9. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSKOWE 9. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSKOWE Wsęp. Rónana zaeraące pochodną neznane fnkc dóch b ęce zmennch naza sę cząskom rónanem różnczkom. Na przkład: 5 9. Ze zgęd na szeroke zasosoane mechance konsrkc nasze rozażana ogranczą sę do rónań różnczkoch cząskoch noch drgego rzęd rząd okreśa maksmaną pochodną aka sępe rónan z dema zmennm. Da akch rónań można zapsać posać kanonczną ako: D C B A 9. RRC noe drgego rzęd można skasfkoać ako: Wznacznk B 4AC RRC Przkład < Epczne Rónane Lapace a rónane opse san saon brak zmenne czasoe = Paraboczne Zagadnene propagac rozkład fnkc czase przesrzen rónane przeodnca cepnego k > Hperboczne Rónana faoe rozkład fnkc czase przesrzen rozązana oscacne np. drgana srn c Meod Komperoe Domnka Mebam Anna Snea Marek Komosa
9. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSKOWE 9. Rónana różnczkoe cząskoe epczne. a b c Rs.9. Przkład RRC epcznch. a rozkład emperar na podgrzeane płce bsan saon przepł od pod amą c rozkład poa eekrcznego okoc zoaora. Rónane Lapace a es pom przkładem rónana różnczkoego cząskoego epcznego: 9. Gd praa srona ne es róna zer o mam rónane rrc Possona. f 9.4 Korzsaąc z meod różnc skończonch rónane różnczkoe Lapace`a można sproadzć do agebracznego kład rónań. Pochodne cząskoe zasępem odpoednm różncam skończonm: 9.5 Rónana 9.5 podsaam do rónane 9. co rezace dae: 9. Da sak kadraoe rs9. rónane 9. przme posać: 4 9. Meod Komperoe Domnka Mebam Anna Snea Marek Komosa Warsa neprzepszczana Zapora odna Lna przepł Lne ekpoencane cepło zmno zmno przeodnk
9. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSKOWE n+ + - + m+ Rs.9. Saka meod różnc skończonch. - Ab znaeźć rozązane zadana msm zdefnoać arnk brzegoe z. arnk brzegoe Drchea. Przkład 9.: W zadan okreśone są arnk brzegoe. Naeż obczć emperar okreśonch mescach pł. C 4 5 C 5 C 4 C Rs.9. Płka podgrzeana różnm emperaram z różnch sron. Obczena konem korzsaąc ze zor 9..Da pnk = mam: Meod Komperoe Domnka Mebam Anna Snea Marek Komosa
9. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSKOWE 4 4 Do rónana 9. a podsaam arnk brzegoe orzmem: 5 4 4 5 9. a 9. b Podobną procedrę naeż przeproadzć da pozosałch pnkó a nasępne rozązać posał kład rónań. Osaeczne orzmem rozązane: 5 5 4 4 5 955 95 5999 5 Znaąc rozkład emperar możem róneż obczć pochodne emperar zgędem obrazące ak zan srmeń cepła. Zaeżność ę opsą rónana Forera: k k q q 9.9 Graden emperar pnkce obczam ze zor: q ar cg q q n q q 9. Rozparzm eraz przpadek gd arnk brzegoe rażone są przez pochodne emperar cz srmene cepła. Są o z. Warnk brzegoe Nemann`a. Rs.9.4.Warnk brzegoe Nemann`a da = Meod Komperoe Domnka Mebam Anna Snea Marek Komosa
9. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSKOWE 5 Rónane różncoe zapsane da pnk ma posać: 4 9. Naeż zrócć agę na pnk - kór mmo że eż poza obszarem es róneż magan rónan. Wdaać b sę mogło że pnk en będze sanoł probem ae łaśne przchodz z pomocą arnek brzego posac pochodne. Naeż okreść perszą pochodną po zmenne pnkce : 9. eraz maąc zaeżność 9. możem podsać ą do zor 9.: 4 9. Warnk brzegoe da neregarnch kszałó. Rozparzm obraz neregarnego brzeg ak na Rs.9.5. α Δ β Δ α Δ β Δ Korzsaąc z różnc cenrane ł orzmem: Rs.9.5. Obraz neregarnego brzeg. 9.4 Obczaąc drgą pochodną rażena 9.4 zgędem zmenne mam: Meod Komperoe Domnka Mebam Anna Snea Marek Komosa
9. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSKOWE 9.5 Wrażene na pochodną zgędem zmenne gąda anaogczne: 9. Okreśene prz neregarnch kszałach: Rozparzm ponone obszar o neregarnm kszałce zapszm rozązane pnkce : Rs. 9.. Brzeg zakrzon. Meod Komperoe Domnka Mebam Anna Snea Marek Komosa 4 5 η Δ Δ
9. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSKOWE Rs. 9.. Lnoa zaeżność mędz Zakładam że zmenaą sę noo.pochodna pnkce ma posać: L L L L 9. cos L 9. Z proporc można zapsać rs. 9..: L L g g g 9.9 Podsaaąc do zor 9. zor 9. 9.9 orzmem: g g cos g cos 9. Meod Komperoe Domnka Mebam Anna Snea Marek Komosa
9. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSKOWE 9.. Rónana różnczkoe cząskoe paraboczne. RRC paraboczne możaą znaezene rozkład zmenne fnkc czas. Przkładem może bć rónane opsące przeodnco cepne posac: k k k z z 9. cepło cepło zmno zmno =Δ =Δ =Δ = a b Rs. 9. Zasosoane RRC parabocznego. aobraz dłgego pręa zooanego podgrzeanego z edne sron b Rozązane zagadnena sanó podgrzeanego pręa różnch chach czase. Prz założen że cało es zoropoe k k kz oraz przepł cepła nasępe ko po ednm kernk rónane przeodnca cepnego ma posać: k gdze k o sała przeodzena 9. Meod Komperoe Domnka Mebam Anna Snea Marek Komosa
9. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSKOWE 9 n+ + - + m - Rs.9.9. Dskrezaca przesrzenna m czasoa Meod p epc ane. Rónana przeodnca cepła magaą aproksmac drge pochodne przesrzen persze pochodne czas. Rónana e są reprezenoane podobne ak rónana Lapace a meodą różnc skończonch cenranch: 9. Ab okreść przesrzeń czasoą korzsem schema różnco przód: 9.4 Podsaam rónana 9. 9.5 do zor 9. orzmem: k 9.5 Po przekszałcenach orzmem rónane da szskch pnkó enęrznch: gdze k 9. Wdać że do znaczene rozązana danm krok korzsem arość obczoną krok poprzednm. Meod Komperoe Domnka Mebam Anna Snea Marek Komosa
9. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSKOWE + - + Rs. 9.. Komórka obczenoa Przkład 9.: Wkorzsane meod epc do obczena rozkład emperar da dłgego zooanego pręa parz rs. 9..: cepło zmno Rs. 9.. Prę dan zadan Dane: Dłgość =cm cm s da 5 C 5C k 5 cm / s 5 5 4 4 5 = cm Rs. 9. Podzał pręa na ednakoe odcnk Wkorzsąc zaeżność 9. możem zapsać da s 4 : 4 5[ 5 ] 5 5[ ] 5[ ] Da s 4 gąda o nasępąco: 5[5 ] 4 Meod Komperoe Domnka Mebam Anna Snea Marek Komosa
9. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSKOWE 4 5 5[ 5 ] 5 5[ 5] 45 5[4 ] 4 5[5 4 ] 49 Da koench obczena konem anaogczne. Na Rs.9. przedsaono grafczne rozązane rónana da ch 9 4 = Δ= Δ= [s] = k=5 =9 = 4 Rs. 9.. Rozkład emperar da różnch ch czas. Probem zbeżnośc sabnośc o: Meoda całkoana es zbeżna gd da: 9. orzmem rozązane dokładne. Meoda es sabna gd błęd ne narasaą podczas całkoana probem. Sabność można zskać narzcaąc ogranczena na krok czaso. Można kazać że gd: b k 9. Meda całkoana "epc" es sabna. Gd błęd ne narasaą ae mogą oscoać gd 4 ne ma oscac a gd orzmem mnman błąd meod 9.9 Brak sabnośc przkładze obraze ponższ kres kór sporządzono 5. Meod Komperoe Domnka Mebam Anna Snea Marek Komosa
9. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSKOWE = = = =4 = Meod p mpc neane Rs. 9.4. Brak sabnośc prz zb dżm λ Z poższch rozażań nka że meoda epc może proadzć do dżch błędó prz neogranczonm krok całkoana. Koneczne są ęc resrkcne ogranczena ab zachoać sabność. Meod mpc są pozbaone ego mankamen koszem bardze skompkoanch agormó. Fndamenana różnca pomędz meodam epc a mpc es pokazana na rs.9.5.: + + - + - + Rs 9.5. Różnca omaanch meod Po ee "epc" po prae "mpc". W przpadk meod mpc pochodną okreśa sę czase + : 9. Ab okreść przesrzeń czasoą korzsem schema różnco przód: 9. Wkorzsąc podsao zór na rónane paraboczne 9. orzmam: Meod Komperoe Domnka Mebam Anna Snea Marek Komosa
9. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSKOWE k 9. Rónane o można proścć do posac: k gdze 9. Da kładó gd dane są emperar okreśone na brzegach mam: f 9.4 gdze f es fnkcą okreśaącą ak emperar na brzegach zmenaą sę czase. Da perszego pnk enęrznego = mam : f 9.5 a da osanego pnk enęrznego = m mam rónane: m m m m f 9. Cąg dasz przkład 9.. Rónane da 5 : 5 5 45 Anaogczne da pozosałch pnkó zapsem rónana orzmem kład rónań posac: 45 5 45 5 5 5 5 5 45 5 5 45 4 Orzmem rozązane da ch =: 9 4 4 4 Da koene ch = orzmem no kład rónań kó naeż ponone rozązać. Meod Komperoe Domnka Mebam Anna Snea Marek Komosa
Meoda Cranka - Ncosona 9. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSKOWE 4 Jes o epszene meod mpc kóre poega na zększen dokładnośc całkoana czase. Meoda a ne maga dodakoch ogranczeń ze zgęd na czas przesrzeń. Jes o może dzęk zasosoan meod pnk środkoego obczene pochodne cenrane pnkach co dae znaczne ększą preczę. + +/ - + Rs.. Grafczna nerpreaca meod Cranka -Ncosona da 9. Drga pochodna przesrzen es okreśana pnkce pośrednm co poode średnene przbżeń rezace dae dżo ększą dokładność: począk końc Cąg dasz przkład 9..: 9. Anacznm rozązanem RRC parabocznego n n k n es: n n sn ep k Porónane nkó meod: epc mpc Cranka - Ncosona przkład 9.. λ epc mpc Crank - Ncoson 5 5 5 9 5 45-9 549 49 45 4 5 59 49 4 5 45 5 4 44 5 45 49 449 4 Rozązane dokładne 4 C Jak dać meoda C - N es nadokładnesza od samego począk a meoda epc dała sasfakconąc nk dopero ed gd spółcznnk λ spełnł założena ogranczena co do ekośc krok całkoana. Meod Komperoe Domnka Mebam Anna Snea Marek Komosa
9. RÓWNANIA RÓŻNICZKOWE CZĄSKOWE 5 9.. Rónana różnczkoe cząskoe hperboczne. Rozparzm rónane drgań srn: c gdze E c E modł Yong a - gęsość ośrodka c - prędkość 9.9 Rs. 9. Saka korzsana zadan Wkorzsąc meodę różnc skończonch możem zapsać: 9.4 Podsaaąc rónana 9.4 do zor 9.9 orzmem: c 9.4 Po przekszałcenach mam: gdze c 9.4 Rónane 9.4 es p epc. Można kazać że rozązane o es sabne gd oraz es nadokładnesze da. Wed nasze rónane przme posać: 9.4 Meod Komperoe Domnka Mebam Anna Snea Marek Komosa + - + - Δ Δ Δ Δ Δ