 1. Kształtowanie się kosztów składowych Wykres 2. Kształtowanie się całkowitych kosztów zakupów 384
Model ekonomicznej wielkości zamówienia (EOQ) Wykres 3. Przebieg funkcji pochodnej z zaznaczeniem EOQ Na podstawie przeprowadzonych obliczeń otrzymano EOQ wynoszącą 447,21, dla której koszty zakupu kształtują się na poziomie 12 670,82 zł. 3. Ekonomiczna wielkość zamówienia z rabatem W praktycznym funkcjonowaniu przedsiębiorstwa, przedstawione powyżej założenia mogą ulegać zmianie. Firma, która dokonuje regularnie zakupu surowców i materiałów w dużej ilości, może wynegocjować korzystne upusty cenowe, uzależnione od wielkości złożonego zamówienia. W takim przypadku należy zmodyfikować metodologię obliczania ekonomicznej wielkości zamówienia (EOQ), uwzględniając różne warianty uzyskanych upustów. Tabele 3 i 4 przedstawiają założenia dotyczące rabatów, w zależności od wielkości zamówienia oraz parametry kosztowo-ilościowe przyjęte do dalszych obliczeń. Tabela 3. Zestawienie rabatów na materiały Wielkość zakupów (szt.) Upust (%) Cena (zł) 0-200 0 7,00 201-500 7 6,50 501 i więcej 15 6,00 385
M. Grzelak, J. Ziółkowski Tabela 4. Założenia ilościowo-kosztowe Dane wejściowe Jednostka Popyt D 2000 szt. Wskaźnik kosztu składowania jednostki surowca i 25% Koszt średni obsługi zamówienia k s 75,00 zł W przypadku występowania upustów cenowych należy rozpatrywać n różnych cen, które zmieniać się będą w zależności od wielkości zamówienia. Uwzględniając przyjęte założenia zawarte w analizowanym przypadku, do obliczeń należy przyjąć trzy zmienne ceny: c 1 cena podstawowa bez rabatu c 2 cena z pierwszego przedziału dopuszczającego rabat c 3 cena z drugiego przedziału dopuszczającego rabat. Zmienność ceny znacząco wpływa na koszty składowania zapasów. Wynika to z funkcji kosztów utrzymywania zapasów, według której koszt składowania jednego surowca zależy m.in. od ceny jego nabycia. Zakładając, że j (gdzie j = 1,., n) opisuje numer przedziału objętego rabatem, dla którego cena jednostkowa wynosi c j, wtedy koszt składowania jednostki surowca wynosi: c hj i c (8) Po obliczeniu kosztów składowania jednostkowego zapasów w zależności od ceny otrzymano: ch 1 1, 75 zł, ch2 1,625 zł, ch3 1,50 zł. Algorytm postępowania w przypadku istnienia upustów cenowych nakazuje obliczenie EWZ dla każdej ceny. W analizowanym przypadku kształtuje się to następująco: Q1 415, Q2 430, Q3 448. * * * Analizując otrzymane rozwiązania, należy zweryfikować, czy obliczona wielkość partii mieści się w przedziale objętym rabatem. W tej sytuacji mogą wystąpić trzy warianty: obliczona wielkość partii mieści się w przedziale danego rabatu, wtedy przyjmowana jest za EOQ wielkość zamówienia jest mniejsza niż minimalna ilość zamówienia objętego rabatem, należy przyjąć najmniejszą wielkość zamówienia dla tej ceny i dokonać analizy kosztów powiększonego zamówienia obliczona wielkość jest większa niż górna granica przedziału objętego analizowanym rabatem, gdzie obowiązuje niższa cena, dlatego nie jest brana do dalszej analizy. j 386
Model ekonomicznej wielkości zamówienia (EOQ) Dla poszczególnych wariantów cenowych otrzymano następujące wyniki: Q 1* = 415 jest większe niż górna granica dla tego przedziału cenowego, dlatego wartość ta zostaje pominięta w dalszej analizie Q 2* = 430 należy do przedziału wielkości zamówień dla danej ceny, stąd wielkość zamówienia pozostawiamy bez zmiany Q 3* = 448 plasuje się poniżej dolnej granicy występującej dla tej grupy cenowej, należy zbadać opcję zwiększenia partii, przyjmując za ekonomiczną wielkość zamówienia 501 sztuk. W trzecim kroku obliczane są koszty całkowite, zgodnie ze wzorem (1). W tabeli 5 przedstawiono koszty zakupu dla dwóch wariantów wielkości zamówienia. Tabela 5. Koszty całkowite zakupów w zależności od EOQ Koszty całkowite (zł) Dla Q * 2 13 698,21 Dla Q 3 * 12 675,15 Porównując otrzymane wyniki, bardziej opłacalne jest zamówienie zwiększonej ilości materiału, ponieważ rabat cenowy pokrywa z nadwyżką koszty składowania zapasów tej ilości środków materiałowych. Podsumowanie Model ekonomicznej wielkości zamówienia umożliwia sterowanie wielkością dostaw oraz poziomem gromadzonych zapasów, w celu minimalizacji kosztów gospodarki magazynowej. W opracowaniu przedstawiono metodologię obliczeń EOQ w przypadku założeń dotyczących niezmienności popytu i ceny oraz gdy istnieje możliwość wystąpienia rabatów. Narzędzie to może być również wykorzystywane w przypadku zmiennych warunków panujących na rynku, np. zróżnicowanych kosztów transportu, rozłożenia dostaw w czasie, czy przy uwzględnieniu kosztów braku zapasów. Należy wówczas dostosować poszczególne parametry do wymaganych założeń, np. poprzez wprowadzenie wartości dodatkowych, takich jak jednostkowy koszt braku zapasów, zaś metodologia prowadzenia obliczeń i analizy wyników pozostaje niezmienna. LITERATURA [1] Bozarth C., Handfield R.B., 2008, Wprowadzenie do zarządzania operacjami i łańcuchem dostaw, Helion, Gliwice. [2] Coyle J.J., Bardi E.J., Langley C.J. Jr., 2010, Zarządzanie logistyczne, Polskie Wydawnictwo Ekonomiczne, Warszawa. 387
M. Grzelak, J. Ziółkowski [3] Witkowski J., 2010, Zarządzanie łańcuchem dostaw, Polskie Wydawnictwo Ekonomiczne, Warszawa. [4] Krawczyk S., 2010, Metody ilościowe w logistyce (przedsiębiorstwa), t. II, C.H. Beck, Warszawa. 388